2022-2023学年上海市曹杨二中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市曹杨二中高一（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市曹杨二中高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在复平面中，复数52+i(i为虚数单位)对应的点位于(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知a、b是互相垂直的单位向量，则下列四个向量中模最大的是(    )
A. 12a+12b B. 13a+23b C. 34a+14b D. −15a+65b
3. 对于给定的正整数n，定义集合An={sinkπn|k∈N,0≤k≤n}.若An恰有4个元素，则n的可能值有(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 已知数列{an}满足：an+1=an2−12an,an≠0,0,an=0.对于任意实数a1，集合{n|an≤0,n∈N,n≥1}的元素个数是(    )
A. 0个 B. 非零有限个
C. 无穷多个 D. 不确定，与a1的取值有关
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. −1的平方根为______．
6. 设t∈R，向量a=(2,1)，b=(4,t)，若a/​/b，则t= ______ ．
7. 已知sin(α−π2)=35，则cosα= ______ ．
8. 函数y=sin2x的最小正周期T= ______ ．
9. 设k∈R，向量a=(3,4)，b=(k,−1).若b在a方向上的数量投影为1，则k= ______ ．
10. 已知tan(α+β)=2，tan(β+π4)=3，则tan(α−π4)= ______ ．
11. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，且S99−S55=4，则a10= ______ ．
12. 在△ABC中，若(sinA+i⋅cosA)(sinB+i⋅cosB)=sinC+i⋅cosC(i为虚数单位)，则C= ______ ．
13. 设无穷数列{an}的前n项和为Sn.若Sn=2n+1+n−2，则i=1+∞ai4i= ______ ．
14. 函数y=|sinx|cosx+|cosx|sinx的值域为______ ．
15. 在△ABC中，AB=1，AC=2，D是BC边上一点.若AB⋅AD=13，AC⋅AD=23，则AB⋅AC= ______ ．
16. 设a∈R，i为虚数单位.若对于任意θ∈R，复数z=(a−cosθ)+(a−1−sinθ)i的模始终不大于2，则a的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题14.0分)
在△ABC中，已知cosB−cosA+C2=0．
(1)求角B的大小；
(2)设角A、B、C的对边分别为a、b、c.若8a=3c，且AC边上的高为12 37，求△ABC的周长．
18. (本小题14.0分)
设m、n∈R，已知z1=1+ 2i(i为虚数单位)是方程x2+mx+n=0的一个根．
(1)求m、n的值；
(2)设方程的另一根为z2，复数z1、z2对应的向量分别是a、b.若向量ta+b与a+tb的夹角为锐角，求实数t的取值范围．
19. (本小题14.0分)
某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月提高0.4%．
(1)求今年1月到12月该消毒剂的总产量；(精确到1升)
(2)从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在100升以内？
20. (本小题18.0分)
已知f(x)=sinx+ 3cosx．
(1)求函数y=f(x)的单调增区间；
(2)设方程f(x)=12在[−π3,5π3)上的两解为α和β(α>β)，求cos(α−β)的值；
(3)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c= 3，f(C)=0，且sinA+sinB=2 10sinAsinB，求△ABC的面积．
21. (本小题18.0分)
已知无穷数列{an}的各项均为整数.设数列{an}的前n项和为Sn，记S1，S2，⋯，Sn中奇数的个数为bn．
(1)若an=−n，试写出数列{bn}的前5项；
(2)证明：“a1为奇数，且ai(i=2,3,4,⋯)为偶数”是“数列{bn}为严格增数列”的充分非必要条件；
(3)若ai=bi(i为正整数)，求数列{an}的通项公式．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：52+i=5(2−i)(2+i)(2−i)=2−i对应的点(2,−1)位于第四象限．
故选：D．
根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题．

2.【答案】D 
【解析】解：∵a⊥b，∴a⋅b=0，且|a|=|b|=1，
∴|12a+12b|= 14+14= 12，|13a+23b|= 19+49= 59，|34a+14b|= 916+116= 58，|−15a+65b|= 125+3625= 3725．
故选：D．
根据条件得出a⋅b=0,|a|=|b|=1，然后根据向量长度的求法及数量积的运算即可得出模最大的向量．
本题考查了向量垂直的充要条件，单位向量的定义，向量长度的求法，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．

3.【答案】B 
【解析】解：对于给定的正整数n，定义集合An={sinkπn|k∈N,0≤k≤n}，
sinkπn的值有0，sinπn，sin2πn，⋅⋅⋅，sin(n−1)πn，0，共计n+1个，
若An恰有4个元素，则0−sinπ，sinπn，sin2πn，⋅⋅⋅，sin(n−1)πn中共计有4个不同的非零值，
故n的可能值为6或7．
故选：B．
由题意，利用集合中元素的个数、元素的互异性，正弦函数的值，求出n的值，可得结论．
本题主要考查集合中元素的个数，正弦函数的值，属于基础题．

4.【答案】C 
【解析】解：当a1=0时，根据题意，则a2=a3=a4=...=0，则集合的元素有无数个；
当a1=±1时，则a2=0，根据题意，则a3=a4=...=0，则集合的元素有无数个；
当a1≠±1且a1≠0时，an+1=12×(an−1an)，
若an>1，则an+1>0；
若0