浙江省杭州市六县九校联盟2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

这是一份浙江省杭州市六县九校联盟2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省杭州市六县九校联盟高二（下）期中数学试卷
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，若（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的定义运算即得.
【详解】因为 ，
则 .
故选：B.
2. 过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得解.
【详解】设过点且与直线平行的直线方程是，
将点的坐标代入直线的方程得，解得，
故所求直线方程为，即.
故选：A.
3. 在等差数列中，若，则（ ）
A. B. 1 C. 0 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质结合特殊角的三角函数值作答.
【详解】在等差数列中，，解得，
所以．
故选：D
4. 平面向量与的夹角为，若，则（ ）
A. B. C. 4 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】确定，计算，得到答案.
【详解】，则，，
故.
故选：B

5. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列条件可以推出的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】根据每个选项中的条件结合面面垂直的判定定理判断的位置关系，可得答案.
【详解】对于A，，，，有可能出现平行这种情况，故A错误；
对于，，，，不能保证m垂直于内两条相交直线，
会出现平面，相交但不垂直的情况，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，又由，则内一定存在某直线a，满足，
则，故，故D正确，
故选：D.
6. 已知是定义在R上的奇函数，当时则在R上的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇函数性质求上的解析式，进而可得在R上的解析式.
【详解】当时，，所以，则，
结合已知解析式知：.
故选：D
7. 设公差不为0的等差数列的前项和为，则有成等差数列.类比上述性质，若公比不为1的等比数列的前项积为，则有（ ）
A. 成等比数列
B. 成等比数列
C. 成等比数列
D. 成等比数列
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求出，可得构成以为首项、为公比的等比数列.
【详解】根据题意，
，
，
同理可得，
所以若公比不为1的等比数列的前项积为，则有构成以为首项、为公比的等比数列.
故选：D
8. 已知函数，对，当时，恒有，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，根据已知可知，在上单调递增，求导根据恒成立，可推得恒成立.令，根据导函数求出在上的最小值，即可得出答案.
【详解】由已知可将不等式化为，
构造函数，，则.
由题意可知，在上单调递增，
所以，在上恒成立，
即在上恒成立，只需满足即可.
令，则.
由可得，.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，
所以，.
故选：A.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数的图象经过点则（ ）
A. 的图象经过点 B. 的图象关于y轴对称
C. 在上单调递减 D. 在内的值域为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据函数解析式和图象经过的点求出，结合选项可得答案.
【详解】将点的坐标代入，可得，则的图象不经过点，A错误；在上单调递减，C正确；根据反比例函数的图象与性质可得B错误，D正确．
故选：CD.
10. 在不透明的甲、乙两个盒子中分别装有除标号外完全相同的小球，甲盒中有4个小球，标号分别为1，2，3，4，乙盒中有3个小球，标号分别为5，6，7．现从甲、乙两个盒里分别随机抽取一个小球，记事件“取到标号为2的小球”，事件“取到标号为6的小球”，事件“两个小球标号都是奇数”，事件“两个小球标号之和大于9”，则（ ）
A. 事件与事件相互独立 B. 事件与事件互斥
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】穷举出所有样本空间，根据题意和古典概型求取对应事件概率即可.
【详解】从甲盒、乙盒里分别随机抽取一个小球的样本空间为：，，，，，，，，，，，，共12种．
事件：，，，；事件：，，，，
，，，故A正确；
事件和事件都有，事件与事件不互斥，故B不正确；
事件：，，，，，故C正确；
事件：，，，，，
，故D正确．
故选：A、C、D．
11. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”. “三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，以此类推. 设从上到下各层球数构成一个数列，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意分析可得：.对A、B：直接代入检验即可；对C：利用累加法可得，即可得结果；对D：利用裂项相消法运算求解.
【详解】根据题意可知从第二层起，某一层的球数比上一层的球数多的数量刚好是其层数，即，即，
对A：因为，所以，故A错误；
对B：因为，所以，故B正确；
对C：因为，，，且，
所以上述各式相加得，
故；
经检验：满足，
所以，则，故C错误；
对D：由选项C可知，
则，故D正确.
故选：BD
12. 已知函数，若，其中，则（ ）
A B.
C. D. 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对求导，利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象．设，由图象可得知，，的取值范围，从而可判断A；又根据，对照系数可得的值，可得得取值范围，从而可判断C，D；结合A和C即可判断B．
【详解】因为，所以，
令，解得或，
当时，或，所以单调递增区间为和；
当时，，所以单调递减区间为，
的图象如右图所示，

设，则，，故A错误；
又，所以，
即，
对照系数得，故选项C正确；
，故选项D正确；
因为，所以，解得，故选项B正确．
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：先利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象，再利用数形结合求解是解答本题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知为虚数单位，复数，则___．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数模的公式，即可求得的值．
【详解】复数，则．
故答案为：．
14. 若直线与圆相切，则实数_________．
【答案】或
【解析】
【分析】利用几何法列方程即可求解.
【详解】圆可化为.
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，
解得：或7.
故答案为：或
15. 在中，内角的对边分别为，且，则__________.
【答案】##0.25
【解析】
【分析】根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解.
【详解】由正弦定理边角关系得：，又，所以 ，
由余弦定理得，
故答案为：
16. 设椭圆的左、右焦点分别为、，P是椭圆C上一点，且直线与轴垂直，直线的斜率为，则椭圆的离心率为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】求出点的坐标，根据可得出关于、的齐次等式，可得出关于的二次方程，根据可求得的值.
【详解】因为直线与轴垂直，将代入椭圆的方程可得，解得，
因为直线的斜率为，易知点，
因为点，所以，，所以，，
即，
等式两边同时除以可得，
因为，解得.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 为了加强对数学文化的学习，某校高二年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高二年级的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩（单位：分），按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假设每名学生的成绩均不低于50分）．

（1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数；
（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中任意抽取2人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在的学生恰有2人被抽到的概率．
【答案】（1）0.02；74
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用频率之和为1即可求得值，利用平均数的计算公式即可得到抽取的50名学生成绩的平均数；
（2）先利用分层抽样，求出后三组中所抽取的人数，然后由古典概型的概率公式即可求得成绩在的学生恰有2人被抽到的概率．
【小问1详解】
，
这50名学生的平均成绩估计为：；
【小问2详解】
后三组中的人数分别为15，10，5，
由分层抽样可得，这三组中所抽取的人数分别为3，2，1，
所以成绩在的学生恰有2人被抽到的概率为：．
18. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期及其单调递增区间；
（2）当时，恒成立，求的最大值．
【答案】（1），；
（2）0
【解析】
【分析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式以及辅助角公式即可化简为，然后根据周期公式可求周期，整体代入法求单调增区间；
（2）根据的范围可求，进而可求的值域，故可求的范围.
【小问1详解】
，
故函数的最小正周期.
由得.
∴函数的单调递增区间为，.
【小问2详解】
∵，∴，
∴，.
由恒成立，得，
即，故a的最大值为0.
19. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明线面平行；
（2）取中点为，以为空间直角坐标系原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和的坐标，利用向量法即可求得直线与平面所成角的正弦值．
【小问1详解】
取中点为，连接，，如图所示，

因为，分别是，的中点，所以且，
又因为且，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
取中点为，以为空间直角坐标系原点，为轴，为轴，
为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，
设平面的法向量为，
因为，，
所以，令，解得，
即，
又因，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20. 已知等差数列的前项和为，且，，数列满足，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：．
【答案】（1），，，
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设等差数列公差为，根据已知条件列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可计算出数列的通项公式，对于数列：将代入题干表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可计算出数列的通项公式；
（2）先根据第（1）结果计算出数列的通项公式，运用裂项相消法计算前项和的表达式，然后将前项和的表达式构造成一个数列，作差法分析数列的单调性，再结合数列极限的知识与不等式的性质即可证明题干中不等式成立．
【小问1详解】
设等差数列公差为，则，整理得，解得，
∴，，
对于数列：当时，，
当时，由，得，
两式相减得，当时，也满足上式，
∴，．
【小问2详解】
由（1）得，，
则


，
∴，
∵

，
∴数列是单调递增数列，当时，，
∴，故不等式对任意恒成立．
21. 已知双曲线：的离心率为，且过．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于两点，是的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（1）
（2）证明见解析，定点．
【解析】
【分析】（1）根据题意可得关于的方程组，解得，即可得到双曲线的方程；
（2）联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理再化简得，即可得出直线恒过定点．
【小问1详解】
根据题意可得，解得，，
所以双曲线的方程为．
【小问2详解】
设，，
联立，得，
，
，，又
所以

，
所以，
所以直线的方程为，恒过定点．

22. 已知函数，．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若存在实数，，使，且，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）若，则，求导得，由导数的几何意义可得在处的切线斜率为，又，由点斜式，即可得出答案．
（2）根据题意可得，由存在实数，，使，且，进而可得，
计算化简，设，记，求出的值域，即可得出答案．
【小问1详解】
若，则，
，
所以在处的切线斜率为，
又，
所以函数在处的切线方程为，即．
【小问2详解】
因为，
所以，
因为存在实数，，使，且，
所以存在实数，，使，且，
即，
，
设，
记，
，
所以在上单调递减，
所以，即，
所以取值范围是．
【点睛】关键点点睛：参数转化为用表示，通过把二元函数转化为一元函数是解题的关键点.