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广西壮族自治区+南宁市+西乡塘区广西大学附属中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案）
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这是一份广西壮族自治区+南宁市+西乡塘区广西大学附属中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广西大学附属中学八年级（下）期末数学试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 以下各数是最简二次根式的是( )
A. 8 B. 12 C. 10 D. 1.5
2. 一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为( )
A. 3和5 B. 2和5 C. 2和3 D. 3和2
3. 以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A. 1，2，3 B. 6，8，10 C. 2， 3， 5 D. 13，14，15
4. 下列计算结果正确的是( )
A. (-2)2=-2 B. 7- 3=2 C. 12× 8=±2 D. 2 12= 2
5. 一元二次方程x2-2x+a=0的一根是3，则另外一根是( )
A. -1 B. 1 C. -3 D. 3
6. 如图四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形( )
A. AB=CD，AO=CO B. OA=OC，OB=OD
C. AD//BC，AD=BC D. ∠BAD=∠BCD，AB//CD
7. 如图，若一次函数y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的图象经过点A(0,-1)，B(2,1)，则不等式kx+b<1的解集为( )
A. x>2
B. x<2
C. x>1
D. x<0
8. 下列说法正确的有个．( )
①平行四边形是轴对称图形；
②已知a、b、c是Rt△ABC的三条边，则a2+b2=c2；
③对角线相等且垂直的四边形是正方形；
④矩形的对角线互相垂直平分；
⑤一组数据的众数可以不唯一．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为x cm，根据题意可列方程( )
A. (30+x)(20+x)=600
B. (30+2x)(20+2x)=600
C. (30-2x)(20-2x)=1200
D. (30+2x)(20+2x)=1200
10. 顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是矩形，那么四边形ABCD一定是( )
A. 菱形 B. 对角线相等的四边形
C. 对角线互相垂直的四边形 D. 对角线互相垂直且平分的四边形
11. 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动动．如图折线OAB和线段CD分别表示小泽和小帅离甲地的距离y(单位：千米)与时间x(单位：小时)之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，你认为正确的结论是( )
①小帅的骑车速度为16千米/小时；
②点C的坐标为(0.5,0)；
③求线段AB对应的函数表达式为y=8x+4(0.5≤x≤2.5)；
④当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有4千米．
A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④
12. 如图，菱形ABCD的对角线BD长度为4，边长AB= 5，M为菱形外一个动点，满足BM⊥DM，N为MD中点，连接CN.则当M运动的过程中，CN长度的最大值为( )
A. 1+ 2 B. 5+12 C. 1 D. 2
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
13. 若代数式 3x-5在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ ．
14. 将抛物线y=3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为______ ．
15. 小明参加“喜迎二十大，逐梦正青春”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项的得分分别是9分、8分，8分，若将三项得分依次按30%、40%、30%的权重确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______ 分.
16. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E，BD=12cm，则AB的长为______ cm．
17. 汽车刹车后行驶的距离s(单位：m)关于行驶时间t(单位：s)的函数解析式是s=-6t2+15t.汽车刹车后到停下来前进了______m.
18. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3c3C2，…按如图的方式放置，点A1A2A3，…和点C1C2C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B2023的坐标为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
19. 解方程：x2-4x-12=0．
四、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题6.0分)
计算：(2 5-3)(2 5+3)+( 24- 6)÷ 3．
21. (本小题10.0分)
某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：(成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x<85，B.85≤x<90，C.90≤x<95，D.95≤x≤100)
九年级(1)班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82．
九年级(2)班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
通过数据分析，列表如下：
年级
平均数
中位数
众数
方差
九年级(1)班
92
b
c
52
九年级(2)班
92
94
100
50.4
九年级(1)班、(2)班抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述a、b、c的值：a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ；
(2)学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由．
(3)九年级两个班共120人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀(x≥90)的学生总人数是多少？
22. (本小题10.0分)
已知关于x的一元二次方程kx2+x-2=0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程两个实数根分别为x1，x2，且满足(x1+x2)2+x1⋅x2=3，求k的值．
23. (本小题10.0分)
【问题原型】如图1，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AB=AC.点E、F分别为AC、BC的中点，连结EF，DE.试说明：DE=EF．
【探究】如图2，在问题原型的条件下，当AC平分∠BAD，∠DEF=90°时，求∠BAD的大小．
【应用】如图3，在问题原型的条件下，当AB=2，且四边形CDEF是菱形时，直接写出四边形ABCD的面积．
24. (本小题10.0分)
天津农业大学的大学生参加助农活动，帮助果农销售砂糖桔.砂糖桔的销售分为线上和线下两种销售方式，具体费用标准如下：线下销售方式：4元/千克：线上销售方式：质量不超过10千克时，每千克6元，质量超过10千克时，超出部分每千克按五折出售.设购买砂糖桔x千克，所需费用为y元，可知两种销售方式的y与x之间的函数关系大致如图所示．
(1)根据题意，填写表格：
购买砂糖枯/千克
5
10
12
…
用线下销售方式购买所需费用/元
______
40
______
…
用线上销售方式购买所需费用/元
______
60
______
…
(2)请直接写出这两种销售方式对应的函数表达式；
(3)请问如何选择购买方式更省钱？为什么？
25. (本小题10.0分)
如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE=AB，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，MN交，ED于H点．
(1)求证：AO=BO；
(2)求证：∠HEB=∠HNB；
(3)过A作AP⊥ED于P点，连BP，则PE-PAPB的值．
26. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线l：y=kx-1与两坐标轴分别交于A，B，若OB=2OA，点P是第一象限内直线l上的点，过点P分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为C，D．
(1)求点A的坐标及k的值；
(2)设点P的横坐标为x，四边形OCPD的面积为y，试求y关于x的函数关系式；
(3)若四边形OCPD的面积为1，点Q是x轴正半轴上的点，且△POQ是等腰三角形，求点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 8=2 2， 8不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、 12= 22， 12不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、 10是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、 1.5= 32= 62， 1.5不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
最简二次根式必须满足两个条件：被开方数中不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此进行判断．
此题考查了最简二次根式的判定，熟练掌握最简二次根式的判定方法是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：数据从小到大排列为：2，2，3，4，5，
所以中位数为3；
数据2出现了2次，最多，
所以这组数据的众数为2．
故选：C．
先把原数据按由小到大排列，然后根据众数、中位数的定义求解．
本题考查了中位数和众数，熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、1+22≠32，不能构成直角三角，不符合题意；
B、62+82=102，能构成直角三角，符合题意；
C、22+( 3)2≠( 5)2，不能构成直角三角，不符合题意；
D、(15)2+(14)2≠(13)2，不能构成直角三角，不符合题意．
故选：B．
根据勾股定理的逆定理可知，两条较小的边的平方和等于第三条边的平方，即可构成直角三角形，依次即可求出答案．
本题考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解： (-2)2=2，故选项A错误，不符合题意；
7- 3不能合并，故选项B错误，不符合题意；
12× 8= 4=2，故选项C错误，不符合题意；
2 12= 2，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：方法一：
设另外一根是m，
则3+m=2，
∴m=-1，
∴另外一根是-1，
故选：A．
方法二：
将x=3代入方程可得：9-6+a=0，
∴a=-3，
x2-2x-3=0，
(x-3)(x+1)=0
x=3或x=-1，
故选：A．
方法一：设另外一根是m，根据根与系数的关系得到3+m=2，解得m=-1；
方法二：将x=3代入方程即可求出a的值．
本题考查一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
6.【答案】A
【解析】解：A、由AB=CD，AO=CO不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项A符合题意；
B、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
C、∵AD//BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB//CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：A．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图所示：不等式kx+b<1的解为：x<2．
故选：B．
直接利用已知点画出函数图象，利用图象得出答案．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键．
8.【答案】A
【解析】解：①平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故原说法错误；
②已知a、b、c是Rt△ABC的三条边，则a2+b2=c2，说法错误，因为没有说明c是直角边还是斜边；
③对角线相等且垂直平分的四边形是正方形，故原说法错误；
④矩形的对角线互相相等平分，故原说法错误；
⑤一组数据的众数可以不唯一，说法正确．
所以说法正确的有1个．
故选：A．
①根据平行四边形的性质以及轴对称图形的定义判断即可；②根据勾股定理判断即可；③根据正方形的判定方法判断即可；④根据正方形的性质判断即可；⑤根据众数的定义判断即可．
本题考查了轴对称图形的定义，平行四边形的性质，正方形的判定与性质，矩形的性质以及众数的定义，掌握相关知识是解答本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵原画面是长为30cm，宽为20cm的矩形，且彩纸的宽度为x cm，
∴原画四周镶上彩纸后的长为(30+2x)cm，宽为(20+2x)cm．
根据题意得：(30+2x)(20+2x)=2×30×20，
即(30+2x)(20+2x)=1200．
故选：D．
根据原画的长、宽及四周彩纸的宽，可得出原画四周镶上彩纸后的长为(30+2x)cm，宽为(20+2x)cm，再结合原画四周镶上彩纸后的面积等于原画面面积的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH//FG//BD，EF//AC//HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
即四边形ABCD一定是对角线互相垂直的四边形．
故选：C．
首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
11.【答案】D
【解析】解：①由图可得，
小帅的骑车速度是：(24-8)÷(2-1)=16(千米/小时)，①正确；
②点C的横坐标为：1-8÷16=0.5(小时)，
∴点C的坐标为(0.5,0)，②正确；
③设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
∵A(0.5,8)，B(2.5,24)，
∴0.5k+b=82.5k+b=24，
解得：k=8b=4，
∴线段AB对应的函数表达式为y=8x+4(0.5≤x≤2.5)，③正确；
④当x=2时，y=8×2+4=20，
∴此时小泽距离乙地的距离为：24-20=4(千米)，
答：当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有4千米，④正确．
故选：D．
根据函数图象中的数据可以求得小帅的骑车速度和点C的坐标；根据函数图象中的数据可以求得线段AB对应的函数表达式；将x=2代入线段AB对应的函数解析式求出相应的y的值，再用24减去此时的y值即可求得当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
12.【答案】A
【解析】解：连接AC，交BD于点O，连接ON，
∵菱形ABCD的对角线BD长度为4，边长AB= 5，
∴AC⊥BD，OD=12BD=2，CD= 5，
∴OC= CD2-OC2=1，
∵N为MD中点，
∴ON//BM，
∵BM⊥DM，
∴ON⊥DM，
∴∠OND=90°，
取OD的中点E，连接CE，NE，
则：OE=12OD=1,CE= OC2+OE2= 2,NE=12OD=1，
∵CN≤CE+NE，
∴当C，N，E三点共线时，CN的长度最大为CE+NE=1+ 2；
故选：A．
连接AC，交BD于点O，连接ON，易得ON是△BDM的中位线，得到ON//BM，取OD的中点E，连接CE，NE，得到CN≤CE+NE，得到当C，N，E三点共线时，CN最长，进行求解即可．
本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线．掌握并灵活运用相关知识点，构造三角形的中位线是解题的关键．
13.【答案】x≥53
【解析】解：∵代数式 3x-5在实数范围内有意义，
∴3x-5≥0，
∴x≥53．
故答案为：x≥53．
根据二次根式 3x-5的被开方数3x-5是非负数解答即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的概念是解题的关键．
14.【答案】y=3(x+1)2-2
【解析】解：将抛物线y=3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为y=3(x+1)2-2．
故答案为：y=3(x+1)2-2．
根据函数图象平移的法则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
15.【答案】8.3
【解析】解：根据题意得：
9×30%+8×40%+8×30%=8.3(分)，
即明的最终比赛成绩为8.3分．
故答案为：8.3．
利用加权平均数的计算方法可求出结果．
本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键．
16.【答案】6
【解析】解：∵AE垂直且平分线段BO，
∴AB=AO，
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，BD=12cm，
∴AO=12AC=12BD=6cm，
∴AB=AO=6cm，
故答案为：6．
根据相等垂直平分线的性质得到AB=AO，再由矩形的性质得到AO=6cm，则AB=AO=6cm．
本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知矩形的对角线相等且互相平分，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
17.【答案】9.375
【解析】解：∵s=-6t2+15t=-6(t-54)2+758，
∴汽车刹车后到停下来前进了758m，
即9.375m．
故答案为9.375．
根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出s的最大值即可得出结论．
本题考查了二次函数的应用，利用配方法，求出二次函数的顶点式是解题的关键．
18.【答案】(22023-1,22022)
【解析】解：∵点A1在直线y=x+1上，点A1在y轴上，
∴当x=0时，y=1，
∴点A1点坐标为(0,1)，
∴OA1=1，
∵四边形OA1B1C1是正方形，
∴OC1=OA1=B1C1=A1B1=1，
∴点B1(1,1)，
∵点A2在直线y=x+1上，
∴当x=1时，y=2，
∴点A2(1,2)，
∴C1C2=B2C2=A2C1=2，
∴点B2(3,2)，
同理可得B3(7,4)，B4(15,8)，
……，
由此发现，点Bn(2n-1,2n-1)，
∴点B2023的坐标是(22023-1,22022).
故答案为：(22023-1,22022).
先求出点A1点坐标为(0,1)，可得点B1(1,1)，再求出点A2(1,2)，从而得到点B2(3,2)，同理可得B3(7,4)，B4(15,8)，……，由此发现规律，即可求解．
本题主要考查了一次函数的图象和性质，正方形的性质，找到规律是解题的关键．
19.【答案】解：(x-6)(x+2)=0，
x-6=0或x+2=0，
所以x1=6，x2=-2．
【解析】利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．
20.【答案】解：(2 5-3)(2 5+3)+( 24- 6)÷ 3
=20-9+ 8- 2
=20-9+2 2- 2
=11+ 2．
【解析】根据平方差公式和二次根式的除法将题目中的式子展开，然后化简，再算加减法即可．
本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21.【答案】40 94 96
【解析】解：(1)∵九年级(2)班C组占的百分比为310×100%=30%，
∴a%=100%-20%-10%-30%=40%，
∴a=40，
∵九年级(1)班10名学生测试成绩中，第5和6位置的数都是92和96，
∴b=92+962=94，
∵九年级(1)班10名学生测试成绩中，96出现的次数最多，
∴众数c=96；
故答案为：40，94，96；
(2)这次比赛中，学校会选派九年级(2)班，
理由：
∵九年级(2)班的方差50.4小于九年级(1)班的方差52，
∴九年级(2)班成绩更平衡，更稳定，
∴学校会选派九年级(2)班；
(3)120×6+720=78(人)，
答：估计参加此次调查活动成绩优秀(x≥90)的九年级(2)班学生人数是78人．
(1)根据九年级(2)班C组的百分数求a，根据众数和中位数的定义求b和c即可；
(2)根据方差的意义解答即可；
(3)利用样本估计总体即可．
本题考查了方差，掌握平均数，中位数，方差及众数的意义是解题的关键．
22.【答案】解：
(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ>0且k≠0，即12-4k×(-2)>0且k≠0，
解得k>-18且k≠0；
(2)由根与系数的关系可得x1+x2=-1k，x1⋅x2=-2k，
由题意可得(-1k)2-2k=3，即3k2+2k-1=0，解得k=13或k=-1，
由(1)可知k>-18且k≠0，
∴k=13．
【解析】(1)由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；
(2)利用根与系数的关系，用k表示出x1+x2和x1⋅x2的值，由条件可得到关于k的方程，则可求得k的值．
本题有要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
23.【答案】解：【问题原型】证明：
在△ABC中，点E，F分别为AC，BC的中点
∴EF//AB，且EF=12AB
在Rt△ACD中，点E为AC的中点，
∴DE=12AC，
∵AB=AC，∴DE=EF
【探究】解：∵AC平分∠BAD，EF//AB，DE=12AC=AE=EC
∴∠BAC=∠DAC，∠CEF=∠BAC，∠DEC=2∠DAC=∠BAD
∵∠DEF=90°
∴∠CEF+∠DEC=∠BAC+2∠DAC=90°
∴∠BAC=∠DAC=30°，
∴∠BAD=60°
【应用】四边形ABCD的面积为：3 32
∵四边形CDEF是菱形，EC=DE，
∴△CDE与△CEF都是等边三角形，
∵AB=2，∴EF=DE=CD=CF=1
∴S△DCE=S△DEA=S△CEF= 34，
∵EF//AB，∴S△CEFS△ABC=(12)2，∴S△ABC=4S△CEF= 3
∴S四边形ABCD=S△DCE+S△DEA+S△ABC
=2× 34+ 3=3 32．
【解析】【问题原型】利用直角三角形斜边的中线性质和三角形的中位线性质可得结论；
【探究】先证明∠CEF=12∠BAD，∠DEC=∠BAD，根据∠DEF=90°列方程得∠BAD的度数；
【应用】由四边形CDEF是菱形，说明△CDE是等边三角形，再根据等底同高说明△CDE与△DEA间关系，根据相似说明△CAB与△CEF间关系，由AB=2，得DE=1，得等边△DE的面积，利用三角形的面积间关系得结论．
本题考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边的中线的性质、菱形的性质及等边三角形的面积等知识．题目难度中等，由题目原型到探究再到结论，步步深入，符合认知规律．
24.【答案】20 48 30 66
【解析】解：(1)线下销售：当x=5时，y=5×4=20；
当x=12时，y=4×12=48；
线上销售：当x=5时，y=5×6=30；
当x=12时，y=10×6+2×6×0.5=66；
故答案为：20，48；30，66；
(2)线下销售时y与x之间的函数关系式为：y=4x(x≥0)；
线上销售时：当0≤x≤10时，y=6x；
当x>10时，y=10×6+(x-10)×6×0.5=3x+30．
∴y与x之间的函数关系式为：y=6x(0≤x≤10)3x+30(x>10)；
(3)当3x+30<4x时，即当x>30时，线上购买更省钱；
当3x+30=4x时，即当x=30时，两种销售方式花费一样；
当3x+30=4x时，即当x<30时，线下购买更省钱．
(1)根据线上、线下销售方式分别求出x=5和12时的值即可；
(2)根据题意直接写出函数解析式；
(3)分三种情况讨论即可．
本题考查一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，AD//BC，
∴∠DAB=∠ABE，∠ADO=∠BCO，
∵AB=BE，
∴AD=BE，
∴△ADO≌△BEO(ASA)，
∴AO=BO；
(2)证明：延长BC至F，且使CF=BE，连接AF、DF，如图1所示：
则BF=CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AD//BC，∠BAD=∠ABC=∠DCB=90°，
在△ABF和△DCE中，AB=DC∠ABC=∠DCBBF=CE，
∴△ABF≌△DCE(SAS)，
∴∠DEC=∠AFB，
∵EB=CF，BN=CN，
∴N为EF的中点，
∴MN为△AEF的中位线，
∴MN//AF，
∴∠HNB=∠AFB=∠HEB；
(3)解：过点B作BQ⊥BP交DE于Q，如图2所示：
则∠PBQ=90°，
∵∠ABE=180°-∠ABC=90°，
∴∠EBQ=∠ABP，
∵AD//BC，
∴∠ADP=∠BEQ，
∵AP⊥DE，∠BAD=90°，
由角的互余关系得：∠BAP=∠ADP，
∴∠BEQ=∠BAP，
在△BEQ和△BAP中，∠EBQ=∠ABPBE=BA∠BEQ=∠BAP，
∴△BEQ≌△BAP(ASA)，
∴PA=QE，QB=PB，
∴△PBQ是等腰直角三角形，
∴PQ= 2PB，
∴PE-PAPB=PE-QEPB=PQPB= 2．
【解析】(1)根据正方形的性质得到AD=AB，AD//BC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
(2)延长BC至F，且使CF=BE，则BM=CE，由SAS证明△ABF≌△DCE，得出∠DEC=∠AFB，证出MN为△AEF的中位线，得出MN//AF，得出∠HNE=∠AFB=∠HEN，即可得出HE=HN；
(3)过点B作BQ⊥BP交DE于Q，由ASA证明△BEQ≌△BAP，得出PA=QE，QB=PB，证出△PBQ是等腰直角三角形，由勾股定理得出PQ= 2PB，即可得出答案；
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
26.【答案】解：(1)∵y=kx-1，
∴当y=0时，kx-1=0，x=1k，
∴A(1k,0)，OA=1k，
当x=0时，y=-1，
∴B(0,-1)，OB=1．
∵OB=2OA，
∴2×1k=1，
∴k=2，
∴A(12,0)；
(2)∵直线l：y=2x-1，点P是第一象限内直线l上的点，点P的横坐标为x，
∴P(x,2x-1)，x>12，
∴OC=x，CP=2x-1，
∴y=OC⋅CP=x(2x-1)=2x2-x，
即y=2x2-x(x>12)；
(3)∵四边形OCPD的面积为1，
∴2x2-x=1，
∴x1=1，x2=-12(不合题意舍去)，
∴P(1,1)，OP= 12+12= 2．
如图，当点Q是x轴正半轴上的点，且△POQ是等腰三角形时，分三种情况：
①如果OQ=OP= 2，那么Q1( 2,0)；
②如果PO=PQ，那么P在线段OQ的垂直平分线上，Q2(2,0)；
③如果QO=QP，那么Q在线段OP的垂直平分线上．
∵P(1,1)，
∴直线OP的解析式为y=x，线段OP的中点坐标为(12,12).
设线段OP的垂直平分线的解析式为y=-x+b，
将(12,12)代入，得12=-12+b，解得b=1，
∴线段OP的垂直平分线的解析式为y=-x+1，
∴y=0时，-x+1=0，解得x=1，
∴Q3(1,0)．
综上所述，所求点Q的坐标为Q1( 2,0)，Q2(2,0)，Q3(1,0)．
【解析】(1)根据直线l的解析式为y=kx-1，求出A(1k,0)，B(0,-1)，根据OB=2OA，求出k的值及点A的坐标；
(2)根据点P是第一象限内直线l上的点，点P的横坐标为x，可得P(x,2x-1)，x>12，再根据矩形面积公式即可求解；
(3)根据四边形OCPD的面积为1，求出P的坐标为(1,1)，利用两点间的距离公式求得OP= 12+12= 2，再分三种情况进行讨论：①OQ=OP= 2；②PO=PQ；③QO=QP．
本题是一次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的面积，两点间的距离公式，互相垂直的两直线斜率之积为-1的性质，等腰三角形的性质等知识，综合性较强，难度适中．利用分类讨论以及数形结合是解题的关键．
2022-2023学年广西大学附属中学八年级（下）期末数学试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 以下各数是最简二次根式的是( )
A. 8 B. 12 C. 10 D. 1.5
2. 一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为( )
A. 3和5 B. 2和5 C. 2和3 D. 3和2
3. 以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )
A. 1，2，3 B. 6，8，10 C. 2， 3， 5 D. 13，14，15
4. 下列计算结果正确的是( )
A. (-2)2=-2 B. 7- 3=2 C. 12× 8=±2 D. 2 12= 2
5. 一元二次方程x2-2x+a=0的一根是3，则另外一根是( )
A. -1 B. 1 C. -3 D. 3
6. 如图四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形( )
A. AB=CD，AO=CO B. OA=OC，OB=OD
C. AD//BC，AD=BC D. ∠BAD=∠BCD，AB//CD
7. 如图，若一次函数y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的图象经过点A(0,-1)，B(2,1)，则不等式kx+b<1的解集为( )
A. x>2
B. x<2
C. x>1
D. x<0
8. 下列说法正确的有个．( )
①平行四边形是轴对称图形；
②已知a、b、c是Rt△ABC的三条边，则a2+b2=c2；
③对角线相等且垂直的四边形是正方形；
④矩形的对角线互相垂直平分；
⑤一组数据的众数可以不唯一．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为x cm，根据题意可列方程( )
A. (30+x)(20+x)=600
B. (30+2x)(20+2x)=600
C. (30-2x)(20-2x)=1200
D. (30+2x)(20+2x)=1200
10. 顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是矩形，那么四边形ABCD一定是( )
A. 菱形 B. 对角线相等的四边形
C. 对角线互相垂直的四边形 D. 对角线互相垂直且平分的四边形
11. 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动动．如图折线OAB和线段CD分别表示小泽和小帅离甲地的距离y(单位：千米)与时间x(单位：小时)之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，你认为正确的结论是( )
①小帅的骑车速度为16千米/小时；
②点C的坐标为(0.5,0)；
③求线段AB对应的函数表达式为y=8x+4(0.5≤x≤2.5)；
④当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有4千米．
A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④
12. 如图，菱形ABCD的对角线BD长度为4，边长AB= 5，M为菱形外一个动点，满足BM⊥DM，N为MD中点，连接CN.则当M运动的过程中，CN长度的最大值为( )
A. 1+ 2 B. 5+12 C. 1 D. 2
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
13. 若代数式 3x-5在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ ．
14. 将抛物线y=3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为______ ．
15. 小明参加“喜迎二十大，逐梦正青春”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项的得分分别是9分、8分，8分，若将三项得分依次按30%、40%、30%的权重确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______ 分.
16. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E，BD=12cm，则AB的长为______ cm．
17. 汽车刹车后行驶的距离s(单位：m)关于行驶时间t(单位：s)的函数解析式是s=-6t2+15t.汽车刹车后到停下来前进了______m.
18. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3c3C2，…按如图的方式放置，点A1A2A3，…和点C1C2C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B2023的坐标为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
19. 解方程：x2-4x-12=0．
四、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题6.0分)
计算：(2 5-3)(2 5+3)+( 24- 6)÷ 3．
21. (本小题10.0分)
某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：(成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x<85，B.85≤x<90，C.90≤x<95，D.95≤x≤100)
九年级(1)班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82．
九年级(2)班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
通过数据分析，列表如下：
年级
平均数
中位数
众数
方差
九年级(1)班
92
b
c
52
九年级(2)班
92
94
100
50.4
九年级(1)班、(2)班抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述a、b、c的值：a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ；
(2)学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由．
(3)九年级两个班共120人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀(x≥90)的学生总人数是多少？
22. (本小题10.0分)
已知关于x的一元二次方程kx2+x-2=0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程两个实数根分别为x1，x2，且满足(x1+x2)2+x1⋅x2=3，求k的值．
23. (本小题10.0分)
【问题原型】如图1，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AB=AC.点E、F分别为AC、BC的中点，连结EF，DE.试说明：DE=EF．
【探究】如图2，在问题原型的条件下，当AC平分∠BAD，∠DEF=90°时，求∠BAD的大小．
【应用】如图3，在问题原型的条件下，当AB=2，且四边形CDEF是菱形时，直接写出四边形ABCD的面积．
24. (本小题10.0分)
天津农业大学的大学生参加助农活动，帮助果农销售砂糖桔.砂糖桔的销售分为线上和线下两种销售方式，具体费用标准如下：线下销售方式：4元/千克：线上销售方式：质量不超过10千克时，每千克6元，质量超过10千克时，超出部分每千克按五折出售.设购买砂糖桔x千克，所需费用为y元，可知两种销售方式的y与x之间的函数关系大致如图所示．
(1)根据题意，填写表格：
购买砂糖枯/千克
5
10
12
…
用线下销售方式购买所需费用/元
______
40
______
…
用线上销售方式购买所需费用/元
______
60
______
…
(2)请直接写出这两种销售方式对应的函数表达式；
(3)请问如何选择购买方式更省钱？为什么？
25. (本小题10.0分)
如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE=AB，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，MN交，ED于H点．
(1)求证：AO=BO；
(2)求证：∠HEB=∠HNB；
(3)过A作AP⊥ED于P点，连BP，则PE-PAPB的值．
26. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线l：y=kx-1与两坐标轴分别交于A，B，若OB=2OA，点P是第一象限内直线l上的点，过点P分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为C，D．
(1)求点A的坐标及k的值；
(2)设点P的横坐标为x，四边形OCPD的面积为y，试求y关于x的函数关系式；
(3)若四边形OCPD的面积为1，点Q是x轴正半轴上的点，且△POQ是等腰三角形，求点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 8=2 2， 8不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、 12= 22， 12不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、 10是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、 1.5= 32= 62， 1.5不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
最简二次根式必须满足两个条件：被开方数中不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此进行判断．
此题考查了最简二次根式的判定，熟练掌握最简二次根式的判定方法是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：数据从小到大排列为：2，2，3，4，5，
所以中位数为3；
数据2出现了2次，最多，
所以这组数据的众数为2．
故选：C．
先把原数据按由小到大排列，然后根据众数、中位数的定义求解．
本题考查了中位数和众数，熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、1+22≠32，不能构成直角三角，不符合题意；
B、62+82=102，能构成直角三角，符合题意；
C、22+( 3)2≠( 5)2，不能构成直角三角，不符合题意；
D、(15)2+(14)2≠(13)2，不能构成直角三角，不符合题意．
故选：B．
根据勾股定理的逆定理可知，两条较小的边的平方和等于第三条边的平方，即可构成直角三角形，依次即可求出答案．
本题考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解： (-2)2=2，故选项A错误，不符合题意；
7- 3不能合并，故选项B错误，不符合题意；
12× 8= 4=2，故选项C错误，不符合题意；
2 12= 2，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：方法一：
设另外一根是m，
则3+m=2，
∴m=-1，
∴另外一根是-1，
故选：A．
方法二：
将x=3代入方程可得：9-6+a=0，
∴a=-3，
x2-2x-3=0，
(x-3)(x+1)=0
x=3或x=-1，
故选：A．
方法一：设另外一根是m，根据根与系数的关系得到3+m=2，解得m=-1；
方法二：将x=3代入方程即可求出a的值．
本题考查一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
6.【答案】A
【解析】解：A、由AB=CD，AO=CO不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项A符合题意；
B、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
C、∵AD//BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB//CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：A．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图所示：不等式kx+b<1的解为：x<2．
故选：B．
直接利用已知点画出函数图象，利用图象得出答案．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键．
8.【答案】A
【解析】解：①平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故原说法错误；
②已知a、b、c是Rt△ABC的三条边，则a2+b2=c2，说法错误，因为没有说明c是直角边还是斜边；
③对角线相等且垂直平分的四边形是正方形，故原说法错误；
④矩形的对角线互相相等平分，故原说法错误；
⑤一组数据的众数可以不唯一，说法正确．
所以说法正确的有1个．
故选：A．
①根据平行四边形的性质以及轴对称图形的定义判断即可；②根据勾股定理判断即可；③根据正方形的判定方法判断即可；④根据正方形的性质判断即可；⑤根据众数的定义判断即可．
本题考查了轴对称图形的定义，平行四边形的性质，正方形的判定与性质，矩形的性质以及众数的定义，掌握相关知识是解答本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵原画面是长为30cm，宽为20cm的矩形，且彩纸的宽度为x cm，
∴原画四周镶上彩纸后的长为(30+2x)cm，宽为(20+2x)cm．
根据题意得：(30+2x)(20+2x)=2×30×20，
即(30+2x)(20+2x)=1200．
故选：D．
根据原画的长、宽及四周彩纸的宽，可得出原画四周镶上彩纸后的长为(30+2x)cm，宽为(20+2x)cm，再结合原画四周镶上彩纸后的面积等于原画面面积的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH//FG//BD，EF//AC//HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
即四边形ABCD一定是对角线互相垂直的四边形．
故选：C．
首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
11.【答案】D
【解析】解：①由图可得，
小帅的骑车速度是：(24-8)÷(2-1)=16(千米/小时)，①正确；
②点C的横坐标为：1-8÷16=0.5(小时)，
∴点C的坐标为(0.5,0)，②正确；
③设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
∵A(0.5,8)，B(2.5,24)，
∴0.5k+b=82.5k+b=24，
解得：k=8b=4，
∴线段AB对应的函数表达式为y=8x+4(0.5≤x≤2.5)，③正确；
④当x=2时，y=8×2+4=20，
∴此时小泽距离乙地的距离为：24-20=4(千米)，
答：当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有4千米，④正确．
故选：D．
根据函数图象中的数据可以求得小帅的骑车速度和点C的坐标；根据函数图象中的数据可以求得线段AB对应的函数表达式；将x=2代入线段AB对应的函数解析式求出相应的y的值，再用24减去此时的y值即可求得当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
12.【答案】A
【解析】解：连接AC，交BD于点O，连接ON，
∵菱形ABCD的对角线BD长度为4，边长AB= 5，
∴AC⊥BD，OD=12BD=2，CD= 5，
∴OC= CD2-OC2=1，
∵N为MD中点，
∴ON//BM，
∵BM⊥DM，
∴ON⊥DM，
∴∠OND=90°，
取OD的中点E，连接CE，NE，
则：OE=12OD=1,CE= OC2+OE2= 2,NE=12OD=1，
∵CN≤CE+NE，
∴当C，N，E三点共线时，CN的长度最大为CE+NE=1+ 2；
故选：A．
连接AC，交BD于点O，连接ON，易得ON是△BDM的中位线，得到ON//BM，取OD的中点E，连接CE，NE，得到CN≤CE+NE，得到当C，N，E三点共线时，CN最长，进行求解即可．
本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线．掌握并灵活运用相关知识点，构造三角形的中位线是解题的关键．
13.【答案】x≥53
【解析】解：∵代数式 3x-5在实数范围内有意义，
∴3x-5≥0，
∴x≥53．
故答案为：x≥53．
根据二次根式 3x-5的被开方数3x-5是非负数解答即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的概念是解题的关键．
14.【答案】y=3(x+1)2-2
【解析】解：将抛物线y=3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为y=3(x+1)2-2．
故答案为：y=3(x+1)2-2．
根据函数图象平移的法则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
15.【答案】8.3
【解析】解：根据题意得：
9×30%+8×40%+8×30%=8.3(分)，
即明的最终比赛成绩为8.3分．
故答案为：8.3．
利用加权平均数的计算方法可求出结果．
本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键．
16.【答案】6
【解析】解：∵AE垂直且平分线段BO，
∴AB=AO，
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，BD=12cm，
∴AO=12AC=12BD=6cm，
∴AB=AO=6cm，
故答案为：6．
根据相等垂直平分线的性质得到AB=AO，再由矩形的性质得到AO=6cm，则AB=AO=6cm．
本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知矩形的对角线相等且互相平分，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
17.【答案】9.375
【解析】解：∵s=-6t2+15t=-6(t-54)2+758，
∴汽车刹车后到停下来前进了758m，
即9.375m．
故答案为9.375．
根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出s的最大值即可得出结论．
本题考查了二次函数的应用，利用配方法，求出二次函数的顶点式是解题的关键．
18.【答案】(22023-1,22022)
【解析】解：∵点A1在直线y=x+1上，点A1在y轴上，
∴当x=0时，y=1，
∴点A1点坐标为(0,1)，
∴OA1=1，
∵四边形OA1B1C1是正方形，
∴OC1=OA1=B1C1=A1B1=1，
∴点B1(1,1)，
∵点A2在直线y=x+1上，
∴当x=1时，y=2，
∴点A2(1,2)，
∴C1C2=B2C2=A2C1=2，
∴点B2(3,2)，
同理可得B3(7,4)，B4(15,8)，
……，
由此发现，点Bn(2n-1,2n-1)，
∴点B2023的坐标是(22023-1,22022).
故答案为：(22023-1,22022).
先求出点A1点坐标为(0,1)，可得点B1(1,1)，再求出点A2(1,2)，从而得到点B2(3,2)，同理可得B3(7,4)，B4(15,8)，……，由此发现规律，即可求解．
本题主要考查了一次函数的图象和性质，正方形的性质，找到规律是解题的关键．
19.【答案】解：(x-6)(x+2)=0，
x-6=0或x+2=0，
所以x1=6，x2=-2．
【解析】利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．
20.【答案】解：(2 5-3)(2 5+3)+( 24- 6)÷ 3
=20-9+ 8- 2
=20-9+2 2- 2
=11+ 2．
【解析】根据平方差公式和二次根式的除法将题目中的式子展开，然后化简，再算加减法即可．
本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21.【答案】40 94 96
【解析】解：(1)∵九年级(2)班C组占的百分比为310×100%=30%，
∴a%=100%-20%-10%-30%=40%，
∴a=40，
∵九年级(1)班10名学生测试成绩中，第5和6位置的数都是92和96，
∴b=92+962=94，
∵九年级(1)班10名学生测试成绩中，96出现的次数最多，
∴众数c=96；
故答案为：40，94，96；
(2)这次比赛中，学校会选派九年级(2)班，
理由：
∵九年级(2)班的方差50.4小于九年级(1)班的方差52，
∴九年级(2)班成绩更平衡，更稳定，
∴学校会选派九年级(2)班；
(3)120×6+720=78(人)，
答：估计参加此次调查活动成绩优秀(x≥90)的九年级(2)班学生人数是78人．
(1)根据九年级(2)班C组的百分数求a，根据众数和中位数的定义求b和c即可；
(2)根据方差的意义解答即可；
(3)利用样本估计总体即可．
本题考查了方差，掌握平均数，中位数，方差及众数的意义是解题的关键．
22.【答案】解：
(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ>0且k≠0，即12-4k×(-2)>0且k≠0，
解得k>-18且k≠0；
(2)由根与系数的关系可得x1+x2=-1k，x1⋅x2=-2k，
由题意可得(-1k)2-2k=3，即3k2+2k-1=0，解得k=13或k=-1，
由(1)可知k>-18且k≠0，
∴k=13．
【解析】(1)由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；
(2)利用根与系数的关系，用k表示出x1+x2和x1⋅x2的值，由条件可得到关于k的方程，则可求得k的值．
本题有要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
23.【答案】解：【问题原型】证明：
在△ABC中，点E，F分别为AC，BC的中点
∴EF//AB，且EF=12AB
在Rt△ACD中，点E为AC的中点，
∴DE=12AC，
∵AB=AC，∴DE=EF
【探究】解：∵AC平分∠BAD，EF//AB，DE=12AC=AE=EC
∴∠BAC=∠DAC，∠CEF=∠BAC，∠DEC=2∠DAC=∠BAD
∵∠DEF=90°
∴∠CEF+∠DEC=∠BAC+2∠DAC=90°
∴∠BAC=∠DAC=30°，
∴∠BAD=60°
【应用】四边形ABCD的面积为：3 32
∵四边形CDEF是菱形，EC=DE，
∴△CDE与△CEF都是等边三角形，
∵AB=2，∴EF=DE=CD=CF=1
∴S△DCE=S△DEA=S△CEF= 34，
∵EF//AB，∴S△CEFS△ABC=(12)2，∴S△ABC=4S△CEF= 3
∴S四边形ABCD=S△DCE+S△DEA+S△ABC
=2× 34+ 3=3 32．
【解析】【问题原型】利用直角三角形斜边的中线性质和三角形的中位线性质可得结论；
【探究】先证明∠CEF=12∠BAD，∠DEC=∠BAD，根据∠DEF=90°列方程得∠BAD的度数；
【应用】由四边形CDEF是菱形，说明△CDE是等边三角形，再根据等底同高说明△CDE与△DEA间关系，根据相似说明△CAB与△CEF间关系，由AB=2，得DE=1，得等边△DE的面积，利用三角形的面积间关系得结论．
本题考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边的中线的性质、菱形的性质及等边三角形的面积等知识．题目难度中等，由题目原型到探究再到结论，步步深入，符合认知规律．
24.【答案】20 48 30 66
【解析】解：(1)线下销售：当x=5时，y=5×4=20；
当x=12时，y=4×12=48；
线上销售：当x=5时，y=5×6=30；
当x=12时，y=10×6+2×6×0.5=66；
故答案为：20，48；30，66；
(2)线下销售时y与x之间的函数关系式为：y=4x(x≥0)；
线上销售时：当0≤x≤10时，y=6x；
当x>10时，y=10×6+(x-10)×6×0.5=3x+30．
∴y与x之间的函数关系式为：y=6x(0≤x≤10)3x+30(x>10)；
(3)当3x+30<4x时，即当x>30时，线上购买更省钱；
当3x+30=4x时，即当x=30时，两种销售方式花费一样；
当3x+30=4x时，即当x<30时，线下购买更省钱．
(1)根据线上、线下销售方式分别求出x=5和12时的值即可；
(2)根据题意直接写出函数解析式；
(3)分三种情况讨论即可．
本题考查一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，AD//BC，
∴∠DAB=∠ABE，∠ADO=∠BCO，
∵AB=BE，
∴AD=BE，
∴△ADO≌△BEO(ASA)，
∴AO=BO；
(2)证明：延长BC至F，且使CF=BE，连接AF、DF，如图1所示：
则BF=CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AD//BC，∠BAD=∠ABC=∠DCB=90°，
在△ABF和△DCE中，AB=DC∠ABC=∠DCBBF=CE，
∴△ABF≌△DCE(SAS)，
∴∠DEC=∠AFB，
∵EB=CF，BN=CN，
∴N为EF的中点，
∴MN为△AEF的中位线，
∴MN//AF，
∴∠HNB=∠AFB=∠HEB；
(3)解：过点B作BQ⊥BP交DE于Q，如图2所示：
则∠PBQ=90°，
∵∠ABE=180°-∠ABC=90°，
∴∠EBQ=∠ABP，
∵AD//BC，
∴∠ADP=∠BEQ，
∵AP⊥DE，∠BAD=90°，
由角的互余关系得：∠BAP=∠ADP，
∴∠BEQ=∠BAP，
在△BEQ和△BAP中，∠EBQ=∠ABPBE=BA∠BEQ=∠BAP，
∴△BEQ≌△BAP(ASA)，
∴PA=QE，QB=PB，
∴△PBQ是等腰直角三角形，
∴PQ= 2PB，
∴PE-PAPB=PE-QEPB=PQPB= 2．
【解析】(1)根据正方形的性质得到AD=AB，AD//BC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
(2)延长BC至F，且使CF=BE，则BM=CE，由SAS证明△ABF≌△DCE，得出∠DEC=∠AFB，证出MN为△AEF的中位线，得出MN//AF，得出∠HNE=∠AFB=∠HEN，即可得出HE=HN；
(3)过点B作BQ⊥BP交DE于Q，由ASA证明△BEQ≌△BAP，得出PA=QE，QB=PB，证出△PBQ是等腰直角三角形，由勾股定理得出PQ= 2PB，即可得出答案；
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
26.【答案】解：(1)∵y=kx-1，
∴当y=0时，kx-1=0，x=1k，
∴A(1k,0)，OA=1k，
当x=0时，y=-1，
∴B(0,-1)，OB=1．
∵OB=2OA，
∴2×1k=1，
∴k=2，
∴A(12,0)；
(2)∵直线l：y=2x-1，点P是第一象限内直线l上的点，点P的横坐标为x，
∴P(x,2x-1)，x>12，
∴OC=x，CP=2x-1，
∴y=OC⋅CP=x(2x-1)=2x2-x，
即y=2x2-x(x>12)；
(3)∵四边形OCPD的面积为1，
∴2x2-x=1，
∴x1=1，x2=-12(不合题意舍去)，
∴P(1,1)，OP= 12+12= 2．
如图，当点Q是x轴正半轴上的点，且△POQ是等腰三角形时，分三种情况：
①如果OQ=OP= 2，那么Q1( 2,0)；
②如果PO=PQ，那么P在线段OQ的垂直平分线上，Q2(2,0)；
③如果QO=QP，那么Q在线段OP的垂直平分线上．
∵P(1,1)，
∴直线OP的解析式为y=x，线段OP的中点坐标为(12,12).
设线段OP的垂直平分线的解析式为y=-x+b，
将(12,12)代入，得12=-12+b，解得b=1，
∴线段OP的垂直平分线的解析式为y=-x+1，
∴y=0时，-x+1=0，解得x=1，
∴Q3(1,0)．
综上所述，所求点Q的坐标为Q1( 2,0)，Q2(2,0)，Q3(1,0)．
【解析】(1)根据直线l的解析式为y=kx-1，求出A(1k,0)，B(0,-1)，根据OB=2OA，求出k的值及点A的坐标；
(2)根据点P是第一象限内直线l上的点，点P的横坐标为x，可得P(x,2x-1)，x>12，再根据矩形面积公式即可求解；
(3)根据四边形OCPD的面积为1，求出P的坐标为(1,1)，利用两点间的距离公式求得OP= 12+12= 2，再分三种情况进行讨论：①OQ=OP= 2；②PO=PQ；③QO=QP．
本题是一次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的面积，两点间的距离公式，互相垂直的两直线斜率之积为-1的性质，等腰三角形的性质等知识，综合性较强，难度适中．利用分类讨论以及数形结合是解题的关键．
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