还剩24页未读，
继续阅读
2022-2023学年福建省泉州市永春一中高一（下）期末数学试卷
展开
这是一份2022-2023学年福建省泉州市永春一中高一（下）期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省泉州市永春一中高一（下）期末数学试卷
一、单选题
1．已知复数z＝2i（3﹣5i），则＝（ ）
A．10+6i B．10﹣6i C．﹣10+6i D．﹣10﹣6i
2．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．“五月榴花妖艳烘，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽”，这是欧阳修在《渔家傲•五月榴花妖艳烘》中描写端午节的诗句．某商家为迎接端午节，计划将粽子以“粽情粽意”礼盒形式进行销售，现利用分层随机抽样从72个蛋糕肉粽、18个碱水粽、36个豆沙粽、54个莲子粽中随机抽取10个粽子放入一个礼盒中作为展开进行试销售，则该礼盒中莲子粽的个数为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
4．某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有24个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二．学校计划从这两个年级中共抽取208人进行视力调查，若采用分层抽样的方式进行抽样，则下列说法：①甲乙两人可能同时被抽取；②高一、高二年级分别抽取100人和108人；③乙被抽到的可能性比甲的大．其中正确的有（ ）
A．① B．①③ C．①② D．①②③
5．武当山，位于湖北省西北部十堰市境内，其自然风光，以雄为主，兼有险、奇、幽、秀等多重特色．主峰天柱峰犹如金铸玉瑑的宝柱雄峙苍穹，屹立于群峰之巅．环绕其周围的群山，从四面八方向主峰倾斜，形成独特的“七十二峰朝大顶，二十四涧水长流”的天然奇观，被誉为“自古无双胜境，天下第一仙山”．如图，若点P为主峰天柱峰的最高点，M，N为观测点，且P，M，N在同一水平面上的投影分别为Q，E，F，∠QEF＝30°，∠QFE＝45°，由点M测得点N的仰角为15°，NF﹣ME＝200米，由点N测得点P的仰角为α且，则P，M两点到水平面QEF的高度差约为（ ）（参考数据：）
A．684米 B．732米 C．746米 D．750米
6．如图，在四面体P﹣ABC中，点P在平面ABC上的射影是A，AC⊥BC，若，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知一组样本数据共有8个数，其平均数为8，方差为12，将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差最小值为（ ）
A．10 B．10.6 C．12.6 D．13.6
8．已知平面向量，，满足，且对∀t∈R，有恒成立，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论中正确的有（ ）
A．为了检验某种产品的质量，决定从1001件产品中抽取10件进行检查，用随机数法抽取样本的过程中，所编的号码的位数最少是4位
B．若数据k1，k2，⋯，k8的平均数为2，方差为3，则数据2k1+3，2k2+3，⋯，2k8+3的平均数为7，方差为6
C．在某频率直方图中，从左到右共有9个小矩形，若居中的那个小矩形的面积等于其他8个小矩形的面积和的，且样本容量为160，则居中的那组数据的频数为16
D．已知一组数据2，6，8，3，3，4，6，8，则这组数据众数为3，6，8，中位数为5
10．已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若A＜B，则sinA＜sinB
B．若a＝2，B＝，且该三角形有两解，则＜b＜2
C．若＝，则△ABC为等腰三角形
D．若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC为锐角三角形
11．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A＝“第一次出现3点”，B＝“第二次的点数小于5点”，C＝“两次点数之和为奇数”，D＝“两次点数之和为10”，则下列说法正确的有（ ）
A．A与B不互斥且相互独立 B．A与D互斥且不相互独立
C．B与C不互斥且相互独立 D．B与D互斥且不相互独立
12．上海世博会中国国家馆以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质．如图，现有一个与中国国家馆结构类似的六面体ABCD﹣A1B1C1D1，设矩形ABCD和A1B1C1D1的中心分别为O1和O2，若O1O2⊥平面ABCD，O1O2＝6，AB＝10，AD＝2，A1B1＝8，A1D1＝4，AB∥A1B1，BC∥B1C1，AD∥A1D1，CD∥C1D1，则（ ）
A．这个六面体是棱台
B．该六面体的外接球体积是288π
C．直线AC与A1C1异面
D．二面角A﹣BC﹣C1的余弦值是
三、填空题
13．如图△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，其中O′A′＝6，O′B′＝4，∠A′O′B′＝45°，则△OAB的周长为 ．
14．慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．小南计划近6个月的月慢走里程（单位：公里）按从小到大排列依次为11，12，m，n，20，27，且这6个月的月慢走里程的中位数为16，若要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，则m＝ ．
15．圆台的上下底面半径和高的比为3：4：1，母线长为，则圆台的外接球表面积为 ．
16．已知直角三角形DEF的三个顶点分别在等边三角形ABC的边AB，BC，CA上，且∠DEF＝90°，∠EDF＝30°，则的最小值为 ．
四、解答题
17．已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，点D在边BC上且满足CD＝2BD．
（1）用、表示，并求||；
（2）若点E为边AB中点，求与夹角的余弦值．
18．某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：（0，100]，（100，200]，（200，300]，（300，400]，（400，500]，（500，600]，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间（400，600]上的车辆数；
（2）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务．若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）．
19．我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束．已知甲、乙、丙三名男生成功跳过2.80米的概率分别是，，，且每名男生每跳相互独立．记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件A，B，C．
（1）求P（A）、P（B）、P（C）；
（2）求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率．
20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC+asinC＝b+c．
（1）求A；
（2）若△ABC为锐角三角形，且b＝2，求△ABC面积的取值范围．
21．如图，在几何体ABCDEF中，已知四边形ABCD是正方形，ED∥FC，AD＝ED＝2FC＝4，M，N，Q分别为AD，CD，EB的中点，P为ED上靠近点D的四等分点．
（1）证明：FQ∥平面ABCD．
（2）证明：平面PMN∥平面EBF．
22．已知如图1直角梯形ABCD，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝4，AD＝CD＝2，E为AB的中点，沿EC将梯形ABCD折起（如图2），使平面BED⊥平面AECD．
（1）证明：BE⊥平面AECD；
（2）在线段CD上是否存在点F，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为，若存在，求出点F的位置：若不存在，请说明理由．
2022-2023学年福建省泉州市永春一中高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（5分）已知复数z＝2i（3﹣5i），则＝（ ）
A．10+6i B．10﹣6i C．﹣10+6i D．﹣10﹣6i
【答案】B
【分析】先化简复数z，再由共轭复数的定义即可求解．
【解答】解：z＝2i（3﹣5i）＝10+6i，则．
故选：B．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
2．（5分）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可．
【解答】解：对于A，，不可以作为基底，A错误；
对于B，∵，∴， 共线，不可以作为基底，B错误；
对于C， 与 为不共线的非零向量，可以作为一组基底，C正确；
对于D，∵，∴， 共线，不可以作为基底，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查基底向量，属于基础题．
3．（5分）“五月榴花妖艳烘，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽”，这是欧阳修在《渔家傲•五月榴花妖艳烘》中描写端午节的诗句．某商家为迎接端午节，计划将粽子以“粽情粽意”礼盒形式进行销售，现利用分层随机抽样从72个蛋糕肉粽、18个碱水粽、36个豆沙粽、54个莲子粽中随机抽取10个粽子放入一个礼盒中作为展开进行试销售，则该礼盒中莲子粽的个数为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】D
【分析】根据分层抽样定义计算即可．
【解答】解：依题意得该礼盒中莲子粽的个数为．
故选：D．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
4．（5分）某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有24个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二．学校计划从这两个年级中共抽取208人进行视力调查，若采用分层抽样的方式进行抽样，则下列说法：①甲乙两人可能同时被抽取；②高一、高二年级分别抽取100人和108人；③乙被抽到的可能性比甲的大．其中正确的有（ ）
A．① B．①③ C．①② D．①②③
【答案】C
【分析】根据分层抽样的特征以及每层的人数比值逐一求解判断各选项．
【解答】解：对于①，采用分层抽样的方式进行抽样，甲乙两人可能同时被抽取，故①正确；
对于②，高一共有20×50＝1000人，高二共有24×45＝1080人，从这两个年级2080人中共抽取208人进行视力调查，
高一应抽取人，高二应抽取人，故②正确；
对于③，甲被抽到的可能性为，乙被抽到的可能性为，甲和乙被抽到的可能性相等，故③错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
5．（5分）武当山，位于湖北省西北部十堰市境内，其自然风光，以雄为主，兼有险、奇、幽、秀等多重特色．主峰天柱峰犹如金铸玉瑑的宝柱雄峙苍穹，屹立于群峰之巅．环绕其周围的群山，从四面八方向主峰倾斜，形成独特的“七十二峰朝大顶，二十四涧水长流”的天然奇观，被誉为“自古无双胜境，天下第一仙山”．如图，若点P为主峰天柱峰的最高点，M，N为观测点，且P，M，N在同一水平面上的投影分别为Q，E，F，∠QEF＝30°，∠QFE＝45°，由点M测得点N的仰角为15°，NF﹣ME＝200米，由点N测得点P的仰角为α且，则P，M两点到水平面QEF的高度差约为（ ）（参考数据：）
A．684米 B．732米 C．746米 D．750米
【答案】C
【分析】过M作MC⊥NF交NF于C，过N作ND⊥PQ交PQ于D，根据正弦定理即可求解．
【解答】解：若点P为主峰天柱峰的最高点，M，N为观测点，且P，M，N在同一水平面上的投影分别为Q，E，F，∠QEF＝30°，∠QFE＝45°，
由点M测得点N的仰角为15°，NF﹣ME＝200米，由点N测得点P的仰角为α且，
如图，过M作MC⊥NF交NF于C，过N作ND⊥PQ交PQ于D，
如图所示，因为NF﹣ME＝200，所以NC＝200，
又∠NMC＝15°，则，，
则，
又∠QEF＝30°，∠QFE＝45°，所以∠FQE＝105°，
由正弦定理，得，
，
即，又∠PND＝α，所以，
所以，
则P，M两点到平面QEF的高度差为米．
故选：C．
【点评】本题考查了正弦定理在实际生活中的应用，属于中档题．
6．（5分）如图，在四面体P﹣ABC中，点P在平面ABC上的射影是A，AC⊥BC，若，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】PC与AB所成的角通过线线平行转化为∠HFE或其补角，再应用余弦定理计算余弦值，最后根据异面直线所成角的范围确定符号即可．
【解答】解：分别取PA，AC，BC的中点E，F，H，连接EF，FH，HE，AH．
因为点P在平面ABC上的射影是A，所以PA⊥平面ABC，则PA⊥AC，PA⊥AH．
因为E，F，H分别为PA，AC，BC中点，所以FE∥PC，HF∥AB，
所以PC与AB所成的角即∠HFE或其补角．
因为，所以，所以．
又因为，所以，
所以，
异面直线所成角的范围是，故异面直线PC与AB所成角的余弦值为．
故选：C．
【点评】本题主要考查异面直线所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
7．（5分）已知一组样本数据共有8个数，其平均数为8，方差为12，将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差最小值为（ ）
A．10 B．10.6 C．12.6 D．13.6
【答案】D
【分析】根据已知条件，利用平均数公式及其方差公式求解．
【解答】解：设增加的数为x，y，原来的8个数分别为a1，a2，⋯，a8，
则a1+a2+⋯+a8＝64，a1+a2+⋯+a8+x+y＝90，所以x+y＝26，
一组样本数据共有8个数，其平均数为8，方差为12，
则，即，
新的样本数据的方差为
＝，
因为，x2+y2﹣202≥136，
所以方差的最小值为13.6（当x＝y＝8时取到最小值）．
故选：D．
【点评】本题主要考查平均数公式及其方差公式，属于基础题．
8．（5分）已知平面向量，，满足，且对∀t∈R，有恒成立，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】展开，根据∀t∈R，有恒成立，可求得两向量夹角，再结合夹角余弦公式即可求得．
【解答】解：因为对∀t∈R，有恒成立，
所以对∀t∈R，恒成立，
所以对∀t∈R，恒成立，
所以，即，
所以，
解得，
所以，，
所以，
所以＝，
所以与的夹角为．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算，属中档题．
二、多选题
（多选）9．（5分）下列结论中正确的有（ ）
A．为了检验某种产品的质量，决定从1001件产品中抽取10件进行检查，用随机数法抽取样本的过程中，所编的号码的位数最少是4位
B．若数据k1，k2，⋯，k8的平均数为2，方差为3，则数据2k1+3，2k2+3，⋯，2k8+3的平均数为7，方差为6
C．在某频率直方图中，从左到右共有9个小矩形，若居中的那个小矩形的面积等于其他8个小矩形的面积和的，且样本容量为160，则居中的那组数据的频数为16
D．已知一组数据2，6，8，3，3，4，6，8，则这组数据众数为3，6，8，中位数为5
【答案】ACD
【分析】由随机数表法的性质可判断A；根据平均数、方差的计算公式分析新数据的方差、平均数即可得判断B；由频率分布直方图分析可得“中间一个小长方形”对应的频率，再由频率与频数的关系，中间一组的频数即可判断C；分别求出这组数据的众数、中位数，由此判断D．
【解答】解：对于A，因为共有1001件产品，所以所编的号码的位数最少是4位，故A正确；
对于B，一组数据k1，k2，⋯，k8，这8个数据的平均数为2，方差为3，
则，，
对于数据2k1+3，2k2+3，⋯，2k8+3，
其平均数，
方差，故B不正确；
对于C，设中间一个小长方形的面积为x，其他8个小长方形的面积之和为y，
则有，解得：x＝0.1，所以中间一组的频数＝160×0.1＝16，故C正确；
对于D，一组数据2，6，8，3，3，4，6，8，从小到大排序为：2，3，3，4，6，6，8，8，
所以它的众数3，6，8，中位数为＝5，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查统计的知识，考查转化能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若A＜B，则sinA＜sinB
B．若a＝2，B＝，且该三角形有两解，则＜b＜2
C．若＝，则△ABC为等腰三角形
D．若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC为锐角三角形
【答案】ABD
【分析】选项A，根据大边对大角与正弦定理，即可判断；
选项B，利用正弦定理，可得解；
选项C，结合同角三角函数的商数关系，并利用正弦定理化边为角，再由二倍角公式，即可得解；
选项D，结合已知条件与两角和的正切公式，可推出tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，得解．
【解答】解：选项A，若A＜B，则a＜b，
由正弦定理知，，所以sinA＜sinB，即选项A正确；
选项B，因为该三角形有两解，所以asinB＜b＜a，即2sin＜b＜2，
所以＜b＜2，即选项B正确；
选项C，由＝知，b2•＝a2•，
由正弦定理得，sin2BsinAcosB＝sin2AsinBcosA，
因为sinAsinB≠0，所以sinBcosB＝sinAcosA，即sin2B＝sin2A，
所以2B＝2A或2B+2A＝π，即A＝B或A+B＝，
所以△ABC为等腰或直角三角形，即选项C错误；
选项D，因为tan（A+B）＝，
所以tanA+tanB﹣tan（A+B）＝﹣tan（A+B）tanAtanB，
即tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，
因为tanA+tanB+tanC＞0，所以tanAtanBtanC＞0，
又A，B，C∈（0，π），且至多只有一个钝角，
所以tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，即A，B，C均为锐角，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，三角恒等变换公式，三角形解的个数的处理方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
（多选）11．（5分）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A＝“第一次出现3点”，B＝“第二次的点数小于5点”，C＝“两次点数之和为奇数”，D＝“两次点数之和为10”，则下列说法正确的有（ ）
A．A与B不互斥且相互独立 B．A与D互斥且不相互独立
C．B与C不互斥且相互独立 D．B与D互斥且不相互独立
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，求出事件A，B，C，D的概率，再利用互斥事件、相互独立事件的定义判断作答．
【解答】解：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次的试验结果有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36个不同结果，
事件A所含的结果有：（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），共6个，
事件B所含的结果有24个，事件C所含的结果有18个，事件D所含的结果有：（4，6），（5，5），（6，4），共3个，
因此，
对于A，事件A与B都含有（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共4个结果，即事件A与B可以同时发生，
而，A与B不互斥且相互独立，A正确；
对于C，事件B与C都含有（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，1），（4，3），（5，2），（5，4），（6，1），（6，3），共12个结果，
即事件B与C可以同时发生，，B与C不互斥且相互独立，C正确；
对于B，事件A与D不能同时发生，P（AD）＝0≠P（A）P（D），A与D互斥且不相互独立，B正确；
对于D，事件B与D都含有（6，4），即B与D可以同时发生，，
因此B与D不互斥且不相互独立，D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查互斥事件与对立事件的定义，属于基础题．
（多选）12．（5分）上海世博会中国国家馆以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质．如图，现有一个与中国国家馆结构类似的六面体ABCD﹣A1B1C1D1，设矩形ABCD和A1B1C1D1的中心分别为O1和O2，若O1O2⊥平面ABCD，O1O2＝6，AB＝10，AD＝2，A1B1＝8，A1D1＝4，AB∥A1B1，BC∥B1C1，AD∥A1D1，CD∥C1D1，则（ ）
A．这个六面体是棱台
B．该六面体的外接球体积是288π
C．直线AC与A1C1异面
D．二面角A﹣BC﹣C1的余弦值是
【答案】BCD
【分析】A中，根据棱台的定义判断即可．
B中，由题意求出六面体的外接球半径，计算外接球的体积．
C中，判断AC和A1C1不相交也不平行即可．
D中，找出二面角的平面角，计算余弦值即可．
【解答】解：对于A，因为＝＝，＝＝，，
所以四条侧棱的延长线不能交于一点，这个六面体不是棱台，选项A错误．
对于B，由题意知，这个六面体的外接球球心O在直线O1O2上，且O1A＝4，O2A1＝2，
因为+＝+，即32+＝20+，
解得OO1＝2，所以六面体的外接球半径R＝＝6，
所以这个六面体的外接球体积是V＝，选项B正确．
对于C，AC和A1C1显然不相交，计算，
所以AC与A1C1不平行，所以AC和A1C1不在同一平面内，选项C正确．
对于D，取BC和B1C1的中点分别为M，N，连接O2N，MN，O1M，
则∠O1MN即所求二面角的平面角，O1M＝5，O2N＝4，
所以，选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了空间简单几何体的结构特征与应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
三、填空题
13．（5分）如图△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，其中O′A′＝6，O′B′＝4，∠A′O′B′＝45°，则△OAB的周长为 24 ．
【答案】24．
【分析】根据直观图复原原图，根据斜二测画法的规则，确定相关线段的长，可求得答案．
【解答】解：如图，根据直观图复原原图，
则，
故△OAB的周长为6+8+10＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查斜二测画法相关知识，属于基础题．
14．（5分）慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．小南计划近6个月的月慢走里程（单位：公里）按从小到大排列依次为11，12，m，n，20，27，且这6个月的月慢走里程的中位数为16，若要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，则m＝ 16 ．
【答案】16．
【分析】根据题意得到m+n＝32，进而求得数据的平均数为17，结合方差的公式，要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，需要（m﹣17）2+（n﹣17）2最小，结合二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：由题意，数据的中位数为16，可得，所以m+n＝32，
所以这6个月的月慢走里程的平均数为，
要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，需要（m﹣17）2+（n﹣17）2最小，
又由（m﹣17）2+（n﹣17）2＝（m﹣17）2+（32﹣m﹣17）2＝2m2﹣64m+172+152，
故当标准差最小时，．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查了中位数、平均数和标准差的计算，属于基础题．
15．（5分）圆台的上下底面半径和高的比为3：4：1，母线长为，则圆台的外接球表面积为 100π ．
【答案】100π．
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出圆台的上下底面半径，进一步求得圆台外接球的半径，则答案可求．
【解答】解：设圆台的上底半径为3x，则下底半径是4x，高为x，作轴截面如图所示：
又母线长为，
∴x2+x2＝2，解得x＝1．
∴圆台的上底面半径是3，下底面半径是4，高是1，
设圆台外接球的半径为R，
则，，
又OO1﹣OO2＝1，联立解得R2＝25．
∴圆台的外接球表面积为4πR2＝100π．
【点评】本题考查圆台的表面积的求法，考查数形结合思想，是中档题．
16．（5分）已知直角三角形DEF的三个顶点分别在等边三角形ABC的边AB，BC，CA上，且∠DEF＝90°，∠EDF＝30°，则的最小值为 ．
【答案】．
【分析】设，EF＝x，由正弦定理求解BD，AD，再结合三角形面积公式及三角函数辅助角公式求三角函数最值得出结果．
【解答】解：设，EF＝x，
则在△BDE中，，，
由正弦定理得：，
∴，
在△ADF中DF＝2x，，，
同理可得，
因此可得，
，
因为，其中，，
由于，，
所以当时，sin（α+φ）＝1，
所以，
则的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数与解三角形的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
四、解答题
17．（10分）已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，点D在边BC上且满足CD＝2BD．
（1）用、表示，并求||；
（2）若点E为边AB中点，求与夹角的余弦值．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）根据条件得出，然后即可得出，然后根据进行数量积的运算即可求出答案；
（2）根据条件得出，然后进行数量积的运算可求出和的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出与夹角的余弦值．
【解答】解：（1）∵点D在边BC上，且CD＝2BD，
∴，∴，
∴，且AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，
∴＝＝；
（2）∵点E为边AB中点，
∴＝，
∴＝，
又＝＝，
∴＝．
【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数乘和减法的几何意义，向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
18．（12分）某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：（0，100]，（100，200]，（200，300]，（300，400]，（400，500]，（500，600]，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间（400，600]上的车辆数；
（2）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务．若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）．
【答案】（1）估计该天停车时长在区间（400，600]上的车辆数是50；
（2）确定免费停车时长为不超过153分钟．
【分析】（1）根据题意设（400，500]的频率为x，由题意得（0.0002+0.0013+0.0016+0.0032+0.0034）×100+x＝1，解得x＝0.03，可得样本中停车时长在区间（400，600]上的频率为0.05，即可得出答案；
（2）设免费停车时间长不超过y分钟，又（0，100]的频率为0.13＜30%，并且（0，200]的频率为0.45＞30%，可得0.13+（y﹣100）×0.0032＝0.3，求解即可得出答案．
【解答】解：（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1，
设（400，500]的频率为x，
由题意得（0.0002+0.0013+0.0016+0.0032+0.0034）×100+x＝1，解得x＝0.03，
∴样本中停车时长在区间（400，600]上的频率为0.05，
估计该天停车时长在区间（400，600]上的车辆数是50；
（2）设免费停车时间长不超过y分钟，
又（0，100]的频率为0.13＜30%，并且（0，200]的频率为0.45＞30%，
则y位于（100，200]之间，
则0.13+（y﹣100）×0.0032＝0.3，解得y＝153.1，
确定免费停车时长为不超过153分钟．
【点评】本题考查频率分布直方图的性质，考查运算能力，属于基础题．
19．（12分）我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束．已知甲、乙、丙三名男生成功跳过2.80米的概率分别是，，，且每名男生每跳相互独立．记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件A，B，C．
（1）求P（A）、P（B）、P（C）；
（2）求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率．
【答案】（1）甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀的概率、、；
（2）甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率．
【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式计算即可求解；
（2）根据相互独立事件的乘法公式计算即可求解．
【解答】解：（1）记“甲、乙、丙三名男生第1跳成功”分别为事件A1，B1，C1，记“甲、乙、丙三名男生第2跳成功”分别为事件A2，B2，C2，
记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得“优秀”为事件A，B，C．
＝＝，
＝＝，
＝＝．
（2）记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好”为事件D，
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
20．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC+asinC＝b+c．
（1）求A；
（2）若△ABC为锐角三角形，且b＝2，求△ABC面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据已知条件利用正弦定理及和角公式可得，再结合A的范围，即可得到A；
（2）结合（1）可知．且，再结合角的范围可得c的范围，进而得到答案．
【解答】解：（1）由正弦定理可得：，
所以，
所以，
因为sinC＞0，
所以，
所以，
因为，
所以，即；
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．
由正弦定理得，
由于△ABC为锐角三角形，
故0°＜B＜90°，0°＜C＜90°．
由（1）知A+C＝120°，
所以30°＜B＜90°，
故1＜c＜4，
从而．
因此△ABC面积的取值范围是．
【点评】本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，已知四边形ABCD是正方形，ED∥FC，AD＝ED＝2FC＝4，M，N，Q分别为AD，CD，EB的中点，P为ED上靠近点D的四等分点．
（1）证明：FQ∥平面ABCD．
（2）证明：平面PMN∥平面EBF．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）连接AC，BD，设AC与BD相交于点O，连接OQ，利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）取ED的中点H，连接AH，CH，HF，利用面面平行的判定定理即可得证．
【解答】证明：（1）如图，连接AC，BD，设AC与BD相交于点O，连接OQ，
因为四边形ABCD是正方形，所以O为BD的中点，
又因为Q为EB的中点，所以，
所以四边形OQFC为平行四边形，则QF∥OC，
因为QF⊄平面ABCD，OC⊂平面ABCD，
所以FQ∥平面ABCD；
（2）取ED的中点H，连接AH，CH，HF，
因为EH＝HD＝FC且ED∥FC，所以四边形HDCF，EHCF都为平行四边形，
所以EF∥HC，HF∥CD∥AB，HF＝CD＝AB，所以四边形AHFB为平行四边形，所以AH∥BF，
因为P为ED上靠近点D的四等分点，所以P为HD的中点，
又因为N为CD的中点，所以PN∥HC，所以EF∥PN，
又EF⊂平面EBF，PN⊄平面EBF，则PN∥平面EBF，
同理可得MP∥平面EBF，因为MP∩NP＝P，
所以平面PMN∥平面EBF．
【点评】本题考查了线面平行和面面平行的证明，属于中档题．
22．（12分）已知如图1直角梯形ABCD，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝4，AD＝CD＝2，E为AB的中点，沿EC将梯形ABCD折起（如图2），使平面BED⊥平面AECD．
（1）证明：BE⊥平面AECD；
（2）在线段CD上是否存在点F，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为，若存在，求出点F的位置：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）存在，F为CD中点．
【分析】（1）连接AC，则AC⊥DE，由平面BDE⊥平面AECD可得AC⊥平面BDE，可得AC⊥BE，又BE⊥CE可证BE⊥平面AECD；
（2）建立空间直角坐标系，设F（a，0，2），0≤a≤2，根据二面角的向量计算公式即可求出．
【解答】（1）证明：连接AC，则AC⊥DE，
又平面BDE⊥平面AECD，平面BDE∩平面AECD＝DE，AC⊂平面AECD，
所以AC⊥平面BDE，
所以AC⊥BE，
又BE⊥CE，AC⋂CE＝C，AC，CE⊂平面AECD，
所以BE⊥平面AECD．
（2）解：由（1）得BE⊥平面AECD，所以BE⊥AE，
所以EA，EB，EC两两垂直，
分别以，，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系E﹣xyz，
如图所示，
则E（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），
设F（a，0，2），0≤a≤2，
所以，，
设平面FAB的法向量为，
则，
取x＝2，得，
取平面EBC的法向量为，
所以，
所以a＝1，
所以线段CD上存在点F，且F为CD中点时，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为．
【点评】本题主要考查线面垂直的证明，立体几何中的探索性问题，空间向量及其应用等知识，属于中等题．
2022-2023学年福建省泉州市永春一中高一（下）期末数学试卷
一、单选题
1．已知复数z＝2i（3﹣5i），则＝（ ）
A．10+6i B．10﹣6i C．﹣10+6i D．﹣10﹣6i
2．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．“五月榴花妖艳烘，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽”，这是欧阳修在《渔家傲•五月榴花妖艳烘》中描写端午节的诗句．某商家为迎接端午节，计划将粽子以“粽情粽意”礼盒形式进行销售，现利用分层随机抽样从72个蛋糕肉粽、18个碱水粽、36个豆沙粽、54个莲子粽中随机抽取10个粽子放入一个礼盒中作为展开进行试销售，则该礼盒中莲子粽的个数为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
4．某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有24个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二．学校计划从这两个年级中共抽取208人进行视力调查，若采用分层抽样的方式进行抽样，则下列说法：①甲乙两人可能同时被抽取；②高一、高二年级分别抽取100人和108人；③乙被抽到的可能性比甲的大．其中正确的有（ ）
A．① B．①③ C．①② D．①②③
5．武当山，位于湖北省西北部十堰市境内，其自然风光，以雄为主，兼有险、奇、幽、秀等多重特色．主峰天柱峰犹如金铸玉瑑的宝柱雄峙苍穹，屹立于群峰之巅．环绕其周围的群山，从四面八方向主峰倾斜，形成独特的“七十二峰朝大顶，二十四涧水长流”的天然奇观，被誉为“自古无双胜境，天下第一仙山”．如图，若点P为主峰天柱峰的最高点，M，N为观测点，且P，M，N在同一水平面上的投影分别为Q，E，F，∠QEF＝30°，∠QFE＝45°，由点M测得点N的仰角为15°，NF﹣ME＝200米，由点N测得点P的仰角为α且，则P，M两点到水平面QEF的高度差约为（ ）（参考数据：）
A．684米 B．732米 C．746米 D．750米
6．如图，在四面体P﹣ABC中，点P在平面ABC上的射影是A，AC⊥BC，若，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知一组样本数据共有8个数，其平均数为8，方差为12，将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差最小值为（ ）
A．10 B．10.6 C．12.6 D．13.6
8．已知平面向量，，满足，且对∀t∈R，有恒成立，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论中正确的有（ ）
A．为了检验某种产品的质量，决定从1001件产品中抽取10件进行检查，用随机数法抽取样本的过程中，所编的号码的位数最少是4位
B．若数据k1，k2，⋯，k8的平均数为2，方差为3，则数据2k1+3，2k2+3，⋯，2k8+3的平均数为7，方差为6
C．在某频率直方图中，从左到右共有9个小矩形，若居中的那个小矩形的面积等于其他8个小矩形的面积和的，且样本容量为160，则居中的那组数据的频数为16
D．已知一组数据2，6，8，3，3，4，6，8，则这组数据众数为3，6，8，中位数为5
10．已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若A＜B，则sinA＜sinB
B．若a＝2，B＝，且该三角形有两解，则＜b＜2
C．若＝，则△ABC为等腰三角形
D．若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC为锐角三角形
11．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A＝“第一次出现3点”，B＝“第二次的点数小于5点”，C＝“两次点数之和为奇数”，D＝“两次点数之和为10”，则下列说法正确的有（ ）
A．A与B不互斥且相互独立 B．A与D互斥且不相互独立
C．B与C不互斥且相互独立 D．B与D互斥且不相互独立
12．上海世博会中国国家馆以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质．如图，现有一个与中国国家馆结构类似的六面体ABCD﹣A1B1C1D1，设矩形ABCD和A1B1C1D1的中心分别为O1和O2，若O1O2⊥平面ABCD，O1O2＝6，AB＝10，AD＝2，A1B1＝8，A1D1＝4，AB∥A1B1，BC∥B1C1，AD∥A1D1，CD∥C1D1，则（ ）
A．这个六面体是棱台
B．该六面体的外接球体积是288π
C．直线AC与A1C1异面
D．二面角A﹣BC﹣C1的余弦值是
三、填空题
13．如图△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，其中O′A′＝6，O′B′＝4，∠A′O′B′＝45°，则△OAB的周长为 ．
14．慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．小南计划近6个月的月慢走里程（单位：公里）按从小到大排列依次为11，12，m，n，20，27，且这6个月的月慢走里程的中位数为16，若要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，则m＝ ．
15．圆台的上下底面半径和高的比为3：4：1，母线长为，则圆台的外接球表面积为 ．
16．已知直角三角形DEF的三个顶点分别在等边三角形ABC的边AB，BC，CA上，且∠DEF＝90°，∠EDF＝30°，则的最小值为 ．
四、解答题
17．已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，点D在边BC上且满足CD＝2BD．
（1）用、表示，并求||；
（2）若点E为边AB中点，求与夹角的余弦值．
18．某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：（0，100]，（100，200]，（200，300]，（300，400]，（400，500]，（500，600]，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间（400，600]上的车辆数；
（2）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务．若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）．
19．我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束．已知甲、乙、丙三名男生成功跳过2.80米的概率分别是，，，且每名男生每跳相互独立．记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件A，B，C．
（1）求P（A）、P（B）、P（C）；
（2）求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率．
20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC+asinC＝b+c．
（1）求A；
（2）若△ABC为锐角三角形，且b＝2，求△ABC面积的取值范围．
21．如图，在几何体ABCDEF中，已知四边形ABCD是正方形，ED∥FC，AD＝ED＝2FC＝4，M，N，Q分别为AD，CD，EB的中点，P为ED上靠近点D的四等分点．
（1）证明：FQ∥平面ABCD．
（2）证明：平面PMN∥平面EBF．
22．已知如图1直角梯形ABCD，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝4，AD＝CD＝2，E为AB的中点，沿EC将梯形ABCD折起（如图2），使平面BED⊥平面AECD．
（1）证明：BE⊥平面AECD；
（2）在线段CD上是否存在点F，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为，若存在，求出点F的位置：若不存在，请说明理由．
2022-2023学年福建省泉州市永春一中高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（5分）已知复数z＝2i（3﹣5i），则＝（ ）
A．10+6i B．10﹣6i C．﹣10+6i D．﹣10﹣6i
【答案】B
【分析】先化简复数z，再由共轭复数的定义即可求解．
【解答】解：z＝2i（3﹣5i）＝10+6i，则．
故选：B．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
2．（5分）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可．
【解答】解：对于A，，不可以作为基底，A错误；
对于B，∵，∴， 共线，不可以作为基底，B错误；
对于C， 与 为不共线的非零向量，可以作为一组基底，C正确；
对于D，∵，∴， 共线，不可以作为基底，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查基底向量，属于基础题．
3．（5分）“五月榴花妖艳烘，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽”，这是欧阳修在《渔家傲•五月榴花妖艳烘》中描写端午节的诗句．某商家为迎接端午节，计划将粽子以“粽情粽意”礼盒形式进行销售，现利用分层随机抽样从72个蛋糕肉粽、18个碱水粽、36个豆沙粽、54个莲子粽中随机抽取10个粽子放入一个礼盒中作为展开进行试销售，则该礼盒中莲子粽的个数为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】D
【分析】根据分层抽样定义计算即可．
【解答】解：依题意得该礼盒中莲子粽的个数为．
故选：D．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
4．（5分）某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有24个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二．学校计划从这两个年级中共抽取208人进行视力调查，若采用分层抽样的方式进行抽样，则下列说法：①甲乙两人可能同时被抽取；②高一、高二年级分别抽取100人和108人；③乙被抽到的可能性比甲的大．其中正确的有（ ）
A．① B．①③ C．①② D．①②③
【答案】C
【分析】根据分层抽样的特征以及每层的人数比值逐一求解判断各选项．
【解答】解：对于①，采用分层抽样的方式进行抽样，甲乙两人可能同时被抽取，故①正确；
对于②，高一共有20×50＝1000人，高二共有24×45＝1080人，从这两个年级2080人中共抽取208人进行视力调查，
高一应抽取人，高二应抽取人，故②正确；
对于③，甲被抽到的可能性为，乙被抽到的可能性为，甲和乙被抽到的可能性相等，故③错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
5．（5分）武当山，位于湖北省西北部十堰市境内，其自然风光，以雄为主，兼有险、奇、幽、秀等多重特色．主峰天柱峰犹如金铸玉瑑的宝柱雄峙苍穹，屹立于群峰之巅．环绕其周围的群山，从四面八方向主峰倾斜，形成独特的“七十二峰朝大顶，二十四涧水长流”的天然奇观，被誉为“自古无双胜境，天下第一仙山”．如图，若点P为主峰天柱峰的最高点，M，N为观测点，且P，M，N在同一水平面上的投影分别为Q，E，F，∠QEF＝30°，∠QFE＝45°，由点M测得点N的仰角为15°，NF﹣ME＝200米，由点N测得点P的仰角为α且，则P，M两点到水平面QEF的高度差约为（ ）（参考数据：）
A．684米 B．732米 C．746米 D．750米
【答案】C
【分析】过M作MC⊥NF交NF于C，过N作ND⊥PQ交PQ于D，根据正弦定理即可求解．
【解答】解：若点P为主峰天柱峰的最高点，M，N为观测点，且P，M，N在同一水平面上的投影分别为Q，E，F，∠QEF＝30°，∠QFE＝45°，
由点M测得点N的仰角为15°，NF﹣ME＝200米，由点N测得点P的仰角为α且，
如图，过M作MC⊥NF交NF于C，过N作ND⊥PQ交PQ于D，
如图所示，因为NF﹣ME＝200，所以NC＝200，
又∠NMC＝15°，则，，
则，
又∠QEF＝30°，∠QFE＝45°，所以∠FQE＝105°，
由正弦定理，得，
，
即，又∠PND＝α，所以，
所以，
则P，M两点到平面QEF的高度差为米．
故选：C．
【点评】本题考查了正弦定理在实际生活中的应用，属于中档题．
6．（5分）如图，在四面体P﹣ABC中，点P在平面ABC上的射影是A，AC⊥BC，若，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】PC与AB所成的角通过线线平行转化为∠HFE或其补角，再应用余弦定理计算余弦值，最后根据异面直线所成角的范围确定符号即可．
【解答】解：分别取PA，AC，BC的中点E，F，H，连接EF，FH，HE，AH．
因为点P在平面ABC上的射影是A，所以PA⊥平面ABC，则PA⊥AC，PA⊥AH．
因为E，F，H分别为PA，AC，BC中点，所以FE∥PC，HF∥AB，
所以PC与AB所成的角即∠HFE或其补角．
因为，所以，所以．
又因为，所以，
所以，
异面直线所成角的范围是，故异面直线PC与AB所成角的余弦值为．
故选：C．
【点评】本题主要考查异面直线所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
7．（5分）已知一组样本数据共有8个数，其平均数为8，方差为12，将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差最小值为（ ）
A．10 B．10.6 C．12.6 D．13.6
【答案】D
【分析】根据已知条件，利用平均数公式及其方差公式求解．
【解答】解：设增加的数为x，y，原来的8个数分别为a1，a2，⋯，a8，
则a1+a2+⋯+a8＝64，a1+a2+⋯+a8+x+y＝90，所以x+y＝26，
一组样本数据共有8个数，其平均数为8，方差为12，
则，即，
新的样本数据的方差为
＝，
因为，x2+y2﹣202≥136，
所以方差的最小值为13.6（当x＝y＝8时取到最小值）．
故选：D．
【点评】本题主要考查平均数公式及其方差公式，属于基础题．
8．（5分）已知平面向量，，满足，且对∀t∈R，有恒成立，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】展开，根据∀t∈R，有恒成立，可求得两向量夹角，再结合夹角余弦公式即可求得．
【解答】解：因为对∀t∈R，有恒成立，
所以对∀t∈R，恒成立，
所以对∀t∈R，恒成立，
所以，即，
所以，
解得，
所以，，
所以，
所以＝，
所以与的夹角为．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算，属中档题．
二、多选题
（多选）9．（5分）下列结论中正确的有（ ）
A．为了检验某种产品的质量，决定从1001件产品中抽取10件进行检查，用随机数法抽取样本的过程中，所编的号码的位数最少是4位
B．若数据k1，k2，⋯，k8的平均数为2，方差为3，则数据2k1+3，2k2+3，⋯，2k8+3的平均数为7，方差为6
C．在某频率直方图中，从左到右共有9个小矩形，若居中的那个小矩形的面积等于其他8个小矩形的面积和的，且样本容量为160，则居中的那组数据的频数为16
D．已知一组数据2，6，8，3，3，4，6，8，则这组数据众数为3，6，8，中位数为5
【答案】ACD
【分析】由随机数表法的性质可判断A；根据平均数、方差的计算公式分析新数据的方差、平均数即可得判断B；由频率分布直方图分析可得“中间一个小长方形”对应的频率，再由频率与频数的关系，中间一组的频数即可判断C；分别求出这组数据的众数、中位数，由此判断D．
【解答】解：对于A，因为共有1001件产品，所以所编的号码的位数最少是4位，故A正确；
对于B，一组数据k1，k2，⋯，k8，这8个数据的平均数为2，方差为3，
则，，
对于数据2k1+3，2k2+3，⋯，2k8+3，
其平均数，
方差，故B不正确；
对于C，设中间一个小长方形的面积为x，其他8个小长方形的面积之和为y，
则有，解得：x＝0.1，所以中间一组的频数＝160×0.1＝16，故C正确；
对于D，一组数据2，6，8，3，3，4，6，8，从小到大排序为：2，3，3，4，6，6，8，8，
所以它的众数3，6，8，中位数为＝5，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查统计的知识，考查转化能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若A＜B，则sinA＜sinB
B．若a＝2，B＝，且该三角形有两解，则＜b＜2
C．若＝，则△ABC为等腰三角形
D．若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC为锐角三角形
【答案】ABD
【分析】选项A，根据大边对大角与正弦定理，即可判断；
选项B，利用正弦定理，可得解；
选项C，结合同角三角函数的商数关系，并利用正弦定理化边为角，再由二倍角公式，即可得解；
选项D，结合已知条件与两角和的正切公式，可推出tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，得解．
【解答】解：选项A，若A＜B，则a＜b，
由正弦定理知，，所以sinA＜sinB，即选项A正确；
选项B，因为该三角形有两解，所以asinB＜b＜a，即2sin＜b＜2，
所以＜b＜2，即选项B正确；
选项C，由＝知，b2•＝a2•，
由正弦定理得，sin2BsinAcosB＝sin2AsinBcosA，
因为sinAsinB≠0，所以sinBcosB＝sinAcosA，即sin2B＝sin2A，
所以2B＝2A或2B+2A＝π，即A＝B或A+B＝，
所以△ABC为等腰或直角三角形，即选项C错误；
选项D，因为tan（A+B）＝，
所以tanA+tanB﹣tan（A+B）＝﹣tan（A+B）tanAtanB，
即tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，
因为tanA+tanB+tanC＞0，所以tanAtanBtanC＞0，
又A，B，C∈（0，π），且至多只有一个钝角，
所以tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，即A，B，C均为锐角，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，三角恒等变换公式，三角形解的个数的处理方法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
（多选）11．（5分）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A＝“第一次出现3点”，B＝“第二次的点数小于5点”，C＝“两次点数之和为奇数”，D＝“两次点数之和为10”，则下列说法正确的有（ ）
A．A与B不互斥且相互独立 B．A与D互斥且不相互独立
C．B与C不互斥且相互独立 D．B与D互斥且不相互独立
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，求出事件A，B，C，D的概率，再利用互斥事件、相互独立事件的定义判断作答．
【解答】解：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次的试验结果有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36个不同结果，
事件A所含的结果有：（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），共6个，
事件B所含的结果有24个，事件C所含的结果有18个，事件D所含的结果有：（4，6），（5，5），（6，4），共3个，
因此，
对于A，事件A与B都含有（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共4个结果，即事件A与B可以同时发生，
而，A与B不互斥且相互独立，A正确；
对于C，事件B与C都含有（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，1），（4，3），（5，2），（5，4），（6，1），（6，3），共12个结果，
即事件B与C可以同时发生，，B与C不互斥且相互独立，C正确；
对于B，事件A与D不能同时发生，P（AD）＝0≠P（A）P（D），A与D互斥且不相互独立，B正确；
对于D，事件B与D都含有（6，4），即B与D可以同时发生，，
因此B与D不互斥且不相互独立，D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查互斥事件与对立事件的定义，属于基础题．
（多选）12．（5分）上海世博会中国国家馆以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质．如图，现有一个与中国国家馆结构类似的六面体ABCD﹣A1B1C1D1，设矩形ABCD和A1B1C1D1的中心分别为O1和O2，若O1O2⊥平面ABCD，O1O2＝6，AB＝10，AD＝2，A1B1＝8，A1D1＝4，AB∥A1B1，BC∥B1C1，AD∥A1D1，CD∥C1D1，则（ ）
A．这个六面体是棱台
B．该六面体的外接球体积是288π
C．直线AC与A1C1异面
D．二面角A﹣BC﹣C1的余弦值是
【答案】BCD
【分析】A中，根据棱台的定义判断即可．
B中，由题意求出六面体的外接球半径，计算外接球的体积．
C中，判断AC和A1C1不相交也不平行即可．
D中，找出二面角的平面角，计算余弦值即可．
【解答】解：对于A，因为＝＝，＝＝，，
所以四条侧棱的延长线不能交于一点，这个六面体不是棱台，选项A错误．
对于B，由题意知，这个六面体的外接球球心O在直线O1O2上，且O1A＝4，O2A1＝2，
因为+＝+，即32+＝20+，
解得OO1＝2，所以六面体的外接球半径R＝＝6，
所以这个六面体的外接球体积是V＝，选项B正确．
对于C，AC和A1C1显然不相交，计算，
所以AC与A1C1不平行，所以AC和A1C1不在同一平面内，选项C正确．
对于D，取BC和B1C1的中点分别为M，N，连接O2N，MN，O1M，
则∠O1MN即所求二面角的平面角，O1M＝5，O2N＝4，
所以，选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了空间简单几何体的结构特征与应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
三、填空题
13．（5分）如图△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，其中O′A′＝6，O′B′＝4，∠A′O′B′＝45°，则△OAB的周长为 24 ．
【答案】24．
【分析】根据直观图复原原图，根据斜二测画法的规则，确定相关线段的长，可求得答案．
【解答】解：如图，根据直观图复原原图，
则，
故△OAB的周长为6+8+10＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查斜二测画法相关知识，属于基础题．
14．（5分）慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．小南计划近6个月的月慢走里程（单位：公里）按从小到大排列依次为11，12，m，n，20，27，且这6个月的月慢走里程的中位数为16，若要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，则m＝ 16 ．
【答案】16．
【分析】根据题意得到m+n＝32，进而求得数据的平均数为17，结合方差的公式，要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，需要（m﹣17）2+（n﹣17）2最小，结合二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：由题意，数据的中位数为16，可得，所以m+n＝32，
所以这6个月的月慢走里程的平均数为，
要使这6个月的月慢走里程的标准差最小，需要（m﹣17）2+（n﹣17）2最小，
又由（m﹣17）2+（n﹣17）2＝（m﹣17）2+（32﹣m﹣17）2＝2m2﹣64m+172+152，
故当标准差最小时，．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查了中位数、平均数和标准差的计算，属于基础题．
15．（5分）圆台的上下底面半径和高的比为3：4：1，母线长为，则圆台的外接球表面积为 100π ．
【答案】100π．
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出圆台的上下底面半径，进一步求得圆台外接球的半径，则答案可求．
【解答】解：设圆台的上底半径为3x，则下底半径是4x，高为x，作轴截面如图所示：
又母线长为，
∴x2+x2＝2，解得x＝1．
∴圆台的上底面半径是3，下底面半径是4，高是1，
设圆台外接球的半径为R，
则，，
又OO1﹣OO2＝1，联立解得R2＝25．
∴圆台的外接球表面积为4πR2＝100π．
【点评】本题考查圆台的表面积的求法，考查数形结合思想，是中档题．
16．（5分）已知直角三角形DEF的三个顶点分别在等边三角形ABC的边AB，BC，CA上，且∠DEF＝90°，∠EDF＝30°，则的最小值为 ．
【答案】．
【分析】设，EF＝x，由正弦定理求解BD，AD，再结合三角形面积公式及三角函数辅助角公式求三角函数最值得出结果．
【解答】解：设，EF＝x，
则在△BDE中，，，
由正弦定理得：，
∴，
在△ADF中DF＝2x，，，
同理可得，
因此可得，
，
因为，其中，，
由于，，
所以当时，sin（α+φ）＝1，
所以，
则的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数与解三角形的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
四、解答题
17．（10分）已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，点D在边BC上且满足CD＝2BD．
（1）用、表示，并求||；
（2）若点E为边AB中点，求与夹角的余弦值．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）根据条件得出，然后即可得出，然后根据进行数量积的运算即可求出答案；
（2）根据条件得出，然后进行数量积的运算可求出和的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出与夹角的余弦值．
【解答】解：（1）∵点D在边BC上，且CD＝2BD，
∴，∴，
∴，且AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，
∴＝＝；
（2）∵点E为边AB中点，
∴＝，
∴＝，
又＝＝，
∴＝．
【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数乘和减法的几何意义，向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
18．（12分）某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：（0，100]，（100，200]，（200，300]，（300，400]，（400，500]，（500，600]，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间（400，600]上的车辆数；
（2）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务．若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）．
【答案】（1）估计该天停车时长在区间（400，600]上的车辆数是50；
（2）确定免费停车时长为不超过153分钟．
【分析】（1）根据题意设（400，500]的频率为x，由题意得（0.0002+0.0013+0.0016+0.0032+0.0034）×100+x＝1，解得x＝0.03，可得样本中停车时长在区间（400，600]上的频率为0.05，即可得出答案；
（2）设免费停车时间长不超过y分钟，又（0，100]的频率为0.13＜30%，并且（0，200]的频率为0.45＞30%，可得0.13+（y﹣100）×0.0032＝0.3，求解即可得出答案．
【解答】解：（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1，
设（400，500]的频率为x，
由题意得（0.0002+0.0013+0.0016+0.0032+0.0034）×100+x＝1，解得x＝0.03，
∴样本中停车时长在区间（400，600]上的频率为0.05，
估计该天停车时长在区间（400，600]上的车辆数是50；
（2）设免费停车时间长不超过y分钟，
又（0，100]的频率为0.13＜30%，并且（0，200]的频率为0.45＞30%，
则y位于（100，200]之间，
则0.13+（y﹣100）×0.0032＝0.3，解得y＝153.1，
确定免费停车时长为不超过153分钟．
【点评】本题考查频率分布直方图的性质，考查运算能力，属于基础题．
19．（12分）我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束．已知甲、乙、丙三名男生成功跳过2.80米的概率分别是，，，且每名男生每跳相互独立．记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件A，B，C．
（1）求P（A）、P（B）、P（C）；
（2）求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率．
【答案】（1）甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀的概率、、；
（2）甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率．
【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式计算即可求解；
（2）根据相互独立事件的乘法公式计算即可求解．
【解答】解：（1）记“甲、乙、丙三名男生第1跳成功”分别为事件A1，B1，C1，记“甲、乙、丙三名男生第2跳成功”分别为事件A2，B2，C2，
记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得“优秀”为事件A，B，C．
＝＝，
＝＝，
＝＝．
（2）记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好”为事件D，
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
20．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC+asinC＝b+c．
（1）求A；
（2）若△ABC为锐角三角形，且b＝2，求△ABC面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据已知条件利用正弦定理及和角公式可得，再结合A的范围，即可得到A；
（2）结合（1）可知．且，再结合角的范围可得c的范围，进而得到答案．
【解答】解：（1）由正弦定理可得：，
所以，
所以，
因为sinC＞0，
所以，
所以，
因为，
所以，即；
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．
由正弦定理得，
由于△ABC为锐角三角形，
故0°＜B＜90°，0°＜C＜90°．
由（1）知A+C＝120°，
所以30°＜B＜90°，
故1＜c＜4，
从而．
因此△ABC面积的取值范围是．
【点评】本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，已知四边形ABCD是正方形，ED∥FC，AD＝ED＝2FC＝4，M，N，Q分别为AD，CD，EB的中点，P为ED上靠近点D的四等分点．
（1）证明：FQ∥平面ABCD．
（2）证明：平面PMN∥平面EBF．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）连接AC，BD，设AC与BD相交于点O，连接OQ，利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）取ED的中点H，连接AH，CH，HF，利用面面平行的判定定理即可得证．
【解答】证明：（1）如图，连接AC，BD，设AC与BD相交于点O，连接OQ，
因为四边形ABCD是正方形，所以O为BD的中点，
又因为Q为EB的中点，所以，
所以四边形OQFC为平行四边形，则QF∥OC，
因为QF⊄平面ABCD，OC⊂平面ABCD，
所以FQ∥平面ABCD；
（2）取ED的中点H，连接AH，CH，HF，
因为EH＝HD＝FC且ED∥FC，所以四边形HDCF，EHCF都为平行四边形，
所以EF∥HC，HF∥CD∥AB，HF＝CD＝AB，所以四边形AHFB为平行四边形，所以AH∥BF，
因为P为ED上靠近点D的四等分点，所以P为HD的中点，
又因为N为CD的中点，所以PN∥HC，所以EF∥PN，
又EF⊂平面EBF，PN⊄平面EBF，则PN∥平面EBF，
同理可得MP∥平面EBF，因为MP∩NP＝P，
所以平面PMN∥平面EBF．
【点评】本题考查了线面平行和面面平行的证明，属于中档题．
22．（12分）已知如图1直角梯形ABCD，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝4，AD＝CD＝2，E为AB的中点，沿EC将梯形ABCD折起（如图2），使平面BED⊥平面AECD．
（1）证明：BE⊥平面AECD；
（2）在线段CD上是否存在点F，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为，若存在，求出点F的位置：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）存在，F为CD中点．
【分析】（1）连接AC，则AC⊥DE，由平面BDE⊥平面AECD可得AC⊥平面BDE，可得AC⊥BE，又BE⊥CE可证BE⊥平面AECD；
（2）建立空间直角坐标系，设F（a，0，2），0≤a≤2，根据二面角的向量计算公式即可求出．
【解答】（1）证明：连接AC，则AC⊥DE，
又平面BDE⊥平面AECD，平面BDE∩平面AECD＝DE，AC⊂平面AECD，
所以AC⊥平面BDE，
所以AC⊥BE，
又BE⊥CE，AC⋂CE＝C，AC，CE⊂平面AECD，
所以BE⊥平面AECD．
（2）解：由（1）得BE⊥平面AECD，所以BE⊥AE，
所以EA，EB，EC两两垂直，
分别以，，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系E﹣xyz，
如图所示，
则E（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），
设F（a，0，2），0≤a≤2，
所以，，
设平面FAB的法向量为，
则，
取x＝2，得，
取平面EBC的法向量为，
所以，
所以a＝1，
所以线段CD上存在点F，且F为CD中点时，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为．
【点评】本题主要考查线面垂直的证明，立体几何中的探索性问题，空间向量及其应用等知识，属于中等题．
相关试卷
2022-2023学年福建省泉州市永春一中高一（下）期初数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年福建省泉州市永春一中高一（下）期初数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省泉州市高一（上）期末数学试卷： 这是一份2022-2023学年福建省泉州市高一（上）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年春福建省泉州市永春一中高一年下学期期末考数学试题含参考答案： 这是一份2023年春福建省泉州市永春一中高一年下学期期末考数学试题含参考答案，共6页。
