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四川省泸县第五中学2022-2023学年高一数学下学期6月期末试题（Word版附解析）
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这是一份四川省泸县第五中学2022-2023学年高一数学下学期6月期末试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省泸州市泸县五中高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={-1,0,1,2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=( )
A. {-1,0,1} B. {0,1} C. {-1,1} D. {0,1,2}
2. 已知复数z满足z1-i=1+2i(其中i为虚数单位)，则|z|=( )
A. 3 B. 2 2 C. 2 D. 10
3. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A. 200，20 B. 100，20 C. 200，10 D. 100，10
4. 某学校在校学生有3000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且a：b：c=2：3：4，全校参加登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本进行调查，则应从高二年级参加跑步的学生中抽取( )
A. 15人 B. 30人 C. 45人 D. 60人
5. O为▱ABCD两条对角线的交点，AB=4e1，BC=6e2，则DO=( )
A. 2e1+e2 B. 2e1-e2 C. 2e1+3e2 D. 2e1-3e2
6. 已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是( )
A. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//β B. 若m//α，m//β，则α//β
C. 若m⊥α，n⊥α，则m//n D. 若m//α，n//α，则m//n
7. 已知在△ABC中，AB=3，AC=4，BC= 10，则AB⋅BC=( )
A. -34 B. -32 C. 32 D. 34
8. 已知某圆锥的内切球(球与圆锥侧面、底面均相切)的体积为32π3，则该圆锥的表面积的最小值为( )
A. 32π B. 28π C. 24π D. 20π
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若PAB=19，PA=23，PB=13，则关于事件A与B的关系正确的是
A. 事件A与B互斥 B. 事件A与B不互斥
C. 事件A与B相互独立 D. 事件A与B不相互独立
10. 在△ABC中，若(a+b)：(a+c)：(b+c)=9：10：11，下列结论中正确的有( )
A. sinA：sinB：sinC=4：5：6
B. △ABC是钝角三角形
C. △ABC的最大内角是最小内角的2倍
D. 若c=6，则△ABC外接圆的半径为8 77
11. 如图，点D位于以AB为直径的半圆上(含端点A，B)，△ABC是边长为2的等边三角形，则AD⋅CB的取值可能是( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 4
12. 如图，平面四边形ABCD是由正方形AECD和直角三角形BCE组成的直角梯形，AD=1，∠CBE=π6，现将Rt△ACD沿斜边AC翻折成△ACD1(D1不在平面ABC内)，若P为BC的中点，则在Rt△ACD翻折过程中，下列结论正确的是( )
A. AD1与BC不可能垂直
B. 三棱锥C-BD1E体积的最大值为 612
C. 若A，C，E，D1都在同一球面上，则该球的表面积是2π
D. 直线AD1与EP所成角的取值范围为(π6,π3)
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 一组数据x1,x2,⋯,xn的平均值为3，方差为1，记3x1+2,3x2+2,3x3+2,⋯,3xn+2的平均值为a，方差为b，则a+b=_________．
14. 向量a=(2,1)在向量b=(3,4)方向上的投影向量的模为______ ．
15. 已知非零向量a，b的夹角为π3，|a|= 3，a⊥(a-b)，则|b|= ______ ．
16. 奋进新时代，扬帆新航程.在南海海域的某次海上阅兵上，一大批国产先进舰船和军用飞机接受了党和人民的检阅.歼-15舰载飞机从辽宁舰航空母舰上起飞，以300 2千米/小时的速度在同一水平高度向正东方向飞行，在阅兵舰“长沙号”导弹驱逐舰上第一次观察到歼-15舰载飞机在北偏西π3方向，1分钟后第二次观察到歼-15舰载飞机在北偏东5π12方向，仰角为π6，则歼-15飞机飞行高度为______ 千米(结果保留根号)．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
复数z满足|z|=2 2，z2为纯虚数，若复数z在复平面内所对应的点在第一象限．
(1)求复数z；
(2)复数z，z-，z2所对应的向量为a，b，c，已知(λa+b)⊥(b+c)，求λ的值．
18. (本小题12.0分)
2022年3月5日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，2021年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长．某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取100人，经统计，这100人去年可支配收入(单位：万元)均在区间[4.5,10.5]内，按[4.5,5.5)，[5.5,6.5)，[6.5,7.5)，[7.5,8.5)，[8.5,9.5)[9.5，10.5]分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1．
(1)求a，b的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率．
19. (本小题12.0分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，BC=AA1= 22AB，点E为AB边中点．
(1)证明：BC1//平面CEA1；
(2)证明：AC1⊥平面A1BC．
20. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=cos2x+2 3sinxcosx-sin2x．
(1)若x∈(0,π)，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(θ)=65，且π6<θ<2π3，求sin2θ的值．
21. (本小题12.0分)
如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB.点E是PD的中点，作EF⊥PC，交PC于点F．
(1)设平面PAB与平面ACE的交线为l，试判断直线PB与直线l的位置关系，并给出证明；
(2)求平面PAB与平面ACE所成的较小的二面角的余弦值；
(3)求直线PD与平面AEF所成角的正切值．
22. (本小题12.0分)
如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知c=1且2csinAcosB=asinA-bsinB+14bsinC，cos∠BAD= 217．
(Ⅰ)求中线AD的长度；
(Ⅱ)设点E、F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求AG⋅EF的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵B=[-1,1]，又A={-1,0,1,2}，
∴A∩B={-1,0,1}，
故选：A．
先化简，再运算即可得解．
本题考查集合的基本运算，属基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵z1-i=1+2i，
∴z=(1+2i)(1-i)=3+i，
∴|z|= 32+12= 10．
故选：D．
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．
根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
【解答】
解：由图1得样本容量为(3500+2000+4500)×2%=10000×2%=200，
抽取的高中生人数为2000×2%=40人，
则近视人数为40×0.5=20人，
故选：A．
4.【答案】D
【解析】解：可知全校参加跑步的人数为3000×35=1800，
因为a：b：c=2：3：4，a+b+c=1800，
所以c=1800×32+3+4=600，
按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，
故应从高二年级参加跑步的学生中抽取的人数为600×3003000=60．
故选：D．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的线性运算，考查运算转化能力，属于基础题．
根据平行四边形法则以及平行四边形的性质化简即可求解．
【解答】
解：由已知可得DO=12DB=12(AB-AD)
=12(AB-BC)=12AB-12BC=2e1-3e2．
故选：D．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力．
对于A，垂直于同一平面的两平面有可能相交或平行；对于B，平行于同一直线的两平面有可能相交；对于C，垂直于同一平面的两直线平行；对于D，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面．
【解答】
解：对于A，垂直于同一平面的两平面相交或平行，故A错误；
对于B，平行于同一直线的两平面相交或平行，故B错误；
对于C，垂直于同一平面的两直线平行，故C正确；
对于D，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面，故D错误．
故选：C．
7.【答案】B
【解析】解：∵cosB=AB2+BC2-AC22×AB×BC=9+10-166 10= 1020，
∴AB⋅BC=|AB|⋅|BC|cos(π-B)=-|AB|⋅|BC|cosB=-3× 10× 1020=-32．
故选：B．
先利用余弦定理求出cosB，再根据向量的数量积定义即可求出．
本题考查向量的数量积，余弦定理求角的应用，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：设圆锥的内切球半径为r，则43πr3=32π3，解得r=2，
设圆锥顶点为A，底面圆周上一点为B，底面圆心为C，内切球球心为D，
内切球切母线AB于E，底面半径BC=R>2，∠BDC=θ，则tanθ=R2，
又∠ADE=π-2θ，故AB=BE+AE=R+2tan(π-2θ)=R-2tan2θ，
又tan2θ=2tanθ1-tan2θ=R1-R24=4R4-R2，故AB=R-8R4-R2=R(R2+4)R2-4，
故该圆锥的表面积为S=πR2(R2+4)R2-4+πR2=2πR4R2-4，令t=R2-4>0，
则S=2π(t+4)2t=2π(t+16t+8)≥2π(2 t×16t+8)=32π，当且仅当t=16t，即t=4,R=2 2时取等号．
故选：A．
先求得内切球半径r=2，再画图设底面半径为R，利用三角函数值代换表达出表面积的公式S=2πR4R2-4，再设t=R2-4>0，根据基本不等式求最小值即可．
本题考查球的体积，考查学生的运算能力，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：∵P(AB)=19，∴A与B能同时发生，不是互斥事件，故A错误，B正确；
∵P(A-)=23，得P(A)=13，P(B)=13，
∵P(AB)=19，
∴P(AB)=P(A)P(B)，
∴事件A与B相互独立，故C正确，D错误．
故选：BC．
由P(AB)=19，得A与B能同时发生，不是互斥事件；由P(AB)=19，得P(AB)=P(A)P(B)，得事件A与B相互独立．
本题考查两事件的关系的判断，考查互斥事件、对立事件、相互独立事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：由(a+b)：(a+c)：(b+c)=9：10：11，
不妨设a+b=9t，a+c=10t，b+c=11t，t>0，
解得a=4t，b=5t，c=6t，
可得a：b：c=4：5：6，
由正弦定理可得sinA：sinB：sinC=a：b：c=4：5：6，故A正确；
因为cosC=(4t)2+(5t)2-(6t)22×4t×5t=18，cosA=(5t)2+(6t)2-(4t)22×5t×6t=34，
所以cos2A=2cos2A-1=2×(34)2-1=18=cosC，
由cosA>0，cosC>0，可得C=2A，故C正确；
由上可知最大角C为锐角，故B错误；
若c=6，则b=5，a=4，
又cosA=34，
可得sinA= 1-cos2A= 74，
所以△ABC的外接圆半径R=a2sinA=42× 74=8 77，故D正确．
故选：ACD．
由(a+b)：(a+c)：(b+c)=9：10：11，不妨设a+b=9t，a+c=10t，b+c=11t，解得a=4t，b=5t，c=6t，然后逐一求解四个选项得答案．
本题考查正、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数学运算能力，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：如图，建立平面直角坐标系，设D(cosθ,sinθ)，θ∈[0,π]，
又A(-1,0)，B(1,0)，C(0,- 3)，
故AD=((cosθ+1,sinθ)，CB=(1, 3)，
则AD⋅CB=cosθ+1+ 3sinθ=2sin(θ+π6)+1，
因为θ∈[0,π]，所以π6≤θ+π6≤7π6，-12≤sin(θ+π6)≤1，
即可得2sin(θ+π6)+1∈[0,3]．
故选：BC．
建立平面直角坐标系，利用坐标计算平面向量的数量积即可．
本题考查了利用坐标计算平面向量的数量积，考查了转化思想、运算能力，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：对于A选项：由AD⊥CD，则AD1⊥CD1，
当AD1⊥D1B时，且D1B
则OE=OD1=OA=OC= 22，且OD1⊥AC，
因为VC-BD1E=VD1-BCE，
当平面ACD1⊥平面ABC时，三棱锥C-BD1E体积的最大值，
在Rt△BCE中，∠CBE=π6,CE=1，则BE= 3，
此时VC-BD1E=VD1-BCE=13×12×1× 3× 22= 612，
所以三棱锥C-BD1E体积的最大值为 612，故B正确；
对于C，因为OE=OD1=OA=OC= 22，
所以A，C，E，D1都在同一球面上，且球的半径为 22，
所以该球的表面积是4π×( 22)2=2π，故C正确；
对于D，作AM//EP，
因为P为BC的中点，所有EP=1，EPAM=BEAB=BPBM，所以AM=3+ 33=BM，
所以∠BAM=∠ABC=30°，所以∠MAC=15°，AD1可以看成以AC为轴线，以45°为平面角的圆锥的母线，
所以AC与AD1夹角为45°，AC与AM夹角为15°，
又D1不在平面ABC内，60°=45°+15°，30°=45°-15°，
所以AD1与AM所成角的取值范围(π6,π3)，所以D正确，
故选：BCD．
对于A选项：根据线面垂直的判断定理，由AD1⊥CD1，当AD1⊥D1B时，AD1⊥B平面CD1，则AD1⊥BC；
对于B选项：取AC的中点O，连接OE，OD1，根据VC-BD1E=VD1-BCE，则平面ACD1⊥平面ABC时，三棱锥C-BD1E体积的最大值，从而可判断；
对于C，根据OE=OD1=OA=OC，可得A，C，E，D1都在同一球面上，且球的半径为OC，从而可判断；
对于D选项：由AD1可以看成以AC为轴线，以45°为平面角的圆锥的母线，即可求得AD1与EP所成角的取值范围．
本题考查线面平行与垂直的判定定理及异面直线所成的角，多面体的外接球问题，棱锥的体积问题，考查了折叠问题，考查转化思想，计算能力与空间想象能力，有一定的难度．
13.【答案】20
【解析】
【分析】
本题考查了平均数与方差的求解，解题的关键是掌握平均数与方差的运算性质，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
利用平均数与方差的运算性质求出a和b的值，即可得到答案．
【解答】
解：因为一组数据x1，x2，⋯，xn的平均值为3，方差为1，
则3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3xn+2的平均值为a=3×3+2=11，
方差为b=32×1=9，所以a+b=20．
故答案为：20．
14.【答案】2
【解析】解：所求向量的模为|a|cos=a⋅b|b|=6+45=2．
故答案为：2．
由投影公式直接计算即可．
本题考查投影的计算，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】2 3
【解析】解：∵a⊥(a-b)，
∴a⋅(a-b)=0，a2=a⋅b，
∵|a|= 3，
∴a⋅b=3，
∵非零向量a，b的夹角为π3，
∴|b|=a⋅b|a|cosπ3=3 3×12=2 3．
故答案为：2 3．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，以及向量的夹角公式，属于基础题．
16.【答案】5 33
【解析】解：如图，C是阅兵舰，A，B是歼-15舰载飞机被观察的起始位置，E，F是飞机在地面上的射影，
由已知AB=300 2×160=5 2千米，EF=AB=5 2，CD是正北方向，
因此∠DCE=π3，∠DCF=5π12，∠FCB=π6，
∠ECF=π3+5π12=3π4，∠CED=π2-π3=π6，
由正弦定理EFsin∠ECF=CFsin∠CEF，可得5 2sin3π4=CFsinπ6，
解得CF=5，
可得在直角三角形BFC中，BF=CFtan∠BCF=5tanπ6=5 33．
故答案为：5 33．
作出图形，用点A，B表示歼-15舰载飞机，用点C表示阅兵舰，然后由正弦定理求得CF，再在直角三角形中求得FB．
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设z=x+yi(x,y∈R)，则|z|2=x2+y2=8，
z2=x2-y2+2xyi为纯虚数，则x2-y2=0，
又复数z在复平面内对应的点在第一象限，则x>0，y>0，
所以x=y=2，所以复数z=2+2i．
(2)由题意，可得a=(2,2)，b=(2,-2)，c=(0,8)，
则λa+b=(2λ+2,2λ-2)，b+c=(2,6)；
由(λa+b)⊥(b+c)，得(λa+b)⋅(b+c)=4λ+4+12λ-12=0，
解得λ=12．
【解析】本题考查的是复数的运算，向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
(1)利用复数的模和纯虚数的定义求出x，再进一步确定z的值；
(2)利用向量垂直的充要条件，求出λ的值．
18.【答案】解：(1)由频率分布直方图，可得0.05+0.12+a+b+0.2+0.08=1，
则a+b=0.55，①
∵居民收入数据的第60百分位数为8.1，
∴0.05+0.12+a+(8.1-7.5)×b=0.6，
则a+0.6b=0.43，②
①②联立，解得a=0.25，b=0.3．
∴估计这100位居民可支配收入的平均值为：
0.05×5+0.12×6+0.25×7+0.3×8+0.2×9+0.08×10=7.22．
(2)根据题意，设事件A，B，C分别为甲，乙，丙在[7.5,8.5)内，
则P(A)=P(B)=P(C)=0.3，
①“抽取3人中有2人在[7.5,8.5)内”=ABC-∪AB-C∪A-BC，且ABC-,AB-C,A-BC互斥，
根据概率的加法公式和事件独立性定义得：
P1=P(ABC-∪AB-C∪A-BC)=0.3×0.3×(1-0.3)+0.3×(1-0.3)×0.3+(1-0.3)×0.3×0.3=0.189；
②①“抽取3人中有3人在[7.5,8.5)内”=ABC，
根据概率的加法公式和事件独立性定义得：
P2=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.3×0.3×0.3=0.027，
∴抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率为：
P=P1+P2=0.189+0.027=0.216．
【解析】(1)根据频率分布直方图的矩形面积和为1，结合第60百分位数的性质求出a，b，进而根据频率分布直方图的平均值算法求解即可；
(2)分抽取的3人中有2人和3人去年可支配收入在[7.5,8.5)内两种情况求解即可．
本题考查频率、平均数、概率、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】证明：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
因为BC=AA1= 22AB，∠ACB=90°，
所以AC=BC=AA1= 22AB，
连接AC1交A1C于点O，连接OE，
因为O，E分别为AC1，AB的中点，
所以OE//BC1，又OE⊂平面CEA1，BC1⊄平面CEA1，
故BC 1//平面CEA1；
(2)由(1)可知，AC1和A1C是正方形ACC1A1的对角线，
所以AC1⊥A1C，
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，则AA1⊥平面ABC，
又BC⊂平面ABC，则AA1⊥BC，又BC⊥AC，AC∩AA1=A，AC，AA1⊂平面A1ACC1
所以BC⊥平面A1ACC1，又AC1⊂平面A1ACC1，
所以AC1⊥BC，
又BC∩A1C=C，BC，A1C⊂平面A1BC，
所以AC1⊥平面A1BC．
【解析】本题考查线面平行与线面垂直的判定定理的应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于基础题．
(1)连接AC1交A1C于点O，连接OE，利用中位线定理可得OE//BC1，由线面平行的判定定理证明即可；
(2)利用线面垂直的性质定理和判定定理分别证明AA1⊥BC，BC⊥平面A1ACC1，从而AC1⊥BC，又AC1⊥A1C，即可证明．
20.【答案】解：(1)f(x)=cos2x+2 3sinxcosx-sin2x=cos2x+ 3sin2x=2sin(2x+π6)，
令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，则-π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
因为x∈(0,π)，所以f(x)的单调递增区间为(0,π6],[2π3,π)．
(2)因为f(θ)=65，所以sin(2θ+π6)=35，
因为π6<θ<2π3，所以π2<2θ+π6<3π2，
所以cos(2θ+π6)=-45，
所以sin2θ=sin[(2θ+π6)-π6]=sin(2θ+π6)cosπ6-cos(2θ+π6)sinπ6=35× 32+45×12=4+3 310．
【解析】(1)化简可得f(x)=2sin(2x+π6)，再根据正弦函数的单调性，即可得解；
(2)由(1)的结果求得sin(2θ+π6)=35，再根据2θ=(2θ+π6)-π6，并结合两角差的正弦公式，即可求解．
本题考查三角函数的综合，熟练掌握二倍角公式，辅助角公式，两角差的正弦公式，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】证明：(1)连结BD交AC交于G，
∵ABCD是正方形，∴G为BD的中点，
又∵E是PD的中点，∴EG//PB，
又∵PB⊄平面ACE，EG⊂平面ACE，∴.PB//平面ACE，
又PB⊂平面PAB，平面PAB∩平面ACE=l，∴PB//l．
解：(2)∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB，
设正方形ABCD的边长为4，
∵PA=PB，
∴△PAB的中线AH=2 2，PB=4 2，AH⊥PB，
同理AE=2 2，PD=4 2，AE⊥PD，
∵EG=12PB=2 2，AG=12AC=2 2，
∴△AEG为正三角形，中线AI= 6，且AI⊥EG，
∵AH⊥PB，PB//l，
∴AH⊥l，同理AI⊥l，
∴∠HAI是二面角CE-l-PB的一个平面角，
又∵在正三角形△PBD中HI= 6，
∴cos∠HAI=AH2+AI2-HI22AH⋅AI=(2 2)2+( 6)2-( 6)22×2 2× 6= 33，
则平面PAB与平面ACE所成的较小的面角的余弦值为 33．
解：(3)同(2)中PA⊥AB，得PA⊥CD，
又∵在正方形ABCD中，AD⊥CD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
同理AE⊥平面PCD
同理PF⊥面AEF
∴∠PEF是直线PD与平面AEF所成的角，
∵在Rt△PEF和Rt△PCD中得tan∠PEF=cot∠CPD=PDCD=4 24= 2，
∴直线PD与平面AEF所成角的正切值为 2．
【解析】(1)根据线面平行的性质定理进行证明即可．
(2)先找出二面角的平面角，然后进行求解即可，
(3)根据线面角的定义进行求解即可，
本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，以及空间角的求解，根据二面角和线面角的定义是解决本题的关键，是中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)由正弦定理及2csinAcosB=asinA-bsinB+14bsinC，知2ca⋅cosB=a2-b2+14bc，
由余弦定理知，cosB=a2+c2-b22ac，
所以2ca⋅a2+c2-b22ac=a2-b2+14bc，化简得c2=14bc，即b=4c，
因为c=1，所以b=4，
设∠BAC=θ，
因为D是BC的中点，所以AD=12(AB+AC)，
所以|AD|2=14(AB2+AC2+2AB⋅AC)=14(1+16+2×1×4×cosθ)=17+8cosθ4，即|AD|= 17+8cosθ2，
所以AB⋅AD=AB⋅12(AB+AC)=12AB2+12AB⋅AC=12+12×1×4cosθ=1+4cosθ2，
在△ABC中，cos∠BAD=AB⋅AD|AB|⋅|AD|=1+4cosθ21× 17+8cosθ2=1+4cosθ 17+8cosθ= 217，
化简可得28cos2θ+8cosθ-11=0，
解得cosθ=12或-1114，
由cos∠BAD>0，知1+4cosθ>0，所以cosθ>-14，故cosθ=12，
所以|AD|= 17+8cosθ2= 17+8×122= 212．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，△ABC面积S=12bcsinθ=12×4×1× 32= 3，
设|AE|=x，|AF|=y，
因为△AEF的面积为△ABC面积的一半，所以12xy⋅ 32=12⋅ 3，即xy=2，
设AG=λAD=λ2(AB+AC)①，
由E，G，F三点共线，不妨设AG=μAE+(1-μ)AF=xμAB+(1-μ)⋅y4AC②，
由①②知，λ2=xμλ2=y(1-μ)4，解得μ=y4x+y，λ=xy4x+y=24x+y，
所以AG=24x+y(AB+AC)，
所以AG⋅EF=24x+y(AB+AC)⋅(AF-AE)=24x+y(AB+AC)⋅(y4AC-xAB)
=24x+y[-xAB2+y4AC2+(y4-x)AB⋅AC]=24x+y[-x+y4×16+(y4-x)×1×4×12]=9y-6x4x+y，
因为xy=2，且x≤1，y≤4，所以y=2x，且12≤x≤1，
所以AG⋅EF=9y-6x4x+y=9⋅2x-6x4x+2x=18-6x24x2+2=-32+214x2+2≤-32+214×14+2=112，当且仅当x=12时，等号成立，故AG⋅EF的最大值为112．
2022-2023学年四川省泸州市泸县五中高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={-1,0,1,2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=( )
A. {-1,0,1} B. {0,1} C. {-1,1} D. {0,1,2}
2. 已知复数z满足z1-i=1+2i(其中i为虚数单位)，则|z|=( )
A. 3 B. 2 2 C. 2 D. 10
3. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A. 200，20 B. 100，20 C. 200，10 D. 100，10
4. 某学校在校学生有3000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且a：b：c=2：3：4，全校参加登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本进行调查，则应从高二年级参加跑步的学生中抽取( )
A. 15人 B. 30人 C. 45人 D. 60人
5. O为▱ABCD两条对角线的交点，AB=4e1，BC=6e2，则DO=( )
A. 2e1+e2 B. 2e1-e2 C. 2e1+3e2 D. 2e1-3e2
6. 已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是( )
A. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//β B. 若m//α，m//β，则α//β
C. 若m⊥α，n⊥α，则m//n D. 若m//α，n//α，则m//n
7. 已知在△ABC中，AB=3，AC=4，BC= 10，则AB⋅BC=( )
A. -34 B. -32 C. 32 D. 34
8. 已知某圆锥的内切球(球与圆锥侧面、底面均相切)的体积为32π3，则该圆锥的表面积的最小值为( )
A. 32π B. 28π C. 24π D. 20π
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若PAB=19，PA=23，PB=13，则关于事件A与B的关系正确的是
A. 事件A与B互斥 B. 事件A与B不互斥
C. 事件A与B相互独立 D. 事件A与B不相互独立
10. 在△ABC中，若(a+b)：(a+c)：(b+c)=9：10：11，下列结论中正确的有( )
A. sinA：sinB：sinC=4：5：6
B. △ABC是钝角三角形
C. △ABC的最大内角是最小内角的2倍
D. 若c=6，则△ABC外接圆的半径为8 77
11. 如图，点D位于以AB为直径的半圆上(含端点A，B)，△ABC是边长为2的等边三角形，则AD⋅CB的取值可能是( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 4
12. 如图，平面四边形ABCD是由正方形AECD和直角三角形BCE组成的直角梯形，AD=1，∠CBE=π6，现将Rt△ACD沿斜边AC翻折成△ACD1(D1不在平面ABC内)，若P为BC的中点，则在Rt△ACD翻折过程中，下列结论正确的是( )
A. AD1与BC不可能垂直
B. 三棱锥C-BD1E体积的最大值为 612
C. 若A，C，E，D1都在同一球面上，则该球的表面积是2π
D. 直线AD1与EP所成角的取值范围为(π6,π3)
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 一组数据x1,x2,⋯,xn的平均值为3，方差为1，记3x1+2,3x2+2,3x3+2,⋯,3xn+2的平均值为a，方差为b，则a+b=_________．
14. 向量a=(2,1)在向量b=(3,4)方向上的投影向量的模为______ ．
15. 已知非零向量a，b的夹角为π3，|a|= 3，a⊥(a-b)，则|b|= ______ ．
16. 奋进新时代，扬帆新航程.在南海海域的某次海上阅兵上，一大批国产先进舰船和军用飞机接受了党和人民的检阅.歼-15舰载飞机从辽宁舰航空母舰上起飞，以300 2千米/小时的速度在同一水平高度向正东方向飞行，在阅兵舰“长沙号”导弹驱逐舰上第一次观察到歼-15舰载飞机在北偏西π3方向，1分钟后第二次观察到歼-15舰载飞机在北偏东5π12方向，仰角为π6，则歼-15飞机飞行高度为______ 千米(结果保留根号)．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
复数z满足|z|=2 2，z2为纯虚数，若复数z在复平面内所对应的点在第一象限．
(1)求复数z；
(2)复数z，z-，z2所对应的向量为a，b，c，已知(λa+b)⊥(b+c)，求λ的值．
18. (本小题12.0分)
2022年3月5日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，2021年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长．某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取100人，经统计，这100人去年可支配收入(单位：万元)均在区间[4.5,10.5]内，按[4.5,5.5)，[5.5,6.5)，[6.5,7.5)，[7.5,8.5)，[8.5,9.5)[9.5，10.5]分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1．
(1)求a，b的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率．
19. (本小题12.0分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，BC=AA1= 22AB，点E为AB边中点．
(1)证明：BC1//平面CEA1；
(2)证明：AC1⊥平面A1BC．
20. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=cos2x+2 3sinxcosx-sin2x．
(1)若x∈(0,π)，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(θ)=65，且π6<θ<2π3，求sin2θ的值．
21. (本小题12.0分)
如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB.点E是PD的中点，作EF⊥PC，交PC于点F．
(1)设平面PAB与平面ACE的交线为l，试判断直线PB与直线l的位置关系，并给出证明；
(2)求平面PAB与平面ACE所成的较小的二面角的余弦值；
(3)求直线PD与平面AEF所成角的正切值．
22. (本小题12.0分)
如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知c=1且2csinAcosB=asinA-bsinB+14bsinC，cos∠BAD= 217．
(Ⅰ)求中线AD的长度；
(Ⅱ)设点E、F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求AG⋅EF的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵B=[-1,1]，又A={-1,0,1,2}，
∴A∩B={-1,0,1}，
故选：A．
先化简，再运算即可得解．
本题考查集合的基本运算，属基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵z1-i=1+2i，
∴z=(1+2i)(1-i)=3+i，
∴|z|= 32+12= 10．
故选：D．
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．
根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
【解答】
解：由图1得样本容量为(3500+2000+4500)×2%=10000×2%=200，
抽取的高中生人数为2000×2%=40人，
则近视人数为40×0.5=20人，
故选：A．
4.【答案】D
【解析】解：可知全校参加跑步的人数为3000×35=1800，
因为a：b：c=2：3：4，a+b+c=1800，
所以c=1800×32+3+4=600，
按分层抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，
故应从高二年级参加跑步的学生中抽取的人数为600×3003000=60．
故选：D．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的线性运算，考查运算转化能力，属于基础题．
根据平行四边形法则以及平行四边形的性质化简即可求解．
【解答】
解：由已知可得DO=12DB=12(AB-AD)
=12(AB-BC)=12AB-12BC=2e1-3e2．
故选：D．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力．
对于A，垂直于同一平面的两平面有可能相交或平行；对于B，平行于同一直线的两平面有可能相交；对于C，垂直于同一平面的两直线平行；对于D，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面．
【解答】
解：对于A，垂直于同一平面的两平面相交或平行，故A错误；
对于B，平行于同一直线的两平面相交或平行，故B错误；
对于C，垂直于同一平面的两直线平行，故C正确；
对于D，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面，故D错误．
故选：C．
7.【答案】B
【解析】解：∵cosB=AB2+BC2-AC22×AB×BC=9+10-166 10= 1020，
∴AB⋅BC=|AB|⋅|BC|cos(π-B)=-|AB|⋅|BC|cosB=-3× 10× 1020=-32．
故选：B．
先利用余弦定理求出cosB，再根据向量的数量积定义即可求出．
本题考查向量的数量积，余弦定理求角的应用，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：设圆锥的内切球半径为r，则43πr3=32π3，解得r=2，
设圆锥顶点为A，底面圆周上一点为B，底面圆心为C，内切球球心为D，
内切球切母线AB于E，底面半径BC=R>2，∠BDC=θ，则tanθ=R2，
又∠ADE=π-2θ，故AB=BE+AE=R+2tan(π-2θ)=R-2tan2θ，
又tan2θ=2tanθ1-tan2θ=R1-R24=4R4-R2，故AB=R-8R4-R2=R(R2+4)R2-4，
故该圆锥的表面积为S=πR2(R2+4)R2-4+πR2=2πR4R2-4，令t=R2-4>0，
则S=2π(t+4)2t=2π(t+16t+8)≥2π(2 t×16t+8)=32π，当且仅当t=16t，即t=4,R=2 2时取等号．
故选：A．
先求得内切球半径r=2，再画图设底面半径为R，利用三角函数值代换表达出表面积的公式S=2πR4R2-4，再设t=R2-4>0，根据基本不等式求最小值即可．
本题考查球的体积，考查学生的运算能力，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：∵P(AB)=19，∴A与B能同时发生，不是互斥事件，故A错误，B正确；
∵P(A-)=23，得P(A)=13，P(B)=13，
∵P(AB)=19，
∴P(AB)=P(A)P(B)，
∴事件A与B相互独立，故C正确，D错误．
故选：BC．
由P(AB)=19，得A与B能同时发生，不是互斥事件；由P(AB)=19，得P(AB)=P(A)P(B)，得事件A与B相互独立．
本题考查两事件的关系的判断，考查互斥事件、对立事件、相互独立事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：由(a+b)：(a+c)：(b+c)=9：10：11，
不妨设a+b=9t，a+c=10t，b+c=11t，t>0，
解得a=4t，b=5t，c=6t，
可得a：b：c=4：5：6，
由正弦定理可得sinA：sinB：sinC=a：b：c=4：5：6，故A正确；
因为cosC=(4t)2+(5t)2-(6t)22×4t×5t=18，cosA=(5t)2+(6t)2-(4t)22×5t×6t=34，
所以cos2A=2cos2A-1=2×(34)2-1=18=cosC，
由cosA>0，cosC>0，可得C=2A，故C正确；
由上可知最大角C为锐角，故B错误；
若c=6，则b=5，a=4，
又cosA=34，
可得sinA= 1-cos2A= 74，
所以△ABC的外接圆半径R=a2sinA=42× 74=8 77，故D正确．
故选：ACD．
由(a+b)：(a+c)：(b+c)=9：10：11，不妨设a+b=9t，a+c=10t，b+c=11t，解得a=4t，b=5t，c=6t，然后逐一求解四个选项得答案．
本题考查正、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数学运算能力，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：如图，建立平面直角坐标系，设D(cosθ,sinθ)，θ∈[0,π]，
又A(-1,0)，B(1,0)，C(0,- 3)，
故AD=((cosθ+1,sinθ)，CB=(1, 3)，
则AD⋅CB=cosθ+1+ 3sinθ=2sin(θ+π6)+1，
因为θ∈[0,π]，所以π6≤θ+π6≤7π6，-12≤sin(θ+π6)≤1，
即可得2sin(θ+π6)+1∈[0,3]．
故选：BC．
建立平面直角坐标系，利用坐标计算平面向量的数量积即可．
本题考查了利用坐标计算平面向量的数量积，考查了转化思想、运算能力，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：对于A选项：由AD⊥CD，则AD1⊥CD1，
当AD1⊥D1B时，且D1B
则OE=OD1=OA=OC= 22，且OD1⊥AC，
因为VC-BD1E=VD1-BCE，
当平面ACD1⊥平面ABC时，三棱锥C-BD1E体积的最大值，
在Rt△BCE中，∠CBE=π6,CE=1，则BE= 3，
此时VC-BD1E=VD1-BCE=13×12×1× 3× 22= 612，
所以三棱锥C-BD1E体积的最大值为 612，故B正确；
对于C，因为OE=OD1=OA=OC= 22，
所以A，C，E，D1都在同一球面上，且球的半径为 22，
所以该球的表面积是4π×( 22)2=2π，故C正确；
对于D，作AM//EP，
因为P为BC的中点，所有EP=1，EPAM=BEAB=BPBM，所以AM=3+ 33=BM，
所以∠BAM=∠ABC=30°，所以∠MAC=15°，AD1可以看成以AC为轴线，以45°为平面角的圆锥的母线，
所以AC与AD1夹角为45°，AC与AM夹角为15°，
又D1不在平面ABC内，60°=45°+15°，30°=45°-15°，
所以AD1与AM所成角的取值范围(π6,π3)，所以D正确，
故选：BCD．
对于A选项：根据线面垂直的判断定理，由AD1⊥CD1，当AD1⊥D1B时，AD1⊥B平面CD1，则AD1⊥BC；
对于B选项：取AC的中点O，连接OE，OD1，根据VC-BD1E=VD1-BCE，则平面ACD1⊥平面ABC时，三棱锥C-BD1E体积的最大值，从而可判断；
对于C，根据OE=OD1=OA=OC，可得A，C，E，D1都在同一球面上，且球的半径为OC，从而可判断；
对于D选项：由AD1可以看成以AC为轴线，以45°为平面角的圆锥的母线，即可求得AD1与EP所成角的取值范围．
本题考查线面平行与垂直的判定定理及异面直线所成的角，多面体的外接球问题，棱锥的体积问题，考查了折叠问题，考查转化思想，计算能力与空间想象能力，有一定的难度．
13.【答案】20
【解析】
【分析】
本题考查了平均数与方差的求解，解题的关键是掌握平均数与方差的运算性质，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
利用平均数与方差的运算性质求出a和b的值，即可得到答案．
【解答】
解：因为一组数据x1，x2，⋯，xn的平均值为3，方差为1，
则3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3xn+2的平均值为a=3×3+2=11，
方差为b=32×1=9，所以a+b=20．
故答案为：20．
14.【答案】2
【解析】解：所求向量的模为|a|cos
故答案为：2．
由投影公式直接计算即可．
本题考查投影的计算，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】2 3
【解析】解：∵a⊥(a-b)，
∴a⋅(a-b)=0，a2=a⋅b，
∵|a|= 3，
∴a⋅b=3，
∵非零向量a，b的夹角为π3，
∴|b|=a⋅b|a|cosπ3=3 3×12=2 3．
故答案为：2 3．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，以及向量的夹角公式，属于基础题．
16.【答案】5 33
【解析】解：如图，C是阅兵舰，A，B是歼-15舰载飞机被观察的起始位置，E，F是飞机在地面上的射影，
由已知AB=300 2×160=5 2千米，EF=AB=5 2，CD是正北方向，
因此∠DCE=π3，∠DCF=5π12，∠FCB=π6，
∠ECF=π3+5π12=3π4，∠CED=π2-π3=π6，
由正弦定理EFsin∠ECF=CFsin∠CEF，可得5 2sin3π4=CFsinπ6，
解得CF=5，
可得在直角三角形BFC中，BF=CFtan∠BCF=5tanπ6=5 33．
故答案为：5 33．
作出图形，用点A，B表示歼-15舰载飞机，用点C表示阅兵舰，然后由正弦定理求得CF，再在直角三角形中求得FB．
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设z=x+yi(x,y∈R)，则|z|2=x2+y2=8，
z2=x2-y2+2xyi为纯虚数，则x2-y2=0，
又复数z在复平面内对应的点在第一象限，则x>0，y>0，
所以x=y=2，所以复数z=2+2i．
(2)由题意，可得a=(2,2)，b=(2,-2)，c=(0,8)，
则λa+b=(2λ+2,2λ-2)，b+c=(2,6)；
由(λa+b)⊥(b+c)，得(λa+b)⋅(b+c)=4λ+4+12λ-12=0，
解得λ=12．
【解析】本题考查的是复数的运算，向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
(1)利用复数的模和纯虚数的定义求出x，再进一步确定z的值；
(2)利用向量垂直的充要条件，求出λ的值．
18.【答案】解：(1)由频率分布直方图，可得0.05+0.12+a+b+0.2+0.08=1，
则a+b=0.55，①
∵居民收入数据的第60百分位数为8.1，
∴0.05+0.12+a+(8.1-7.5)×b=0.6，
则a+0.6b=0.43，②
①②联立，解得a=0.25，b=0.3．
∴估计这100位居民可支配收入的平均值为：
0.05×5+0.12×6+0.25×7+0.3×8+0.2×9+0.08×10=7.22．
(2)根据题意，设事件A，B，C分别为甲，乙，丙在[7.5,8.5)内，
则P(A)=P(B)=P(C)=0.3，
①“抽取3人中有2人在[7.5,8.5)内”=ABC-∪AB-C∪A-BC，且ABC-,AB-C,A-BC互斥，
根据概率的加法公式和事件独立性定义得：
P1=P(ABC-∪AB-C∪A-BC)=0.3×0.3×(1-0.3)+0.3×(1-0.3)×0.3+(1-0.3)×0.3×0.3=0.189；
②①“抽取3人中有3人在[7.5,8.5)内”=ABC，
根据概率的加法公式和事件独立性定义得：
P2=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.3×0.3×0.3=0.027，
∴抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率为：
P=P1+P2=0.189+0.027=0.216．
【解析】(1)根据频率分布直方图的矩形面积和为1，结合第60百分位数的性质求出a，b，进而根据频率分布直方图的平均值算法求解即可；
(2)分抽取的3人中有2人和3人去年可支配收入在[7.5,8.5)内两种情况求解即可．
本题考查频率、平均数、概率、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】证明：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
因为BC=AA1= 22AB，∠ACB=90°，
所以AC=BC=AA1= 22AB，
连接AC1交A1C于点O，连接OE，
因为O，E分别为AC1，AB的中点，
所以OE//BC1，又OE⊂平面CEA1，BC1⊄平面CEA1，
故BC 1//平面CEA1；
(2)由(1)可知，AC1和A1C是正方形ACC1A1的对角线，
所以AC1⊥A1C，
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，则AA1⊥平面ABC，
又BC⊂平面ABC，则AA1⊥BC，又BC⊥AC，AC∩AA1=A，AC，AA1⊂平面A1ACC1
所以BC⊥平面A1ACC1，又AC1⊂平面A1ACC1，
所以AC1⊥BC，
又BC∩A1C=C，BC，A1C⊂平面A1BC，
所以AC1⊥平面A1BC．
【解析】本题考查线面平行与线面垂直的判定定理的应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于基础题．
(1)连接AC1交A1C于点O，连接OE，利用中位线定理可得OE//BC1，由线面平行的判定定理证明即可；
(2)利用线面垂直的性质定理和判定定理分别证明AA1⊥BC，BC⊥平面A1ACC1，从而AC1⊥BC，又AC1⊥A1C，即可证明．
20.【答案】解：(1)f(x)=cos2x+2 3sinxcosx-sin2x=cos2x+ 3sin2x=2sin(2x+π6)，
令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，则-π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
因为x∈(0,π)，所以f(x)的单调递增区间为(0,π6],[2π3,π)．
(2)因为f(θ)=65，所以sin(2θ+π6)=35，
因为π6<θ<2π3，所以π2<2θ+π6<3π2，
所以cos(2θ+π6)=-45，
所以sin2θ=sin[(2θ+π6)-π6]=sin(2θ+π6)cosπ6-cos(2θ+π6)sinπ6=35× 32+45×12=4+3 310．
【解析】(1)化简可得f(x)=2sin(2x+π6)，再根据正弦函数的单调性，即可得解；
(2)由(1)的结果求得sin(2θ+π6)=35，再根据2θ=(2θ+π6)-π6，并结合两角差的正弦公式，即可求解．
本题考查三角函数的综合，熟练掌握二倍角公式，辅助角公式，两角差的正弦公式，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】证明：(1)连结BD交AC交于G，
∵ABCD是正方形，∴G为BD的中点，
又∵E是PD的中点，∴EG//PB，
又∵PB⊄平面ACE，EG⊂平面ACE，∴.PB//平面ACE，
又PB⊂平面PAB，平面PAB∩平面ACE=l，∴PB//l．
解：(2)∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB，
设正方形ABCD的边长为4，
∵PA=PB，
∴△PAB的中线AH=2 2，PB=4 2，AH⊥PB，
同理AE=2 2，PD=4 2，AE⊥PD，
∵EG=12PB=2 2，AG=12AC=2 2，
∴△AEG为正三角形，中线AI= 6，且AI⊥EG，
∵AH⊥PB，PB//l，
∴AH⊥l，同理AI⊥l，
∴∠HAI是二面角CE-l-PB的一个平面角，
又∵在正三角形△PBD中HI= 6，
∴cos∠HAI=AH2+AI2-HI22AH⋅AI=(2 2)2+( 6)2-( 6)22×2 2× 6= 33，
则平面PAB与平面ACE所成的较小的面角的余弦值为 33．
解：(3)同(2)中PA⊥AB，得PA⊥CD，
又∵在正方形ABCD中，AD⊥CD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
同理AE⊥平面PCD
同理PF⊥面AEF
∴∠PEF是直线PD与平面AEF所成的角，
∵在Rt△PEF和Rt△PCD中得tan∠PEF=cot∠CPD=PDCD=4 24= 2，
∴直线PD与平面AEF所成角的正切值为 2．
【解析】(1)根据线面平行的性质定理进行证明即可．
(2)先找出二面角的平面角，然后进行求解即可，
(3)根据线面角的定义进行求解即可，
本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，以及空间角的求解，根据二面角和线面角的定义是解决本题的关键，是中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)由正弦定理及2csinAcosB=asinA-bsinB+14bsinC，知2ca⋅cosB=a2-b2+14bc，
由余弦定理知，cosB=a2+c2-b22ac，
所以2ca⋅a2+c2-b22ac=a2-b2+14bc，化简得c2=14bc，即b=4c，
因为c=1，所以b=4，
设∠BAC=θ，
因为D是BC的中点，所以AD=12(AB+AC)，
所以|AD|2=14(AB2+AC2+2AB⋅AC)=14(1+16+2×1×4×cosθ)=17+8cosθ4，即|AD|= 17+8cosθ2，
所以AB⋅AD=AB⋅12(AB+AC)=12AB2+12AB⋅AC=12+12×1×4cosθ=1+4cosθ2，
在△ABC中，cos∠BAD=AB⋅AD|AB|⋅|AD|=1+4cosθ21× 17+8cosθ2=1+4cosθ 17+8cosθ= 217，
化简可得28cos2θ+8cosθ-11=0，
解得cosθ=12或-1114，
由cos∠BAD>0，知1+4cosθ>0，所以cosθ>-14，故cosθ=12，
所以|AD|= 17+8cosθ2= 17+8×122= 212．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，△ABC面积S=12bcsinθ=12×4×1× 32= 3，
设|AE|=x，|AF|=y，
因为△AEF的面积为△ABC面积的一半，所以12xy⋅ 32=12⋅ 3，即xy=2，
设AG=λAD=λ2(AB+AC)①，
由E，G，F三点共线，不妨设AG=μAE+(1-μ)AF=xμAB+(1-μ)⋅y4AC②，
由①②知，λ2=xμλ2=y(1-μ)4，解得μ=y4x+y，λ=xy4x+y=24x+y，
所以AG=24x+y(AB+AC)，
所以AG⋅EF=24x+y(AB+AC)⋅(AF-AE)=24x+y(AB+AC)⋅(y4AC-xAB)
=24x+y[-xAB2+y4AC2+(y4-x)AB⋅AC]=24x+y[-x+y4×16+(y4-x)×1×4×12]=9y-6x4x+y，
因为xy=2，且x≤1，y≤4，所以y=2x，且12≤x≤1，
所以AG⋅EF=9y-6x4x+y=9⋅2x-6x4x+2x=18-6x24x2+2=-32+214x2+2≤-32+214×14+2=112，当且仅当x=12时，等号成立，故AG⋅EF的最大值为112．
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