2022-2023学年广东省广州市天河区高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省广州市天河区高二（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省广州市天河区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布N(2,σ2)，若P(2<ξ<4)=0.2，则P(ξ<0)=(    )
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
2. 已知随机变量X～B(4,23)，则P(X≥1)的值为(    )
A. 8081 B. 1681 C. 6581 D. 181
3. 已知数列{an}满足an+1−an=3(n∈N*)，a1=−6，则|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|=(    )
A. 27 B. 18 C. 9 D. 0
4. 已知抛物线x=2y2上的点M到其焦点的距离为2，则点M的横坐标是(    )
A. 32 B. 74 C. 158 D. 3116
5. 古希腊时期，人们把宽与长之比为 5−12的矩形称为黄金矩形，把这个比值 5−12称为黄金分割比例，其中 5−12≈0.618.如下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABCD，BCFE，CFGH，FGJI，GJKL，JKMN均为黄金矩形，若M与K之间的距离超过2m，C与F之间的距离小于14.5m，则该古建筑中B与C之间的距离可能是(    )
(参考数据：0.6182≈0.382，0.6183≈0.236，0.6184≈0.146，0.6185≈0.090，0.6186≈0.056，0.6187≈0.034)


A. 22m B. 23m C. 24m D. 25m
6. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则4次传球后球在乙手中的概率为(    )
A. 14 B. 13 C. 38 D. 516
7. 某校高二年级羽毛球社团为了解喜欢羽毛球运动是否与性别有关，随机在高二年级抽取了若干人进行调查.已知抽取的女生人数是男生人数的3倍，其中女生喜爱羽毛球运动的人数占女生人数的25，男生喜爱羽毛球运动的人数占男生人数的35.若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为喜爱羽毛球运动与性别有关”的结论，则被调查的男生至少有(    )
参考公式及数据：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

A. 35人 B. 32人 C. 31人 D. 30人
8. 已知函数f(x)=alnx+12x2，若对任意正数x1，x2(x1≠x2)，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>2恒成立，则实数a的取值范围为(    )
A. (0,1] B. (0,2] C. [1,+∞) D. [2,+∞)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知(2−x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则(    )
A. a0=28 B. a1=210
C. a1+a2+…+a8=−28 D. 展开式中所有项的二项式系数的和为28
10. 设离散型随机变量X的概率分布列如表，若E(X)=1，Y=2X+1，则下列各式正确的是(    )
X
−1
0
6
P
12
a
b

A. P(X=6)=14 B. a=b=14 C. E(Y)=3 D. D(Y)=34
11. 已知函数f(x)=e2x−2ax，a∈R，则下列结论中正确的有(    )
A. f(x)必有唯一极值点
B. 若a=1，则f(x)在(−1,1)上有极小值1
C. 若a=1，对∀x∈[0,+∞)有f(x)≥kx恒成立，则k≤2e−2
D. 若存在x0∈[2,3]，使得f(x0)≤0成立，则a≥e66
12. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A1、A2，P为双曲线右支上的一点，且直线PA1与PA2的斜率之积等于3，则下列说法正确的是(    )
A. 双曲线C的渐近线方程为y=± 3x
B. 若PF1⊥PF2，且S△PF1F2=6，则a=1
C. 分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆内切
D. ∠PF2A1=2∠PA1F2
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 椭圆y29+x27=1的离心率为______ ．
14. 有4名同学和2位老师排成一排合影，其中2位老师必须相邻，则不同的排法有______ 种.(用数字作答)
15. 要做一个无盖的长方体箱子，其体积为36m3，底面长方形长与宽的比为2：1，则当它的宽为______ m时，可使其表面积最小，最小表面积为______ m2．
16. 已知等比数列{an}满足：a1+a2=20，a2+a3=80.数列{bn}满足bn=log2an(n∈N*)，其前n项和为Sn，若bnSn+8≤λ恒成立，则λ的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a∈R,b∈R)，其图象在点(1,4)处的切线方程为y=4．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[12,4]上的最值．
18. (本小题12.0分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点坐标为F1(−1,0)、F2(1,0)，点A(1, 22)为椭圆C上一点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过点F2且倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积．
19. (本小题12.0分)
5月25日是全国大、中学生心理健康日，“5.25”的谐音即为“我爱我”，意在提醒孩子们“珍惜生命、关爱自己”.学校将举行心理健康知识竞赛，第一轮选拔共设有A，B，C三个问题，每位参加者按问题A，B，C顺序作答，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C分别加2分、4分、5分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；③当答完三题，若累计分数大于或等于14分，则答题结束，进入下一轮；否则，答题结束，淘汰出局.假设甲同学对问题A，B，C回答正确的概率依次为34，23，12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)求甲同学进入下一轮的概率；
(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答对的个数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．
20. (本小题12.0分)
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，an2+an=2Sn(n∈N*).数列{bn}是公比为2的等比数列，且b1=a2．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)数列{an}，{bn}的所有项按照“当n为奇数时，bn放在前面；当n为偶数时，an放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{cn}：b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，b4，…，求数列{cn}的前4n+3项的和T4n+3．
21. (本小题12.0分)
某医疗团队为研究M市的一种疾病发病情况与该市居民的年龄关系，从该市疾控中心得到以下数据：
年龄段(岁)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
发病率(%)
0.09
0.18
0.30
0.40
0.53
(1)若将每个区间的中点数据记为xi，对应的发病率记为yi(i=1,2,3,4,5)，根据这些数据可以建立发病率y(‰)关于年龄x(岁)的经验回归方程y =b x+a ，求a ；
(2)医学研究表明，化验结果有可能出现误差.现有M市某一居民年龄在[40,50)，A表示事件“该居民化验结果呈阳性”，B表示事件“该居民患有这种疾病”.用频率估计概率，已知P(A|B)=0.9，P(A−|B−)=0.8，求P(A)．
参考公式及数据：b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，i=15xi2=11125，i=15xiyi=78.5
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=lnx+ax2，a∈R．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a=1时，证明：f(x)≤x2+x−1；
(3)求证：对任意的n∈N*且n≥2，都有：(1+122)(1+132)(1+142)⋅⋅⋅(1+1n2)<3e2.(其中e≈2.718为自然对数的底数)
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：ξ服从正态分布N(2,σ2)，P(2<ξ<4)=0.2，
则P(0<ξ<2)=P(2<ξ<4)=0.2，P(ξ<2)=0.5，
P(ξ<0)=P(ξ<2)−P(0<ξ<2)=0.5−0.2=0.3．
故选：C．
根据正态分布的对称性计算即可．
本题考查正态分布的应用，属于基础题．

2.【答案】A 
【解析】解：随机变量X～B(4,23)，
则X的可能取值为0，1，2，3，4，
P(X=0)=C40(23)0(13)4=181，
则P(X≥1)=1−P(X=0)=1−181=8081．
故选：A．
根据二项分布计算概率，求解即可．
本题考查二项分布的应用，属于基础题．

3.【答案】A 
【解析】解：数列{an}满足an+1−an=3(n∈N*)，a1=−6，
则a2=−3，a3=0，a4=3，a5=6，a6=9．
∴|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|=6+3+0+3+6+9=27．
故选：A．
由已知分别求得a2，a3，a4，a5，a6的值，则答案可求．
本题考查数列递推式，是基础题．

4.【答案】C 
【解析】解：抛物线x=2y2的标准方程为：y2=12x，
所以准线方程为x=−18，设点M的横坐标为x0，
由M到焦点的距离为2及抛物线的性质可得2=x0+18，
解得x0=158，
故选：C．
由抛物线的方程可得准线方程，设M点的横坐标，由题意及抛物线的性质可得M的横坐标的值．
本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题．

5.【答案】B 
【解析】解：设|AB|=x米，a= 5−12≈0.618，
因为矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，
所以|BC|=ax，|CF|=a2x，|GF|=a3x，|GJ|=a4x，|JK|=a5x，|KM|=a6x，
又因为M与K间的距离超过2米，C与F间的距离小于14.5米，
所以a6x>2a2x<14.5，解得2a6 则22.2 比较各选项可知该古建筑中B与C间的距离可能是23米．
故选：B．
根据题意设|AB|=x米，a= 5−12≈0.618，从而表示出M与K间的距离、C与F间的距离，列出不等式求解后比较各选项即可．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．

6.【答案】D 
【解析】解：画出树状图，如图所示：

所以4次传球后球在乙手中的概率为516．
故选：D．
画出树状图，再利用古典概型的概率公式求解即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．

7.【答案】B 
【解析】解：设抽取的男生人数为x，由题意可得列联表如下表：

男性
女性
合计
喜爱足球
3x5
6x5
9x5
不喜爱足球
2x5
9x5
11x5
合计
x
3x
4x
X2=4x(3x5⋅9x5−6x5⋅2x5)2x⋅3x⋅9x5⋅11x5=433x，
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，
所以有X2≥3.841，即433x≥3.841，解得x≥31.688，
又因为上述列联表中的所有数字均为整数，x最小为32．
故选：B．
设抽取的男生人数为x，由题意可得列联表，直接代入公式计算即可．
本题考查独立性检验，属于基础题．

8.【答案】C 
【解析】解：因为对任意两个不等的正数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>2恒成立，
设x1>x2，则f(x1)−f(x2)>2x1−2x2，
即f(x1)−2x1>f(x2)−2x2恒成立，
令函数F(x)=f(x)−2x，
问题等价于F(x)=alnx+12x2−2x在(0,+∞)上为增函数，
所以F′(x)=ax+x−2≥0在(0,+∞)上恒成立，
即a≥2x−x2在(0,+∞)上恒成立，
所以a≥(2x−x2)max=1，
即实数a的取值范围是[1,+∞)．
故选：C．
问题等价于F(x)=alnx+12x2−2x在(0,+∞)上为增函数，求出函数的导数，问题转化为a≥2x−x2在(0,+∞)上恒成立，求出a的范围即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是中档题．

9.【答案】AD 
【解析】解：(2−x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，
令x=0，则28=a0，故A正确；
(2−x)8的展开式的通项公式为Tr+1=C8r28−r(−1)rxr，
令r=1，则a1=−8×27，故B错误；
令x=1，则1=a0+a1+a2+…+a8，
所以a1+a2+…+a8=1−a0=1−28，故C错误；
展开式中所有项的二项式系数的和为28，故D正确．
故选：AD．
根据赋值法即可判断AC，根据通项公式即可判断B，根据二项式系数的和的公式即可判断D．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．

10.【答案】ABCD 
【解析】解：∵E(X)=1，∴(−1)×12+6b=1①；
又12+a+b=1②，
联立①②，解得a=b=14，故B正确；
P(X=6)=b=14，故A正确；
E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=3，故C正确；
∵D(X)=(−1−1)2×12+(0−1)2×14+(6−1)2×14=172，
∴D(Y)=D(2X+1)=4D(X)=34，故D正确．
故选：ABCD．
利用期望公式和分布列的性质得到a=b=14，可以判断AB，利用期望和方差公式可以判断CD．
本题考查了离散型随机变量的期望与方差计算，属于中档题．

11.【答案】BC 
【解析】解：已知f(x)=e2x−2ax，a∈R，函数定义域为R，
由题意得f′(x)=2e2x−2a，
当a≤0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，无极值点，故选项A错误；
当a=1时，f(x)=e2x−2x，f′(x)=2e2x−2，
当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x=0时，f(x)取得极小值，极小值f(0)=1，
则f(x)在(−1,1)上有极小值1，故选项B正确；
若对∀x∈[0,+∞)有f(x)≥kx恒成立，
此时k≤e2x−2xx=e2xx−2，
不妨设g(x)=e2xx−2，
可得g′(x)=2xe2x−e2xx2=e2x(2x−1)x2，
当0≤x<12时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x>12时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以当x=12时，g(x)取得极小值也是最小值，最小值g(12)=2e−2
则k≤2e−2，故选项C正确；
若存在x0∈[2,3]，使得f(x0)≤0成立，
即当x0∈[2,3]时，2a≥(e2xx)min，
不妨设h(x)=e2xx，函数定义域为R，
可得h′(x)=2xe2x−e2xx2=e2x(2x−1)x2，
当2≤x≤3时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
所以h(x)min=h(2)=e42，
即2a≥e42，
解得a≥e44，故选项D错误．
故选：BC．
由题意，先对函数f(x)进行求导，根据a的范围即可判断选项A，将a=1代入函数f(x)的解析式中，得到函数f(x)的导数，利用导数得到函数f(x)的单调性，进而可判断选项B；将∀x∈[0,+∞)有f(x)≥kx恒成立，转化成∀x∈[0,+∞)使得k≤e2xx−2恒成立，构造函数g(x)=e2xx−2，对g(x)进行求导，利用导数得到函数g(x)的单调性，进而判断选项C；将存在x0∈[2,3]，使得f(x0)≤0成立，转化成当x0∈[2,3]时，2a≥(e2xx)min，构造函数h(x)=e2xx，对h(x)进行求导，利用导数得到h(x)的单调性和最值，进而即可判断选项D．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．

12.【答案】ACD 
【解析】解：对于A，设P(x,y)，则y2=b2(x2a2−1)，
因为A1(−a,0)，A2(a,0)，直线PA1与PA2的斜率率之积等于3，
所以kPA1⋅kPA2=yx+a⋅yx−a=y2x2−a2=b2a2=3，得ba= 3，
所以双曲线C的渐近线方程为y=± 3x，故A正确；
对于B：由A可得e= 1+b2a2=2，所以c=2a，
而P为双曲线的右支上一点，根据双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2a，
又PF1⊥PF2，且S△PF1F2=6，则|PF2|⋅|PF1|=12，
由|PF2|2+|PF12|=(2c)2，可得(|PF2|−|PF1|)2+2|PF2|⋅|PF1|=4c2，
即4a2+24=16a2，解得a= 2，故B错误；
对于C：设PF1的中点为O1，O为坐标原点，则OO1为△PF1F2的中位线，
所以|OO1|=12|PF2|=12(|PF1|−2a)=12|PF1|−a，
则以线段PF1为直径的圆，圆心为O1，半径r1=12|PF1|，
以线段PF2为直径的圆，圆心为O，半径r2=a，
所以|OO1|=12|PF1|−a=r1−r2，故两个圆内切，故C正确；
 对于D：设P(x0,y0)，则x0>a，不妨取y0>0，∵e=2，∴c=2a，b= 3a，
则渐近线方程为y=± 3x，∴∠PA1F2∈(0,π3)，∠PF2A1∈(0,2π3)，
又tan∠PF2A1=−y0x0−c=−y0x0−2a，tan∠PA1F2=y0x0+a，
tan2∠PA1F2=2y0x0+a1−(y0x0+a)2=2y0(x0+a)(x0+a)2−y02=2y0(x0+a)(x0+a)2−b2(x02a2−1)
=2y0(x0+a)(x0+a)2−3(x02−a2)=−y0x0−2a=tan∠PF2A1．
∵2∠PA1F2∈(0,2π2)，∴∠PF2A1=2∠PA1F2，故D正确．
故选：ACD．
设P(x,y)，则y2=b2(x2a2−1)，根据两点坐标求得kPA1⋅kPA2=b2a2=3，可得y=± 3x，可判断A；可得e=2，可得c=2a，根据双曲线的定义得|PF2|−|PF1|=2a，结合条件求出a的值，可判断B；设PF1 的中点为O1，O为坐标原点，则OO1为△PF1F2的中位线，所以|OO1|=12|PF1|−a=r1−r2，根据两个圆的位置关系可判断C；结合二倍角的正切公式来判断D的正确性．
本题考查双曲线的几何性质，考查分析问题与解决问题的能力，考查运算求解能力，是中档题．

13.【答案】 53 
【解析】解：椭圆y29+x27=1，可得a=3，b= 7，所以c= 2，
所以椭圆的离心率为：e=ca= 23．
故答案为： 23．
利用椭圆方程，求解a，b，c，然后求解离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．

14.【答案】240 
【解析】解：将2位老师看作是一个整体，与另外4个人全排列，即A22A55=240．
故答案为：240．
根据相邻问题捆绑法即可求解．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．

15.【答案】3  54 
【解析】解：设长方体中底面长方形的宽为xm，则长方体中底面长方形的长为2xm，
由于长方体的体积为36cm3，则其高为362x2=18x2m，
则其表面积S=
f(x)=2x2+2x⋅18x2+4x⋅18x2=2x2+108x=2x2+54x+54x≥332x2⋅54x⋅54x=54．
当且仅当2x2=54x，即x=3时等号成立．
∴当它的宽为3m时，可使其表面积最小，最小表面积为54m2．
故答案为：3，54．
设长方体中底面长方形的宽为xm，则长方体中底面长方形的长为2xm，高为18x2m，写出其表面积，再由基本不等式求最值得答案．
本题考查长方体的体积、表面积计算，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．

16.【答案】310 
【解析】解：设数列{an}的公比为q，则q=a2+a3a1+a2=8020=4，
因为a1+a2=20=a1+4a1，所以a1=4，
所以an=4⋅4n−1=4n，
所以bn=log2an=log24n=2n，Sn=(b1+bn)n2=(2+2n)n2=n2+n，
所以bnSn+8=2nn2+n+8=2n+8n+1(n∈N*)，
由对勾函数的性质知，当n=3时，n+8n+1取得最小值为203，
此时bnSn+8=2n+8n+1取得最大值为310，
所以λ≥310，即λ的最小值为310．
故答案为：310．
先求得数列{an}的公比q与首项，从而知an，bn和Sn，再结合对勾函数的性质，得解．
本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式或前n项和公式，对勾函数的性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

17.【答案】解：(1)f′(x)=3x2+2ax+b，
所以f(x)在点(1,4)处切线的斜率为k=f′(1)=3+2a+b，
因为切线方程为y=4，
所以切线的斜率为0，且f(1)=4，
所以3+2a+b=01+a+b=4，
解得a=−6，b=9，
所以f(x)=x3−6x2+9x．
(2)由(1)知f(x)=x3−6x2+9x．
f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)，
令f′(x)=0得x=1或3，
所以在(12,1)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(1,3)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(3,4)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以x=1处f(x)取得极大值f(1)=4，
x=3处f(x)取得极小值f(3)=0，
又f(12)=(12)3−6(12)2+9(12)=258，
f(4)=43−6×42+9×4=4，
所以f(x)在[12,4]上的最大值为4，最小值为0． 
【解析】(1)求导得f′(x)=3x2+2ax+b，由导数的几何意义可得f(x)在点(1,4)处切线的斜率为k=f′(1)=3+2a+b，又切线方程为y=4，则3+2a+b=01+a+b=4，解得a，b，即可得出答案．
(2)由(1)知f(x)=x3−6x2+9x.求导分析单调性和极值，端点处函数值，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．

18.【答案】解：(1)由题意可得c=11a2+12b2=1c2=a2−b2，解得a2=1，b2=1，
所以椭圆C的标准方程为：x22+y2=1；
(2)由题意设直线l的方程为x=y+1，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x=y+1x2+2y2=2，整理可得：3y2+2y−1=0，
显然Δ>0，y1+y2=−23，y1y2=−13，
所以S△OMN=12⋅1⋅|y1−y2|=12⋅ (y1+y2)2−4y1y2=12 49−4⋅(−13)=23．
即△OMN的面积为23． 
【解析】(1)由题意可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；
(2)由题意设直线l的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，进而求出M，N的纵坐标之差的绝对值，进而求出三角形的面积．
本题考查椭圆的方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．

19.【答案】解：(1)记答对A，B，C分别为事件D1，D2，D3，
甲同学进入下一轮为事件E，
则P(E)=P(D1D2+D1D2−D3+D1−D2D3)=34×23+34×13×12+14×23×12=1724；
(2)由题意知ξ的可能取值为0，1，2，
P(ξ=0)=P(D1−D2−)=14×13=112，
P(ξ=1)=P(D1D2−D3−+D1−D2D3−)=34×13×12+14×23×12=524，
P(ξ=2)=P(D1D2+D1D2−D3+D1−D2D3)=34×23+34×13×12+14×23×12=1724，
所以ξ的分布列为：
ξ
 0
1
 2
 P
112
 524
 1724
数学期望E(ξ)=0×112+1×524+2×1724=138． 
【解析】(1)记甲同学进入下一轮为事件E，结合题意，求出P(E)即可求解；
(2)由题意先求出ξ的可能取值，然后分别计算每一个值对应的概率，列出分布列，代入期望的计算公式即可求解．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．

20.【答案】解：(1)由an2+an=2Sn，知an+12+an+1=2Sn+1，
两式相减得，(an+12−an2)+(an+1−an)=2an+1，整理得(an+1+an)(an+1−an−1)=0，
因为an>0，所以an+1+an>0，所以an+1−an=1，
在an2+an=2Sn中，令n=1，则a1=1，
所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以an=1+(n−1)×1=n，
因为数列{bn}是公比为2的等比数列，且b1=a2=2，
所以bn=2⋅2n−1=2n．
(2)T4n+3=(b1+a1)+(a2+b2)+(b3+a3)+…+(b2n−1+a2n−1)+(a2n+b2n)+(b2n+1+a2n+1)+a2n+2
=(b1+b2+…+b2n+b2n+1)+(a1+a2+…+a2n+1+a2n+2)
=2(1−22n+1)1−2+(1+2n+2)⋅(2n+2)2=4n+1+2n2+5n+1． 
【解析】(1)根据an+1=Sn+1−Sn，可得数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，再由等差数列的通项公式得an，由等比数列的通项公式得bn；
(2)T4n+3=(b1+a1)+(a2+b2)+…+(b2n+1+a2n+1)+a2n+2，再利用分组求和法，得解．
本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握利用an+1=Sn+1−Sn求通项公式的方法，等差、等比数列的通项公式与前n项和公式，分组求和法等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

21.【答案】解：(1)由题意，x−=(25+35+45+55+65)÷5=45，y−=(0.09+0.18+0.30+0.40+0.53)÷5=0.30，
b=(i=15xiyi−5x−y−)÷(i=15xi2−5x−2)=(78.5−5×45×0.30)÷(11125−5×452)=0.011，
a=y−−bx−=0.30−0.011×45=−0.195；
(2)由题意得P(B)=0.0003，所以P(B−)=0.9997，
由贝叶斯公式得P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|B−)P(B−)=0.9×0.0003+0.2×0.9997=0.20021． 
【解析】(1)求出x，y的平均值，而后求出b，a；
(2)利用贝叶斯公式求出P(A)即可．
本题主要考查线性拟合以及条件概率，属中档题．

22.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=1x+2ax=2ax2+1x，
当a≥0时，在(0,+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当a<0时，令f′(x)=0，得x= −12a或− −12a(舍)，
所以在(0, −12a)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
在( −12a,+∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当a<0时，f(x)在(0, −12a)上单调递增，在( −12a,+∞)上单调递减．
(2)证明：当a=1时，f(x)=lnx+x2，
要证明f(x)≤x2+x−1，
即证lnx+x2≤x2+x−1，
需证lnx−x+1≤0，
令g(x)=lnx−x+1，x>0，
g′(x)=1x−1=1−xx，
令g′(x)=0得x=1，
所以在(0,1)上g′(x)>0，g(x)单调递增，
在(1,+∞)上g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x)max=g(1)=0，
所以g(x)≤0，得证．
(3)证明：由(2)可得lnx≤x−1(当且仅当x=1时等号成立)，
令x=1+1n2，n=1，2，3，…，
则ln(1+122)<1n2<1n2−14=1n−12−1n+12，
故ln(1+122)+ln(1+132)+…+ln(1+1n2)
<12−12−12+12+13−12−13+12+…+1n−12−1n+12=23−1n+12<23，
即ln[(1+122)(1+132)(1+142)⋅⋅⋅(1+1n2)]<23=ln3e2，
故(1+122)(1+132)(1+142)⋅⋅⋅(1+1n2)<3e2． 
【解析】(1)求得f′(x)，对参数a进行分类讨论，即可求得不同情况下函数的单调性；
(2)构造函数g(x)=lnx−x+1，利用导数研究函数单调性和最值，即可证；
(3)根据(2)中所求结合放缩法得ln(1+122)<1n2<1n2−14=1n−12−1n+12，利用累加法即可证明．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．