湖北鄂州三年（2021-2023）中考数学真题分题型分类汇编-03解答题②

这是一份湖北鄂州三年（2021-2023）中考数学真题分题型分类汇编-03解答题②，共34页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

湖北鄂州三年（2021-2023）中考数学真题分题型分类汇编-03解答题②

一、解答题
1．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）1号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了．1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
  
(1)___________，___________；
(2)请分别求出，与x的函数关系式；
(3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为？
2．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．
  
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
3．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，．
  
【基础训练】
(1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；
【技能训练】
(2)如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
(3)如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
(4)如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积．
4．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线轴，交y轴的正半轴于点，且，点B是y轴右侧直线l上的一动点，连接．
  

(1)请直接写出点A的坐标；
(2)如图2，若动点B满足，点C为的中点，点为线段上一动点，连接．在平面内，将沿翻折，点B的对应点为点P，与相交于点Q，当时，求线段的长；
(3)如图3，若动点B满足，为的中位线，将绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，求直线EB与x轴交点的坐标；
(4)如图4，平分交于点，于点，交于点，为的一条中线．设，，的周长分别为，，．试探究：在B点的运动过程中，当时，请直接写出点B的坐标．
5．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示：
  
(1)小明家离体育场的距离为 km，小明跑步的平均速度为 km/min；
(2)当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式；
(3)当小明离家2km时，求他离开家所用的时间．
6．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．
  
(1)试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积．
7．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．  

(1)【基础训练】
请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　．
(2)【技能训练】
如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
(3)【能力提升】
如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
(4)【拓展升华】
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．
8．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA=6，斜边OB=10，点P为线段AB上一动点．

(1)请直接写出点B的坐标；
(2)若动点P满足∠POB=45°，求此时点P的坐标；
(3)如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A'，当PA'⊥OB时，求此时点P的坐标；
(4)如图3，若F为线段AO上一点，且AF=2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．
9．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本（元）与种植面积（亩）之间满足一次函数关系，且当时，；当时，．
（1）求与之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？（每亩种植利润＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴）
10．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在中，，为边上一点，以为圆心，长为半径的与边相切于点，交于点．

（1）求证：；
（2）连接，若，，求线段的长．
11．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现：由；；；；；
猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）．
猜想证明：∵
∴①当且仅当，即时，，∴；
②当，即时，，∴．
综合上述可得：若，，则成立（当且仅当时等号成立）．
猜想运用：（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
变式探究：（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？

12．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，点是线段上一动点（不与点、重合）．

（1）请直接写出点、点、点的坐标；
（2）连接，在第一象限内将沿翻折得到，点的对应点为点．若，求线段的长；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为点．
①若点在内部（不包括边），求的取值范围；
②在平面直角坐标系内是否存在点，使最大？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案：
1．(1)，30
(2)，；
(3)或

【分析】（1）根据1号探测气球的出发海拔和速度即可计算b的值，根据b的值、2号探测气球的出发海拔和运动时间可计算2号探测气球的速度可计算a的值；
（2）由（1）可得与函数图象的交点坐标为，分别代入计算即可；
（3）由题意可得或，分别计算即可．
【详解】（1）解：，，
故答案为：，30；
（2）由（1）可得与函数图象的交点坐标为，
设，，
将分别代入可得：，
解得：，，
∴，；
（3）由题意可得或，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
∴当上升或时，两个气球的海拔竖直高度差为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，从图中获取信息是解题的关键．
2．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）连接，根据弦、弧、圆周角的关系可证，根据圆的性质得，证明，得到，根据切线的判定定理证明；
（2）连接，，根据勾股定理得到的长，根据等弧对等弦得到，根据圆内接四边形对角互补得，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
   
∵点C为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∵为半径，
∴为切线；
（2）解：连接，，
  
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，

∴的半径长为．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
3．(1)，；
(2)；
(3)
(4)

【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；
（2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得，然后根据，求出，进而可得，问题得解；
（3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；待定系数法求直线的解析式，求得点的坐标为，根据点是直线和直线m的交点，求得点的坐标为，即可求得和的值，即可求得；
（4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；求得，即可求得的面积．
【详解】（1）解：∵抛物线中，
∴，，
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，
故答案为：，；
（2）解：由（1）知抛物线的焦点F的坐标为，
∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
∴，整理得：，
又∵，
∴
解得：或（舍去），
∴，
∴点P的坐标为；
（3）解：过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图：
  
若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；
∵直线与直线垂直，故设直线的解析式为，
将代入解得：，
∴直线的解析式为，
∵点是直线和抛物线的交点，
令，解得：，（舍去），
故点的坐标为，
∴，
∵点是直线和直线m的交点，
令，解得：，
故点的坐标为，
∴，
．
即的最小值为．
（4）解：∵抛物线中，
∴，，
∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，
过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图：
  
若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图：
  
∵点的坐标为，准线，
∴点的横坐标为，代入解得，
即，，
则的面积为．
【点睛】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的交点坐标，一次函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论．
4．(1)
(2)
(3)或
(4)

【分析】（1）根据，点A位于y轴的正半轴即可得出答案；
（2）根据折叠性质和特殊角解三角形，先求出，，再过点D作，得出，解三角形即可求出，从而求出，
（3）将绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，有两种情况，当将绕点B在平面内逆时针旋转，可得点、F恰好落在x轴，，从而可得直线与x轴交点的坐标；当将绕点B在平面内逆时针旋转到上方时，可得，从而得出，，继而可求，再由即可求出交点坐标．
（4）由已知可证明，进而可得，由此可得，延长交于H点，可得，，然后由双勾股求出，进而求出点B坐标．
【详解】（1）解：∵，点A位于y轴的正半轴，
∴点A坐标为，
（2）∵，直线轴，，
∴，，
∵点C为的中点，
∴，
又∵，
∴，
由折叠可知：
∴，
如解（2）图，过点D作，
  
∴，
，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
（3）解：∵，，
∴，
又∵为的中位线，
∴，，，
∴，
I．如图，将绕点B在平面内逆时针旋转，到如解（3）-1图所示位置时，
  
∴，直线轴，
∴
又∵，
∴四边形是矩形，
∴点、F恰好落在x轴，，
此时直线EB与x轴交点的坐标为，
II．如图，将绕点B在平面内逆时针旋转到点O、E、F三点共线时，，如解（3）-2图所示位置时，
  
延长交x轴于点K，
∵，，，
∴
∴，，
∴，
在中，，即：，
解得：，
∴，
∴，
∵直线轴，
∴直线轴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴此时直线EB与x轴交点的坐标为，
综上所述：将绕点B在平面内逆时针旋转，当点O、E、F三点共线时，直线与x轴交点的坐标为或；
（4）直线轴，于点D，
∴，，
又∵平分交于点，即：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵为的一条中线．
∴，即：，
∵，，
∴，
∴设，，的周长分别为，，．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
延长交于H点，如解（4）图，
  
∵，，，
∴
∴，，
∴，，
∵，，
∴
解得： （不合题意，舍去），，
故，
∴，
∴，
∴，
所以点B坐标为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质、解三角形、相似三角形的判定和性质，难度较大，确定运动后线段之间的位置关系、正确作出辅助线是解题的关键．
5．(1)2.5；；
(2)
(3)当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或37.5min

【分析】（1）根据函数图象结合路程=时间×速度进行求解即可；
（2）分当时和当时两种情况讨论求解即可；
（3）分当小明处在去体育馆的途中离家2km时，当小明从体育馆去商店途中离家2kn时两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知小明在离家15分钟时到底体育馆，此时离家的距离为2.5km，
∴小明家离体育馆的距离为2.5km，小明跑步的平均速度为，
故答案为：2.5；；
（2）解：由函数图象可知当时，，
当时，此时y是关于x一次函数，设，
∴，
解得，
∴此时，
综上所述，
（3）解：当小明处在去体育馆的途中离家2km时，
；
当小明从体育馆去商店途中离家2km时，
∴，
解得；
综上所述，当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或37.5min．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．
6．(1)PC与⊙O相切，理由见解析
(2)

【分析】（1）先证明∠ACB=90°，然后推出∠PCB=∠OCA，即可证明∠PCO=90°即可；
（2）先证明，再证明△PBC∽△PCA，从而求出，AB=3，，，最后证明△PBC∽△POD，求出，则CD=6，由此求解即可．
【详解】（1）解：PC与⊙O相切，理由如下：
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCB+∠OCA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠PCB=∠OAC，
∴∠PCB=∠OCA，
∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，
∴PC与⊙O相切；
（2）解：∵∠ACB=90°，，
∴，
∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCA，
∴，
∴，
∴AB=6，
∴，
∴，
∵，
∴△PBC∽△POD，
∴，即，
∴，
∴CD=6，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边对等角证明，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定等等，熟练掌握圆切线的判定是解题的关键．
7．(1)（0，），，
(2)，4）或（，4 ）
(3)
(4)或

【分析】（1）根据交点和准线方程的定义求解即可；
（2）先求出点P的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；
（3）如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，证明△FDB∽△FHC，推出，则，点B的纵坐标为，从而求出，证明△AEF∽△BDF，即可求出点A的坐标为（，），再把点A的坐标代入抛物线解析式中求解即可；
（4）如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF，
先证明△MNH是等腰直角三角形，得到NH=MN，设点M的坐标为（m，），则，求出，然后根据黄金分割点的定义求出，则；同理可求当点E是靠近H的黄金分割点时△HME的面积．
【详解】（1）解：由题意得抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程分别为（0，），，
故答案为：（0，），，
（2）解：由题意得抛物线y＝x2的准线方程为，
∵点P到准线l的距离为6，
∴点P的纵坐标为4，
∴当时，，
解得，
∴点P的坐标为（，4）或（，4 ）；
（3）解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，
由题意得点F的坐标为F（0，）直线l的解析式为：y＝﹣，
∴，，
∴△FDB∽△FHC，
∴，
∵BC=2BF，
∴CF=3BF，
∴，
∴，
∴，
∴点B的纵坐标为，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∵，
∴△AEF∽△BDF，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴EF=2，
∴，
∴点A的坐标为（，），
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去）；

（4）解：如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF，
∵在Rt△MNH中，，
∴∠MHN=45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴NH=MN，
设点M的坐标为（m，），
∴，
∴，
∴HN=2，
∵点E是靠近点F的黄金分割点，
∴，
∴；
同理当E时靠近H的黄金分割点点，，
∴，
∴，
综上所述，或

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，黄金分割等，正确理解题意是解题的关键．
8．(1)（8，6）
(2)（，6）
(3)（，6）
(4)OG的最小值为4，线段FP扫过的面积为

【分析】（1）由勾股定理即可求解；
（2）连接OP，过点P作PQ⊥OB于点Q，因为∠POB=45°，所以PQ=OQ，设PQ=OQ=x，则BQ=10-x，根据tanB的值，即可求得x的值，再利用勾股定理，即可求解；
（3）令PA'交OB于点D，由点E为线段OB的中点，可得，，利用折叠的性质、正切函数、勾股定理，即可求解；
（4）当以点F为圆心，OF的长为半径画圆，与AB的交点即为点P，再将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，此时OG最小，利用三角函数、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：在Rt△OAB中，，
∴点B的坐标为（8，6）；
（2）解：连接OP，过点P作PQ⊥OB于点Q，如图，

∵∠POB=45°，
∴∠OPQ=45°，
∴∠POB=∠OPQ，
∴PQ=OQ，
设PQ=OQ=x，则BQ=10-x，
在Rt△OAB中，，
在Rt△BPQ中，，
解得，
∴，
在Rt△POQ中，，
在Rt△AOP中，，
∴点P的坐标为（，6）；
（3）解：令PA'交OB于点D，如图，

∵点E为线段OB的中点，
∴，，
∵，
设，则，
∴，
∴，
由折叠的性质，可得，，
∴，
在Rt△中，，即，
解得，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为（，6）；
（4）解：以点F为圆心，OF的长为半径画圆，与AB的交点即为点P，再将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，此时OG最小，如图，

由题可知，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴OG的最小值为4，
∴线段FP扫过的面积=．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角函数、直角三角形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式．
9．（1）；（2）种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，预计明年每亩种粮成本y（元）与种粮面积x（亩）之间的函数关系为，进而得出W与x的函数关系式，再利用二次函数的最值公式求出即可．
【详解】解：（1）设与之间的函数关系式，依题意得：
，
解得：，
∴与之间的函数关系式为．
（2）设老张明年种植该作物的总利润为元，依题意得：


．
∵，
∴当时，随的增大而增大．
由题意知：，
∴当时，最大，最大值为268800元．
即种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．
【点睛】此题主要考查了一次函数和二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式并根据已知得出W与x的函数关系式是求最值问题的关键．
10．（1）见解析；（2）
【分析】（1）运用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，题中已知，所以，切于点B，同时切于点，即可求证；
（2）连接，可得，由（1）得，根据各个角之间的关系可得，所以，依据正切定义可得，再根据三角形相似判别及性质，对应边成比例，即可得出答案．
【详解】（1）证明：

∵，
∴，
又∵经过半径的外端点，
∴切于点，
与边相切于点，
∴．
（2）解：连接，∵为的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∵，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴（舍去），．
即线段的长为．
【点睛】题目主要考查切线长定理、圆内三角形基本性质、三角函数、相似三角形的判别及性质等知识点，难点在于对定理得熟练掌握理解和对这些知识点的融会贯通．
11．（1），函数的最小值为2；（2），函数的最小值为5；（3）每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为
【分析】猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可；
变式探究：将原式转换为，再根据材料中方法计算即可；
拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可．
【详解】猜想运用：
∵，
∴，
∴，
∴当时，，
此时，
只取，
即时，函数的最小值为2．
变式探究：
∵，
∴，，
∴，
∴当时，，
此时，
∴，（舍去），
即时，函数的最小值为5.
拓展应用：
设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意得：
，
即，
∵，，
∴，
即，
整理得：，
即，
∴当时，
此时，，
即每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为．
【点睛】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题．
12．（1），，；（2）1；（3）①；②存在，
【分析】（1）令x=0，令y=0分别代入，即可得到A，B的坐标，结合中点坐标公式，求出P的坐标，即可；
（2）过点作于，易得，，又点，可得，，进而即可求解；
（3）①把二次函数解析式化为顶点式，可得顶点的坐标为，从而得点是直线上一点，进而即可求解；②作点Q关于直线的对称点，连接E交直线于点C，则CQ=C，此时最大．求出(4，1)，E(5，5)，从而得E的解析式，进而即可求解．
【详解】解：（1）令x=0代入，y=6，
令y=0代入，x=4，
∴，，
∵点为线段的中点，
∴；
（2）过点作于，

∵，
∴，
∴，
∵点，
∴，，
∴，
∵点，
∴
∴，
即的长为1；
（3）①，

∴其顶点的坐标为，
∴点是直线上一点，
∵，，
∴当时，
又∵点在直线上
∴当点在内部（不含边）时，的取值范围是；
②作点Q关于直线的对称点，连接E交直线于点C，则CQ=C，此时==E，最大．

∵，，P是Q的中点，
∴(4，1)，
∵QE⊥OQ，QE=OQ=5，
∴E(5，5)，
设E的解析式为：y=kx+b，则，解得：，
∴E的解析式为：y=4x-15，
联立，解得：，
∴点C坐标为．
答：存在点使最大，此时C的坐标为．
【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数与平面几何的综合，掌握等腰直角三角形的性质，函数图像上点的坐标特征，利用轴对称性，作出线段差的最大值，是解题的关键．