2023高三下学期第四次调研测试数学含答案

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吉林市普通中学2022—2023学年度高三毕业年级第四次调研考试
数 学
本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．
1．已知集合，，若，则实数
A．或 B．或 C． D．
2．中，，，，则边上的高所在的直线方程是
A． B．
C． D．
3．已知是两个不同的平面，则下列命题错误的是
A．若，且，则
B．若是平面内不共线三点，，，则
C．若直线，直线，则与为异面直线
D．若且，则直线
4．下列说法错误的是
A．若随机变量，则
B．若随机变量服从两点分布，且，则
C．若随机变量的分布列为，，则
D．若随机变量，则的分布列中最大的只有
5．设，则
A． B．
C． D．
6．点是的重心，，，则
A． B． C． D．
7．在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等
式：．类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共层，底层如图，一边个圆球，另一边个圆球，向上逐层每边减少个圆球，顶层堆个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为




图1杨辉三角 图2刍童垛 图3刍童垛底层
A． B． C． D．
8． 已知点是抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点和，且，则四边形面积的最小值为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知实数满足，，则下列不等式一定成立的是
A． B．
C． D．






10．如图所示，正三棱台中，，，与平面所成
的角为，则
A．该三棱台的体积是
B．该三棱台的体积是
C．该三棱台外接球的表面积是
D．该三棱台外接球的表面积是
11．人均消费支出是社会需求的主体，是拉动经济增长的直接因素，是体现居民生活水平和质量的重要指标．年一季度和年一季度我国居民人均消费支出分别为元和元，图、图分别为年一季度和年一季度居民人均消费支出构成分布图，则
 

图1 图
A．年一季度和年一季度居民食品烟酒人均消费支出均超过人均总消费支出的
B．年一季度居民食品烟酒、衣着、居住各项人均消费支出占比较上年同期均有所降
低
C．年一季度居民人均交通通信支出低于上年同期人均交通通信支出
D．年一季度居民人均消费支出比上年同期增长约
12．已知函数 其中，给出下列四个结论：
甲：有两个不等实根
乙：有一个极小值是
丙：的所有零点的积为
丁：的所有零点的和为
若上述结论有且只有一个是错误的，则上述结论正确的是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
第II卷（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中第16题的第一个空填对得2分， 第二个空填对得3分．
13．已知复数是关于的方程的一个根，则 ．
14．已知，，，，是
函数的两个零点，且，则 ．
15．已知椭圆的左焦点为，上顶点为，直线过和，且与圆交于两点，若，，则椭圆的离心率为 ．
16．在三棱锥中，，，，直线与平面所成角
为，直线与平面所成角为，则点在所在平面内的射影的轨迹长为 ；三棱锥体积的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
中，角的对边分别为，且．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若的外接圆半径为，求的周长的最大值．
18．（本小题满分12分）
随着消费者对环保、低碳和健康生活的追求不断加强，新能源汽车的市场需求也在不断增加．新能源汽车主要有混合动力汽车、纯电动汽车、燃料电池汽车等类型．某汽车企业生产的型汽车，有混合动力和纯电动两种类型，总日产量达台，其中有台混合动力汽车，台纯电动汽车．
（Ⅰ）若从中随机抽检台汽车，用表示抽检混合动力汽车的台数，分别就有放回抽检与不放回抽检，求的分布列及数学期望；
（Ⅱ）若从每日生产的台型汽车中随机地抽取台样本，用表示样本中混合动力汽车台数，分别就有放回抽取和不放回抽取，用样本中的混合动力汽车台数的比例估计总体中混合动力汽车台数的比例，求误差不超过的概率，并比较在相同的误差限制下，采用哪种抽取估计的结果更可靠．
参考数据：（概率值精确到）

二项分布概率值
超几何分布概率值
0
0.05631
0.04929
1
0.18771
0.18254
2
0.28157
0.29051
3
0.25028
0.26134
4
0.14600
0.14701
5
0.05840
0.05396
6
0.01622
0.01307
7
0.00309
0.00206
8
0.00039
0.00020
9
0.00003
0.00001
10
0.00000
0.00000
总计
1.00000
1.00000
19．（本小题满分12分）
如图1，在等腰梯形中，，，，.
沿将折成，如图2所示，连接，，得到四棱锥．
（Ⅰ）若平面平面，求证：；
（Ⅱ）若点是的中点，求点到直线的距离的取值范围．

图1 图2
20．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，求的前项和．
21．（本小题满分12分）
已知双曲线的左、右顶点分别为，，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点到直线的距离为.
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为．
（ⅰ）是否存在实数，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（ⅱ）求直线和交点的轨迹方程．
22．（本小题满分12分）
已知函数，且．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）设为整数，且对任意正整数，不等式恒成立，求的最小值；
（Ⅲ）证明：．
命题、校对：数学学科中心组