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2022-2023学年甘肃省白银市靖远二中高二（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年甘肃省白银市靖远二中高二（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年甘肃省白银市靖远二中高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合A={x|−1≤x<3}，B={1,2,3,4}，则A⋂B=( )
A. {1} B. {1,2} C. {2,3} D. {1,2,3}
2. 已知复数z=2+i，且az−z−+b=0，其中a，b为实数，则( )
A. a=−1，b=−4 B. a=−1，b=4
C. a=1，b=−4 D. a=1，b=4
3. 坐标轴与圆C：x2+y2−4x−2y+1=0的交点个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 函数f(x)=exx的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5. 如图中是抛物线形拱桥，当水面在m时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为( )
A. 252米 B. 254米 C. 256米 D. 258米
6. 如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的且径，SO=AB=4，AC=DC，D为OS的中点，N为AD的中点，则点N到平面SBC的距离为( )
A. 43
B. 53
C. 1
D. 2
7. 某市场供应的黄瓜中，来自甲地的占40%，来自乙地的占30%，来自丙地的占30%，甲地、乙地供应的黄瓜的新鲜率(按斤计算)均为95%，丙地供应的黄瓜的新鲜率(按斤计算)是p.从该市场供应的黄瓜中任意购买一斤，若这斤黄瓜新鲜的概率为93.5%，则p=( )
A. 85% B. 88% C. 90% D. 92%
8. 已知数列{an}满足a1+a2+⋯+a8=1，且an+1an=nn+2(n=1,2,⋯,7)，则a1=( )
A. 916 B. 716 C. 516 D. 1116
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知向量a=(m,2m,2)，b=(2m−5,−m,−1)，则下列结论正确的是( )
A. 若a//b，则m=2 B. 若a⊥b，则m=−25
C. |a|的最小值为2 D. |a|的最大值为4
10. 已知定义在区间(a,b)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，f′(x)的图象如图所示，则( )
A. f(x)在(x4,b)上单调递增
B. 曲线y=f(x)在x=x6处的切线的斜率为0
C. f(x)≤f(x5)
D. f(x)有1个极大值点
11. 已知等比数列{an}的公比为q(q>0)，前n项积为Tn，若T3>T2>T4，则( )
A. a1>0 B. 01 D. T6>1
12. 某电影院的一个播放厅的座位如图所示(标黑表示该座位的票已被购买)，甲、乙两人打算购买两张该播放厅的票，且甲、乙不坐前两排( )
A. 若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有54种
B. 若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有1154种
C. 若甲、乙前后相邻，则购票的情况共有21种
D. 若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐同一排，则购票的情况共有508种
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知点M(−1,−1,−2)，N(2,2,1)都在直线l上，写出一个直线l的方向向量：a= ______ ．
14. 已知α∈[0,2π]，sin2α−cos2α=1，则α的取值可以是______ .(写出一个即可)
15. 已知F1，F2分别是椭圆C：x29+y24=1的左、右焦点，P是椭圆C在第一象限内的一点，若PF1⊥PF2，则tan∠PF1F2= ______ ．
16. 已知函数f(x)=ax+cosx，x∈[0,π]存在两个极值点x1，x2，且x1
17. (本小题10.0分)
已知在等差数列{an}中，a1+a5=18，a6=15．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{1(2n+1)an}的前n项和Sn．
18. (本小题12.0分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且tanB= 3cosC+sinC 3sinC−cosC．
(1)求角A的值；
(2)若a=8，求△ABC面积的最大值．
19. (本小题12.0分)
如图，在正三棱柱A1B1C1−ABC中，D为AB的中点，C1E=λC1C(0<λ<1),A1A= 3AB=2 3．
(1)若λ=12，证明：DE⊥平面A1B1E；
(2)若直线BC1与平面A1B1E所成角为π3，求λ的值．
20. (本小题12.0分)
世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动.已知A社区有20%的居民每周运动总时间超过5小时，B社区有30%的居民每周运动总时间超过5小时，C社区有50%的居民每周运动总时间超过5小时，且A，B，C三个社区的居民人数之比为3：3：4．
(1)从这三个社区中随机各选取1名居民，求至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率；
(2)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；
(3)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X(单位：小时)，且X～N(4,σ2)，现从这三个社区中随机选取1名居民，求该居民每周运动总时间为3至5小时的概率．
21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=alnx+ax+1．
(1)当a=1时，求f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若不等式f(x)≤xex恒成立，求a的取值集合．
22. (本小题12.0分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)经过点P(4,2)，双曲线C的右焦点F到其渐近线的距离为2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知Q(0,−2)，D为PQ的中点，作PQ的平行线l与双曲线C交于不同的两点A，B，直线AQ与双曲线C交于另一点M，直线BQ与双曲线C交于另一点N，证明：M，N，D三点共线．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为集合A={x|−1≤x<3}，B={1,2,3,4}，
则A⋂B={1,2}．
故选：B．
由交集的定义求解即可．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为z−=2−i，所以az−z−+b=a(2+i)−(2−i)+b=(2a+b−2)+(a+1)i，
由az−z−+b=0，得2a+b−2=0a+1=0，即a=−1b=4．
故选：B．
根据复数加减法运算规则和复数相等的定义求解．
本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：圆C：x2+y2−4x−2y+1=0，即圆C：(x−2)2+(y−1)2=4，
所以圆C(2,1)，半径r=2，
因为圆心C(2,1)到x轴的距离为1，且1<2，
所以圆与x轴相交，即与x轴有两个交点，
因为圆心C(2,1)到y轴的距离为2，且等于半径，
所以圆与y轴相切于点(0,1)，即与y轴有一个交点，
综上坐标轴与圆C：x2+y2−4x−2y+1=0有3个交点．
故选：C．
先求出圆心和半径，再分别求出圆心到两坐标轴的距离与半径比较可得结论．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：当x<0时，f(x)=exx<0，故B，D错误；
又f′(x)=(x−1)exx2，当01时，f′(x)>0，
故x>0时的图象是先下降后上升，故A错误，C正确．
故选：C．
利用x<0时，f(x)<0，可判断B，D；利用函数的导数判断x>0时图像变化情况，可判断A，C．
本题主要考查函数图象的判断，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，
可设拱桥所在抛物线的方程为x2=−2py(p>0)，
又抛物线过点(4,−2)，则16=4p，解得p=4，
则抛物线的方程为x2=−8y，当x=5时，y=−258，
故当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为258米．
故选：D．
以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，设拱桥所在抛物线的方程为x2=−2py(p>0)，根据抛物线过点(4,−2)，求出p的值，即可得到抛物线方程，再令x=5，求出y的值，即可得解．
本题主要考查了抛物线的定义和性质，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：∵SO=AB=4，D为OS的中点，
∴OA=OD，又AC=DC，OC=OC，
∴△COD≌△COA，∴∠COA=∠COD=90°，
∴OC⊥OA，
以O为坐标原点，OB，OC，OS所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(2,0,0)，C(0,2,0)，S(0,0,4)，N(−1,0,1)，
则BS=(−2,0,4)，BC=(−2,2,0)，BN=(−3,0,1)，
设平面BCS的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅BS=−2x+4z=0n⋅BC=−2x+2y=0，令x=2，则y=2，z=1，
∴平面BCS的一个法向量为n=(2,2,1)，
∴点N到平面SBC的距离为d=|n⋅BN||n|=|−6+1| 4+4+1=53．
故选：B．
利用已知可证OC⊥OA，以O为坐标原点，OB，OC，OS所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面SBC的一个法向量，利用向量法可求点N到平面SBC的距离．
本题考查利用向量法求点到面的距离，属中档题．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，用A表示“买到的黄瓜来自甲地”，用B表示“买到的黄瓜来自乙地”，用C表示“买到的黄瓜来自丙地”，
用D表示“买到的黄瓜是新鲜黄瓜”，
则P(A)=40%，P(B)=30%，P(C)=30%，P(D|A)=P(D|B)=95%，P(D|C)=p，
所以P(D)=P(A)⋅P(D|A)+P(B)⋅P(D|B)+P(C)⋅P(D|C)=40%×95%+30%×95%+30%×p=93.5%，
解得p=90%．
故选：C．
根据题意，用A表示“买到的黄瓜来自甲地”，用B表示“买到的黄瓜来自乙地”，用C表示“买到的黄瓜来自丙地”，用D表示“买到的黄瓜是新鲜黄瓜”，由全概率公式可得P(D)=P(A)⋅P(D|A)+P(B)⋅P(D|B)+P(C)⋅P(D|C)，由此可得关于p的方程，解可得答案．
本题表示全概率公式，涉及条件概率的计算，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：∵an+1an=nn+2(n=1,2,⋯,7)，
∴an=a1⋅a2a1⋅a3a2⋅⋯⋅anan−1=a1⋅13⋅24⋅⋯⋅n−1n+1
=2n(n+1)a1=2a1(1n−1n+1)(n=1,2,⋯,7,8)，
∴a1+a2+⋯+a8=2a1[(1−12)+(12−13)+⋯+(18−19)]
=2a1(1−19)=16a19=1，解得a1=916．
故选：A．
先利用题给条件求得an=2a1(1n−1n+1)(n=1,2,⋯,7,8)，列出关于a1的方程，求解即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查运算能力，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：∵向量a=(m,2m,2)，b=(2m−5,−m,−1)，
∴a⊥b时，有m(2m−5)+2m(−m)+2×(−1)=0，解得m=−25；
a//b时，有m2m−5=2m−m=2−1，解得m=2；
|a|= m2+(2m)2+22= 5m2+4，故当m=0时，|a|取最小值2，无最大值．
故选：ABC．
根据两向量平行和垂直的坐标表示以及模长公式，列方程得出对应的结果．
本题考查了空间向量共线和垂直的坐标应用问题，是基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：根据定义在区间(a,b)上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象，
对于A中，当x∈(x4,b)时，f′(x)≥0，且仅当x=x6时，f′(x)=0，
所以f(x)在(x4,b)上单调递增，所以A正确；
对于B中，当x=x6时，可得f′(x6)=0，
所以曲线y=f(x)在x=x6处的切线的斜率为0，所以B正确；
对于C中，因为f(x)在(x4,b)上单调递增，
所以f(x5)不是函数f(x)的最大值，所以C不正确；
对于D中，由f′(x)的图象，可得x∈(a,x2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(x2,x4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(x4,b)时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，
所以只有当x=x2时，函数f(x)取得极大值，所以f(x)有1个极大值点，所以D正确．
故选：ABD．
根据导函数为f′(x)的图象，结合导函数f′(x)与函数f(x)的关系，以及函数的极值点的概念，逐项判定，即可求解．
本题考查导数的综合应用，化归转化思想，属中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：因为等比数列{an}的公比为q>0，T3>T2>T4，
T2=a1a2=a12q>0，
则a3=T3T2>1，a3a4=T4T2<1，即a3>1>a3a4，
所以a3=a1q2>1，a4<1a3<1，
所以a1>0，0
T6=a1⋅a2⋅a3⋅a4⋅a5⋅a6=(a3⋅a4)3<1，故C正确，D错误．
故选：ABC．
结合等比数列的通项公式及下标和性质一一分析即可．
本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：∵若甲、乙左右相邻，若在第三排，11个座位，共有10种左右相邻方法，
若在第四排，左边3个位置有2种做法，右边3个座位有2种做法，共有2+2=4种，
若在第五排，左边3个位置有2种做法，右边2个座位有1种做法，共有2+1=3种，
若在第六排，左边4个位置有3种做法，右边4个座位有3种做法，有3+3=6种，
若在第七排，左边3个位置有2种做法，右边3个座位有2种做法，共有2+2=4种，
则座位共有10+4+3+6+4=27种．再考虑甲乙顺序，有A22=2种，所以一共有54种购票情况．故A正确；
甲、乙在同一列的情况共有A32+A52+A52+A32+A22+A42+A52+A52=106种，则甲、乙不在同一列的情况有A362−106=1154种．所以B正确；
若甲、乙前后相邻，先选座位：有2+4+4+1+2+4+4=21种，再考虑甲乙顺序，有A22=2种，所以一共有42种购票情况．所以C不正确；
中心线左侧有18个座位，右侧有18个座位．甲、乙分坐于两侧，有A22×18×18=648种．
甲、乙分坐于两侧且坐同一排(按每一排考虑)，有A22(5×6+3×3+3×2+4×4+3×3)=140种，
所以甲、乙分坐于两侧，且不坐同一排的购票情况共有648−140=508种．
故选：ABD．
甲、乙左右相邻，在第三排，在第四排，在第五排，在第六排，在第七排，求解购票情况．判断A的正误；求解甲、乙在同一列的情况，然后求解甲、乙不在同一列的情况判断B的正误；求解甲、乙前后相邻，购票情况．判断C的正误；求解中心线左侧有18个座位，右侧有18个座位．求解甲、乙分坐于两侧，且不坐同一排的购票情况判断D的正误．
本题考查排列组合的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
13.【答案】(3,3,3)(答案不唯一)．
【解析】解：根据题意，点M(−1,−1,−2)，N(2,2,1)都在直线l上，且MN=(3,3,3)，
故直线l的一个方向向量为(3,3,3)．
故答案为：(3,3,3)(答案不唯一)．
根据题意，求出向量MN的坐标，由直线方向向量的定义分析可得答案．
本题考查直线的方向向量，涉及空间向量的坐标表示，属于基础题．
14.【答案】π4(或π2或5π4或3π2)
【解析】解：因为sin2α−cos2α=1，
所以2sinαcosα−2cos2α+1=1，
即sinαcosα=cos2α，
则cosα=0或sinα=cosα，
所以α=π2+kπ或α=π4+kπ，k∈Z，
因为α∈[0,2π]，
所以的取值可以是π4或π2或5π4或3π2．
故答案为：π4(或π2或5π4或3π2).
利用二倍角公式化简已知等式可得cosα=0或sinα=cosα，可求α=π2+kπ或α=π4+kπ，k∈Z，结合α∈[0,2π]，即可得解．
本题考查了二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
15.【答案】12
【解析】解：由椭圆的方程可得a=3，b=2，则c= a2−b2= 9−4= 5，即 |F1F2|=2 5，
设|PF1|=x，则|PF2|=2a−|PF1|=6−x，因为PF1⊥PF2，
由勾股定理可得：x2+(6−x)2=20，解得x=2或x=4，
又P是椭圆C在第一象限内的一点，所以x>6−x，则x=4，即|PF1|=4，|PF2|=2，
所有tanPF1F2=|PF2||PF1|=12．
故答案为：12．
由椭圆的方程可得a，b的值，进而求出c的值，由椭圆的定义及勾股定理可得|PF1|，|PF2|的值，进而求出tan∠PF1F2的大小．
本题考查椭圆的性质的应用及勾股定理的应用，属于基础题．
16.【答案】(0,1) (0,2)
【解析】解：∵f(x)=ax+cosx，x∈[0,π]，
∴f′(x)=a−sinx，∵f(x)存在两个极值点x1，x2，且x1
∴y=a和y=sinx在[0,π]上有2个不同的交点，
∴0
∴x1+x2=π，即sinx1=sinx2=a，
∴f(x1)−f(x2)=ax1+cosx1−ax2−cosx2=2x1sinx1+2cosx1−πsinx1，
令g(x)=2xsinx+2cosx−πsinx，x∈(0,π2)，
则g′(x)=(2x−π)cosx<0，
∴g(x)在(0,π2)上单调递减，
所以0=g(π2)
故答案为：(0,1)；(0,2)．
求出函数的导数，问题转化为y=a和y=sinx在[0,π]上有2个不同的交点，求出a的范围即可；求出f(x1)−f(x2)的解析式，根据函数的单调性求出其取值范围即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
17.【答案】解：(1)设{an}的公差为d，a1+a5=18，即2a3=18，解得a3=9，
又a6=15，则3d=a6−a3=15−9=6，解得d=2，
又a3=a1+2d=9，则a1=5，
故an=2n+3；
(2)由(1)得an=2n+3，则1(2n+1)an=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，
∴Sn=12(13−15+15−17+⋅⋅⋅+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n6n+9．
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的性质可得a3=9，结合题意求出d，即可得出答案；
(2)由(1)得an=2n+3，则1(2n+1)an=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，利用裂项相消法求和，即可得出答案．
本题考查等差数列的性质和裂项相消法，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为tanB= 3cosC+sinC 3sinC−cosC．
所以sinBcosB= 3cosC+sinC 3sinC−cosC，∴ 3sinBsinC−sinBcosC= 3cosBcosC+sinCcosB，
整理得： 3cos(B+C)=−sin(B+C)，
又C+B=π−A，
所以 3cosA=sinA，
所以tanA= 3，
又A∈(0,π)，
所以A=π3；
(2)由余弦定理得：64=b2+c2−2bccosπ3，
即：b2+c2−bc=64，
所以64=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，当且仅当b=c=8时取等号，
所以S△ABC=12bcsinπ3≤12×64× 32=16 3，
即△ABC面积的最大值为16 3．
【解析】(1)由同角三角函数基本关系，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式可得tanA= 3，结合范围A∈(0,π)，可求A的值．
(2)由余弦定理，基本不等式可求bc≤64，进而利用三角形面积公式可求最大值．
本题主要考查了同角三角函数基本关系，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：(1)证明：取A₁B₁的中点F，连接EF，DF，DC，FC₁．
由题意，得DE=EF= 6,DF=A1A=2 3，
所以DE²+EF²=DF²，
则DE⊥EF．
因为A₁B₁⊥C₁F，A₁B₁⊥DF，C1F⋂DF=F，C1F，DF⊂平面DCC₁F，
所以A₁B₁⊥平面DCC₁F，
又DE⊂平面DCC₁F，
所以DE⊥A₁B，
因为A₁B₁∩EF=F，A1B1，EF⊂平面A₁B₁E，
所以DE⊥平面A₁B₁E．
(2)以D为坐标原点，DB，DC，DF的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则A1(−1,0,2 3),B(1,0,0),C1(0, 3,2 3),B1(1,0,2 3)．
设E(0, 3,a),a∈(0,2 3),A1E=(1, 3,a−2 3),A1B1=(2,0,0)，BC1=(−1, 3,2 3)．
设平面A₁B₁E的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅A1B1=0n⋅A1E=0，即2x=0x+ 3y+(a−2 3)z=0，
取y=2 3−a，则n=(0,2 3−a, 3)．
设直线BC₁与平面A₁B₁E所成的角为θ，
则sinθ=|cos|=|n⋅BC1||n||BC1|=|− 3a+12|4 a2−4 3a+15= 32，
化简得3a2−8 3a+12=0，
解得a=2 33或a=2 3．
当a=2 3时，点E与点C₁重合，此时λ=0，不符合题意．
所以λ=|C1E||C1C|=23×2 32 3=23，即λ的值为23．
【解析】(1)先证明A₁B₁⊥平面DCC₁F，得到DE⊥A₁B，再证明DE⊥平面A₁B₁E即可；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角即可得解．
本题考查线面垂直的判定定理，考查利用空间向量求解线面角，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
20.【答案】解：(1)设从A，B，C三个社区中各选取的1名居民的每周运动总时间超过5小时分别为事件A，B，C，
则P(A)=15,P(B)=310,P(C)=12．
设选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时为事件M，
则事件M的对立事件为选取的3名居民每周运动总时间都没有超过5小时，
所以P(M)=1−P(M−)=1−(1−15)(1−310)(1−12)=1825，
故选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率为1825．
(2)设A，B，C三个社区的居民人数分别为3a，3a，4a，
则A社区每周运动总时间超过5小时的人数为3a×20%=0.6a，
B社区每周运动总时间超过5小时的人数为3a×30%=0.9a，
C社区每周运动总时间超过5小时的人数为4a×50%=2a，
所以P=0.6a+0.9a+2a3a+3a+4a=0.35，
故从这3个社区中随机抽取1名居民且每周运动总时间超过5小时的概率P=0.35．
(3)因为X～N(4,σ2)，所以P(X>4)=0.5．
因为P(X>5)=0.35，所以P(4
(2)由于A，B，C三个社区的居民人数之比为3：3：4，设出三个社区的居民人数，计算出各社区每周运动总时间超过5小时的人数，然后由频率估计概率即可；
(3)由正态分布的性质结合条件求解即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=lnx+x+1，所以f(1)=2，
又 f′(x)=1x+1，所以f′(1)=11+1=2，
故f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为y=2(x−1)+2，即y=2x．
(2)因为f(x)≤xex恒成立，xex−alnx−ax−1≥0恒成立，
令函数g(x)=xex−alnx−ax−1，则g′(x)=ex+xex−ax−a=(x+1)ex−a(x+1)x=(x+1)(ex−ax)
①当a≤0时，g′(x)=(x+1)(ex−ax)>0在区间(0,+∞)恒成立，此时g(x)在区间(0,+∞)单调递增，
又g(12)=12e12+aln2−a2−1=12(e12−2)+a(ln2−12)，易知e12<2，12
令h(x)=xex，则h′(x)=ex+xex=(x+1)ex>0在区间(0,+∞)上恒成立
所以h(x)=xex在区间(0,+∞)上单调递增，又因为h(0)=0，
所以存在x0∈(0,+∞)，使得ex0⋅x0=a，两边同时取对数可得x0+lnx0=lna，
则当x∈(0,x0)时，xex
所以当x=x0时，g(x)min=x0⋅ex0−alnx0−ax0−1=a−alna−1，
故要使g(x)≥0恒成立，只需a−alna−1≥0，
令φ(a)=a−alna−1，则φ′(a)=1−lna−a×1a=−lna，
由φ′(a)>0，得到01，
所以φ(a)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，
φ(a)≤φ(1)=0，即φ(a)=a−alna−1≤0，
所以a−alna−1≥0只有唯一解，即a=1．
综上，a的取值集合为{1}．
【解析】(1)先求出切点，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出结果；
(2)通过构造函数g(x)=xex−alnx−ax−1，将问题转化成求g(x)的最小值，通过对a进行分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间，进而求出结果．
本题考查导数的几何意义，考查不等式恒成立问题，解题方法是把不等式变形为g(x)≥0，然后由导数求得g(x)的最小值g(x)min，解不等式g(x)min≥0即可得参数范围．
22.【答案】解：(1)因为双曲线C的渐近线方程为y=±bax，
所以双曲线C的右焦点F到其渐近线的距离为bc a2+b2=b=2，
因为双曲线C经过点P(4,2)，所以16a2−422=1，解得a2=8，
故双曲线C的方程为x28−y24=1．
(2)证明：因为P(4,2)，Q(0,−2)，D为PQ的中点，所以D(2,0)，kPQ=1，
设直线l的方程为y=x+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(xM,yM)，N(xN,yN)，
所以kAQ=y1+2x1，kBQ=y2+2x2，
直线AQ的方程为y=y1+2x1x−2，
直线BQ的方程为y=y2+2x2x−2，
联立y=y1+2x1x−2x28−y24=1，
可得[1−2(y1+2)2x12]x2+8(y1+2)x1x−16=0，
所以x1+xM=−8(x1+2)1−y(y1+2)2x12=−8x1(y1+2)x12−2(y1+2)2，
又因为x28−y124=1，所以x1+xM=x1+2x1y1，
则xM=2x1y1，yM=y1+2x1xM−2=4y1，
同理可得xN=2x2y2，yN=4y2．
kMN=4y1−4y22x1y1−2x2y2=2×y2−y1x1y2−x2y1=2×x2−x1x1(x2+m)−x2(x1+m)=−2m，
kMD=4y1−02x1y1−2=2x1−y1=−2m，
所以kMN=kMD，故M，N，D三点共线．
【解析】(1)根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式求解；
(2)利用韦达定理以及斜率公式证明三点共线．
本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
2022-2023学年甘肃省白银市靖远二中高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合A={x|−1≤x<3}，B={1,2,3,4}，则A⋂B=( )
A. {1} B. {1,2} C. {2,3} D. {1,2,3}
2. 已知复数z=2+i，且az−z−+b=0，其中a，b为实数，则( )
A. a=−1，b=−4 B. a=−1，b=4
C. a=1，b=−4 D. a=1，b=4
3. 坐标轴与圆C：x2+y2−4x−2y+1=0的交点个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 函数f(x)=exx的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5. 如图中是抛物线形拱桥，当水面在m时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为( )
A. 252米 B. 254米 C. 256米 D. 258米
6. 如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的且径，SO=AB=4，AC=DC，D为OS的中点，N为AD的中点，则点N到平面SBC的距离为( )
A. 43
B. 53
C. 1
D. 2
7. 某市场供应的黄瓜中，来自甲地的占40%，来自乙地的占30%，来自丙地的占30%，甲地、乙地供应的黄瓜的新鲜率(按斤计算)均为95%，丙地供应的黄瓜的新鲜率(按斤计算)是p.从该市场供应的黄瓜中任意购买一斤，若这斤黄瓜新鲜的概率为93.5%，则p=( )
A. 85% B. 88% C. 90% D. 92%
8. 已知数列{an}满足a1+a2+⋯+a8=1，且an+1an=nn+2(n=1,2,⋯,7)，则a1=( )
A. 916 B. 716 C. 516 D. 1116
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知向量a=(m,2m,2)，b=(2m−5,−m,−1)，则下列结论正确的是( )
A. 若a//b，则m=2 B. 若a⊥b，则m=−25
C. |a|的最小值为2 D. |a|的最大值为4
10. 已知定义在区间(a,b)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，f′(x)的图象如图所示，则( )
A. f(x)在(x4,b)上单调递增
B. 曲线y=f(x)在x=x6处的切线的斜率为0
C. f(x)≤f(x5)
D. f(x)有1个极大值点
11. 已知等比数列{an}的公比为q(q>0)，前n项积为Tn，若T3>T2>T4，则( )
A. a1>0 B. 0
12. 某电影院的一个播放厅的座位如图所示(标黑表示该座位的票已被购买)，甲、乙两人打算购买两张该播放厅的票，且甲、乙不坐前两排( )
A. 若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有54种
B. 若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有1154种
C. 若甲、乙前后相邻，则购票的情况共有21种
D. 若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐同一排，则购票的情况共有508种
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知点M(−1,−1,−2)，N(2,2,1)都在直线l上，写出一个直线l的方向向量：a= ______ ．
14. 已知α∈[0,2π]，sin2α−cos2α=1，则α的取值可以是______ .(写出一个即可)
15. 已知F1，F2分别是椭圆C：x29+y24=1的左、右焦点，P是椭圆C在第一象限内的一点，若PF1⊥PF2，则tan∠PF1F2= ______ ．
16. 已知函数f(x)=ax+cosx，x∈[0,π]存在两个极值点x1，x2，且x1
17. (本小题10.0分)
已知在等差数列{an}中，a1+a5=18，a6=15．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{1(2n+1)an}的前n项和Sn．
18. (本小题12.0分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且tanB= 3cosC+sinC 3sinC−cosC．
(1)求角A的值；
(2)若a=8，求△ABC面积的最大值．
19. (本小题12.0分)
如图，在正三棱柱A1B1C1−ABC中，D为AB的中点，C1E=λC1C(0<λ<1),A1A= 3AB=2 3．
(1)若λ=12，证明：DE⊥平面A1B1E；
(2)若直线BC1与平面A1B1E所成角为π3，求λ的值．
20. (本小题12.0分)
世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动.已知A社区有20%的居民每周运动总时间超过5小时，B社区有30%的居民每周运动总时间超过5小时，C社区有50%的居民每周运动总时间超过5小时，且A，B，C三个社区的居民人数之比为3：3：4．
(1)从这三个社区中随机各选取1名居民，求至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率；
(2)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；
(3)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X(单位：小时)，且X～N(4,σ2)，现从这三个社区中随机选取1名居民，求该居民每周运动总时间为3至5小时的概率．
21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=alnx+ax+1．
(1)当a=1时，求f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若不等式f(x)≤xex恒成立，求a的取值集合．
22. (本小题12.0分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)经过点P(4,2)，双曲线C的右焦点F到其渐近线的距离为2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知Q(0,−2)，D为PQ的中点，作PQ的平行线l与双曲线C交于不同的两点A，B，直线AQ与双曲线C交于另一点M，直线BQ与双曲线C交于另一点N，证明：M，N，D三点共线．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为集合A={x|−1≤x<3}，B={1,2,3,4}，
则A⋂B={1,2}．
故选：B．
由交集的定义求解即可．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为z−=2−i，所以az−z−+b=a(2+i)−(2−i)+b=(2a+b−2)+(a+1)i，
由az−z−+b=0，得2a+b−2=0a+1=0，即a=−1b=4．
故选：B．
根据复数加减法运算规则和复数相等的定义求解．
本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：圆C：x2+y2−4x−2y+1=0，即圆C：(x−2)2+(y−1)2=4，
所以圆C(2,1)，半径r=2，
因为圆心C(2,1)到x轴的距离为1，且1<2，
所以圆与x轴相交，即与x轴有两个交点，
因为圆心C(2,1)到y轴的距离为2，且等于半径，
所以圆与y轴相切于点(0,1)，即与y轴有一个交点，
综上坐标轴与圆C：x2+y2−4x−2y+1=0有3个交点．
故选：C．
先求出圆心和半径，再分别求出圆心到两坐标轴的距离与半径比较可得结论．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：当x<0时，f(x)=exx<0，故B，D错误；
又f′(x)=(x−1)exx2，当0
故x>0时的图象是先下降后上升，故A错误，C正确．
故选：C．
利用x<0时，f(x)<0，可判断B，D；利用函数的导数判断x>0时图像变化情况，可判断A，C．
本题主要考查函数图象的判断，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，
可设拱桥所在抛物线的方程为x2=−2py(p>0)，
又抛物线过点(4,−2)，则16=4p，解得p=4，
则抛物线的方程为x2=−8y，当x=5时，y=−258，
故当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为258米．
故选：D．
以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，设拱桥所在抛物线的方程为x2=−2py(p>0)，根据抛物线过点(4,−2)，求出p的值，即可得到抛物线方程，再令x=5，求出y的值，即可得解．
本题主要考查了抛物线的定义和性质，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：∵SO=AB=4，D为OS的中点，
∴OA=OD，又AC=DC，OC=OC，
∴△COD≌△COA，∴∠COA=∠COD=90°，
∴OC⊥OA，
以O为坐标原点，OB，OC，OS所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(2,0,0)，C(0,2,0)，S(0,0,4)，N(−1,0,1)，
则BS=(−2,0,4)，BC=(−2,2,0)，BN=(−3,0,1)，
设平面BCS的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅BS=−2x+4z=0n⋅BC=−2x+2y=0，令x=2，则y=2，z=1，
∴平面BCS的一个法向量为n=(2,2,1)，
∴点N到平面SBC的距离为d=|n⋅BN||n|=|−6+1| 4+4+1=53．
故选：B．
利用已知可证OC⊥OA，以O为坐标原点，OB，OC，OS所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面SBC的一个法向量，利用向量法可求点N到平面SBC的距离．
本题考查利用向量法求点到面的距离，属中档题．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，用A表示“买到的黄瓜来自甲地”，用B表示“买到的黄瓜来自乙地”，用C表示“买到的黄瓜来自丙地”，
用D表示“买到的黄瓜是新鲜黄瓜”，
则P(A)=40%，P(B)=30%，P(C)=30%，P(D|A)=P(D|B)=95%，P(D|C)=p，
所以P(D)=P(A)⋅P(D|A)+P(B)⋅P(D|B)+P(C)⋅P(D|C)=40%×95%+30%×95%+30%×p=93.5%，
解得p=90%．
故选：C．
根据题意，用A表示“买到的黄瓜来自甲地”，用B表示“买到的黄瓜来自乙地”，用C表示“买到的黄瓜来自丙地”，用D表示“买到的黄瓜是新鲜黄瓜”，由全概率公式可得P(D)=P(A)⋅P(D|A)+P(B)⋅P(D|B)+P(C)⋅P(D|C)，由此可得关于p的方程，解可得答案．
本题表示全概率公式，涉及条件概率的计算，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：∵an+1an=nn+2(n=1,2,⋯,7)，
∴an=a1⋅a2a1⋅a3a2⋅⋯⋅anan−1=a1⋅13⋅24⋅⋯⋅n−1n+1
=2n(n+1)a1=2a1(1n−1n+1)(n=1,2,⋯,7,8)，
∴a1+a2+⋯+a8=2a1[(1−12)+(12−13)+⋯+(18−19)]
=2a1(1−19)=16a19=1，解得a1=916．
故选：A．
先利用题给条件求得an=2a1(1n−1n+1)(n=1,2,⋯,7,8)，列出关于a1的方程，求解即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查运算能力，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：∵向量a=(m,2m,2)，b=(2m−5,−m,−1)，
∴a⊥b时，有m(2m−5)+2m(−m)+2×(−1)=0，解得m=−25；
a//b时，有m2m−5=2m−m=2−1，解得m=2；
|a|= m2+(2m)2+22= 5m2+4，故当m=0时，|a|取最小值2，无最大值．
故选：ABC．
根据两向量平行和垂直的坐标表示以及模长公式，列方程得出对应的结果．
本题考查了空间向量共线和垂直的坐标应用问题，是基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：根据定义在区间(a,b)上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象，
对于A中，当x∈(x4,b)时，f′(x)≥0，且仅当x=x6时，f′(x)=0，
所以f(x)在(x4,b)上单调递增，所以A正确；
对于B中，当x=x6时，可得f′(x6)=0，
所以曲线y=f(x)在x=x6处的切线的斜率为0，所以B正确；
对于C中，因为f(x)在(x4,b)上单调递增，
所以f(x5)不是函数f(x)的最大值，所以C不正确；
对于D中，由f′(x)的图象，可得x∈(a,x2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(x2,x4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(x4,b)时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，
所以只有当x=x2时，函数f(x)取得极大值，所以f(x)有1个极大值点，所以D正确．
故选：ABD．
根据导函数为f′(x)的图象，结合导函数f′(x)与函数f(x)的关系，以及函数的极值点的概念，逐项判定，即可求解．
本题考查导数的综合应用，化归转化思想，属中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：因为等比数列{an}的公比为q>0，T3>T2>T4，
T2=a1a2=a12q>0，
则a3=T3T2>1，a3a4=T4T2<1，即a3>1>a3a4，
所以a3=a1q2>1，a4<1a3<1，
所以a1>0，0
T6=a1⋅a2⋅a3⋅a4⋅a5⋅a6=(a3⋅a4)3<1，故C正确，D错误．
故选：ABC．
结合等比数列的通项公式及下标和性质一一分析即可．
本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：∵若甲、乙左右相邻，若在第三排，11个座位，共有10种左右相邻方法，
若在第四排，左边3个位置有2种做法，右边3个座位有2种做法，共有2+2=4种，
若在第五排，左边3个位置有2种做法，右边2个座位有1种做法，共有2+1=3种，
若在第六排，左边4个位置有3种做法，右边4个座位有3种做法，有3+3=6种，
若在第七排，左边3个位置有2种做法，右边3个座位有2种做法，共有2+2=4种，
则座位共有10+4+3+6+4=27种．再考虑甲乙顺序，有A22=2种，所以一共有54种购票情况．故A正确；
甲、乙在同一列的情况共有A32+A52+A52+A32+A22+A42+A52+A52=106种，则甲、乙不在同一列的情况有A362−106=1154种．所以B正确；
若甲、乙前后相邻，先选座位：有2+4+4+1+2+4+4=21种，再考虑甲乙顺序，有A22=2种，所以一共有42种购票情况．所以C不正确；
中心线左侧有18个座位，右侧有18个座位．甲、乙分坐于两侧，有A22×18×18=648种．
甲、乙分坐于两侧且坐同一排(按每一排考虑)，有A22(5×6+3×3+3×2+4×4+3×3)=140种，
所以甲、乙分坐于两侧，且不坐同一排的购票情况共有648−140=508种．
故选：ABD．
甲、乙左右相邻，在第三排，在第四排，在第五排，在第六排，在第七排，求解购票情况．判断A的正误；求解甲、乙在同一列的情况，然后求解甲、乙不在同一列的情况判断B的正误；求解甲、乙前后相邻，购票情况．判断C的正误；求解中心线左侧有18个座位，右侧有18个座位．求解甲、乙分坐于两侧，且不坐同一排的购票情况判断D的正误．
本题考查排列组合的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
13.【答案】(3,3,3)(答案不唯一)．
【解析】解：根据题意，点M(−1,−1,−2)，N(2,2,1)都在直线l上，且MN=(3,3,3)，
故直线l的一个方向向量为(3,3,3)．
故答案为：(3,3,3)(答案不唯一)．
根据题意，求出向量MN的坐标，由直线方向向量的定义分析可得答案．
本题考查直线的方向向量，涉及空间向量的坐标表示，属于基础题．
14.【答案】π4(或π2或5π4或3π2)
【解析】解：因为sin2α−cos2α=1，
所以2sinαcosα−2cos2α+1=1，
即sinαcosα=cos2α，
则cosα=0或sinα=cosα，
所以α=π2+kπ或α=π4+kπ，k∈Z，
因为α∈[0,2π]，
所以的取值可以是π4或π2或5π4或3π2．
故答案为：π4(或π2或5π4或3π2).
利用二倍角公式化简已知等式可得cosα=0或sinα=cosα，可求α=π2+kπ或α=π4+kπ，k∈Z，结合α∈[0,2π]，即可得解．
本题考查了二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
15.【答案】12
【解析】解：由椭圆的方程可得a=3，b=2，则c= a2−b2= 9−4= 5，即 |F1F2|=2 5，
设|PF1|=x，则|PF2|=2a−|PF1|=6−x，因为PF1⊥PF2，
由勾股定理可得：x2+(6−x)2=20，解得x=2或x=4，
又P是椭圆C在第一象限内的一点，所以x>6−x，则x=4，即|PF1|=4，|PF2|=2，
所有tanPF1F2=|PF2||PF1|=12．
故答案为：12．
由椭圆的方程可得a，b的值，进而求出c的值，由椭圆的定义及勾股定理可得|PF1|，|PF2|的值，进而求出tan∠PF1F2的大小．
本题考查椭圆的性质的应用及勾股定理的应用，属于基础题．
16.【答案】(0,1) (0,2)
【解析】解：∵f(x)=ax+cosx，x∈[0,π]，
∴f′(x)=a−sinx，∵f(x)存在两个极值点x1，x2，且x1
∴y=a和y=sinx在[0,π]上有2个不同的交点，
∴0
∴x1+x2=π，即sinx1=sinx2=a，
∴f(x1)−f(x2)=ax1+cosx1−ax2−cosx2=2x1sinx1+2cosx1−πsinx1，
令g(x)=2xsinx+2cosx−πsinx，x∈(0,π2)，
则g′(x)=(2x−π)cosx<0，
∴g(x)在(0,π2)上单调递减，
所以0=g(π2)
故答案为：(0,1)；(0,2)．
求出函数的导数，问题转化为y=a和y=sinx在[0,π]上有2个不同的交点，求出a的范围即可；求出f(x1)−f(x2)的解析式，根据函数的单调性求出其取值范围即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
17.【答案】解：(1)设{an}的公差为d，a1+a5=18，即2a3=18，解得a3=9，
又a6=15，则3d=a6−a3=15−9=6，解得d=2，
又a3=a1+2d=9，则a1=5，
故an=2n+3；
(2)由(1)得an=2n+3，则1(2n+1)an=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，
∴Sn=12(13−15+15−17+⋅⋅⋅+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n6n+9．
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的性质可得a3=9，结合题意求出d，即可得出答案；
(2)由(1)得an=2n+3，则1(2n+1)an=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，利用裂项相消法求和，即可得出答案．
本题考查等差数列的性质和裂项相消法，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为tanB= 3cosC+sinC 3sinC−cosC．
所以sinBcosB= 3cosC+sinC 3sinC−cosC，∴ 3sinBsinC−sinBcosC= 3cosBcosC+sinCcosB，
整理得： 3cos(B+C)=−sin(B+C)，
又C+B=π−A，
所以 3cosA=sinA，
所以tanA= 3，
又A∈(0,π)，
所以A=π3；
(2)由余弦定理得：64=b2+c2−2bccosπ3，
即：b2+c2−bc=64，
所以64=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，当且仅当b=c=8时取等号，
所以S△ABC=12bcsinπ3≤12×64× 32=16 3，
即△ABC面积的最大值为16 3．
【解析】(1)由同角三角函数基本关系，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式可得tanA= 3，结合范围A∈(0,π)，可求A的值．
(2)由余弦定理，基本不等式可求bc≤64，进而利用三角形面积公式可求最大值．
本题主要考查了同角三角函数基本关系，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：(1)证明：取A₁B₁的中点F，连接EF，DF，DC，FC₁．
由题意，得DE=EF= 6,DF=A1A=2 3，
所以DE²+EF²=DF²，
则DE⊥EF．
因为A₁B₁⊥C₁F，A₁B₁⊥DF，C1F⋂DF=F，C1F，DF⊂平面DCC₁F，
所以A₁B₁⊥平面DCC₁F，
又DE⊂平面DCC₁F，
所以DE⊥A₁B，
因为A₁B₁∩EF=F，A1B1，EF⊂平面A₁B₁E，
所以DE⊥平面A₁B₁E．
(2)以D为坐标原点，DB，DC，DF的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则A1(−1,0,2 3),B(1,0,0),C1(0, 3,2 3),B1(1,0,2 3)．
设E(0, 3,a),a∈(0,2 3),A1E=(1, 3,a−2 3),A1B1=(2,0,0)，BC1=(−1, 3,2 3)．
设平面A₁B₁E的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅A1B1=0n⋅A1E=0，即2x=0x+ 3y+(a−2 3)z=0，
取y=2 3−a，则n=(0,2 3−a, 3)．
设直线BC₁与平面A₁B₁E所成的角为θ，
则sinθ=|cos
化简得3a2−8 3a+12=0，
解得a=2 33或a=2 3．
当a=2 3时，点E与点C₁重合，此时λ=0，不符合题意．
所以λ=|C1E||C1C|=23×2 32 3=23，即λ的值为23．
【解析】(1)先证明A₁B₁⊥平面DCC₁F，得到DE⊥A₁B，再证明DE⊥平面A₁B₁E即可；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角即可得解．
本题考查线面垂直的判定定理，考查利用空间向量求解线面角，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
20.【答案】解：(1)设从A，B，C三个社区中各选取的1名居民的每周运动总时间超过5小时分别为事件A，B，C，
则P(A)=15,P(B)=310,P(C)=12．
设选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时为事件M，
则事件M的对立事件为选取的3名居民每周运动总时间都没有超过5小时，
所以P(M)=1−P(M−)=1−(1−15)(1−310)(1−12)=1825，
故选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率为1825．
(2)设A，B，C三个社区的居民人数分别为3a，3a，4a，
则A社区每周运动总时间超过5小时的人数为3a×20%=0.6a，
B社区每周运动总时间超过5小时的人数为3a×30%=0.9a，
C社区每周运动总时间超过5小时的人数为4a×50%=2a，
所以P=0.6a+0.9a+2a3a+3a+4a=0.35，
故从这3个社区中随机抽取1名居民且每周运动总时间超过5小时的概率P=0.35．
(3)因为X～N(4,σ2)，所以P(X>4)=0.5．
因为P(X>5)=0.35，所以P(4
(2)由于A，B，C三个社区的居民人数之比为3：3：4，设出三个社区的居民人数，计算出各社区每周运动总时间超过5小时的人数，然后由频率估计概率即可；
(3)由正态分布的性质结合条件求解即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=lnx+x+1，所以f(1)=2，
又 f′(x)=1x+1，所以f′(1)=11+1=2，
故f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为y=2(x−1)+2，即y=2x．
(2)因为f(x)≤xex恒成立，xex−alnx−ax−1≥0恒成立，
令函数g(x)=xex−alnx−ax−1，则g′(x)=ex+xex−ax−a=(x+1)ex−a(x+1)x=(x+1)(ex−ax)
①当a≤0时，g′(x)=(x+1)(ex−ax)>0在区间(0,+∞)恒成立，此时g(x)在区间(0,+∞)单调递增，
又g(12)=12e12+aln2−a2−1=12(e12−2)+a(ln2−12)，易知e12<2，12
令h(x)=xex，则h′(x)=ex+xex=(x+1)ex>0在区间(0,+∞)上恒成立
所以h(x)=xex在区间(0,+∞)上单调递增，又因为h(0)=0，
所以存在x0∈(0,+∞)，使得ex0⋅x0=a，两边同时取对数可得x0+lnx0=lna，
则当x∈(0,x0)时，xex
所以当x=x0时，g(x)min=x0⋅ex0−alnx0−ax0−1=a−alna−1，
故要使g(x)≥0恒成立，只需a−alna−1≥0，
令φ(a)=a−alna−1，则φ′(a)=1−lna−a×1a=−lna，
由φ′(a)>0，得到0
所以φ(a)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，
φ(a)≤φ(1)=0，即φ(a)=a−alna−1≤0，
所以a−alna−1≥0只有唯一解，即a=1．
综上，a的取值集合为{1}．
【解析】(1)先求出切点，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出结果；
(2)通过构造函数g(x)=xex−alnx−ax−1，将问题转化成求g(x)的最小值，通过对a进行分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间，进而求出结果．
本题考查导数的几何意义，考查不等式恒成立问题，解题方法是把不等式变形为g(x)≥0，然后由导数求得g(x)的最小值g(x)min，解不等式g(x)min≥0即可得参数范围．
22.【答案】解：(1)因为双曲线C的渐近线方程为y=±bax，
所以双曲线C的右焦点F到其渐近线的距离为bc a2+b2=b=2，
因为双曲线C经过点P(4,2)，所以16a2−422=1，解得a2=8，
故双曲线C的方程为x28−y24=1．
(2)证明：因为P(4,2)，Q(0,−2)，D为PQ的中点，所以D(2,0)，kPQ=1，
设直线l的方程为y=x+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(xM,yM)，N(xN,yN)，
所以kAQ=y1+2x1，kBQ=y2+2x2，
直线AQ的方程为y=y1+2x1x−2，
直线BQ的方程为y=y2+2x2x−2，
联立y=y1+2x1x−2x28−y24=1，
可得[1−2(y1+2)2x12]x2+8(y1+2)x1x−16=0，
所以x1+xM=−8(x1+2)1−y(y1+2)2x12=−8x1(y1+2)x12−2(y1+2)2，
又因为x28−y124=1，所以x1+xM=x1+2x1y1，
则xM=2x1y1，yM=y1+2x1xM−2=4y1，
同理可得xN=2x2y2，yN=4y2．
kMN=4y1−4y22x1y1−2x2y2=2×y2−y1x1y2−x2y1=2×x2−x1x1(x2+m)−x2(x1+m)=−2m，
kMD=4y1−02x1y1−2=2x1−y1=−2m，
所以kMN=kMD，故M，N，D三点共线．
【解析】(1)根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式求解；
(2)利用韦达定理以及斜率公式证明三点共线．
本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
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