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2022-2023学年山东省聊城市东昌府区八年级（下）期中数学试卷
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这是一份2022-2023学年山东省聊城市东昌府区八年级（下）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省聊城市东昌府区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数45， 4，32，0，π+12中，有理数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 下列语句正确是( )
A. 无限小数是无理数 B. 无理数是无限小数
C. 实数分为正实数和负实数 D. 两个无理数的和还是无理数
3. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
A. −a>b B. −a>c C. bc>a D. |c|>|a|+|b|
4. 最简二次根式 3m−1与2 2可以合并，则m的值是( )
A. 3 B. 1 C. −1 D. 4
5. 下列语句正确的有个( )
① 256的平方根是±4；②一对相反数的立方根之和为0；
③平方根等于本身的数有1和0；④ 5a与 0.2a是同类二次根式．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠ABC=120°，则花坛对角线AC的长等于米．( )
A. 6 2
B. 6 5
C. 3 5
D. 6 3
7. 如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是( )
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
8. 若不等式组x+a≥01−2x>x−2无解，则实数a的取值范围是( )
A. a≥−1 B. a<−1 C. a≤1 D. a≤−1
9. 若不等式组x>ax≥−3的解为x>a，则下列各式正确的是( )
A. a<3 B. a≤3 C. a>−3 D. a≥−3
10. 某种商品进价为800元，标价1200元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可以打折．( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
11. 如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处.若AB=3，BC=5，则DE的长为( )
A. 12
B. 53
C. 25
D. 13
12. 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO.若，FO=FC，则下列结论，其中正确结论的个数是( )
①FB⊥OC，OM=CM；
②△EOB≌△CMB；
③四边形EBFD是菱形；
④S△AOE；S△BCF=2：3．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13. 计算32 13+12 48− 754的结果是______ ．
14. 关于x的一元一次不等式组x>2x≤m恰有一个整数解，则m的取值范围是______．
15. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 a2− b2− (a−b)2=______．
16. 若方程组4x+y=k+1x+4y=3的解满足0≤x+y<1，则k取值范围是______．
17. 若x，y为实数，y= x2−4+ 4−x2+1x−2，则4y−3x的平方根是______．
三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）
18. 解不等式组并求出它的正整数解：5x−2>2x−9,①1−2x≥−3．②．
四、解答题（本大题共7小题，共65.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题12.0分)
计算：
(1)(2018−π)0+(12)−2−|−3|+(−1)3．
(2)−12018+|1− 3|−38+ (−2)2．
(3) (−1)2+ 14×(−2)2−3−27．
(4) 9+|−2|+327+(−1)2018．
20. (本小题7.0分)
如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，DE=12CE，过点B作BF//CE，交DE的延长线于点F.求证：四边形BCEF是菱形．
21. (本小题8.0分)
已知 a−17+ 17−a=b+8．
(1)求a的值；
(2)求a2−b2的平方根．
22. (本小题8.0分)
已知：如图，BE，BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F，EF分别交边AB，AC于点M和N．
求证：
(1)四边形AFBE是矩形；
(2)MN//BC．
23. (本小题8.0分)
解不等式组3x−6≤x4x+510
疫情防控期间，学校准备购买甲、乙两种洗手液，已知购买2瓶甲种洗手液和3瓶乙种洗手液共需90元；购买1瓶甲种洗手液和2瓶乙种洗手液共需55元．
(1)求甲、乙两种洗手液每瓶各需多少元？
(2)如果学校要购买甲、乙两种洗手液共30瓶，且总费用不超过527元，求至少要购买甲种洗手液多少瓶？
25. (本小题12.0分)
如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
(1)证明：PC=PE；
(2)求∠CPE的度数；
(3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：在实数45， 4，32，0，π+12中，有理数有45， 4，0，共有3个，
故选：C．
根据有理数的意义，即可解答．
本题考查了实数，熟练掌握有理数的意义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A.无限不循环小数是无理数，此选项说法错误；
B.无理数是无限小数，此选项说法正确；
C.实数分为正实数、负实数和零，此选项说法错误；
D.两个无理数的和也可能是有理数，此选项说法错误；
故选：B．
根据实数的意义逐一判断可得答案．
本题考查了实数，利用实数的意义是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：由数轴可得：−3c，|c|<3<|a|+|b|，
故选：B．
先根据数轴判定a，b，c的范围，再进行判定即可．
本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是根据数轴判定a，b，c的范围．
4.【答案】B
【解析】解：由题意得：3m−1=2，
解得：m=1，
故选：B．
利用最简二次根式定义求出m的值即可．
此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解： 256=16，16的平方根是±4，①正确；
一对相反数的立方根之和为0，②正确；
平方根等于本身的数是0，③错误；
5a与 0.2a是同类二次根式，④正确．
故选：C．
根据同类二次根式的概念，平方根的概念以及立方根的概念对各个说法进行判断即可．
本题考查的是同类二次根式的概念，平方根的概念以及立方根的概念，掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式、一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，它的两条对角线交于点O，∠ABC=120°，
∴AB=AD=CB=CD，AC⊥BD于点O，OA=OC，AD//BC，
∴∠AOB=90°，∠BAD=180°−∠ABC=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴菱形ABCD的周长是24米，
∴AB=14×24=6(米)，
∴BD=AB=6米，
∴OB=OD=12BD=12×6=3(米)，
∴OA= AB2−OB2= 62−32=3 3(米)，
∴AC=2OA=2×3 3=6 3(米)，
∴花坛对角线AC的长等于6 3米，
故选：D．
由四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，得AC⊥BD于点O，OA=OC，AD//BC，则∠AOB=90°，∠BAD=60°，所以△ABD是等边三角形，因为菱形ABCD的周长是24米，所以AB=6米，则BD=AB=6米，OB=OD=3米，由勾股定理求得OA=3 3米，则AC=2OA=6 3米，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△ABD是等边三角形是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC=2DE=5，AC//DE，
∵AC2+BC2=52+122=169，
AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴DC=BD12AB，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，
故选：D．
根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5，AC//DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据线直角三角形斜边中线的性质得到DC=BD=12AB，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质质、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：x+a≥0 ①1−2x>x−2 ②，
由①得，x≥−a，
由②得，x<1，
∵不等式组无解，
∴−a≥1，
解得：a≤−1．
故选：D．
分别求出各不等式的解集，再与已知不等式组无解相比较即可得出a的取值范围．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵不等式组x>ax≥−3的解为x>a，
∴a≥−3，
故选：D．
根据不等式组的解集同大取较大，可得答案．
本题考查了不等式的解集，解答此题要根据不等式组解集的求法解答．求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
10.【答案】C
【解析】解：设至多打x折，
由题意得，1200×0.1x−800≥800×20%，
解得：x≥8．
答：至多打8折．
故选：C．
设至多打x折，用标价×折扣−进价得出利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解．
本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解．
11.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=5，AB=CD=3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF=AD=5，EF=DE，
在Rt△ABF中，BF= AF2−AB2= 52−32=4，
∴CF=BC−BF=5−4=1，
设CE=x，则DE=EF=3−x，
在Rt△ECF中，CE2+FC2=EF2，
∴x2+12=(3−x)2，
解得x=43，
∴DE=3−x=53，
故选：B．
先根据矩形的性质得AD=BC=5，AB=CD=3，再根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=4，则CF=BC−BF=1，设CE=x，则DE=EF=3−x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12=(3−x)2，解方程即可得到DE的长．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的综合运用．解题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
12.【答案】B
【解析】解：连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AC、BD互相平分，
∵O为AC中点，
∴BD也过O点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，
在△OBF与△CBF中
FO=FCBF=BFOB=BC，
∴△OBF≌△CBF(SSS)，
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，
∴FB⊥OC，OM=CM；
∴①正确，
∵∠OBC=60°，
∴∠ABO=30°，
∵△OBF≌△CBF，
∴∠OBM=∠CBM=30°，
∴∠ABO=∠OBF，
∵AB//CD，
∴∠OCF=∠OAE，
∵OA=OC，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，
∴OB⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形，
∴③正确，
∵△EOB≌△FOB≌△FCB，
∴△EOB≌△CMB错误．
∴②错误，
∵△AOE≌△COF，
∴S△AOE=S△COF，
∵S△COF=2S△CMF，
∴S△AOE：S△BCM=2S△CMF：S△BCM=2FMBM，
∵∠FCO=30°，
∴FM=CM 3，BM= 3CM，
∴FMBM=13，
∴S△AOE：S△BCM=1：2，
故④错误；
故选：B．
①根据已知得出△OBF≌△CBF，可求得△OBF与△CBF关于直线BF对称，进而求得FB⊥OC，OM=CM；
②因为△EOB≌△FOB≌△FCB，故△EOB不会全等于△CBM．
③先证得∠ABO=∠OBF=30°，再证得OE=OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相平分，即可证得四边形EBFD是菱形；
④可通过面积转化进行解答．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识．
13.【答案】0
【解析】解：原式=32× 33+12×4 3−5 32
= 32+2 3−5 32
=0．
故答案为：0．
直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
14.【答案】3≤m<4
【解析】解：不等式组x>2x≤m，
解得：2
∴3≤m<4．
故答案为：3≤m<4．
表示出不等式组的解集，由不等式组恰有一个整数解，确定出m的范围即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
15.【答案】−2b
【解析】解：∵a<0，b>0，a−b<0，
∴ a2− b2− (a−b)2，
=|a|−|b|−|a−b|，
=−a−b+a−b=−2b．
故本题答案为：−2b．
由数轴可知a<0，b>0，a−b<0，根据二次根式的性质 a2=|a|，化简计算．
本题考查了二次根式的性质与化简．关键是根据数轴判断被开方数中底数的符号．
16.【答案】−4≤k<1
【解析】解：4x+y=k+1①x+4y=3②，
①+②，得
5x+5y=k+4，
∴x+y=k+45，
∵0≤x+y<1，
∴0≤k+45<1，
解得，−4≤k<1，
故答案为：−4≤k<1．
根据题目中的方程组的特点，可以得到x+y的值，然后根据0≤x+y<1，即可求得k的取值范围．
本题考查解一元一次不等式组、二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确题意，求出k的取值范围．
17.【答案】± 5
【解析】解：∵ x2−4与 4−x2同时成立，
∴x2−4≥04−x2≥0故只有x2−4=0，即x=±2，
又∵x−2≠0，
∴x=−2，y=1x−2=−14，
4y−3x=−1−(−6)=5，
故4y−3x的平方根是± 5．
故答案：± 5．
要求4y−3x的平方根，一要先求出x，y的值，要求x、y的值就要根据： x2−4与 4−x2同时成立，根号里的数一定是0.依此来求x、y的值．
根据 x2−4与 4−x2同时成立，得到x的值是解答本题的关键．
18.【答案】解：解①得：x>−73，
解②得：x≤2，
则不等式组的解集是：−73
【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x>较小的数、<较大的数，那么解集为x介于两数之间．
19.【答案】解：(1)原式=1+4−3−1
=1；
(2)原式=−1+ 3−1−2+2
=−2+ 3；
(3)原式=1+12×4+3
=1+2+3
=6；
(4)原式=3+2+3+1
=9．
【解析】(1)先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值和乘方，再计算加减即可；
(2)根据立方根、算术平方根和实数的运算法则计算即可；
(3)根据立方根、算术平方根和实数的运算法则计算即可；
(4)根据立方根、算术平方根和实数的运算法则计算即可．
本题考查实数的混合运算，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
20.【答案】证明：∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE//BC，DE=12BC，
∴EF//BC，
∵BF//CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵DE=12CE，
∴BC=CE，
∴四边形BCEF是菱形．
【解析】先证四边形BCFE是平行四边形．再证BC=CE，即可得出结论．
此题主要考查菱形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：根据题意得：a−17≥017−a≥0，
解得：a=17；
(2)b+8=0，
解得：b=−8．
则a2−b2=172−(−8)2=225，
则平方根是：±15．
【解析】(1)根据被开方数是非负数，即可求得a的值；
(2)根据(1)的结果即可求得b的值，然后利用平方根的定义求解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
22.【答案】
证明：(1)∵BE，BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°．
∵AE⊥BE，E为垂足，AF⊥BF，F为垂足，
∴∠AFB=∠AEB=90°，
∴四边形AEBF为矩形；
(2)∵四边形AEBF为矩形，
∴BM=MA=ME，
∴∠2=∠5，
∵∠2=∠1，
∴∠1=∠5
∴ME//BC，
∴△AMN∽△ABC，
∵M是AB的中点，
∴MN为△ABC的中位线，
∴MN//BC．
【解析】(1)由BF、BE是角平分线可得∠EBF是90°，进而由条件中的两个垂直可得两个直角，可得四边形AEBF是矩形；
(2)由矩形的性质可得∠2=∠5进而利用角平分线的性质可得∠1=∠5，可得MF//BC，进而可得△AMN∽△ABC，那么MN//BC．
综合考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质；用到的知识点为：有3个角是直角的四边形是矩形；矩形的对角线平分且相等；相似三角形的对应边成比例．
23.【答案】解：解不等式3x−6≤x，得：x≤3，
解不等式4x+5100，
则不等式组的解集为0
原式=x+3(x−1)2⋅[x2−3x(x+3)(x−3)−x−3(x+3)(x−3)]
=x+3(x−1)2⋅(x−1)(x−3)(x+3)(x−3)
=1x−1，
∵x≠±3且x≠1，
∴x=2，
则原式=12−1=1．
【解析】此题主要考查了分式的化简求值以及不等式组的解法，正确进行分式的混合运算是解题关键．
先解不等式组求得x的整数解，再根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，最后选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
24.【答案】解：(1)设甲种洗手液每瓶x元，乙种洗手液每瓶y元，
依题意，得：2x+3y=90x+2y=55，
解得：x=15y=20，
答：甲种洗手液每瓶15元，乙种洗手液每瓶20元；
(2)设购进甲种洗手液a瓶，则购进乙种洗手液(30−a)瓶，
依题意，得：15a+20×(30−a)≤527，
解得：a≥1435，
∵a为整数，
∴a至少为15，
答：至少购买甲种洗衣液15瓶．
【解析】(1)设甲种洗手液每瓶x元，乙种洗手液每瓶y元，由题意：购买2瓶甲种洗手液和3瓶乙种洗手液共需90元；购买1瓶甲种洗手液和2瓶乙种洗手液共需55元．列出方程组，解方程组即可；
(2)设购进甲种洗手液a瓶，则购进乙种洗手液(30−a)瓶，由题意：总费用不超过527元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程的应用，解题的关键：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找出不等关系，列出一元一次不等式．
25.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
AB=BC∠ABP=∠CBPPB=PB，
∴△ABP≌△CBP(SAS)，
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
(2)由(1)知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等)，
∴180°−∠PFC−∠PCF=180°−∠DFE−∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；
(3)在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，
在△ABP和△CBP中，
AB=BC∠ABP=∠CBPPB=PB，
∴△ABP≌△CBP(SAS)，
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，∴PC=PE，
∵PA=PE，∴∠DAP=∠DEP，∴∠DCP=∠DEP，
∵∠CFP=∠EFD，∴∠CPF=∠EDF
∵∠ABC=∠ADC=120°，
∴∠CPF=∠EDF=180°−∠ADC=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE；
【解析】(1)欲证明PC=PE，只要证明△ABP≌△CBP即可；
(2)利用“8字型”证明角相等即可解决问题；
(3)首先证明△ABP≌△CBP(SAS)推出PA=PC，∠BAP=∠BCP，再证明△EPC是等边三角形，可得PC=CE，即可解决问题；
本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年山东省聊城市东昌府区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数45， 4，32，0，π+12中，有理数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 下列语句正确是( )
A. 无限小数是无理数 B. 无理数是无限小数
C. 实数分为正实数和负实数 D. 两个无理数的和还是无理数
3. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
A. −a>b B. −a>c C. bc>a D. |c|>|a|+|b|
4. 最简二次根式 3m−1与2 2可以合并，则m的值是( )
A. 3 B. 1 C. −1 D. 4
5. 下列语句正确的有个( )
① 256的平方根是±4；②一对相反数的立方根之和为0；
③平方根等于本身的数有1和0；④ 5a与 0.2a是同类二次根式．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠ABC=120°，则花坛对角线AC的长等于米．( )
A. 6 2
B. 6 5
C. 3 5
D. 6 3
7. 如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是( )
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
8. 若不等式组x+a≥01−2x>x−2无解，则实数a的取值范围是( )
A. a≥−1 B. a<−1 C. a≤1 D. a≤−1
9. 若不等式组x>ax≥−3的解为x>a，则下列各式正确的是( )
A. a<3 B. a≤3 C. a>−3 D. a≥−3
10. 某种商品进价为800元，标价1200元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可以打折．( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
11. 如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处.若AB=3，BC=5，则DE的长为( )
A. 12
B. 53
C. 25
D. 13
12. 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO.若，FO=FC，则下列结论，其中正确结论的个数是( )
①FB⊥OC，OM=CM；
②△EOB≌△CMB；
③四边形EBFD是菱形；
④S△AOE；S△BCF=2：3．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13. 计算32 13+12 48− 754的结果是______ ．
14. 关于x的一元一次不等式组x>2x≤m恰有一个整数解，则m的取值范围是______．
15. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 a2− b2− (a−b)2=______．
16. 若方程组4x+y=k+1x+4y=3的解满足0≤x+y<1，则k取值范围是______．
17. 若x，y为实数，y= x2−4+ 4−x2+1x−2，则4y−3x的平方根是______．
三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）
18. 解不等式组并求出它的正整数解：5x−2>2x−9,①1−2x≥−3．②．
四、解答题（本大题共7小题，共65.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题12.0分)
计算：
(1)(2018−π)0+(12)−2−|−3|+(−1)3．
(2)−12018+|1− 3|−38+ (−2)2．
(3) (−1)2+ 14×(−2)2−3−27．
(4) 9+|−2|+327+(−1)2018．
20. (本小题7.0分)
如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，DE=12CE，过点B作BF//CE，交DE的延长线于点F.求证：四边形BCEF是菱形．
21. (本小题8.0分)
已知 a−17+ 17−a=b+8．
(1)求a的值；
(2)求a2−b2的平方根．
22. (本小题8.0分)
已知：如图，BE，BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F，EF分别交边AB，AC于点M和N．
求证：
(1)四边形AFBE是矩形；
(2)MN//BC．
23. (本小题8.0分)
解不等式组3x−6≤x4x+510
疫情防控期间，学校准备购买甲、乙两种洗手液，已知购买2瓶甲种洗手液和3瓶乙种洗手液共需90元；购买1瓶甲种洗手液和2瓶乙种洗手液共需55元．
(1)求甲、乙两种洗手液每瓶各需多少元？
(2)如果学校要购买甲、乙两种洗手液共30瓶，且总费用不超过527元，求至少要购买甲种洗手液多少瓶？
25. (本小题12.0分)
如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．
(1)证明：PC=PE；
(2)求∠CPE的度数；
(3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：在实数45， 4，32，0，π+12中，有理数有45， 4，0，共有3个，
故选：C．
根据有理数的意义，即可解答．
本题考查了实数，熟练掌握有理数的意义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A.无限不循环小数是无理数，此选项说法错误；
B.无理数是无限小数，此选项说法正确；
C.实数分为正实数、负实数和零，此选项说法错误；
D.两个无理数的和也可能是有理数，此选项说法错误；
故选：B．
根据实数的意义逐一判断可得答案．
本题考查了实数，利用实数的意义是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：由数轴可得：−3
故选：B．
先根据数轴判定a，b，c的范围，再进行判定即可．
本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是根据数轴判定a，b，c的范围．
4.【答案】B
【解析】解：由题意得：3m−1=2，
解得：m=1，
故选：B．
利用最简二次根式定义求出m的值即可．
此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解： 256=16，16的平方根是±4，①正确；
一对相反数的立方根之和为0，②正确；
平方根等于本身的数是0，③错误；
5a与 0.2a是同类二次根式，④正确．
故选：C．
根据同类二次根式的概念，平方根的概念以及立方根的概念对各个说法进行判断即可．
本题考查的是同类二次根式的概念，平方根的概念以及立方根的概念，掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式、一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，它的两条对角线交于点O，∠ABC=120°，
∴AB=AD=CB=CD，AC⊥BD于点O，OA=OC，AD//BC，
∴∠AOB=90°，∠BAD=180°−∠ABC=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴菱形ABCD的周长是24米，
∴AB=14×24=6(米)，
∴BD=AB=6米，
∴OB=OD=12BD=12×6=3(米)，
∴OA= AB2−OB2= 62−32=3 3(米)，
∴AC=2OA=2×3 3=6 3(米)，
∴花坛对角线AC的长等于6 3米，
故选：D．
由四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，得AC⊥BD于点O，OA=OC，AD//BC，则∠AOB=90°，∠BAD=60°，所以△ABD是等边三角形，因为菱形ABCD的周长是24米，所以AB=6米，则BD=AB=6米，OB=OD=3米，由勾股定理求得OA=3 3米，则AC=2OA=6 3米，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△ABD是等边三角形是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC=2DE=5，AC//DE，
∵AC2+BC2=52+122=169，
AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴DC=BD12AB，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，
故选：D．
根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5，AC//DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据线直角三角形斜边中线的性质得到DC=BD=12AB，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质质、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：x+a≥0 ①1−2x>x−2 ②，
由①得，x≥−a，
由②得，x<1，
∵不等式组无解，
∴−a≥1，
解得：a≤−1．
故选：D．
分别求出各不等式的解集，再与已知不等式组无解相比较即可得出a的取值范围．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵不等式组x>ax≥−3的解为x>a，
∴a≥−3，
故选：D．
根据不等式组的解集同大取较大，可得答案．
本题考查了不等式的解集，解答此题要根据不等式组解集的求法解答．求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
10.【答案】C
【解析】解：设至多打x折，
由题意得，1200×0.1x−800≥800×20%，
解得：x≥8．
答：至多打8折．
故选：C．
设至多打x折，用标价×折扣−进价得出利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解．
本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解．
11.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=5，AB=CD=3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF=AD=5，EF=DE，
在Rt△ABF中，BF= AF2−AB2= 52−32=4，
∴CF=BC−BF=5−4=1，
设CE=x，则DE=EF=3−x，
在Rt△ECF中，CE2+FC2=EF2，
∴x2+12=(3−x)2，
解得x=43，
∴DE=3−x=53，
故选：B．
先根据矩形的性质得AD=BC=5，AB=CD=3，再根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=4，则CF=BC−BF=1，设CE=x，则DE=EF=3−x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12=(3−x)2，解方程即可得到DE的长．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的综合运用．解题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
12.【答案】B
【解析】解：连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AC、BD互相平分，
∵O为AC中点，
∴BD也过O点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，
在△OBF与△CBF中
FO=FCBF=BFOB=BC，
∴△OBF≌△CBF(SSS)，
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，
∴FB⊥OC，OM=CM；
∴①正确，
∵∠OBC=60°，
∴∠ABO=30°，
∵△OBF≌△CBF，
∴∠OBM=∠CBM=30°，
∴∠ABO=∠OBF，
∵AB//CD，
∴∠OCF=∠OAE，
∵OA=OC，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，
∴OB⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形，
∴③正确，
∵△EOB≌△FOB≌△FCB，
∴△EOB≌△CMB错误．
∴②错误，
∵△AOE≌△COF，
∴S△AOE=S△COF，
∵S△COF=2S△CMF，
∴S△AOE：S△BCM=2S△CMF：S△BCM=2FMBM，
∵∠FCO=30°，
∴FM=CM 3，BM= 3CM，
∴FMBM=13，
∴S△AOE：S△BCM=1：2，
故④错误；
故选：B．
①根据已知得出△OBF≌△CBF，可求得△OBF与△CBF关于直线BF对称，进而求得FB⊥OC，OM=CM；
②因为△EOB≌△FOB≌△FCB，故△EOB不会全等于△CBM．
③先证得∠ABO=∠OBF=30°，再证得OE=OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相平分，即可证得四边形EBFD是菱形；
④可通过面积转化进行解答．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识．
13.【答案】0
【解析】解：原式=32× 33+12×4 3−5 32
= 32+2 3−5 32
=0．
故答案为：0．
直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
14.【答案】3≤m<4
【解析】解：不等式组x>2x≤m，
解得：2
∴3≤m<4．
故答案为：3≤m<4．
表示出不等式组的解集，由不等式组恰有一个整数解，确定出m的范围即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
15.【答案】−2b
【解析】解：∵a<0，b>0，a−b<0，
∴ a2− b2− (a−b)2，
=|a|−|b|−|a−b|，
=−a−b+a−b=−2b．
故本题答案为：−2b．
由数轴可知a<0，b>0，a−b<0，根据二次根式的性质 a2=|a|，化简计算．
本题考查了二次根式的性质与化简．关键是根据数轴判断被开方数中底数的符号．
16.【答案】−4≤k<1
【解析】解：4x+y=k+1①x+4y=3②，
①+②，得
5x+5y=k+4，
∴x+y=k+45，
∵0≤x+y<1，
∴0≤k+45<1，
解得，−4≤k<1，
故答案为：−4≤k<1．
根据题目中的方程组的特点，可以得到x+y的值，然后根据0≤x+y<1，即可求得k的取值范围．
本题考查解一元一次不等式组、二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确题意，求出k的取值范围．
17.【答案】± 5
【解析】解：∵ x2−4与 4−x2同时成立，
∴x2−4≥04−x2≥0故只有x2−4=0，即x=±2，
又∵x−2≠0，
∴x=−2，y=1x−2=−14，
4y−3x=−1−(−6)=5，
故4y−3x的平方根是± 5．
故答案：± 5．
要求4y−3x的平方根，一要先求出x，y的值，要求x、y的值就要根据： x2−4与 4−x2同时成立，根号里的数一定是0.依此来求x、y的值．
根据 x2−4与 4−x2同时成立，得到x的值是解答本题的关键．
18.【答案】解：解①得：x>−73，
解②得：x≤2，
则不等式组的解集是：−73
【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x>较小的数、<较大的数，那么解集为x介于两数之间．
19.【答案】解：(1)原式=1+4−3−1
=1；
(2)原式=−1+ 3−1−2+2
=−2+ 3；
(3)原式=1+12×4+3
=1+2+3
=6；
(4)原式=3+2+3+1
=9．
【解析】(1)先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值和乘方，再计算加减即可；
(2)根据立方根、算术平方根和实数的运算法则计算即可；
(3)根据立方根、算术平方根和实数的运算法则计算即可；
(4)根据立方根、算术平方根和实数的运算法则计算即可．
本题考查实数的混合运算，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
20.【答案】证明：∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE//BC，DE=12BC，
∴EF//BC，
∵BF//CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵DE=12CE，
∴BC=CE，
∴四边形BCEF是菱形．
【解析】先证四边形BCFE是平行四边形．再证BC=CE，即可得出结论．
此题主要考查菱形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：根据题意得：a−17≥017−a≥0，
解得：a=17；
(2)b+8=0，
解得：b=−8．
则a2−b2=172−(−8)2=225，
则平方根是：±15．
【解析】(1)根据被开方数是非负数，即可求得a的值；
(2)根据(1)的结果即可求得b的值，然后利用平方根的定义求解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
22.【答案】
证明：(1)∵BE，BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°．
∵AE⊥BE，E为垂足，AF⊥BF，F为垂足，
∴∠AFB=∠AEB=90°，
∴四边形AEBF为矩形；
(2)∵四边形AEBF为矩形，
∴BM=MA=ME，
∴∠2=∠5，
∵∠2=∠1，
∴∠1=∠5
∴ME//BC，
∴△AMN∽△ABC，
∵M是AB的中点，
∴MN为△ABC的中位线，
∴MN//BC．
【解析】(1)由BF、BE是角平分线可得∠EBF是90°，进而由条件中的两个垂直可得两个直角，可得四边形AEBF是矩形；
(2)由矩形的性质可得∠2=∠5进而利用角平分线的性质可得∠1=∠5，可得MF//BC，进而可得△AMN∽△ABC，那么MN//BC．
综合考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质；用到的知识点为：有3个角是直角的四边形是矩形；矩形的对角线平分且相等；相似三角形的对应边成比例．
23.【答案】解：解不等式3x−6≤x，得：x≤3，
解不等式4x+510
则不等式组的解集为0
原式=x+3(x−1)2⋅[x2−3x(x+3)(x−3)−x−3(x+3)(x−3)]
=x+3(x−1)2⋅(x−1)(x−3)(x+3)(x−3)
=1x−1，
∵x≠±3且x≠1，
∴x=2，
则原式=12−1=1．
【解析】此题主要考查了分式的化简求值以及不等式组的解法，正确进行分式的混合运算是解题关键．
先解不等式组求得x的整数解，再根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，最后选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
24.【答案】解：(1)设甲种洗手液每瓶x元，乙种洗手液每瓶y元，
依题意，得：2x+3y=90x+2y=55，
解得：x=15y=20，
答：甲种洗手液每瓶15元，乙种洗手液每瓶20元；
(2)设购进甲种洗手液a瓶，则购进乙种洗手液(30−a)瓶，
依题意，得：15a+20×(30−a)≤527，
解得：a≥1435，
∵a为整数，
∴a至少为15，
答：至少购买甲种洗衣液15瓶．
【解析】(1)设甲种洗手液每瓶x元，乙种洗手液每瓶y元，由题意：购买2瓶甲种洗手液和3瓶乙种洗手液共需90元；购买1瓶甲种洗手液和2瓶乙种洗手液共需55元．列出方程组，解方程组即可；
(2)设购进甲种洗手液a瓶，则购进乙种洗手液(30−a)瓶，由题意：总费用不超过527元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程的应用，解题的关键：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找出不等关系，列出一元一次不等式．
25.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
AB=BC∠ABP=∠CBPPB=PB，
∴△ABP≌△CBP(SAS)，
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
(2)由(1)知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等)，
∴180°−∠PFC−∠PCF=180°−∠DFE−∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；
(3)在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，
在△ABP和△CBP中，
AB=BC∠ABP=∠CBPPB=PB，
∴△ABP≌△CBP(SAS)，
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，∴PC=PE，
∵PA=PE，∴∠DAP=∠DEP，∴∠DCP=∠DEP，
∵∠CFP=∠EFD，∴∠CPF=∠EDF
∵∠ABC=∠ADC=120°，
∴∠CPF=∠EDF=180°−∠ADC=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE；
【解析】(1)欲证明PC=PE，只要证明△ABP≌△CBP即可；
(2)利用“8字型”证明角相等即可解决问题；
(3)首先证明△ABP≌△CBP(SAS)推出PA=PC，∠BAP=∠BCP，再证明△EPC是等边三角形，可得PC=CE，即可解决问题；
本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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