全国名校2023届高三下学期联考（三）数学（理）试卷（含答案）

这是一份全国名校2023届高三下学期联考（三）数学（理）试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
全国名校2023届高三下学期联考（三）数学（理）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、已知,则( )
A. B. C.1 D.
2、已知集合,则( )
A. B.
C. D.
3、已知a,b为单位向量, 若,则( )
A.0 B.-1 C.1 D.2
4、 的展开式中x的系数为( )
A.-35 B.-15 C.5 D.25
5、定义域为R的函数满足,则( )
A. B. C. D.
6、已知直线a,b,c两两异面, 且,下列说法正确的是( )
A.存在平面,使 ,且 ,,
B.存在平面,使,且,,
C.存在唯一的平面,使,且a,b与所成角相等
D.存在平面, 使,且
7、我国“复兴号”高铁列车是世界上运营速度最快的轮轨列车.在平直的铁轨上停着一辆“复兴号”高铁列车, 列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R,且某个车轮上的点P刚好与铁轨的上表面接触, 若该列车行驶了距离s,则此时P到铁轨上表面的距离为( )
A. B. C. D.
8、已知,则的最大值为( )
A. B. C. D.
9、记为等差数列的前n项和,若,则( )
A. B.
C. D.
10、已知双曲线的左、右焦点分别为,,关于C的一条渐近线的对称点P恰 好在C上,若直线交C的左半支于点Q,则( )
A. B. C. D.
11、定义域为的函数的导数为,若,且,则( )
A. B. C. D.
12、已知三棱锥的各顶点都在同一球面上,若,，，则该球的体积为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13、已知曲线过点 ,则C在点处的切线方程为_____________.
14、已知正方体的棱长为2,E,F分别为AB,BC的中点,则多面体的体积为______________.
15、有甲、乙、丙三个开关和A,B,C三盏灯,各开关对灯的控制互不影响.当甲闭合时A,B亮,当乙闭合 时B,C亮, 当丙闭合时A,C亮.若甲、乙、丙闭合的概率分别为,,且相互独立, 则在A亮 的条件下,B也亮的概率为__________.
16、抛物线的光学性质是: 位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经拋物线反射后的反射线都与抛物线的对称轴平行或重合.设抛物线的焦点为F,过点的直线交C于A,B两点,且,若C在A,B处的切线交于点P,Q为的外心,则的面积为______________.
三、解答题
17、在中,,.
(1)求;
(2)求的外接圆与内切圆的面积之比.
18、某中学为了调查学生每周运动时长, 随机从全校男生和女生中各抽取了90名学生进行问卷调查, 并对每周 不同运动时长所对应的人数进行了统计, 得到如下数据:

每周平均运动时长少于7小时
每周平均运动时长不少于7小时
男生
45
45
女生
60
30
(1)能否有的把握认为男生与女生每周平均运动时长有差异?
(2)现随机从全校男生和女生中各随机抽取2名学生，记其中男生和女生中每周平均运动时长不少于7小时的人数分别为X，Y，且记，证明：
附：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
19、如图,直三椶柱的所有椶长均相等,D为的中点.

(1)证明:;
(2)设M,N分别是棱AC,BC上的点, 若点,D,M,N在同一平面上, 且的面积是 的面积的3倍,求二面角的正弦值.
20、已知椭圆 的右焦点为F,上顶点为B,点,且.
(1)求C的方程;
(2)过P的直线交C于M,N两点, 证明: 直线BF平分.
21、已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)证明:;
(3)设,证明:.
22、在直角坐标系xOy中, 曲线C的参数方程为 (t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程;
(2)求C上的点到l距离的最小值.
23、已知函数,且，.证明:
(1);
(2).
参考答案
1、答案：B
解析：，，
2、答案：C
解析：,所以
3、答案：A
解析：因为a,b为单位向量,所以,
所以,.
4、答案：B
解析：x的系数为

5、答案：A
解析：因为,
则,
，
所以.
6、答案：D
解析：只有当时才存在平面,使,且,，故A错误; 若存在平面,使,且,则此时与不平行,故B错误;存在两个平面,使,且a,b与所成角相等,故C错误;存在平面,使,且,故D正确.
7、答案：C
解析：当列车行驶的距离为s时,车轮转过的角度为,此时P到铁轨上表面的距离为.
8、答案：C
解析：由,得,表示圆心坐标为,半径为1的圆,且的几何意义为过点和该圆上一点的直线的斜率,所以当该直线与圆相切于第一象限时的值最大,由几何关系可知最大值为.
9、答案：D
解析：,因为,所以,的符号不确定,而,所以,的符号不确定;,若,则,设公差为d,则,所以.
10、答案：B
解析：如图，设FP与渐近线l交于点R，O为坐标原点，则R为线段FP的中点，

由三角形中位线定理可知，又因为，所以.
由点到直线距离公式得，
所以,，
故,,设,则,
在直角中有,,
即,则,
所以.
11、答案：D
解析：设,则,
因为,所以单调递减,且,
所以当时,,，单调递增,
故,即;
,即;
由于单调递减, 所以;
,即,故D正确.
12、答案：A
解析：每个底面四个顶点共圆的直四棱柱的所有顶点必在 同一球面上, 如图, 假设由三棱雉 可以补成一个直 四棱柱,且底面四边形ADBE存在外接圆,
因为,所以,
所以,且,
所以,AB为四边形ADBE的外接圆直径.
设四棱柱的侧棱长为h,则,
所以,
所以,
所以,,是等边三角形,,故假设成立,所以四边形ABGF的两条对角线的交点即为所在球的球心.易知球半径,所以球的体积为.
13、答案：
解析：当时,,故,因为,所以当时,,所以曲线C在点处的切线方程为.
14、答案：
解析：所求体积为
15、答案：
解析：设事件M为A灯亮, 事件N为B灯亮, 事件X为开关甲闭合, 事件Y为开关乙闭合,事件Z为开关丙闭合,则,
其中,
,
所以.
16、答案：108
解析：如图, 易知C的焦点为,显然当轴时, AF不垂直于BF,

设过点的直线l的斜率为.
则,将代入,得,
即.设,
则,,,
所以,解得.设PA, PB与x轴正方向的夹角分别为,由抛物线的光学性质可知,,
故,且由圆的性质可知,
所以是等腰直角三角形,其中,
且,故
17、答案：(1)
(2)
解析：(1)设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,由正弦定理可知,
由余弦定理可知.解得,
又因为,
所以由正弦定理可知.
(2)设的外接圆与内切圆的半径分别为R,r
由(1)及正弦定理可知,故,
由三角形面积公式可知:,
且的周长为,
所以, 故 ,
所以的外接圆与内切圆的面积之比为.
18、答案：(1)没有的把握认为学生每周平均运动时长与性别有差异
(2)见解析
解析：(1)根据列联表得:,
所以没有的把握认为学生每周平均运动时长与性别有差异.
(2)男生中每周平均运动时长不少于7小时的比率为,女生中每周平均运动时长不少于7小时的比率为,则,
所以,
根据题意可知,-1.0,1,2
，
,


,
所以,
所以.
19、答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)连接,延长 ,BA交于点E,连接CE,
则,
因为平面BCE,
所以,平面,
因为平面,
所以,平面,
因为平面,
所以.
(2)在(1)的条件下,若,D,M,N在同一平面上,则E,M,N在同一直线上,
过A作,交EN于F,设,
则,所以,
所以, 解得,则,.
以C为坐标原点,CE为x轴,CB为y轴, 为z轴建立坐标系, 则,
,,
所以,，
设平面与平面的法向量分别为,
则，
不妨取,则,
所以,
故二面角的正弦值为.
20、答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)根据题意有,,设,则,
当时,,
所以,
根据椭圆的几何性质可知,
所以C的方程为.
(2)设MN的方程为,代入C的方程有:
,
设,则,
直线MF的方程为, 直线NF的方程为,
所以点B到直线MF,NF的距离分别为,
若直线BF平分,只需满足,
即 ，
整理化简有 ,
即 ，
故只需满足 ,
其中,
,
故,直线BF平分.
21、答案：(1)有两个单调递增区间,分别是，
(2)
(3)
解析：(1)根据题意有,则的定义域为,
当时,,
所以有两个单调递增区间,分别是，.
(2)因为是偶函数,故等价于当时,,
设,则 ,单调递减,
所以当时,,即当时,.
设,当 时,,
当 时,,
当时,是增函数,且,
所以存在唯一,使得,即,
当 时,,单调递减,当时,,单调递增,
故.
综上,
(3)由，易知,故,
即,其中 ,又因为,
且由(1)可知在单调递增,所以当且仅当时,
即时,成立,
所以

由（2）可知，当时，，故,
所以.
22、答案：(1)
(2)
解析：(1)C的普通方程为 ,
其中，

所以l的直角坐标方程为.
(2)设C上的点到l距离为d, 由(1)可知,
当 时,等号成立.
所以C上的点到l距离的最小值为.
23、答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)根据题意有 ,，
所以,即,①
,即，②
由①可知,
①+②有,即,
由①可知,,③
②+③有, 即 ,
综上,.
(2)由②,③可知, ，
,
所以.
且有,即,
所以,即.