2024年新高考数学一轮复习讲义 专题14 导数的概念与运算

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专题14 导数的概念与运算
【命题方向目录】
命题方向一：导数的定义
命题方向二：求函数的导数
命题方向三：导数的几何意义
方向1、在点P处切线
方向2、过点P的切线
方向3、公切线
方向4、已知切线求参数问题
方向5、切线的条数问题
方向6、切线平行、垂直、重合问题
方向7、最值问题
方向8、牛顿迭代法
【2024年高考预测】
2024年高考仍然重点利用导数的几何意义求函数的切线．
【知识点总结】
知识点一：导数的概念和几何性质
1、导数的概念
（1）函数在处的导数记作或

（2）的导函数

2、导数的几何意义
函数在处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，相应的切线方程为．
知识点二：导数的运算
1、求导的基本公式
基本初等函数
导函数
（为常数）















2、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3、复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为
【方法技巧与总结】
1、区分在点处的切线与过点处的切线
（1）在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
（2）过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
【典例例题】
命题方向一：导数的定义
例1．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（    ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示，根据导数的几何意义，可得表示切线斜率，
表示切线斜率，
又由平均变化率的定义，可得，表示割线的斜率，
结合图象，可得，即.
故选：C.

例2．（2023·全国·高三专题练习）一个质点做直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（    ）
A．5米/秒 B．8米/秒
C．14米/秒 D．16米/秒
【答案】C
【解析】由题得，
当时，，
故当时，该质点的瞬时速度为14米/秒．
故选：C
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的值为（    ）
A． B． C．10 D．20
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以.
故选：D
变式1．（2023·河南洛阳·高三栾川县第一高级中学校考开学考试）已知是函数的导函数，若，则（ ）
A． B．2 C． D．8
【答案】C
【解析】
故选：C
变式2．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）设在处可导，下列式子与相等的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A，,A错误；
对于B，，B正确；
对于C, ，C错误；
对于D，，D错误，
故选：B
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的可导函数，若，则（    ）
A．0 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由导数的定义，可得．
故选：D
【通性通解总结】
对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出．
命题方向二：求函数的导数
例4．（2023·高三课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【解析】（1）因为函数可以看做函数和的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，



；
（2）因为函数可以看做函数和的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，



；
（3）因为函数可以看做函数和的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，，
又因为函数可以看做函数和的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，

所以



；
（4）函数可化为
因为函数可以看做函数和的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，，
所以


；
（5）因为函数可以看做函数和的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，，
又因为函数可以看做函数和的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，

所以


；
（6）函数可化为，
因为函数可以看做函数和的复合函数，
根据复合函数求导公式可得，，
所以



.
例5．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数，其中：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)；
(10)．
【解析】（1）因为，所以；
（2）因为，
所以；
（3）因为，所以；
（4）因为，
所以；
（5）因为，
所以；
（6）因为，
所以；
（7）因为，
所以；
（8）因为，
所以；
（9）因为，
所以；
（10）因为，
所以．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为，且满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在等式两边求导得，所以，，解得.
故选：C.
变式4．（2023·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知函数的图像关于对称，则的值是（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】因为的图像关于对称，则在取得极值．
又，则，得，
所以，
则．
故选: D.
变式5．（2023·全国·高三专题练习）在等比数列中，，函数，则等于（    ）
A．36 B．34 C．38 D．212
【答案】B
【解析】令，则，
所以，故，
因为在等比数列中，，
所以，
所以
故选：B
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数为，且满足，则（    ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【解析】因为，
所以，
把代入，
得，解得：，
所以，所以.
故选：C.
【通性通解总结】
对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题．
命题方向三：导数的几何意义
方向1、在点P处切线
例7．（2023·黑龙江七台河·高三校考期中）已知函数，则函数的图象在点处的切线斜率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设，则，故，
故在点处的切线斜率为.
故选：A
例8．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，则，
所以的图象在处的切线方程为，
即.
故选：B.
例9．（2023·江西赣州·统考二模）已知曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由题意可得：，则，
即切点坐标为，斜率，
切线方程为，
令，解得，即切线与y轴交点坐标为；
令，解得，即切线与x轴交点坐标为；
可得与坐标轴围成的面积，解得.
故选：A.
变式7．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象在点处的切线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，则，所以，，，
因此，函数的图象在点处的切线方程为，即.
故选：A.
变式8．（2023·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校考阶段练习）曲线在处切线的倾斜角为，则（    ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】因为，则，因此，
所以.
故选：C
方向2、过点P的切线
变式9．（2023·北京·高三专题练习）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数，可得，
设切点坐标为，可得切线方程为，
把原点代入方程，可得，即，
解得，所以切线方程为，即.
故选：A.
变式10．（2023·山东烟台·高三统考期末）过点且与曲线相切的直线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，则，
设切点坐标为，则切线的斜率，切线方程为，
由切线过点，代入切线方程解得，则切线方程为，即.
故选：B
变式11．（2023·河南·校联考模拟预测）已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（   ）
A．1 B．2 C．3 D．不确定
【答案】C
【解析】因函数是奇函数，则由得恒成立，则，
即有，，
设过点向曲线所作切线与曲线相切的切点为，
而点不在曲线上，则，整理得，
即，解得或，即符合条件的切点有3个，
所以过点向曲线可作的切线条数是3.
故选：C
变式12．（2023·全国·高三专题练习）函数过点的切线方程为（    ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】由题设，若切点为，则，
所以切线方程为，又切线过，
则，可得或，
当时，切线为；当时，切线为，整理得.
故选：C
变式13．（2023·全国·高三专题练习）曲线过点的切线方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得点不在曲线上，
设切点为，因为，
所以所求切线的斜率，
所以.
因为点是切点，所以，
所以，即.
设，明显在上单调递增，且，
所以有唯一解，则所求切线的斜率，
故所求切线方程为.
故选：B.
方向3、公切线
变式14．（2023·山东威海·统考二模）已知函数，，若总存在两条不同的直线与曲线，均相切，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设函数上的切点坐标为，且，函数上的切点坐标为，且，
又，，则公切线的斜率，则，所以，
则公切线方程为，即，
代入得，则，
整理得，
若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根，
设，则，
令得，
当时，，单调递增，时，，单调递减，
所以在处取得极大值即最大值，即，
由可得，又当时，；当时，，
所以，解得，故实数的取值范围为.
故选：A.
变式15．（2023·河北·统考模拟预测）若曲线与曲线存在公切线，则实数的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以，，
设公切线与切于点，与曲线切于点，，
所以，
所以，所以，所以或，
因为，所以，所以，
所以，
令，，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以实数的最小值为.
故选：A
变式16．（2023·全国·高三专题练习）若曲线与曲线有公切线，则实数a的取值范围（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设是曲线的切点，设是曲线的切点，
对于曲线 ，其导数为 ，对于曲线 ，其导数为 ，
所以切线方程分别为：，，两切线重合，
对照斜率和纵截距可得：，解得（），令 （），
，得：，
当 时， ，是减函数，
当 时， ，是增函数，
∴且当x趋于 时，， 趋于 ；当 趋于 时， 趋于；
∴，∴；
故选：D．
变式17．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）若直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点为，则的值为（    ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】因为直线与曲线相切，切点为，
可知直线的方程为，
又直线与曲线也相切，切点为，
可知直线的方程为，
所以，两式相除，可得，
所以.
故选：B
变式18．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，则（    ）
A．1 B．3 C．6 D．2
【答案】C
【解析】，则，则在点处的切线的斜率为，
，则，则在点处的切线的斜率为，
函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，
则，即，
故选：C.
变式19．（2023·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）已知函数.若曲线和在公共点处有相同的切线，则a，b的值分别为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
由题意，解得
故选:A.
变式20．（2023·陕西渭南·统考一模）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（    ）
A． B．3 C． D．2
【答案】D
【解析】设是图象上的一点，，
所以在点处的切线方程为，①，
令，解得，
，所以，
，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去），
所以，此时①可化为，
所以.
故选：D
变式21．（2023·全国·高三专题练习）若曲线和y＝x2＋mx＋1有公切线，则实数m＝（    ）
A． B． C．1 D．－1
【答案】A
【解析】设，则，
曲线与切线相切于，
则切线方程为：①
因为切线与y＝x2＋mx＋1②相切，
联立①②：x2＋mx＋1=，
所以，
所以，
所以，
则有，解得，
故选：A
变式22．（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第一中学校考阶段练习）已知直线为曲线在处的切线，若与二次曲线也相切，则（    ）
A．0 B． C．4 D．0或4
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，
所以曲线在处的切线斜率为，
则曲线在处的切线方程为，即．
由于切线与曲线相切，
由，得，
又，两线相切有一切点，
所以，
解得或（舍去）．
故选：C．
方向4、已知切线求参数问题
变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若恒成立，则实数a的最大值为（    ）
A． B． C．2e D．
【答案】C
【解析】由题意可得：，则，
当时，则；当时，则；
故在上单调递减，在上单调递增，
若与直线相切时，设切点为，则切线斜率，
所以该切线方程为，
注意到切线过点，则，
整理得，解得或，
当时，；当时，；
结合图象可得实数a的取值范围为，即实数a的最大值为2e．
故选：C．

变式24．（2023·新疆塔城·高二乌苏市第一中学校考阶段练习）若直线：是曲线的切线，则实数（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
设切点，则，
故切线方程为，即，
又因切线为，所以，即，因此.
故选：A.
变式25．（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳江油中学校考开学考试）已知函数

，若过点A（0,16）的直线方程为，与曲线

相切，则实数的值是
A． B． C．6 D．9
【答案】D
【解析】分析：先设出切点坐标，利用导数的几何意义，求出切线方程，与直线y=ax+16比较系数，即可得到a值．
解答：设切点坐标为（x0，x03-3x0）
∵f（x）=x3-3x，∴f′（x）=3x2-3，∴切线斜率为3x02-3
∴f（x）=x3-3x在点（x0，x03-3x0）处的切线方程为y-x03+3x0=（3x02-3）（x-x0），
化简得，y=（3x02-3）x-2x03，
又∵切线方程为y=ax+16
∴3x02-3=a且-2x03=16，解得，x0=-2，a=9
故选D．
变式26．（2023·内蒙古包头·统考一模）已知函数的图象在点处的切线过点，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以切线斜率为，
又，
所以切线方程为，
整理得：，
又切线过点，
则，解得，
故选：B.
变式27．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末）过点可以作曲线的两条切线，切点的横坐标分别为m，n，则的值为（    ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】，设切点为坐标，
则，
即，则，
由题意知有两解，分别为m，n，
故，
故选：D.
变式28．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与是曲线的两条切线，则（    ）
A． B． C．4 D．无法确定
【答案】A
【解析】由已知得，曲线的切线过，
时，曲线为，设，直线在曲线上的切点为，，
切线：，又切线过
，∴，，
同理取，曲线为，设，直线在曲线上的切点为，，
切线：，又切线过
，，∴，
故选：A
变式29．（2023·全国·高三专题练习）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线与曲线相切于点，
，切线斜率，，即，
，；
，，
（当且仅当，即时取等号），
则的最小值为.
故选：B.
方向5、切线的条数问题
变式30．（2023·广西玉林·统考模拟预测）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设该切线的切点为，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
又切线过点，则，整理得.
要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，
即函数图象与直线在R上有3个交点，
设，则，
令，令或，
所以函数在上单调递增，在和上单调递减，
且极小值、极大值分别为，如图，

由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，
即过点的切线有3条.
所以实数a的取值范围为.
故选：B.
变式31．（2023·全国·高三专题练习）若直线与曲线和都相切，则直线的条数有（    ）
A． B． C． D．无数条
【答案】C
【解析】设直线因为直线与曲线和都相切
所以对于曲线，，，切点
对于曲线，，，切点
因为公切线过A、B两点
所以
进而可得
令

因为，均为增函数，又因为，
所以存在使得即
所以在时单调递减，在单调递增，
又因为
所以
当时，
因为，所以所以在内存在使得直线与曲线和都相切
当时，
因为，所以所以在内存在使得直线与曲线和都相切
所以综上所述，存在两条斜率分别为的两条直线与曲线和都相切
故选：C
变式32．（2023·全国·高三专题练习）已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设切点为，切线方程为，由，所以，所以，
则，所以，
令，则，
因为，所以当或时，当时，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时取得极大值，当时取得极小值，即，，
依题意有三个零点，所以且，即；
故选：B
变式33．（2023·全国·高三专题练习）过点作曲线的切线，当时，切线的条数是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设切点为，
，切线斜率，
切线方程为：；
又切线过，；
设，则，
当时，；当时，；
在，上单调递减，在上单调递增，
又，，恒成立，可得图象如下图所示，

则当时，与有三个不同的交点，
即当时，方程有三个不同的解，切线的条数为条.
故选：D.
变式34．（2023·全国·高三专题练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】

设切点坐标为，由于，因此切线方程为，又切线过点，则，，
设，函数定义域是，则直线与曲线有两个不同的交点，，
当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，所以，结合图像知，即.
故选：D.
变式35．（2023·全国·高三专题练习）过曲线外一点作的切线恰有两条，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，过点作曲线C的切线，
设切点，则切线方程为：，
将代入得：
即（*） 由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．
令，，
显然有两个极值点与，于是或
当时，；
当时，，此时经过与条件不符，所以，
故选：A.
变式36．（2023·全国·高三专题练习）若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知，曲线，即令，则，
设切点为，切线方程的斜率为，
所以切线方程为：，将点代入方程得：，整理得，
设函数，过点可作出曲线的三条切线，
可知两个函数图像与有三个不同的交点，
又因为，由，可得或，
所以函数在，上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极大值为，函数的极小值为，
如图所示，

  
当时，两个函数图像有三个不同的交点.
故选：C.
变式37．（2023·全国·高三专题练习）若过点可以作三条直线与曲线C：相切，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设切点为,过点P的切线方程为,代入点P坐标，化简为，即这个方程有三个不等根即可.
令,求导得：.
令，解得：，所以在上递增；令，解得：或，所以在和上递增.
要使方程有三个不等根即可.
只需,即.
故选：D
变式38．（2023·全国·高三专题练习）若过点可以作三条直线与曲线相切，则m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，则，设切点为，则切线斜率
则在点的切线方程为，
代入点P坐标得
整理为，即这个方程有三个不等式实根，
令，则 ，
令则
函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
故得，即，
故选：D．
变式39．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若过点可以作出三条直线与曲线相切，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设切点坐标曲线在处的切线斜率为，
又切线过点切线斜率为，，即，
∵过点可作曲线的三条切线，方程有3个解．
令，则图象与轴有3个交点，的极大值与极小值异号，，令，得或2，
或时，，时，，即在及上递增，在上递减，是极大值，是极小值，
,即，解得，
故选：D.
变式40．（2023·福建泉州·高三福建省晋江市养正中学校考阶段练习）已知过点作曲线的切线有且仅有条，则（    ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】设切点为，
由已知得，则切线斜率，切线方程为
直线过点，则，化简得
切线有且仅有条，即，化简得，即，解得或
故选：C
方向6、切线平行、垂直、重合问题
变式41．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为（    ）
A． B． C．或 D．以上都不对
【答案】C
【解析】由题意可知：函数的导函数为
过P点的切线与直线平行
，解得
当时，，此时切线方程为，即；
当时，，此时切线方程为，即.
所以点P的坐标是（2，14）或（-2，-14）
故选:C
变式42．（2023·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知直线与直线平行，且与曲线相切，则直线的方程是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
因为直线与直线平行，
令，
解得或（舍去），
所以切点的坐标为，
故直线的方程为，
即.
故选：B.
变式43．（2023·全国·高三专题练习）函数在处的切线与直线平行，则的值为（    ）
A．-4 B．-5 C．7 D．8
【答案】D
【解析】
，则
因为在处的切线与直线平行
解得
故选：
变式44．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象与函数的图象有公切线，且直线与直线互相垂直，则实数（    ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】由题知，，令，又，解得，因为，所以切线的方程为.，
设函数与直线切于点，
所以，故，
即，，解得或.
故选：D
变式45．（2023·山东日照·高三校联考期末）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则点的坐标为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的导数为，所以曲线在点处的切线的斜率为.
因为曲线在点处的切线与曲线y=ln x在点P处的切线垂直，
所以曲线y=ln x在点P处的切线的斜率.
而y=ln x的导数，所以切点的横坐标为，所以切点.
故选：D
变式46．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为（    ）
A． B．1
C． D．2
【答案】B
【解析】因为x1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x，
所以f′(x)＝2x＋2，
所以函数f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为f′(x1)，f′(x2)，
因为函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，
所以f′(x1)f′(x2)＝－1．
所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，
所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0，
所以x2－x1＝ [－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥＝1，当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，
即x1＝－，x2＝－时等号成立．
所以x2－x1的最小值为1．
故选：B．
变式47．（2023·高三课时练习）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，
则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，
当y＝sinx时，y′＝cosx，满足条件；
当y＝lnx时，y′0恒成立，不满足条件；
当y＝ex时，y′＝ex＞0恒成立，不满足条件；
当y＝x3时，y′＝3x2＞0恒成立，不满足条件；
故选A．
考点：导数及其性质.
变式48．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，的导数为；
当时，的导数为，
设，，，为该函数图象上的两点，且，
当，或时，，故，
当时，函数在点，处的切线方程为：
；
当时，函数在点，处的切线方程为．
两直线重合的充要条件是①，②，
由①及得，由①②令，则，
且，记
导数为，且在恒成立，
则函数在为减函数，
，
∴实数的取值范围是．
故选：B
变式49．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象上存在两个不同的点，使得曲线在这两点处的切线重合，称函数为“自重合”函数．下列函数中是“自重合”函数的为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】若曲线在这两点处的切线重合，首先要保证两点处导数相同；A选项中，；B选项中，；导数为单调函数，切点不同时，导数值不同，所以切线不可能重合，所以错误；
C选项中，，若斜率相同，则切点为和，代入解得切线方程分别为：和，若切线重合，则，此时两切点为同一点，不符合题意，故C错误；
D选项中，，令得：，则有点，切线分别为和，存在不同的两点使得切线重合，故D正确
故选：D
变式50．（2023·江苏无锡·校联考三模）定义：若函数图象上存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称是“重切函数”，，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.由上述定义可知曲线的“双重切线”的方程为______.
【答案】
【解析】，所以，其定义域为，
因为，所以函数在为偶函数，
令，，当时，，
所以在为偶函数，且在上单调递增，
所以必存在两个不相等的实数，使得， 且，
不妨设两切点为，，且
因为函数，，
所以函数在为奇函数，
又，所以两切点，关于原点对称，
即此时切线斜率 ，又，
即，整理得，解得或，
所以存在两点，满足条件，
所以两点，确定的直线方程即为曲线的“双重切线”的方程，
由直线的两点式方程可得，即为曲线的“双重切线”的方程，
所以曲线的“双重切线”的方程为.
故答案为：.
方向7、最值问题
变式51．（2023·全国·高三专题练习）若点与曲线上点距离最小值为，则实数为_______.
【答案】
【解析】设点的坐标为，对函数求导得，
由题意可知，直线与曲线在点处的切线垂直，则，
得，
由两点间的距离公式得，
由于的最小值为，即，，解得，
因此，.
故答案为：
变式52．（2023·全国·高三专题练习）曲线上的点到直线的距离的最小值为______
【答案】
【解析】的定义域为，
求导得，令，解得，则，故切点坐标为，
故曲线上的点到直线的距离的最小值即为切点到直线的距离，即为.
故答案为：
变式53．（2023·全国·高三专题练习）点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为______．
【答案】
【解析】如图所示：分别在点处作曲线的切线平行于直线和
则，
所以点分别到直线和的距离为
，
的最小值为

故答案为：
变式54．（2023·全国·高三专题练习）若实数，，，满足，则的最小值为__．
【答案】
【解析】实数，，，满足，
，．分别设，．
则的最小值可看做曲线和直线上的动点与的最小距离，
设直线与曲线相切于点，．
则，，解得，．
．点到直线的距离．
即的最小值为．
故答案为：．
变式55．（2023·全国·高三专题练习）已知实数、、、满足，则的最小值为______．
【答案】
【解析】因为实数、、、满足，所以，，，
所以，点在曲线上，点在曲线上，
的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方．
考查曲线上和直线平行的切线，
对函数求导得，
令，解得，所以，切点为，
该切点到直线的距离就是所要求的两曲线间的最小距离，
故的最小值为．
故答案为：.
变式56．（2023·宁夏中卫·统考二模）当a＞0时，若不等式恒成立，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】由题意知：，由可得，即不等式恒成立，令，
易得为斜率大于0的一条直线，；，当时，单增，
当时，单减，又，要使不等式恒成立，必有的零点与的零点重合
或者在的零点左侧，如图所示：

故有，解得，当且仅当恰为在处的切线时取等，此时的图像恒在图像的下方，
即满足恒成立，即恒成立.又，故在处的切线方程为，
即时，取得最小值.
故答案为：.
变式57．（2023·全国·高三专题练习）设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为_____.
【答案】
【解析】令、分别向上平移一个单位可得、，而与关于对称，
∴当两条曲线在P、Q处的切线均与平行时，P、Q关于对称，|PQ|有最小，对应曲线平移到、后，P、Q关于对称即可，
∴令，则，
∴有，则，即，
∴到的距离，
∴.
故答案为：.
变式58．（2023·全国·高三专题练习）已知点为曲线上的一个动点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】因为表示点到直线的距离，令，
所以，所以到直线的距离的最小值为．
故答案为：
方向8、牛顿迭代法
变式59．（2023·全国·高三专题练习）牛顿迭代法又称牛顿拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，作曲线在点,处的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；作曲线在点,处的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的2次近似值．一般的，作曲线在点,处的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值．设的零点为，取，则的2次近似值为 _____．
【答案】/0.75
【解析】由题设，设切点为,，则切线斜率，
切线方程为，
令，可得，
若，则，，即的2次近似值为．
故答案为：．
变式60．（2023·浙江宁波·镇海中学校考二模）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643-1727）给出了牛顿法——用“作切线”的方法求方程的近似解如图，方程的根就是函数的零点r，取初始值处的切线与x轴的交点为在处的切线与x轴的交点为，一直这样下去，得到，它们越来越接近r.若，则用牛顿法得到的r的近似值约为___________（结果保留两位小数）.

【答案】
【解析】由，，所以在处的切线方程为：，令，
可得：，所以在处的切线方程为：，令，
故答案为：
变式61．（2023·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）牛顿迭代法（）是牛顿在17世纪提出的一种求方程近似根的方法.如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标，称是的“一次近似值”，过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的“二次近似值”，重复以上过程，得到的近似值序列.若，取作为的初始近似值，则的正根的“三次近似值”为__________.（请用分数做答）

【答案】
【解析】由题意得，
时，，
故答案为：.
变式62．（2023·全国·高二专题练习）数学中，多数方程不存在求根公式.因此求精确根非常困难，甚至不可能.从而寻找方程的近似根就显得特别重要.例如牛顿迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下：假设是方程的根，选取作为的初始近似值，在点处作曲线的切线，则与轴交点的横坐标称为的一次近似值，在点处作曲线的切线.则与轴交点的横坐标称为的二次近似值.重复上述过程，用逐步逼近.若给定方程，取，则__________.
【答案】
【解析】构造函数，，
切线的方程为，与轴交点的横坐标为.
，
所以切线的方程为，与轴交点的横坐标为.
故答案为：

【通性通解总结】
函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率．这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别．（1）已知在点处的切线方程为．（2）若求曲线过点的切线方程，应先设切点坐标为，由过点，求得的值，从而求得切线方程．另外，要注意切点既在曲线上又在切线上．

【过关测试】
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）若曲线在原点处的切线与直线垂直，则实数a的值是（    ）
A．3 B． C．1 D．0
【答案】D
【解析】因为，
所以，
因为曲线在原点处的切线与直线垂直，
所以直线的斜率不存在，即.
故选：D
2．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（   ）
  
A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标；
D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强
【答案】D
【解析】设甲企业的污水排放量与时间t的关系为，乙企业的污水排放量与时间t的关系为.
对于A选项，在这段时间内，甲企业的污水治理能力，
乙企业的污水治理能力.由图可知，，
所以,即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误；
对于B选项，由图可知， 在时刻的切线斜率小于在时刻的切线斜率，
但两切线斜率均为负值，故在时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误；
对于C选项，在时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，
故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误；
对于D选项，由图可知，甲企业在，，这三段时间中，
在时的差值最大，所以在时的污水治理能力最强，故D选项正确，
故选：D.
3．（2023·山东潍坊·三模）若为函数图象上的一个动点，以为切点作曲线的切线，则切线倾斜角的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设点坐标为，
由，，
得，
则以为切点的切线斜率为，
令切线倾斜角为，，则，
则.
故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）曲线在点处的切线垂直于直线，则（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】，所以，
因为在点处的切线垂直于直线，故切线的斜率为，
故即，
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）若曲线在处的切线方程为，则（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】因为，则，则，
可得，所以，曲线在处的切线方程为，
将切点的坐标代入切线方程可得，解得，
又因为，解得，因此，，.
故选：D.
6．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知曲线在点处的切线也与曲线相切，则所在的区间是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设该切线为l，对求导得，
所以l的方程为，即．
设l与曲线相切的切点为，
则l的方程又可以写为，即．
所以，．
消去m，可得，，
令，则．设，
当时，，所以在上单调递增，又，，
所以，所以．
故选：C.
7．（2023·全国·模拟预测）若曲线在点处的切线经过坐标原点，则（    ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】由题意，，设切点的坐标为，故切线的斜率.
由于切线过原点，故切线方程为.
又切线经过切点，即.
整理可得：，
即.
即，故或.
故选：C
8．（2023·全国·模拟预测）已知函数，过点的直线与曲线相切，现有如下三条直线：①；②；③.则上述直线中与直线垂直的直线条数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由题意，，
在中，
，则，
设切点坐标为，
则所求切线的方程为，
将代入，可得，即，
故，
解得或，
故直线的斜率为或2，
观察可知，仅有直线与直线垂直，
故选：B.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】依题意，令，解得
，
故点的坐标为和，
故选：AC
10．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线，则曲线过点的切线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】设切点坐标为，
，切线斜率为
切线方程为
曲线过点，代入得
可化简为，即，解得或
则曲线过点的切线方程为或
故选：BD
11．（2023·全国·高三专题练习）（多选）若函数的图象上至少存在两点，使得函数的图象在两点处的切线互相平行，则称为R函数，则下列函数可称为R函数的有（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】A项：因为，令，则恒成立，
所以在上单调递增，不存在两点的导函数值相等，
所以不是R函数，A错误；
B项：定义域为，，令，
所以，x＞0.
令，则；令，则，
当时，单调递减；当时，单调递增.
且是的极小值点，存在两点的导函数值相等，
所以是R函数，故B正确；
C项：，函数的定义域为，
令，则，令，
令；令，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，
不存在两点的导函数值相等，所以不是R函数，C错误；
D项：，
取，，则，所以是R函数，D正确.
故选：BD
12．（2023·河北·统考模拟预测）函数（且），（且），则（    ）
A．当时，与有唯一的公共点
B．当时，与没有公共点
C．当时，与有唯一公共点
D．当时，与有两公共点
【答案】BCD
【解析】与（且）互为反函数．
当时，与均递减且与交于一点．
时，，，，∴过和，
而也过和，∴当时，与有三个交点.
当时，设与相切，
设切点为，，
，由①得，，两边取对数，，
将代入②得，，∴，，∴，，
由指数函数性质得时，与相切，
则时，与无交点，
时，与有两个交点，
故BCD均正确．
故选：BCD.
三、填空题
13．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）曲线在点处的切线方程为___________
【答案】
【解析】由，
所以，
所以，
所以曲线在点处的切线斜率为2，
所以所求切线方程为，即.
故答案为：.
14．（2023·海南海口·海南中学校考二模）已知函数的图像在点处的切线为l，若l与函数的图像也相切，切点为，则___________.
【答案】9
【解析】由题意得，则，
所以切线l的方程为，即.
所以，则，.
故答案为：9.
15．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数在处的切线方程为，则______.
【答案】
【解析】由函数，可得，
可得，且，即切点坐标为，
因为函数在处的切线方程为，可得，即，
将切点代入，可得，解得，
所以.
故答案为：.
16．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知函数，直线：，若直线与的图象交于点，与直线交于点，则，之间的最短距离是__________.
【答案】
【解析】

  
因为函数，直线：，
若直线与的图象交于点，与直线交于点，
直线的斜率为1，直线：的斜率为，
所以两直线垂直，
所以函数图象上的点A到直线的最短距离，
即为之间的最短距离
由题意可得，.
令，解得（舍去）.
因为，取点，
所以点A到直线的距离，
则，之间的最短距离是.
故答案为：
17．（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）若曲线有两条过的切线，则的范围是____________．
【答案】
【解析】设切线切点为,，又，所以切线斜率为
因为，所以切线方程为：．
又切线过，则，即
则由题可知函数图象与直线有两个交点，
由得，由得
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，又，，，．
据此可得大致图象如下．

  
则由图可得，当时，曲线有两条过的切线．
故答案为：.
18．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）已知，，请写出与和均相切的一条直线方程______．（只需写一条）
【答案】（或，只要答一个即可）．
【解析】设函数图象上的切点为，函数图象上切点为，
，，,,
由得，消去得,或,从而有或,
又，，
所以切线方程为或，即或，
故答案为：（或，只要答一个即可）．