精品解析：河南省南阳市六校2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题（解析版）

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2022—2023学年（下）南阳六校高一年级期末考试
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知的半径为，弦的长等于半径，则劣弧的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由弦长可确定所对圆心角，代入扇形弧长公式即可.
【详解】弦的长等于半径，所对的圆心角为，的长为.
故选：C.
2. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的四则运算进行化简，从而得出对应点的坐标即可.
【详解】，
故对应点的坐标为，在第二象限.
故选：B
3. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求得，得到，结合三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】由，平方可得，
可得，
因为，所以，所以，
又由，所以.
故选：B.
4. 如图，一个水平放置的平行四边形ABCD的斜二测画法的直观图为矩形，若，，则在原平行四边形ABCD中，（ ）

A. 3 B. C. D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根据斜二测画法规则把直观图还原为原图形即可求解.
【详解】在直观图中，，，则，，
把直观图还原为原图，如图，则根据斜二测画法规则得，，
所以.

故选：D.
5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用降幂公式和二倍角公式进行化简，求出A的值后即可求B.
【详解】，
，，
，在△ABC中，.

,
.
故选：A.
6. 将函数图象上各点的横坐标缩小为原来的，再将所得图象向右平移个单位长度得到一个偶函数的图象，则的零点为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由图象变换可得，根据题意结合诱导公式可得，以整体，结合正弦函数求零点.
【详解】将函数图象上各点的横坐标缩小为原来的，得到，
再将所得图象向右平移个单位长度，得到，
因为为偶函数，则，解得，
又因为，则，
所以，
令，解得，
即的零点为.
故选：C.
7. 已知某正四棱台上底面的边长为，下底面的边长为，外接球的表面积为，则该正四棱台的体积为（ ）
A. 224 B. 112 C. 224或 D. 112或
【答案】D
【解析】
【分析】确定上底面和下底面的中心，连接两个中心，分球心在线段上和延长线上两种情况考虑，利用勾股定理可求出正四棱台的高，近一步计算即可.
【详解】根据题意，球心位置分为两种情况：
若球心位置在几何体内，
如图所示：设为外接球球心，为外接球半径，则,

又上底面是边长为的正方形，故
下底面的边长为的正方形，故
外接球的表面积为所以
则

所以正四棱台的高
正四棱台的体积
当球心在的延长线上时，正四棱台的高
则正四棱台的体积
故选：
8. 已知△ABC中，，且△ABC的面积为，则△ABC的边AB上的中线长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意利用正弦定理可得，结合面积公式可得，再根据向量可知，结合数量积的运算律求模长.
【详解】由正弦定理可得：，设，
由面积公式，即，解得，
则，
设边AB上的中线为，则，
可得，
即.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】CD
【解析】
【分析】根据线面位置关系逐项判断即可求解.
【详解】A项，，可平行，可相交，故A项错误；
B项，由，，可得，又，所以与可能平行，还可能，故B项错误；
C项，由于，，所以，又，所以，故C项正确；
D项，由，，可知或，又，所以，故D项正确；
故选：CD.
10. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A. z的虚部为i B.
C. D. 若，则的最小值是1
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据复数概念，可判定A不正确；根据复数的运算法则，可判定B、C正确；根据复数的几何意义，可判定D正确.
【详解】由复数，可得复数虚部为，所以A不正确；
由复数，所以B正确；
由复数，，所以C正确；
由复数，可得复数在复平面内表示以原点为圆心，半径为的单位圆，
如图所示，又由复数在复平面内对应点，
可得，所以的最小值为，所以D正确.
故选：BCD.

11. 如图，正三棱锥的底面边长是侧棱长的倍，E，F，H分别是AB，AC，BC的中点，D为PH的中点，且，则下列结论中正确的是（ ）

A. 平面平面 B. 平面平面
C. 平面平面 D. 平面平面
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用平面与平面垂直的判定定理判断即可.
【详解】选项A，因为是的中点，在等腰三角形中，，在等腰三角形中，,又因为,平面中，所以平面,因为平面,所以平面平面，故A正确；
选项B，因为E，F分别是AB，AC的中点，所以∥,所以平面,
因平面,所以平面平面，故B正确；
选项C，由已知条件可知,为的中点，则,若平面平面，则平面,根据正三棱锥的结构特征可知点在底面内的射影是三角形的中心，同时也是的三等分点，而此处为的中点，故C错误；
选项D，连接，分别为的中点，所以∥,因为正三棱锥的底边长为侧棱的倍，所以三棱锥的侧面均为等腰直角三角形，
所以，，因为,平面,
所以平面,所以平面,又因为平面,
所以平面平面，故D正确；
故选：.

12. 已知函数，则（ ）
A. 的图象关于点中心对称
B. 的值域为
C. 满足在区间上单调递增的的最大值为
D. 在区间上的所有实根之和为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用两角和差公式、二倍角和辅助角公式可化简得到；利用代入检验法可知A正确；根据正弦型函数值域可知B错误；根据函数单调递增，利用整体代换法可求得范围，知C正确；将问题转化为与交点横坐标之和的问题，由对称性可求得D正确.
【详解】；
对于A，当时，，此时，
的图象关于点中心对称，A正确；
对于B，，的值域为，B错误；
对于C，若在上单调递增，则，
解得：，又，，解得：，
，，则的最大值为，C正确；
对于D，令，则；
当时，，
作出与的图象如下图所示，

与的交点即为方程的根，
由对称性可知：，，
，D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角恒等变换与三角函数性质相关问题的求解；本题求解方程实根之和的关键是将问题转化为两函数交点的问题，采用数形结合的方式，结合正弦函数对称性可求得结果.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算结合向量垂直可得，进而可求模长.
【详解】由题意可得，
若，则，解得，
所以，则.
故答案为：.
14. 已知函数的最小正周期为，则函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正切型函数的周期可得，再令，结合正切函数求定义域.
【详解】由题意可得：，且，解得，
对于函数，令，
即，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，点是角终边上的一点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先利用三角函数的定义求得和，再根据诱导公式化简求解即可.
【详解】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，点是角终边上的一点，
所以，，
所以，
故答案为：
16. 已知向量满足，则的最小值是______，最大值是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用向量数量积运算律可得到，，令，平方后可求得范围，进而得到的范围，即可求得所求最值.
【详解】设夹角为，
，
，
，
令，则且，
，，，，
即的最小值为，最大值为.
故答案为：；.
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 如图，在直三棱柱中，，，点D是AC的中点．

（1）求证：平面，
（2）若三棱柱的体积为6，求四面体的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）连接交于点，可得，利用线面平行的判断定理可得答案；
（2）设，，利用三棱柱的体积为6可得，
再由可得答案.
【小问1详解】
连接交于点，连接，因为为平行四边形，所以为的中点，
可得为的中位线，所以，
因为平面，平面，平面；
【小问2详解】
在直三棱柱中，底面，平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，点D是AC的中点，
设，，所以三棱柱的体积为
，可得，
所以.

18. 如图，在中，．

（1）用，表示，；
（2）若点满足，证明：，，三点共线．
【答案】（1），
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用向量的线性运算和基本定理求解即可.
（2）利用三点共线的判定证明即可.
【小问1详解】
因为，

，



.
【小问2详解】
由，
可得，
所以，，即，
所以，，三点共线.
19. 已知复数，，．
（1）若为实数，求的值；
（2）设复数在复平面内对应的向量分别是，若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由复数的运算将化简，然后由为实数列出方程，即可得到结果；
（2）根据题意，由列出方程即可得到，再由同角的平方关系，即可得到结果.
【小问1详解】
因为，，
所以
，且为实数，
所以，即，
又因为，所以，
所以，则.
【小问2详解】
由题意可得，，，因为，所以
，即，
化简可得，所以，
又因为，则，
所以.
20. 将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知的图象在区间上有且仅有两条对称轴．
（1）求；
（2）求在上的单调区间．
【答案】（1）
（2）递增区间为和，递减区间为.
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的图象变换得到，再由的图象在区间上有且仅有两条对称轴，求得，得到，得出，即可求得的值；
（2）由，可得，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
【小问1详解】
解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，
再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到，
因为，可得，
又因为的图象在区间上有且仅有两条对称轴，则满足，
解得，因为，所以，所以，
则.
【小问2详解】
解：由函数，
又由，可得，
当时，即时，函数单调递增；
当时，即时，函数单调递减；
当时，即时，函数单调递增，
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
21. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，求bc的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由内角和等于消去角C，然后通过两角和差的正弦公式展开化简即可求解；
（2）由正弦定理、三角恒等变换化简可得，结合角A的范围和正弦函数的性质即可求解.
【小问1详解】
已知，由正弦定理可得，
即，
整理得，
又，所以，所以，
即，又，
所以，即.
【小问2详解】
由（1）知，又，由正弦定理，得，
所以，
所以，
，
在锐角中，，则，
当时，，
当时，，
所以，则，
故的周长的取值范围为.
22. 如图，圆锥PO的体积，点A，B，C，D都在底面圆周上，且，，AB＝4，E为PB的中点．

（1）求圆锥PO的侧面积；
（2）求直线CE与平面PCD所成角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用圆锥的体积公式求出PO的长，从而求出圆锥的母线长，即可求出圆锥的侧面积；
（2）易得平面,从而过E作的平行线，即面的垂线，从而得到即线面角，然后利用勾股定理求出各边长度即可.
【小问1详解】
AB＝4，且，
所以底面圆的半径,
圆锥PO的体积
圆锥母线长
所以圆锥PO的侧面积；
【小问2详解】

取PO中点为F，且E为PB的中点．
所以,
圆锥PO可知，平面,
，且，,
所以平面,
所以平面，
所以即直线CE与平面PCD所成角.
，，
故.
故答案为.