2022-2023学年重庆市南岸区南开（融侨）中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年重庆市南岸区南开（融侨）中学八年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年重庆市南岸区南开中学八年级（下）期末数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题：（12个小题，每小题4分，共48分）
1．下方程中是一元二次方程的是（　　）
A．x+1＝0 B．x+y＝2 C．＝2 D．x2＝1
2．下列动画形象中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知：（a≠0），则的值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
4．下列分式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
5．若点P1（x1，y1），P2（x2，y2）反比例函数y＝﹣上，且y1＞0＞y2，则x1，x2，0的大小关系为（　　）
A．0＜x1＜x2 B．0＜x2＜x1 C．x1＜0＜x2 D．x2＜0＜x1
6．如图，有一块菱形纸片ABCD，沿高DE剪下后拼成一个矩形，矩形的相邻两边DC和DE的长分别是5，3．则EB的长是（　　）

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
7．观察下列表格，估计一元二次方程x2+3x﹣5＝0的正数解在（　　）
x
﹣1
0
1
2
3
4
x2+3x﹣5
﹣7
﹣5
﹣1
5
13
23
A．﹣1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
8．已知：如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝44°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（　　）

A．112° B．114° C．116° D．118°
9．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？
译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲出发几日，甲乙相逢？设甲出发x日，甲乙相逢，可列方程（　　）
A． B． C． D．
10．一个小正方体沿着斜面AC前进了10米，横截面如图所示，已知AB＝2BC，∠ABC＝90°，此时小正方体上的点N距离地面AB的高度升高了（　　）

A．5米 B．2米 C．4米 D．米
11．如图，在平面直角坐标系中，线段AD的端点点A、点D分别在y轴与x轴上．且与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）交于点B、点C，且BC＝2CD，△OCD面积为3，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
12．如果关于x的分式方程﹣2＝有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，则符合条件的所有整数a的积是（　　）
A．9 B．3 C．0 D．﹣3
二、填空题：（6个小题，每小题4分，共24分）
13．若分式的值大于0，则x满足的条件是　 　．
14．边长为a，b的矩形，它的长与宽之和为6，面积为7，则ab2+a2b的值为　 　．
15．若关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，则k的值是　 　．
16．如图，正方形ABCD边长为6，点E为CD边的中点，连按BE，将△BCE沿BE翻折得到△BFE，延长BF交AD于点G，则AG长为　 　．

17．2018年10月24日，世界上最长的港珠澳大桥正式通车，香港口岸途径西人工岛到达澳门口岸．五一期间小辉与小亮两家人在港澳旅游，某日两家人从香港口岸前往澳门口岸，当小辉一家乘坐穿梭巴士出发4分钟后，小亮一家乘坐跨境出租车出发，两车在全程中均保持匀速行驶，跨境出租车比穿梭巴士早到6.5分钟，过海关时间不考虑在内，两车距西人工岛的路程之和y（千米）与小辉家出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，穿梭巴士出发　 　分钟到达澳门口岸．

18．自2019年起，全国全面启动生活垃圾分类工作．到6月底，某市部分小区先投入“垃圾分类”工作中：这部分小区平均每个小区有72户业主参加，其中参加户数低于60户的小区平均每个小区有56户业主参加，参加户数不低于60户的小区平均每个小区有84户业主参加．根据调查发现，若每个小区同时新增10户业主参加，则此时参加户数低于60户的小区平均每个小区有58户，参加户数不低于60户的小区平均每个小区有90户业主参加，且该市这部分小区个数不低于50，且不高于70，则这部分小区有　 　个．

三、解答题：（共7个小题，每小题10分，共40分）
19．如图，已知一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2＝（k≠0）的图象交于点A（3，4），B（﹣4，n），与x轴交于点C，连接OA，点D为x轴上一点，OD＝OA，连接AD、BD．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△ABD的面积．






20．某旅行社推出“跟团游”和“定制游”两种旅行方式供客户选择．已知6月份该旅行社“跟团游”的销售额为60万元，“定制游”的销售额为20万元，“跟团游”平均每单的费用比“定制游”平均每单的费用少0.1万元，“跟团游”的订单数是“定制游”订单数的4倍，订单按一人一单计算．
（1）求“定制游”的单数为多少？
（2）由于暑期是旅游旺季，消费水平整体升高，该旅行社预计7月份“跟团游”和“定制游”的订单数分别比上月对应订单数多3a%和a%，“跟团游”和“定制游”平均每单的费用分别比上月对应每单多a%和2a%，这样预计7月份该旅行社总销售额比上个月总销售额的7a%还多40万元，且a＞50，求a的值．







21．当解某些计算较复杂的一元二次方程时，可考虑用“缩根法”简化运算．“缩根法”是指将一元二次方程先转化成系数比原方程简单的新一元二次方程，然后解新一元二次方程，并将新方程的两根同时缩小若干倍，从而得到原方程的两个跟．
已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1＝α，x2＝β，求关于x的一元二次方程p2ax2+pbx+c＝0（ap≠0）的两根．
解：∵p2ax2+pbx+c＝0（ap≠0），∴a（px）2+b•px+c＝0，令px＝x′，得新方程ax′2+bx′+c＝0，
∵新方程的解为x1′＝α，x2′＝β，∴px＝α，px＝β，∴原方程的两根为x1＝，x2＝．
这种解一元二次方程的方法叫做“缩根法”．
举例：用缩根法解方程49x2+35x﹣24＝0．
解：∵49＝72，35＝5×7，∴（7x）2+5×7x﹣24＝0，令7x＝x′，得新方程x′2+5x′﹣24＝0．
解新方程得：x1′＝3，x2′＝﹣8，∴7x＝3，7x＝﹣8，∴原方程的两根为x1＝，x2＝﹣．
请利用上面材料解决下面间题，并写出具体步骤：
（1）用缩根法解方程：36x2﹣6x﹣1＝0；
（2）用缩根法解方程：3x2+160x﹣256000＝0．















22．已知：菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，以AD为斜边构造等腰Rt△AED，连接BE．
（1）如图1，若∠DAB＝60°，AD＝4，求△BED的面积．
（2如图2，延长DE交AB于点F，过点O作OG⊥CD于点G，过点C作CH⊥DF于点H，CH与OG交于点M，且OM＝BF．求证：AO＝2BE．





















四、解答题：（1个小题，共8分）
23．（8分）已知直线AB交x轴，y轴于点A，点B，且A（2，0），∠OAB＝30°．
（1）如图1，若点C为线段AB上一动点，点D为y轴上一动点，连接OC，CD，当OC+AC取得最小值时，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得线段CD′，连接BD′，AD′，求BD′+AD′的最小值．
（2）如图2，在（1）中，当OC+AC取得最小值时，过点C作直线l∥y轴，将∠BOC绕点O顺时针旋转α（0＜α＜120°），在旋转过程中，∠BOC的对应角为∠B′OC′，∠B′OC′的两条射线OB′，OC′分别交直线AB，直线l于点M，N，连接MN，直线MN与射线OC交于点E，将△OCM沿直线AB翻折得△PCM，在旋转过程中是否存在某时刻使得∠NMP＝2∠MOC？若存在，请直按接写出线段CE的长；若不存在，请说明理由．


参考答案与试题解析
一、选择题
1．解：A、该方程属于一元一次方程，故本选项错误．
B、该方程属于二元一次方程，故本选项错误．
C、该方程属于分式方程，故本选项错误．
D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确．
故选：D．
2．解：A、是中心对称的图形，故本选项正确；
B、不是中心对称的图形，故本选项错误；
C、不是中心对称的图形，故本选项错误；
D、不是中心对称的图形，故本选项错误．
故选：A．
3．解：∵（a≠0），
∴，
∴＝（1+）＝×（1+）＝；
故选：C．
4．解：A、该分式的分子、分母中含有公因数a，则它不是最简分式．故本选项错误；
B、该分式的分子、分母中含有公因数3，则它不是最简分式．故本选项错误；
C、该分式符合最简分式的定义．故本选项正确．
D、分母为（x+1）（x﹣1），所以该分式的分子、分母中含有公因式（x+1），则它不是最简分式．故本选项错误；
故选：C．
5．解：∵k＝﹣2＜0，
∴图象在二四象限，
∵y1＞0＞y2，
∴x1＜0＜x2，
故选：C．
6．解：∵有一块菱形纸片ABCD，DC＝5，
∴AD＝BC＝5，
∵DE＝3，∠DEA＝90°，
∴AE＝4，
则BE＝5﹣4＝1．
故选：B．
7．解：由表可以看出，当x取1与2之间的某个数时，x2+3x﹣5＝0，即这个数是x2+3x﹣5＝0的一个根．
x2+3x﹣5＝0的一个解x的取值范围为1和2之间．
故选：C．
8．解：连接BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC＝BC，∠1＝∠2，∠DAC＝∠BAC，
在△DCF和△BCF中
∵，
∴△DCF≌△BCF（SAS），
∴∠CDF＝∠CBF，
∵EF的垂直平分AB，
∴AF＝BF，
∴∠FAB＝∠FBA，
∵∠BAD＝44°，
∴∠DAC＝∠BAC＝22°，∠ABC＝136°，
∴∠FAB＝∠FBA＝22°，则∠FBC＝136°﹣22°＝114°，
故∠CDF＝114°．
故选：B．

9．解：设甲乙经过x日相逢，可列方程：
+＝1．
故选：B．
10．解：Rt△ABC中，AB＝2BC，
设BC＝x，则AC＝2x，
根据勾股定理可得，
x2+（2x）2＝102，
解得x＝2（负值舍去），
即小正方体上的点N距离地面AB的高度升高了2米，
故选：B．
11．解：连接OB，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，
∵BM∥CN，
∴＝，
∵BC＝2CD，△OCD面积为3，
∴＝，△BOC的面积为6，
设B（m，），则C（3m，），
∴MN＝2m，
∵S△BOC＝S梯形BMNC，
∴（+）•2m＝6，
解得k＝，
故选：D．
12．解：解，
得不等式组的解集为x＜﹣2，得到2a+4≥﹣2，即a≥﹣3，
分式方程去分母得：a﹣2x﹣1＝3，
把a＝﹣3代入整式方程得x＝﹣，符合题意；
把a＝﹣2代入整式方程得x＝﹣3，不合题意；
把a＝﹣1代入整式方程得x＝﹣，符合题意；
把a＝0代入整式方程得x＝﹣2，不合题意；
把a＝1代入整式方程得x＝﹣，符合题意；
把a＝2代入整式方程得x＝﹣1，不合题意；
把a＝3代入整式方程得x＝﹣，不符合题意；
∴符合条件的整数a取值为﹣3，﹣1，1，之积为3，
故选：B．
二、填空题
13．解：要使分式＞0，分母大于0即可，可得：x＞0；
故答案为：x＞0．
14．解：∵边长为a，b的矩形，它的长与宽之和为6，面积为7，
∴a+b＝6，ab＝7，
故ab2+a2b＝ab（b+a）
＝42．
故答案为：42．
15．解：
∵关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝0，即42﹣4（k﹣1）＝0，解得k＝5，
故答案为：5．
16．解：如图，连接EG，
由折叠可得，∠C＝∠BFE＝90°，EF＝CE，BC＝BF，
∴∠EFG＝∠D＝90°，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∴EF＝DE，
又∵GE＝GE，
∴Rt△DEG≌Rt△FEG（HL），
∴DG＝FG，
设DG为x，则FG＝x，BG＝6+x，AG＝6﹣x，
由勾股定理得：BG2＝AB2+AG2，
即（6+x）2＝62+（6﹣x）2，
解得x＝．
∴DG＝，
∴AG＝6﹣＝．
故答案为：．

17．解：如图1，

由题意得：2AC＝32，
AC＝16，
设穿梭巴士的速度为m千米/分，跨境出租车的速度为n千米/分，
当y＝0时，两家同时到达西人工岛，则，解得：，
设BC＝s千米，则s+s﹣6.5m＝45.5，
s＝，
∴，即＝，
解得：，
∴＝，
m2﹣m＝0，
m（m﹣1）＝0，
m1＝0（舍），m2＝1，
∴s＝＝26，
∴穿梭巴士的时间＝+＝42，
答：穿梭巴士出发42分钟到达澳门口岸．
故答案为：42．
18．解：设低于60户的有x个小区，不低于60户的有y个小区
每个小区增加10户，则设低于60户的会在x户的基础上减少e户，
不低于60户的会在y户的基础上增加e户
即：低于60户有（x﹣e）个小区，不低于60户的有（y+e）个小区
由题意得：72（x+y）＝56x+84y
化简得：4x＝3y①
同时有：58（x﹣e）+90（y+e）＝82（x+y）
化简得：3x﹣y＝4e②
由①②解得：x＝2.4e，y＝3.2e
∵x，y，e都是正整数，且50≤x+y≤70
∴50≤5.6e≤70
∴e＝10，x＝24，y＝32
∴x+y＝56
故答案为：56．
三、解答题
19．解：（1）把A（3，4）代入y2＝得m＝3×4＝12，
∴反比例函数的解析式为y2＝，
把B（﹣4，n）代入y2＝得﹣4n＝12，解得n＝﹣3，
∴B点坐标为（﹣4，﹣3），
把A（3，4）、B（﹣4，﹣3）代入y1＝ax+b，
得，解得
∴一次函数y1的解析式为y1＝x+1；
（2）y＝0代入y1＝x+1得x+1＝0，解得x＝﹣1，
∴C点坐标为（﹣1，0），
∴OC＝1
∵A（3，4），
∴OA＝＝5，
∵OD＝OA，
∴OD＝5，
∴CD＝5﹣1＝4，
∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD＝+＝14．
20．解：（1）设“定制游”的单数为x，根据题意得
4x×（﹣0.1）＝60
解得：x＝50
经检验，x＝50是原方程的解，也符合问题的实际意义
答：“定制游”的单数为50．
（2）由题意得：
60（1+3a%）（1+a%）+20（1+a%）（1+2a%）＝（20+60）×7a%+40
∴60（100+3a）（100+a）+20（100+a）（100+2a）＝80×7a×100+40×10000
∴3（10000+400a+3a2）+（10000+300a+2a2）＝2800a+20000
化简得：11a2﹣1300a+20000＝0
解得：a1＝100，a2＝
∵a＞50
∴a＝100．
21．解：（1）∵36＝62，﹣6＝﹣1×6，
∴（6x）2﹣1×6x﹣1＝0，
令6x＝x′，得新方程x′2﹣x′﹣1＝0．
解新方程得：x1′＝，x2′＝，
∴6x＝，6x＝，
∴原方程的两根为x1＝，x2＝；

（2）原方程整理为：9x2+160×3x﹣256000×3＝0．
∵9＝32，
∴（3x）2+160×3x﹣768000＝0，
令3x＝x′，得新方程x′2+160x′﹣768000＝0．
解新方程得：x1′＝800，x2′＝﹣960，
∴3x＝800，3x＝﹣960，
∴原方程的两根为x1＝，x2＝﹣．
22．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，且∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴AB＝BD，且AE＝DE，BE＝BE，
∴△ABE≌△DBE（SSS）
∴S△ABE＝S△DBE，
∴S△BED＝（S△ABD﹣S△AED）＝（×16﹣×）＝2﹣2；
（2）连接EO，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，∠DAC＝∠DCA＝∠BAC＝∠BCA，
∵OG⊥CD，
∴∠GOC+∠GCO＝90°，且∠OBA+∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝∠GOC，
∵∠DHC＝∠DOC＝90°，
∴点D，点H，点O，点C四点共圆，
∴∠BDF＝∠OCH，且BF＝OM，∠ABO＝∠GOC，
∴△BFD≌△OMC（AAS），
∴BD＝OC，
∴BD＝OC＝OA，
∵∠AED＝∠AOD＝90°
∴点A，点E，点O，点D四点共圆，
∴∠OAE＝∠EDB，且AE＝DE，AO＝BD，
∴△AEO≌△DEB（SAS），
∴EO＝BE，∠AEO＝∠DEB
∴∠AED＝∠BEO＝90°，且EO＝BE，
∴BO＝BE
∴AO＝BD＝2BO＝2BE
四、解答题
23．解：（1）如图1﹣1中，作直线OA关于直线AB的对称的中线AT，作C′E⊥AT于E，OF⊥AT于F，交AB于C．

∵∠BAT＝∠BAO＝30°，
∴C′E＝AC′，
∴OC′+C′A＝OC′+C′E，
根据垂线段最短可知：当O，C′，E共线，点C′与C重合，点E与F重合时，OC+AC取得最小值，
∵∠OFA＝90°，∠OAF＝60°，∴∠COA＝∠CAB＝30°，
∴OC＝CA，
∵∠CBO＝∠COB＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OC＝CA，
∵OB＝OA•tan30°＝2，
∴B（0，2），
∵A（2，0），
∴C（，1）．
如图1﹣2中，作CE⊥OB于E，D′F⊥CE于F．则△CED≌△D′FC（AAS），

∴D′F＝CE＝，
∴点D′到x轴的距离为1+，
∴点D′在直线y＝1+上运动，设该直线交y轴于G，
作点B关于该直线的对称点H（0，2），连接AH交直线y＝1+于D″，此时BD″+AD″的值最小，最小值为线段AH的长，
∵OH＝OA＝2，
∴AH＝2，
∴BD′+AD′的最小值为2．

（2）如图1中，当点M在线段BC上时，作EF⊥OM于F．

∵∠BOC＝∠MON＝60°，
∴∠BOM＝∠CON，
∵OB＝OC，∠OBM＝∠OCN＝60°，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴OM＝ON，∵∠MON＝60°，
∴△OMN是等边三角形，
由翻折的性质可知：PC＝OC＝2，PM＝OM＝MN，∉MOC＝∠MPC＝∠MNP，
∵∠NMP＝2∠MOC＝2∠MPN，
∴∠MPN＝∠MNP＝∠MOC＝45°，∠PMN＝90°，
在△OCM中，由∠COM＝45°，∠MCO＝60°，OC＝2，可得OM＝3﹣，
设FM＝x，则EF＝OF＝x，
∴x+x＝3﹣，
∴x＝2﹣3，
∴OE＝OF＝12﹣6，
∴CE＝OC﹣OE＝2﹣（12﹣6）＝6﹣10．

如图2﹣2中，当点M在BA的延长线上时，同法可证：∠ECM＝45°．

在△OCM中，由OC＝2，∠COM＝45°，∠OCM＝120°，可得OM＝3+，
同法可得OE＝12+6，
∴EC＝OE＝OC＝6+10．
综上所述，满足条件的CE的值为6﹣10或6+10