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2022-2023学年广西桂林重点中学八年级（下）期中数学试卷
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这是一份2022-2023学年广西桂林重点中学八年级（下）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广西桂林重点中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )
A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6
3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=4.则AC的长度是( )
A. 3.5
B. 3
C. 2.5
D. 2
4. 如图，在平行四边形ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14，则△BOC的周长是( )
A. 10 B. 16 C. 18 D. 21
5. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB.若DE=3，BD=6，则BC的长度为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
6. 下列性质中，平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是( )
A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分内角
7. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是BC，AC中点，若∠B=35°，则∠AED=( )
A. 35° B. 50° C. 70° D. 80°
8. 如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是( )
A. 144
B. 194
C. 12
D. 13
9. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是( )
A. 当∠ABC=90°，□ABCD是矩形 B. 当AC=BD，□ABCD是矩形
C. 当AB=BC，□ABCD是菱形 D. 当AC⊥BD，□ABCD是正方形
10. 如图，以正方形ABCD的一边BC向正方形外作等边△EBC，则∠AED的度数是( )
A. 30° B. 20° C. 15° D. 10°
11. 如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点E、F分别在边AB、CD上，将纸带沿EF折叠，点A、D的对应点分别为A′、D′，若∠2=α，则∠1的度数为( )
A. 2α B. 90°−α C. 90°−13α D. 90°−12α
12. 如图，正方形ABCB1中，AB=1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4…依此规律，则A2017A2018=( )
A. ( 3)2017 B. ( 3)2018 C. 2( 3)2017 D. 2( 3)2018
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=38°，则∠B=______度．
14. 正十二边形的内角和是______ ．
15. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD=6，D是AB的中点，则AB= ．
16. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若BD=7，AC=4，则菱形ABCD的面积为______．
17. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线与内角∠ABC的平分线交于点P，若∠BPC=35°，则∠CAP= ______ ．
18. 如图，在等腰直角△ABC中.∠C=90°，AC=4 2，∠BAC的平分线交BC于点D，点E为AB边的中点，点F和G分别是AD和AE上动点，则EF+FG的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形为几边形？
20. (本小题6.0分)
作图题(不写作法，保留作图㾗迹)：已知N，M是∠AOB内、外的两点，直接在图中作出点P，使点P同时满足条件：
①P点到∠AOB的两边的距离相等；
②P点到M，N两点的距离相等．
21. (本小题10.0分)
如图所示，点M是BC的中点，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为点E、点F，ME=MF．
求证：△BEM≌△CFM．
22. (本小题10.0分)
如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC边上的中点，连接DE、BF、AF．
求证：四边形DEBF是平行四边形．
23. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD=4，BD=3．
(1)求BC的长；
(2)求证：△BCD是直角三角形．
24. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过A点作AF//BC，交BE的延长线于点F，连接CF．
(1)证明：四边形ADCF是菱形；
(2)当AB=AC时，请问四边形ADCF是什么特殊的四边形？并说明理由．
25. (本小题10.0分)
如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF=CE，连接AF，OF．
(1)求证：四边形AFED是矩形．
(2)若AD=7，BE=2，∠ABF=45°，试求OF的长．
26. (本小题10.0分)
(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，证明：∠BME=∠CNE．
请将证明∠BME=∠CNE的过程填写完整：
证明：连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF．
∵F是AD的中点，H是BD的中点，
∴HF//AB，HF=12AB；同理：HE// ______ ，HE= ______ ．
∴∠1=∠BME，∠2=∠CNE，
又∵AB=CD，∴HF=HE，∴∠=∠2，∴∠BME=∠CNE．
(2)运用上题方法解决下列问题：
问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，请判断△OMN的形状，并说明理由；
问题二：如图3，在△ABC中，AC>AB，点D在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于G点，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．
2.【答案】C
【解析】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
本题可对四个选项分别进行计算，看是否满足勾股定理的逆定理，若满足则为答案．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=4，
∴AC=12AB=2．
故选：D．
根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=12AB=2．
本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．比较简单．
4.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=8，BD=14，
∴AO=OC=4，OD=OB=7，
∵BC=10，
∴△BOC的周长为BC+OB+OC=10+7+4=21．
故选：D．
根据平行四边形的性质对角线互相平分，求出OC、OB即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、三角形周长等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线相互平分，属于基础题，中考常考题型．
5.【答案】C
【解析】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴ED=DC，
∵DE=3，BD=6，
∴BC=BD+CD=BD+DE=9．
故选：C．
根据角平分线的性质和线段的和差求解即可．
本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．
6.【答案】C
【解析】解：∵平行四边形的对角线互相平分，
∴矩形，菱形，正方形的对角线也必然互相平分．
故选：C．
根据矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质，特殊平行四边形都肯定具有，可判断出正确选项．
本题主要考查了平行四边形的性质，清楚平行四边形的性质，所有特殊平行四边形都具有是解决此题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，∠B=35°，
∴∠C=∠B=35°，
∵点D，E分别是BC，AC中点，
∴DE//AB，
∴∠EDC=∠B=35°，
∴∠AED=∠EDC+∠C=70°，
故选：C．
根据等边对等角求出∠C=∠B=35°，利用三角形中位线的判定和性质求出∠EDC=∠B=35°，再根据三角形外角的性质求出∠AED．
此题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线的判定和性质，三角形的外角性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了勾股定理、正方形的性质；熟记：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．根据勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．
【解答】
解：由勾股定理得：字母B所代表的正方形的面积=169−25=144．
故选A．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠ABC=90°，平行四边形ABCD是矩形，故选项A正确，不符合题意；
当AC=BD，平行四边形ABCD是矩形，故选项B正确，不符合题意；
当AB=BC，平行四边形ABCD是菱形，故选项C正确，不符合题意；
当AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断D．
本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．
10.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，
∴AB=BC，BC=BE，∠ABC=90°，∠CBE=60°，
∴∠ABE=150°，AB=BE，
∴∠BAE=∠AEB=15°，
同理可得：∠CDE=∠DEC=15°，
∴∠AED=∠CEB−∠CED−∠AEB=30°，
故选：A．
由正方形的性质和等边三角形的性质可得AB=BC=BE，∠ABC=90°，∠CBE=60°，由等腰三角形的性质可求解．
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：由折叠可得：∠AEF=∠A′EF，
∴∠AEF=12(180°−∠2)=90°−12α，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB//CD，
∴∠1=∠AEF=90°−12α，
故选：D．
先由折叠可得：∠AEF=∠A′EF，则∠AEF=12(180°−∠2)=90°−12α，再根据矩形得AB//CD，即可由平行线的性质求解．
本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质和平行线的性质是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
由四边形ABCB1是正方形，得到AB=AB1=1，AB//CB1，于是得到AB//A1C，根据平行线的性质得到∠CA1A=30°，可得A1B1= 3，AA1=2，同理：A2A3=2( 3)2，A3A4=2( 3)3，找出规律AnAn+1=2( 3)n，答案即可求出．
本题考查了正方形的性质，含30°直角三角形的性质，平行线的性质，熟记各性质并求出后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的 3倍是解题的关键．
【解答】
解：∵四边形ABCB1是正方形，
∴AB=AB1=1，AB//CB1，
∴AB//A1C，
∴∠CA1A=30°，
∴A1B1= 3AB1= 3，AA1=2AB1=2，
∴A1B2=A1B1= 3，
∴A1A2=2A1B2=2 3，
同理：A2A3=2( 3)2，
A3A4=2( 3)3，
…
∴AnAn+1=2( 3)n，
∴A2017A2018=2( 3)2017，
故选：C．
13.【答案】52
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=38°，
则∠B=90°−38°=52°，
故答案为：52．
根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】1800
【解析】解：正十二边形的内角和是(12−2)×180°=1800°，
故答案为：1800°．
根据多边形的内角和公式，可得答案．
本题考查了多边形的内角与外角，利用了多边形的内角和公式．
15.【答案】12
【解析】解：在△ABC中，
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴AB=2CD=2×6=12．
故答案为：12．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
16.【答案】14
【解析】解：∵BD=7，AC=4，
∴菱形ABCD的面积为：12×4×7=14，
故答案为：14．
根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．
此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形面积=12ab(a、b是两条对角线的长度)．
17.【答案】55°
【解析】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=35°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD−∠BPC=(x−35)°，
∴∠BAC=∠ACD−∠ABC=2x°−(x°−35°)−(x°−35°)=70°，
∴∠CAF=110°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
AP=PAPM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)，
∴∠FAP=∠PAC=55°．
故答案为：55°．
根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．
此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键．
18.【答案】2 2
【解析】解：连接CE，过点G作GH⊥AD于G，与AC交于点H，连接FH，EH，
∵等腰直角△ABC中．∠C=90°，AC=4 2，点E为AB边的中点，
∴CE⊥AB，CE=AE=BE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAN=∠HAN，
∵∠ANG=∠ANH=90°，AN=AN，
∴△ANG≌△ANH(ASA)，
∴GM=HN，
∴FH=FG，
∴EF+FG=EF+FH≥EH，
当点E、F、H依次在同一直线上，且EH⊥AC时，EF+FG=EF+FH=EH的值最小，
此时EH=12AC=2 2，
即EF+FG的最小值为2 2．
故答案为：2 2．
连接CE，过点G作GH⊥AD于G，与AC交于点H，连接FH，EH，得G、H点关于AD对称，当E、F、H三点共线，且BH⊥AC时，EF+FG=BH为最小值，通过等腰直角三角形的性质求得此时的BH便可．
本题考查轴对称求最短距离，角平分线定义，等腰直角三角形的性质，灵活应用角平分线定理，准确找到点A关于BD的对称点，再结合垂线段最短，将所有最小距离转化为垂线段A′F的长是解题的关键．
19.【答案】解：设这个多边形有n条边，由题意得：
180(n−2)=360×3，
解得：n=8，
答：这个多边形为八边形．
【解析】首先设这个多边形有n条边，根据多边形内角和公式180°(n−2)，外角和为360°可得方程180(n−2)=360×3，再解方程即可．
此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是掌握多边形的内角和与外角和度数．
20.【答案】解：如图，点P即为所求．
【解析】作∠AOB的平分线，线段NM的垂直平分线，两条线的交点即为满足条件的点P．
本题考查作图−复杂作图、轴对称最短问题、角平分线、线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】证明：∵点M是BC的中点，
∴MB=MC，
在Rt△BEM和Rt△CFM中，
BM=CMEM=FM，
∴Rt△BEM≌Rt△CFM(HL)．
【解析】利用HL定理证明△BEM≌△CFM．
本题考查的是全等三角形的判定，掌握直角三角形的判定定理(HL)是解题的关键．
22.【答案】证明：在平行四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴BE=DF，BE//DF．
∴四边形DEBF是平行四边形．
【解析】要证四边形DEBF是平行四边形，而很快证出BE=DF，BE//DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证出．
本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
23.【答案】解：(1)因为Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13，
所以BC2=AB2−AC2=132−122=25，
所以BC=5．
(2)证明：因为在△BCD中，CD=4，BD=3，BC=5，
所以CD2+BD2=BC2，
所以△BCD是直角三角形．
【解析】本题考查了勾股定理及其逆定理．
(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长；
(2)利用勾股定理逆定理即可证明△BCD是直角三角形．
24.【答案】(1)证明：∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵△ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，
∴AE=DE，BD=CD
在△AFE和△DBE中，
∠AFE=∠DBE∠AEF=∠BEDAE=DE，
∴△AFE≌△DBE(AAS)，
∴AF=BD，
又∵BD=CD，
∴AF=CD，且AF//BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=12BC=CD，
∴四边形ADCF是菱形；
(2)解：当AB=AC时，四边形ADCF是正方形．
理由：∵AF=BD=DC，AF//BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB=AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∵AD=AF，
∴四边形ADCF是正方形．
【解析】(1)由“AAS”可证△AFE≌△DBE，可得AF=BD=CD，可证四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形的性质可证AD=CD，可得结论；
(2)当AB=AC时，四边形ADCF是矩形．由AF=BD=DC，AF//BC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB=AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，AD=DC，继而可得四边形ADCF是正方形．
此题考查了菱形的判定和性质，正方形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵BF=CE，
∴FE=BC，
∴四边形AFED是平行四边形，
∵DE⊥BC，
∴∠DEF=90°，
∴四边形AFED是矩形．
(2)解：由(1)得：∠AFE=90°，FE=AD，
∵AD=7，BE=2，
∴FE=7，
∴FB=FE−BE=5，
∴CE=BF=5，
∴FC=FE+CE=7+5=12，
∵∠ABF=45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=FB=5，
在Rt△AFC中，由勾股定理得：AC= AF2+FC2= 52+122=13，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∴OF=12AC=132．
【解析】(1)证四边形AFED是平行四边形，∠DEF=90°，即可得出结论．
(2)求出CE=BF=5，则FC=FE+CE=12，证出△ABF是等腰直角三角形，得出AF=FB=5，在Rt△AFC中，由勾股定理求出AC=13，由平行四边形的性质得出OA=OC，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
26.【答案】CD 12CD
【解析】(1)证明：连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF．
∵F是AD的中点，H是BD的中点，
∴HF//AB，HF=12AB，
同理：HE//CD，HE=12CD，
∴∠1=∠BME，∠2=∠CNE，
又∵AB=CD，
∴HF=HE，
∴∠1=∠2，
∴∠BME=∠CNE；
故答案为：CD；CD；
(2)解：问题一：△OMN是等腰三角形，理由如下：
取AC的中点P，连接PF、PE，如图2所示：
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴PE是△ABC的中位线，PF是△ADC的中位线，
∴PE//AB，PE=12AB，PF//CD，PF=12CD，
∴∠PEF=∠ANF，∠PFE=∠CME，
又∵AB=CD，
∴PE=PF，
∴∠PFE=∠PEF，
∴∠OMN=∠ONM，
∴△OMN为等腰三角形．
问题二：△AGD是直角三角形．
证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，
∵F是AD的中点，
∴HF//AB，HF=12AB，
同理，HE//CD，HE=12CD，
∵AB=CD
∴HF=HE，
∵∠EFC=60°，
∴∠HEF=60°，
∴∠HEF=∠HFE=60°，
∴△EHF是等边三角形，
∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，
∴△AGF是等边三角形．
∵AF=FD，
∴GF=FD，
∴∠FGD=∠FDG=30°，
∴∠AGD=90°，
即△AGD是直角三角形．
(1)连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，先由三角形中位线定理得HF//AB，HF=12AB，同理：HE//CD，HE=12CD，再由平行线的性质得∠1=∠BME，∠2=∠CNE，然后证HF=HE，得∠1=∠2，即可得出结论；
(2)问题一：取AC的中点P，连接PF、PE，先由三角形中位线定理得PE//AB，PE=12AB，PF//CD，PF=12CD，再由平行线的性质得∠PEF=∠ANF，∠PFE=∠CME，然后证PE=PF，得∠PFE=∠PEF，进而得出结论；
问题二：利用平行线和中位线定理，可以证得三角形△FAG是等边三角形，再进一步确定∠FGD=∠FDG=30°，进而求出∠AGD=90°，故△AGD的形状可证．
本题是三角形综合题目，考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
2022-2023学年广西桂林重点中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )
A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6
3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=4.则AC的长度是( )
A. 3.5
B. 3
C. 2.5
D. 2
4. 如图，在平行四边形ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14，则△BOC的周长是( )
A. 10 B. 16 C. 18 D. 21
5. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB.若DE=3，BD=6，则BC的长度为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
6. 下列性质中，平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是( )
A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分内角
7. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是BC，AC中点，若∠B=35°，则∠AED=( )
A. 35° B. 50° C. 70° D. 80°
8. 如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是( )
A. 144
B. 194
C. 12
D. 13
9. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是( )
A. 当∠ABC=90°，□ABCD是矩形 B. 当AC=BD，□ABCD是矩形
C. 当AB=BC，□ABCD是菱形 D. 当AC⊥BD，□ABCD是正方形
10. 如图，以正方形ABCD的一边BC向正方形外作等边△EBC，则∠AED的度数是( )
A. 30° B. 20° C. 15° D. 10°
11. 如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点E、F分别在边AB、CD上，将纸带沿EF折叠，点A、D的对应点分别为A′、D′，若∠2=α，则∠1的度数为( )
A. 2α B. 90°−α C. 90°−13α D. 90°−12α
12. 如图，正方形ABCB1中，AB=1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4…依此规律，则A2017A2018=( )
A. ( 3)2017 B. ( 3)2018 C. 2( 3)2017 D. 2( 3)2018
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=38°，则∠B=______度．
14. 正十二边形的内角和是______ ．
15. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD=6，D是AB的中点，则AB= ．
16. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若BD=7，AC=4，则菱形ABCD的面积为______．
17. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线与内角∠ABC的平分线交于点P，若∠BPC=35°，则∠CAP= ______ ．
18. 如图，在等腰直角△ABC中.∠C=90°，AC=4 2，∠BAC的平分线交BC于点D，点E为AB边的中点，点F和G分别是AD和AE上动点，则EF+FG的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形为几边形？
20. (本小题6.0分)
作图题(不写作法，保留作图㾗迹)：已知N，M是∠AOB内、外的两点，直接在图中作出点P，使点P同时满足条件：
①P点到∠AOB的两边的距离相等；
②P点到M，N两点的距离相等．
21. (本小题10.0分)
如图所示，点M是BC的中点，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为点E、点F，ME=MF．
求证：△BEM≌△CFM．
22. (本小题10.0分)
如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC边上的中点，连接DE、BF、AF．
求证：四边形DEBF是平行四边形．
23. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD=4，BD=3．
(1)求BC的长；
(2)求证：△BCD是直角三角形．
24. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过A点作AF//BC，交BE的延长线于点F，连接CF．
(1)证明：四边形ADCF是菱形；
(2)当AB=AC时，请问四边形ADCF是什么特殊的四边形？并说明理由．
25. (本小题10.0分)
如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF=CE，连接AF，OF．
(1)求证：四边形AFED是矩形．
(2)若AD=7，BE=2，∠ABF=45°，试求OF的长．
26. (本小题10.0分)
(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，证明：∠BME=∠CNE．
请将证明∠BME=∠CNE的过程填写完整：
证明：连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF．
∵F是AD的中点，H是BD的中点，
∴HF//AB，HF=12AB；同理：HE// ______ ，HE= ______ ．
∴∠1=∠BME，∠2=∠CNE，
又∵AB=CD，∴HF=HE，∴∠=∠2，∴∠BME=∠CNE．
(2)运用上题方法解决下列问题：
问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，请判断△OMN的形状，并说明理由；
问题二：如图3，在△ABC中，AC>AB，点D在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于G点，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．
2.【答案】C
【解析】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
本题可对四个选项分别进行计算，看是否满足勾股定理的逆定理，若满足则为答案．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=4，
∴AC=12AB=2．
故选：D．
根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=12AB=2．
本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．比较简单．
4.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=8，BD=14，
∴AO=OC=4，OD=OB=7，
∵BC=10，
∴△BOC的周长为BC+OB+OC=10+7+4=21．
故选：D．
根据平行四边形的性质对角线互相平分，求出OC、OB即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、三角形周长等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线相互平分，属于基础题，中考常考题型．
5.【答案】C
【解析】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴ED=DC，
∵DE=3，BD=6，
∴BC=BD+CD=BD+DE=9．
故选：C．
根据角平分线的性质和线段的和差求解即可．
本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．
6.【答案】C
【解析】解：∵平行四边形的对角线互相平分，
∴矩形，菱形，正方形的对角线也必然互相平分．
故选：C．
根据矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质，特殊平行四边形都肯定具有，可判断出正确选项．
本题主要考查了平行四边形的性质，清楚平行四边形的性质，所有特殊平行四边形都具有是解决此题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，∠B=35°，
∴∠C=∠B=35°，
∵点D，E分别是BC，AC中点，
∴DE//AB，
∴∠EDC=∠B=35°，
∴∠AED=∠EDC+∠C=70°，
故选：C．
根据等边对等角求出∠C=∠B=35°，利用三角形中位线的判定和性质求出∠EDC=∠B=35°，再根据三角形外角的性质求出∠AED．
此题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线的判定和性质，三角形的外角性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了勾股定理、正方形的性质；熟记：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．根据勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．
【解答】
解：由勾股定理得：字母B所代表的正方形的面积=169−25=144．
故选A．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠ABC=90°，平行四边形ABCD是矩形，故选项A正确，不符合题意；
当AC=BD，平行四边形ABCD是矩形，故选项B正确，不符合题意；
当AB=BC，平行四边形ABCD是菱形，故选项C正确，不符合题意；
当AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断D．
本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．
10.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，
∴AB=BC，BC=BE，∠ABC=90°，∠CBE=60°，
∴∠ABE=150°，AB=BE，
∴∠BAE=∠AEB=15°，
同理可得：∠CDE=∠DEC=15°，
∴∠AED=∠CEB−∠CED−∠AEB=30°，
故选：A．
由正方形的性质和等边三角形的性质可得AB=BC=BE，∠ABC=90°，∠CBE=60°，由等腰三角形的性质可求解．
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：由折叠可得：∠AEF=∠A′EF，
∴∠AEF=12(180°−∠2)=90°−12α，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB//CD，
∴∠1=∠AEF=90°−12α，
故选：D．
先由折叠可得：∠AEF=∠A′EF，则∠AEF=12(180°−∠2)=90°−12α，再根据矩形得AB//CD，即可由平行线的性质求解．
本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质和平行线的性质是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
由四边形ABCB1是正方形，得到AB=AB1=1，AB//CB1，于是得到AB//A1C，根据平行线的性质得到∠CA1A=30°，可得A1B1= 3，AA1=2，同理：A2A3=2( 3)2，A3A4=2( 3)3，找出规律AnAn+1=2( 3)n，答案即可求出．
本题考查了正方形的性质，含30°直角三角形的性质，平行线的性质，熟记各性质并求出后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的 3倍是解题的关键．
【解答】
解：∵四边形ABCB1是正方形，
∴AB=AB1=1，AB//CB1，
∴AB//A1C，
∴∠CA1A=30°，
∴A1B1= 3AB1= 3，AA1=2AB1=2，
∴A1B2=A1B1= 3，
∴A1A2=2A1B2=2 3，
同理：A2A3=2( 3)2，
A3A4=2( 3)3，
…
∴AnAn+1=2( 3)n，
∴A2017A2018=2( 3)2017，
故选：C．
13.【答案】52
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=38°，
则∠B=90°−38°=52°，
故答案为：52．
根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】1800
【解析】解：正十二边形的内角和是(12−2)×180°=1800°，
故答案为：1800°．
根据多边形的内角和公式，可得答案．
本题考查了多边形的内角与外角，利用了多边形的内角和公式．
15.【答案】12
【解析】解：在△ABC中，
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴AB=2CD=2×6=12．
故答案为：12．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
16.【答案】14
【解析】解：∵BD=7，AC=4，
∴菱形ABCD的面积为：12×4×7=14，
故答案为：14．
根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．
此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形面积=12ab(a、b是两条对角线的长度)．
17.【答案】55°
【解析】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=35°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD−∠BPC=(x−35)°，
∴∠BAC=∠ACD−∠ABC=2x°−(x°−35°)−(x°−35°)=70°，
∴∠CAF=110°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
AP=PAPM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)，
∴∠FAP=∠PAC=55°．
故答案为：55°．
根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．
此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键．
18.【答案】2 2
【解析】解：连接CE，过点G作GH⊥AD于G，与AC交于点H，连接FH，EH，
∵等腰直角△ABC中．∠C=90°，AC=4 2，点E为AB边的中点，
∴CE⊥AB，CE=AE=BE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAN=∠HAN，
∵∠ANG=∠ANH=90°，AN=AN，
∴△ANG≌△ANH(ASA)，
∴GM=HN，
∴FH=FG，
∴EF+FG=EF+FH≥EH，
当点E、F、H依次在同一直线上，且EH⊥AC时，EF+FG=EF+FH=EH的值最小，
此时EH=12AC=2 2，
即EF+FG的最小值为2 2．
故答案为：2 2．
连接CE，过点G作GH⊥AD于G，与AC交于点H，连接FH，EH，得G、H点关于AD对称，当E、F、H三点共线，且BH⊥AC时，EF+FG=BH为最小值，通过等腰直角三角形的性质求得此时的BH便可．
本题考查轴对称求最短距离，角平分线定义，等腰直角三角形的性质，灵活应用角平分线定理，准确找到点A关于BD的对称点，再结合垂线段最短，将所有最小距离转化为垂线段A′F的长是解题的关键．
19.【答案】解：设这个多边形有n条边，由题意得：
180(n−2)=360×3，
解得：n=8，
答：这个多边形为八边形．
【解析】首先设这个多边形有n条边，根据多边形内角和公式180°(n−2)，外角和为360°可得方程180(n−2)=360×3，再解方程即可．
此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是掌握多边形的内角和与外角和度数．
20.【答案】解：如图，点P即为所求．
【解析】作∠AOB的平分线，线段NM的垂直平分线，两条线的交点即为满足条件的点P．
本题考查作图−复杂作图、轴对称最短问题、角平分线、线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】证明：∵点M是BC的中点，
∴MB=MC，
在Rt△BEM和Rt△CFM中，
BM=CMEM=FM，
∴Rt△BEM≌Rt△CFM(HL)．
【解析】利用HL定理证明△BEM≌△CFM．
本题考查的是全等三角形的判定，掌握直角三角形的判定定理(HL)是解题的关键．
22.【答案】证明：在平行四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴BE=DF，BE//DF．
∴四边形DEBF是平行四边形．
【解析】要证四边形DEBF是平行四边形，而很快证出BE=DF，BE//DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证出．
本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
23.【答案】解：(1)因为Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=12，AB=13，
所以BC2=AB2−AC2=132−122=25，
所以BC=5．
(2)证明：因为在△BCD中，CD=4，BD=3，BC=5，
所以CD2+BD2=BC2，
所以△BCD是直角三角形．
【解析】本题考查了勾股定理及其逆定理．
(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长；
(2)利用勾股定理逆定理即可证明△BCD是直角三角形．
24.【答案】(1)证明：∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵△ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，
∴AE=DE，BD=CD
在△AFE和△DBE中，
∠AFE=∠DBE∠AEF=∠BEDAE=DE，
∴△AFE≌△DBE(AAS)，
∴AF=BD，
又∵BD=CD，
∴AF=CD，且AF//BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=12BC=CD，
∴四边形ADCF是菱形；
(2)解：当AB=AC时，四边形ADCF是正方形．
理由：∵AF=BD=DC，AF//BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB=AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∵AD=AF，
∴四边形ADCF是正方形．
【解析】(1)由“AAS”可证△AFE≌△DBE，可得AF=BD=CD，可证四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形的性质可证AD=CD，可得结论；
(2)当AB=AC时，四边形ADCF是矩形．由AF=BD=DC，AF//BC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB=AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，AD=DC，继而可得四边形ADCF是正方形．
此题考查了菱形的判定和性质，正方形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵BF=CE，
∴FE=BC，
∴四边形AFED是平行四边形，
∵DE⊥BC，
∴∠DEF=90°，
∴四边形AFED是矩形．
(2)解：由(1)得：∠AFE=90°，FE=AD，
∵AD=7，BE=2，
∴FE=7，
∴FB=FE−BE=5，
∴CE=BF=5，
∴FC=FE+CE=7+5=12，
∵∠ABF=45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=FB=5，
在Rt△AFC中，由勾股定理得：AC= AF2+FC2= 52+122=13，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∴OF=12AC=132．
【解析】(1)证四边形AFED是平行四边形，∠DEF=90°，即可得出结论．
(2)求出CE=BF=5，则FC=FE+CE=12，证出△ABF是等腰直角三角形，得出AF=FB=5，在Rt△AFC中，由勾股定理求出AC=13，由平行四边形的性质得出OA=OC，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
26.【答案】CD 12CD
【解析】(1)证明：连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF．
∵F是AD的中点，H是BD的中点，
∴HF//AB，HF=12AB，
同理：HE//CD，HE=12CD，
∴∠1=∠BME，∠2=∠CNE，
又∵AB=CD，
∴HF=HE，
∴∠1=∠2，
∴∠BME=∠CNE；
故答案为：CD；CD；
(2)解：问题一：△OMN是等腰三角形，理由如下：
取AC的中点P，连接PF、PE，如图2所示：
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴PE是△ABC的中位线，PF是△ADC的中位线，
∴PE//AB，PE=12AB，PF//CD，PF=12CD，
∴∠PEF=∠ANF，∠PFE=∠CME，
又∵AB=CD，
∴PE=PF，
∴∠PFE=∠PEF，
∴∠OMN=∠ONM，
∴△OMN为等腰三角形．
问题二：△AGD是直角三角形．
证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，
∵F是AD的中点，
∴HF//AB，HF=12AB，
同理，HE//CD，HE=12CD，
∵AB=CD
∴HF=HE，
∵∠EFC=60°，
∴∠HEF=60°，
∴∠HEF=∠HFE=60°，
∴△EHF是等边三角形，
∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，
∴△AGF是等边三角形．
∵AF=FD，
∴GF=FD，
∴∠FGD=∠FDG=30°，
∴∠AGD=90°，
即△AGD是直角三角形．
(1)连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，先由三角形中位线定理得HF//AB，HF=12AB，同理：HE//CD，HE=12CD，再由平行线的性质得∠1=∠BME，∠2=∠CNE，然后证HF=HE，得∠1=∠2，即可得出结论；
(2)问题一：取AC的中点P，连接PF、PE，先由三角形中位线定理得PE//AB，PE=12AB，PF//CD，PF=12CD，再由平行线的性质得∠PEF=∠ANF，∠PFE=∠CME，然后证PE=PF，得∠PFE=∠PEF，进而得出结论；
问题二：利用平行线和中位线定理，可以证得三角形△FAG是等边三角形，再进一步确定∠FGD=∠FDG=30°，进而求出∠AGD=90°，故△AGD的形状可证．
本题是三角形综合题目，考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
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