2024年新高考数学一轮复习讲义 专题12 函数与方程

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专题12 函数与方程
【命题方向目录】
命题方向一：求函数的零点或零点所在区间
命题方向二：利用函数的零点确定参数的取值范围
命题方向三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
命题方向四：嵌套函数的零点问题
命题方向五：函数的对称问题
命题方向六：函数的零点问题之分段分析法模型
命题方向七：唯一零点求值问题
命题方向八：分段函数的零点问题
命题方向九：零点嵌套问题
命题方向十：等高线问题
命题方向十一：二分法
【2024年高考预测】
2024年高考仍将方程解得个数、函数零点个数、不等式整数解的问题、不等式恒成立与能成立为载体考查函数的综合问题，考查数形结合与转化与化归思想．
【知识点总结】
1、函数的零点与方程的解
（1）函数零点的概念
对于一般函数，我们把使的实数x叫做函数的零点．
（2）函数零点与方程实数解的关系
方程有实数解⇔函数有零点⇔函数的图象与x轴有公共点．
（3）函数零点存在定理
如果函数在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解．
2、二分法
（1）对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
（2）对于给定精确度，利用二分法求函数零点近似值的步骤如下：
①确定区间，验证，给定精确度；
②求区间的中点；
③计算；
a．若，则就是函数的零点；
b．若，则令（此时零点）；
c．若，则令（此时零点）．
④判断是否达到精确度，即：若，则得到零点近似值（或）；否则重复②③④．
【方法技巧与总结】
1、若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点．
2、连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号．
3、连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号．
4、连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出．
【典例例题】
命题方向一：求函数的零点或零点所在区间
例1．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）定义符号函数，则方程的解是（    ）
A．2或 B．3或 C．2或3 D．2或3或

例2．（2023·北京·高三统考学业考试）函数的零点是（    ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2

例3．（2023·全国·高三专题练习）已知是函数的一个零点，若，则（    ）
A．， B．，
C．， D．，

变式1．（2023·全国·模拟预测）设函数，则（    ）
A．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）也有零点
B．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）没有零点
C．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）有零点
D．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）也没有零点

变式2．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）已知是函数的一个零点，若，则（    ）
A． B．
C． D．

变式3．（2023·北京·统考模拟预测）已知函数，若方程的实根在区间上，则k的最大值是（    ）
A． B． C． D．

变式4．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在区间是（    ）
A． B． C． D．

【方法技巧与总结】
求函数零点的方法：
（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.
命题方向二：利用函数的零点确定参数的取值范围
例4．（2023·全国·高三专题练习）函数有两个不同的零点的一个充分不必要条件是（    ）
A． B． C． D．

例5．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知函数，若函数恰有4个零点，则k的取值范围（    ）
A． B．
C． D．

例6．（2023·黑龙江·高三校联考开学考试）已知函数，若有三个零点，则实数m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

变式5．（2023·全国·高三专题练习）若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

变式6．（2023·全国·校联考模拟预测）若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

变式7．（2023·陕西商洛·统考二模）已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

变式8．（2023·陕西汉中·统考一模）若函数的两个零点是，则（    ）
A． B．
C． D．无法判断

【通性通解总结】
本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.
命题方向三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
例7．（2023·全国·模拟预测）已知函数满足.当时，，则在上的零点个数为___________.

例8．（2023·浙江·二模）已知函数，则至多有______个实数解.

例9．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）函数的零点个数为__________.

变式9．（2023·全国·高三专题练习）函数，当时的零点个数是___．

变式10．（2023·全国·模拟预测）已知则函数的零点个数是______．

变式11．（2023·北京大兴·高三校考开学考试）已知函数，则函数的零点个数为___________.

变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数零点的个数是__________．


【通性通解总结】
方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.
命题方向四：嵌套函数的零点问题
例10．（2023·江苏·高三专题练习）设定义在R上的函数，若关于的方程有3个不同的实数解，则_____________.

例11．（2023·江西赣州·高三校联考）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程恰好有个不同的实数根，那么的值为___________.

例12．（2023·全国·高三专题练习）设定义域为的函数，若关于的方程有个不同的实数解，则m=______

变式13．（2023·四川成都·高三石室中学校考）已知函数,若关于x的方程有8个不同的实数解，则整数m的值为___________.（其中e是自然对数的底数）

变式14．（2023·江苏扬州·高三扬州中学校考）已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数解，且最小实数解为，则的值为______．

变式15．（2023·山东枣庄·高三阶段练习）设定义域为的函数，若关于的方程有五个不同的实数解，则的取值范围是_________.

变式16．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值集合为__________.

【通性通解总结】
1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．
2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实．
命题方向五：函数的对称问题
例13．（2023·全国·高三专题练习）若不同两点、均在函数的图象上，且点、关于原点对称，则称是函数的一个“匹配点对”（点对与视为同一个“匹配点对”）．已知恰有两个“匹配点对”，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

例14．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）若函数图象上存在不同的两点，关于轴对称，则称点对是函数的一对“黄金点对”（注：点对与可看作同一对“黄金点对”）．已知函数则此函数的“黄金点对”有（    ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对

例15．（2023·山东德州·高一德州市第一中学校考期末）若函数图象上不同两点关于原点对称，则称点对是函数的一对“姊妹点对”（点对与看作同一对“姊妹点对”），已知函数，则此函数的“姊妹点对”有（    ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对

变式17．（2023·全国·高三专题练习）若M，N为函数图象上的两个不同的点，且M，N两点关于原点对称，则称点对（M，N）为函数的一个“配合点对”（点对（M，N）与点对（N，M）为同一“配合点对”）．现给定函数（e为自然对数的底数），若函数的图象上恰有两个“配合点对”，则实数m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

变式18．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知函数（，e为自然对数的底数）与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

【通性通解总结】
转化为零点问题
命题方向六：函数的零点问题之分段分析法模型
例16．（2023·全国·模拟预测）若函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为______．

例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(e为自然对数的底数)有两个不同零点，则实数的取值范围是___________.

例18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数存在4个零点，则实数的取值范围是__________．

变式20．（2023·全国·高三专题练习）设函数 记若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是________________________.

命题方向七：唯一零点求值问题
例19．（2023·江西·校联考二模）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（    ）
A．或 B．或 C． D．

例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则实数（    ）
A．1 B． C．2 D．

例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则（     ）
A． B． C． D．

变式21．（2023·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考开学考试）已知关于的函数有唯一零点，则（    ）
A． B．3 C．或3 D．4

变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则（    ）
A．1 B． C． D．

变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为
A．或 B．1或 C．或2 D．或1

变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则负实数
A． B． C． D．或

【通性通解总结】
利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：
（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
命题方向八：分段函数的零点问题
例22．（2023·北京·高三专题练习）设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.若有个零点，则实数的最小值是（    ）
A． B． C． D．

例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

变式25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．或 C． D．或

变式26．（2023·全国·高三专题练习）函数 的零点个数为（    ）
A．3 B．2 C．1 D．0

【通性通解总结】
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

命题方向九：零点嵌套问题
例25．（2023·河北沧州·高三统考阶段练习）已知函数有三个不同的零点，，，其中，则的值为________．

例26．（2023·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为______．

例27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为___________.

变式27．（2023·河南信阳·高三信阳高中校考开学考试）已知函数有三个零点，，，且，其中，为自然对数的底数，则的范围为______．

变式28．（2023·江苏苏州·高二江苏省震泽中学校考阶段练习）已知函数有四个不同的零点，且四个零点全部大于1，则的值为_______．

变式29．（2023·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）已知函数存在三个零点、、，且满足，则的值为__________.

【通性通解总结】
解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.
命题方向十：等高线问题
例28．（2023·湖北武汉·高一期末）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，，，，且，则的最小值为（    ）
A． B．8 C． D．

例29．（2023·河南郑州·高一新密市第一高级中学校考阶段练习）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，且满足，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．

例30．（2023·江西上饶·高一统考期末）已知函数，若方程有四个不同的实数解，，，且，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

变式30．（2023·全国·高三校联考专题练习）已知函数有五个不同的零点，且所有零点之和为，则实数的值为（    ）
A． B． C． D．

【通性通解总结】
数形结合
命题方向十一：二分法
例31．（2023·全国·高三专题练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（    ）
A．6 B．7 C．8 D．9

例32．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
f(x)
-1.307
-0.084
-0.009
0.066
0.215
0.512
1.099
由二分法,方程的近似解(精确度0.05)可能是（　　）
A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.066

例33．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（    ）
A．是满足精度为的近似值.
B．是满足精度为的近似值
C．是满足精度为的近似值
D．是满足精度为的近似值

变式31．（2023·全国·高三专题练习）用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（    ）
A．1 B． C．0.25 D．0.75

变式32．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：
x
1
1.5
1.25
1.375
1.3125
f（x）
-1
0.875
-0.2969
0.2246
-0.05151
那么方程的一个近似根（精确度为0.1）可以为（　　）
A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.25

变式33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的部分函数值如下表所示：
x
1
0.5
0.75
0.625
0.5625

0.6321

0.2776
0.0897

那么函数的一个零点近似值（精确度为0.1）为（    ）
A．0.45 B．0.57 C．0.78 D．0.89

【通性通解总结】
对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·江西萍乡·统考二模）已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）函数的零点为（    ）
A．4 B．4或5 C．5 D．或5
3．（2023·四川德阳·统考一模）已知函数则在上的零点个数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．2023
4．（2023·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）已知函数，函数，则函数的零点个数为（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2023·湖南·模拟预测）若函数在内有2个零点，则a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川泸州·统考一模）已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
7．（2023·吉林长春·长春市实验中学校考二模）函数的零点所在的大致区间是（    ）
A． B．
C． D．
8．（2023·四川巴中·统考模拟预测）已知定义在R上的函数满足，当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023·海南·校联考模拟预测）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（    ）
A． B． C． D．
10．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）关于函数，下列描述正确的有（    ）
A．在区间上单调递增 B． 的图象关于直线对称
C．若则 D．有且仅有两个零点
11．（2023·福建福州·统考模拟预测）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ）
A． B．为奇函数
C．在上为减函数 D．方程仅有6个实数解
12．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知函数，对于任意的，，，关于的方程的解集可能的是（    ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为___________.
14．（2023·上海闵行·统考二模）已知的反函数的零点为2，则实数的值为___________；
15．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知定义在（0，+）上的函数f（x）满足：，若方程在（0，2]上恰有三个根，则实数k的取值范围是___________.
16．（2023·四川乐山·统考一模）函数 上所有零点之和为_____.