湖南省衡阳市第一中学2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附答案）

这是一份湖南省衡阳市第一中学2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附答案），共12页。试卷主要包含了 本试卷主要考试内容， 已知函数，设，，，则， 设区间的长度为， 已知点P为平面外一点，则等内容，欢迎下载使用。
高一数学考试
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、第二册.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若向量与垂直，则非零实数（ ）
A. 1 B. 2 C. －1 D. －2
2.“”是“是幂函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知集合，，，则a的可能取值的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 在正六棱台中，，，，则该棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 将一组互不相等的数据，，…，删去中位数（设中位数为m）后，得到一组新数据，则（ ）
A. 新数据的平均数一定大于原数据的平均数 B. 新数据的平均数一定小于原数据的平均数
C. 新数据的60%分位数一定大于m D. 新数据的60%分位数一定小于m
6. 如图，这是一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则（ ）

A. B. C. A与B互斥 D. A与B不相互独立
7. 已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则该零件表面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设区间的长度为.已知一元二次不等式的解集的区间长度为l，则（ ）
A. 当时， B. l的最小值为4
C. 当时， D. l的最小值为
10. 已知点P为平面外一点，则（ ）
A. 过点P只能作一个平面与平行 B. 过点P可以作无数条直线与平行
C. 过点P只能作一个平面与垂直 D. 过点P只能作一条直线与垂直
11. 已知函数在区间上只有最小值，没有最大值，直线和为的图象的两条对称轴，则（ ）
A.
B.
C. 将的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数的图象
D. 方程在区间上有15个实根
12. 已知O为的外心，且.若向量在向量上的投影向量为，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若复数，则z在复平面内对应的点的坐标为______，______.（本题第一空3分，第二空2分）
14. 从集合中任选一个元素，则该元素是质数的概率为______.
15. 刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）.例如，正四面体的每个顶点有3个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为.在底面为矩形的四棱锥中，底面ABCD，，PC与底面ABCD所成的角为，在四棱锥中，顶点B的曲率为______.
16. 明孝陵位于江苏省南京市玄武区紫金山南麓独龙阜玩珠峰下，东毗中山陵，南临梅花山，位于钟山风景名胜区内，其占地面积达170余万平方米，是中国规模最大的帝王陵寝之一.明孝陵景区共有8个门，1号门位于植物园路，4号门在1号门的南偏东的492m处，8号门在4号门的东偏北方向，且1号门在8号门的西偏南方向，则1号门到8号门的距离约为______m.（结果精确到整数部分，参考数据：取，，，）

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
如图，在直三棱柱中，P为的中点，，，.

（1）证明：平面.
（2）若四棱锥的体积为12，求.
18.（12分）
已知在中，，.
（1）求A；
（2）设，D为AB边上一点，且，求的面积.
19.（12分）
为了研究网民的上网习惯，某机构随机抽取了年龄在10岁到60岁的网民进行问卷调查，按年龄分为5组，即，，，，，并绘制出频率分布直方图，如图所示.

（1）若按分层抽样的方法，从上述网民中抽取n人做采访，其中年龄在中被抽取的人数为7，求n；
（2）若各区间的值以该区间的中点值作代表，求上述网民年龄的方差的估计值.
20.（12分）
某高校的入学面试中有A，B，C三道题目，规则如下：第一环节，面试者先从三道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第二环节；第二环节，该面试者从剩下的两道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第三环节；第三环节，若该面试者答对剩下的一道题目，则面试通过，若没有答对剩下的题目，则面试失败.假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，李明答对A，B，C题的概率依次是，，.
（1）求李明第一环节抽中A题，且第一环节通过面试的概率；
（2）求李明第二环节或第三环节通过面试的概率.
21.（12分）
已知函数，.
（1）若函数在内只有一个零点，求a的取值范围.
（2）设函数的最大值、最小值分别为M，m，记.设，函数，当，时，恒成立，求的取值范围.
22.（12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，且，，，.

（1）设平面平面，证明：.
（2）E是线段PA上的点，且，二面角的正切值为，求的值.

高一数学考试参考答案
1. A 因为向量与垂直，所以，则非零实数.
2. A 若是幂函数，则，解得或，故“”是“是幂函数”的充分不必要条件.
3. B 因为，所以或，则，1，2，4，经检验当或时，不满足集合中元素的互异性，所以a的可能取值为1，4，共2个.
4. D 设上、下底面的中心分别为M，N，如图，过A作，
垂足为P，则，
故该棱台的体积
.

5. C 当原数据的平均数为m时，新数据的平均数等于原数据的平均数.
不妨设，则，则新数据为，，，，，，
因为，所以新数据的60%分位数为，因为，所以新数据的60%分位数一定大于m.
6. B 由题意得.因为，所以，A与B不互斥.因为，，所以，所以A与B相互独立.
7. A 由题意得该圆锥的母线长为4，设圆锥的底面半径为R，高为h，由，得，则，所以该圆锥的表面积为.如图，圆锥PO内切球的半径等于内切圆的半径，设的内切圆为圆，其半径为r，由，得，得，故能制作的零件表面积的最大值为.

8. A 因为，所以，且在上单调递减.
因为，，，，
所以.
9. AD 因为一元二次不等式的解集为，所以.当时，.因为，所以（当且仅当时，等号成立），所以l的最小值为.
10. ABD 过点P只能作一个平面与平行，过点P可以作无数条直线与平行，过点P只能作一条直线与垂直，过点P可以作无数个平面与垂直.
11. BCD 依题意可得，，A错误.
由，，得，B正确.
所以，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，且为偶函数，C正确.令，得，在同一直角坐标系中，作出与在上的图象，如下图所示.

由图可知，与在上的图象共有15个交点，则方程在上有15个实根，D正确.
12. BCD 因为，所以.又因为O为的外心，所以为直角三角形且，O为斜边BC的中点，过A作BC的垂线AQ，垂足为Q.因为在上的投影向量为，所以在上的投影向量为.当时，，；当时，如图1，；当时，如图2，.

所以，因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.
当时，，当时，.
故的取值范围是.
13. ；1 ，.
14. A中的元素为0，1，2，…，17，共18个，质数有2，3，5，7，11，13，17，共7个，故所求概率为.
15. 如图，连接AC，因为底面ABCD，所以为PC与底面ABCD所成的角，则，所以.又，在矩形ABCD中，，则，所以.因为底面ABCD，所以，又，，所以平面PAB，所以，所以顶点B的曲率为.

16. 2112 记1号门的位置为A，4号门的位置为B，8号门的位置为C，则根据条件可得，.
由，得.
17.（1）证明：∵，∴.……2分
又平面，∴.……3分
∵，∴平面.……5分
（2）解：∵平面，∴.……6分
∵，∴四边形为梯形.……7分
设，则，
由（1）知，……9分
解得，则.……10分
18. 解：（1）在中，，因为，所以，……1分
由，得，……2分
即，……4分
则，……5分
因为，所以.……6分
（2）在中，由余弦定理得，……8分
即，解得（舍去），……10分
所以的面积为.……12分
19. 解：（1）由，解得，则.……4分
（2）若各区间的值以该区间的中点值作代表，则上述网民年龄的平均值的估计值为，……8分
方差的估计值为.…12分
20. 解：（1）设事件D为李明第一环节抽中A题，且第一环节通过面试.
由题意得李明第一环节抽到每道题目的概率均为，……2分
所以.……4分
（2）方法一：设事件E为李明第一环节通过面试，
则.……7分
设事件F为李明面试失败，李明答题情况如下：A题错B题错C题错，A题错C题错B题错，B题错A题错C题错，B题错C题错A题错，C题错A题错B题错，C题错B题错A题错.
所以.……10分
故李明第二环节或第三环节通过面试的概率为.……12分
方法二：设事件E为李明第二环节通过面试，李明答题情况如下：A题错B题对，A题错C题对，B题错A题对，B题错C题对，C题错A题对，C题错B题对.
所以.……7分
设事件F为李明第三环节通过面试，李明答题情况如下：A题错B题错C题对，B题错A题错C题对，A题错C题错B题对，C题错A题错B题对，B题错C题错A题对，C题错B题错A题对.
所以.……10分
故李明第二环节或第三环节通过面试的概率为.……12分
21. 解：（1）依题意可得方程在内只有一个实数解，……1分
即在内只有一个实数解，……2分
则，……4分
所以a的取值范围为.……5分
（2）因为，所以当时，，……6分
则.……7分
因为，所以在上为减函数，……8分
所以在上的最大值为，最小值为，……9分
所以当时，，……10分
由，得，即，……11分
解得，故的取值范围为.……12分
22.（1）证明：因为底面ABCD是正方形，所以.……1分
因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB.……3分
由平面平面，平面PCD，得.……5分
（2）解：法一：取AB的中点O，连接PO，交BE于点F，
过点O作OH垂直于BD，垂足为H，连接HF.
由底面ABCD是正方形，且，，，
得是等边三角形，所以.……6分
因为，，，
所以，……7分
因为，所以平面PAB，所以.
因为，所以平面ABCD，所以.……8分
因为，所以平面OFH，所以，……9分
所以为二面角的平面角.……10分
因为与相似，所以，即，.
因为，所以.……11分
因为，所以F为的中心，所以E为PA的中点，所以.……12分

法二：取AB的中点O，连接PO，
过点E作EG垂直于AB，垂足为G.
过点G作GH垂直于BD，垂足为H，连接HE.
由底面ABCD是正方形，且，，，
得是等边三角形，所以.……6分
因为，，，所以，……7分
因为，所以平面PAB，所以.
因为，所以平面ABCD，
所以平面ABCD.……8分
因为，所以平面EGH，所以，……9分
所以为二面角的平面角.……10分
由，得，，，，
，……11分
由，解得.……12分