长郡中学高一数学暑假自主学习作业本（二十四）

这是一份长郡中学高一数学暑假自主学习作业本（二十四），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
数学作业二十四　综合模拟2
一、单选题
1．(★)设集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则A∩B＝(　　)
A.x|−3＜x＜−32
B.x|−3＜x＜32
C.x|1＜x＜32
D.x|32＜x＜3
2．(★)设a，b表示两条不同的直线，β表示平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若a∥β，a∥b，则b∥β
B．若a∥β，b∥β，则a∥b
C．若a⊥β，a⊥b，则b∥β
D．若a⊥β，a∥b，则b⊥β
3．(★)在△ABC中，“sin A＞sin B”是“cos A＜cos B”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(★)函数f(x)＝cos x·lnπ−xπ+x，x∈(－π，π)的图象大致为(　　)

5．(★★)赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”．可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的不等腰三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，已知△ABC与△DEF的面积比为7∶1，则tan∠DAB的值为(　　)

　　　　　　　　　　　　　　　

A.34 B.35 C.36 D.37
6．(★★)已知O是△ABC的外心，AB＝6，AC＝10，若AO→＝xAB→＋yAC→，且2x＋10y＝5(x≠0)，则△ABC的面积为(　　)
A．24 B.2023 C．18 D．202
7．(★★)已知函数f(x)的定义域为R，且fx+1＋fx−1＝2，fx+2为偶函数，若f0＝0，则∑k=1110f(k)(其中k∈Z)的值为(　　)
A．109 B．110 C．111 D．112
8．(★★★)已知三棱锥P－ABC，Q为BC中点，PB＝PC＝AB＝BC＝AC＝2，侧面PBC⊥底面ABC，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为(　　)
A.π,5π3 B.π2,2π3
C.2π3,2π D.π,2π
二、多选题
9．(★)中国共产党第二十次全国代表大会的报告中，一组组数据折射出新时代十年的非凡成就，数字的背后是无数的付出，更是开启新征程的希望．二十大首场新闻发布会指出近十年我国居民生活水平进一步提高，其中2017年全国居民恩格尔系数为29.39%，这是历史上中国恩格尔系数首次跌破30%.恩格尔系数是由德国统计学家恩斯特·恩格尔提出的，计算公式是“恩格尔系数＝食物支出金额总支出金额×100%”．恩格尔系数是国际上通用的衡量居民生活水平高低的一项重要指标，一般随居民家庭收入和生活水平的提高而下降．恩格尔系数达60%以上为贫困，50%～60%为温饱，40%～50%为小康，30%～40%为富裕，低于30%为最富裕．如图是近十年我国农村与城镇居民的恩格尔系数折线图，由图可知(　　)

A．城镇居民2015年开始进入“最富裕”水平
B．农村居民恩格尔系数的平均数低于32%
C．城镇居民恩格尔系数的第45百分位数高于29%
D．全国居民恩格尔系数等于农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数
10．(★)对于复数z1，z2，z3，下列命题成立的是(　　)
A．|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|
B．|z12|＝z12
C．|z1·z2|＝|z1|·|z2|
D．满足z1z2＝z1z3，则z2＝z3
11．(★★)已知函数f(x)＝sin(ωx＋π6)＋sin(ωx－π6)＋cos ωx(ω＞0)，则下列结论正确的有(　　)
A．将函数y＝2sin ωx的图象向左平移π6个单位长度，总能得到y＝f(x)的图象
B．若ω＝3，则当x∈0,2π9时，f(x)的取值范围为1,2
C．若f(x)在区间(0，2π)上恰有3个极大值点，则136＜ω≤196
D．若f(x)在区间(π3，5π12)上单调递减，则1≤ω≤165
12．(★★★)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是(　　)

A．棱C1D1上存在一点M，使得AM∥平面B1PQ
B．直线A1C1到平面B1PQ的距离为23
C．过A1C1且与平面B1PQ平行的平面截正方体所得截面面积为98
D．过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为3π8
三、填空题
13．(★)若(x＋2i)i＝y＋i，其中x，y∈R，i为虚数单位，则复数z＝x＋yi的共轭复数−z＝________．
14．(★)如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为2，则半球的表面积为__________．



15．(★★)如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF→＝2FO→，则FD→·FE→＝________．

16．(★★★)已知函数f(x)＝log2x+1,−1＜x≤3,x2−8x+17,x＞3,若函数y＝f(x)＋t有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，则实数t的取值范围是________________，设x1＜x2＜x3＜x4，则1x1+1x2x3+x4＝________．
四、解答题
17．(★★)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin2B1+cos2B＝tanC+1tanC−1.
(1)求角A的大小；
(2)设AD是BC边上的高，且AD＝2，求△ABC面积的最小值．






















18．(★★)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，点O为棱AB的中点．

(1)求证：BC1∥平面A1CO；
(2)若△ABC是等边三角形，且AB＝AA1＝2，∠A1AB＝60°，平面AA1B1B⊥平面ABC，求三棱锥A1－BB1C的体积．








19．(★★)已知向量a＝(sin ωx，cos ωx)，b＝(cos ωx，3cos ωx)，f(x)＝a·(b－32a)(0＜ω＜3)，若函数g(x)＝f(x－π6)为奇函数．
(1)求ω的值．
(2)若关于x的不等式g(x)＞2msin(x＋π4)－2cos(x－π4)在0,π2内恒成立，求实数m的取值范围．












20．(★★)某公司研发了一款新型的洗衣液，其具有“强力去渍、快速去污”的效果．研发人员通过多次试验发现每投放a(1≤a≤4，a∈R)克洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式为y＝a·f(x)，其中f(x)＝2x,0≤x≤4,6x−3+2,x＞4,且当水中洗衣液的浓度不低于16克/升时，才能够起到有效去污的作用．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．
(1)若一次投放4克的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
(2)如果第一次投放4克洗衣液，4分钟后再投放4克洗衣液，写出第二次投放之后洗衣液在水中释放的浓度y(克/升)与时间x(分钟)的函数关系式，其中x表示第一次投放的时长，并判断接下来的4分钟是否能够持续有效去污．








21．(★★)如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，AB⊥BC，AD∥BC，AB＝AD＝2，CD⊥PD，异面直线PA和CD所成角等于60°.

(1)求直线PC和平面PAD所成角的正弦值的大小；
(2)在棱PA上是否存在一点E，使得二面角A－BE－D的余弦值为66？若存在，指出点E在棱PA上的位置；若不存在，说明理由．









22．(★★★)已知函数f(x)＝ax2+x·ex，其中e是自然数的底数，a∈R.
(1)当a＜0时，解不等式f(x)＞0；




（2）当a=0时，方程f(x)＝(x＋1)·ex＋x－2在k,k+1上有解？若存在，请写出所有可能的整数k的值；若不存在，说明理由；






（3）当x∈[－1，1]时，不等式f(x)＋2ax+1·ex≥0恒成立，求a的取值范围．

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参考答案
1．D
2．D　【解析】A：b可能在平面β内，故不正确；
B：若a∥β，b∥β，则a可能与b相交，故不正确；
C：a⊥β，a⊥b，则b可能在平面β内，故不正确；
D：若a⊥β，a∥b，则b⊥β，故正确．故选D.
3．C
4．C
5．B　【解析】设△DEF的面积为S，则△ABC的面积为7S，
故S△ABD＝7S−S3＝2S，
设AD＝m，DB＝n(m＞n)，则DE＝m－n，
∵△DEF为等边三角形，∴∠EDF＝60°，∴∠ADB＝120°，
在△DEF中，S＝12·DE2·sin 60°＝34(m－n)2，①
在△ABD中，S△ABD＝2S＝12AD·BD·sin 120°＝34mn，②
由①②得，12＝m−n2mn，化简得(m－2n)(2m－n)＝0，
∵m＞n，∴m－2n＝0，即m＝2n，
在△ADB中，设∠DAB＝α，则∠DBA＝60°－α，
由正弦定理得ADsin∠DBA＝BDsin∠DAB，
即nsinα＝msin60°−α，即sin(60°－α)＝2sin α，
即32cos α－12sin α＝2sin α，
所以32cos α＝52sin α，解得tan α＝35，
即tan∠DAB＝35.
6．D　【解析】取AC中点D，因为O是△ABC的外心，
则DO→⊥AC→.由于AO→＝AD→＋DO→，所以AO→·AC→＝AD→·AC→＋DO→·AC→＝AD→·AC→＝5×10＝50，
由于AO→＝xAB→＋yAC→，
则AO→·AC→＝(xAB→＋yAC→)·AC→＝xAC→·AB→＋y|AC→|2＝60xcos A＋100y＝50.
即6xcos A＋10y＝5，由于2x＋10y＝5(x≠0)，
所以6xcos A＝2x，解得cos A＝13，
所以sin A＝223，则S△ABC＝12×6×10×223＝202.故选：D.
7．C　【解析】∵f(x＋1)＋f(x－1)＝2，∴f(x＋1)＝2－f(x－1)，
替换x为x＋2，得f(x＋3)＋f(x＋1)＝2，
∴f(x＋3)＝2－f(x＋1)＝2－[2－f(x－1)]＝f(x－1)，
替换x为x＋1，得f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)为周期为4的周期函数，
又f(x＋2)为偶函数，图象关于y轴对称，
∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f(x)＝f(4－x)，∴f(x＋4)＝f[4－(x＋4)]＝f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数，由f(x＋1)＋f(x－1)＝2，f(0)＝0，
令x＝1，得f(2)＋f(0)＝2，则f(2)＝2，
令x＝2，得f(3)＋f(1)＝2，则f(1)＝f(3)＝1，
令x＝3，得f(4)＋f(2)＝2，则f(4)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，
∴∑k=1110f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f108＋f109＋f110
＝27×f1+f2+f3+f4＋f109＋f110
＝27×4＋1＋2＝111，故选C.
8．A　【解析】连接PQ，QA，由PB＝PC＝AB＝BC＝AC＝2，可知：△ABC和△PBC是等边三角形，

设三棱锥P－ABC外接球的球心为O，
所以球心O到平面ABC和平面PBC的射影是△ABC和△PBC的中心F，E，
△PBC是等边三角形，Q为BC中点，
所以PQ⊥BC，又因为侧面PBC⊥底面ABC，侧面PBC∩底面ABC＝BC，
所以PQ⊥底面ABC，而AQ底面ABC，因此PQ⊥AQ，所以四边形OFQE是矩形．
△ABC和△PBC是边长为2的等边三角形，所以两个三角形的高h＝22−12×22＝3，
在矩形OFQE中，OE＝FQ＝13h＝33.AE＝23h＝233，连接OA，
所以OA＝OE2+EA2＝13+43＝153，
设过点Q的平面为α，当OQ⊥α时，此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，
OQ＝OF2+FQ2＝13ℎ2+13ℎ2＝23h＝23×3＝63，
因此圆Q的半径为：OA2−OQ2＝159−69＝1，所以此时截面面积为π·12＝π；
当点Q在以O为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：π·(153)2＝5π3；
所以截面面积的取值范围为：π,5π3，故选A.
9．AC　【解析】A：由折线图可知城镇居民从2015年开始恩格尔系数低于30%，故开始进入“最富裕”水平，故A正确；
B：由折线图可知农村居民恩格尔系数的平均数为
110(35.9%＋34%＋33.5%＋33%＋32%＋31%＋30%＋30%＋32.8%＋32.8%)＝32.5%，大于32%，故B错；
C：城镇居民恩格尔系数从2015年到2021年依次为32%，30%，30%，29.8%，29.3%，28.7%，27.8%，27.6%，29.1%，27.8%，则有45%×10＝4.5，将城镇居民恩格尔系数从小到大排列第五个数据为29.1%，
故第45百分位数为29.1%，高于29%，故C正确；
D：全国居民恩格尔系数不等于农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数，故D错．故选AC.
10．AC　【解析】设z1＝OZ1，z2＝OZ2→，
由向量加法几何意义可知：|OZ1→＋OZ2|≤|OZ1|＋|OZ2|，故A正确；
取z1＝i则|z12|＝|i2|＝|－1|＝1，z12＝i2＝－1，故B错误；
令z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，
z1·z2＝ac−bd2+bc+ad2
＝ac2+ad2+bc2+bd2，
|z1|·|z2|＝a2+b2c2+d2＝a2+b2c2+d2＝ac2+ad2+bc2+bd2，
∴|z1·z2|＝|z1|·|z2|，故C正确；
取z1＝0，z2＝1＋i，z3＝1－i，满足z1z2＝z1z3，但z2≠z3，故D错误．故选：AC.
11．BC　【解析】f(x)＝sin(ωx＋π6)＋sin(ωx－π6)＋cos ωx＝2sin(ωx＋π6)，
对于A，将y＝2sin ωx的图象向左平移π6个单位长度得到y＝2sinωx+π6的图象，不一定等于f(x)，A错误；
对于B，ω＝3，x∈0,2π9时，则3x＋π6∈π6,5π6，所以f(x)∈[1，2]，B正确；
对于C，x∈(0，2π)，ωx＋π6∈(π6，2ωπ＋π6)，
由题意得9π2＜2ωπ＋π6≤13π2ω∈136,196，C正确；
对于D，x∈(π3，5π12)，则ωx＋π6∈(ωπ3＋π6，5ωπ12＋π6)，因为f(x)单调递减，
所以5ωπ12+π6≤3π2+2kπ,ωπ3+π6≥π2+2kπ,k∈Z，
解得1＋6k≤ω≤165＋245k，k∈Z，
当k＝0时，ω∈1,165，当k＝1时，ω∈[7，8]，D错误，故选BC.
12．BCD　【解析】对于A，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
因为点M在棱C1D1上，所以直线AM平面ABC1D1.
设BC1∩QB1＝N，
因为Q是BC的中点，所以BN＝12NC1，而P是AB的中点，
因此取NC1的中点为S，连接AS，则AS∥PN.
因为若AM∥平面B1PQ，而平面B1PQ∩平面ABC1D1＝PN，
所以AM与AS重合，而此时点M不在棱C1D1上，故A不正确；
对于B，如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

连接AC与A1C1，
因为P，Q分别为棱AB，BC的中点，所以PQ∥AC，
而A1C1∥AC，因此A1C1∥PQ，
又因为PQ平面B1PQ，A1C1平面B1PQ，所以A1C1∥平面B1PQ，
因此直线A1C1到平面B1PQ的距离就是点C1到平面B1PQ的距离．
设点C1到平面B1PQ的距离为d，而正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，
则B1P＝B1Q＝52，PQ＝22，因此S△B1PQ＝38，
而S△B1QC1＝12，点P到平面B1BQ的距离为12，
由VC1－B1PQ＝VP－B1QC1，得13×38d＝13×12×12，解得d＝23，故B正确；
对于C，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中．

取AD的中点H，CD的中点G，连接A1H，C1G，
则四边形A1C1GH是过A1C1的正方体的一个截面．
又因为B1P∥C1G，B1P平面B1PQ，C1G平面B1PQ，所以C1G∥平面B1PQ.
又由选项B知：A1C1∥平面B1PQ，而A1C1∩C1G＝C1，A1C1，C1G平面A1C1GH，
所以平面A1C1GH∥平面B1PQ，
即过A1C1且与平面B1PQ平行的平面截正方体所得截面为四边形A1C1GH.
又因为四边形A1C1GH的面积为12(2＋22)×324＝98，故C正确；
对于D，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中．

连接BD1，则BD1的中点O是正方体外接球球心，且外接球半径为32.
由对称性知，过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积最小时，
截面圆的圆心是PQ的中点E，
所以连接OP，OQ，OE，则OP＝OQ＝PQ＝22，因此OE＝32OP＝64，
所以截面圆的半径为322−642＝64，
因此截面圆的面积为642π＝3π8，故D正确．故选：BCD.
13．1＋2i
14．18π
15．－89　【解析】∵BF→＝2FO→，r＝1，∴|FO→|＝13，
∴FD→·FE→＝(FO→＋OD→)·(FO→＋OE→)
＝FO→2＋FO→·(OE→＋OD→)＋OD→·OE→
＝132＋0－r2＝19－1＝－89.故答案为－89.
16．(－2，－1)；－8　【解析】因为函数y＝f(x)＋t有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，
所以方程f(x)＝－t有四个不同的解，
作出函数f(x)的图象如图．

由图可知1＜－t＜2，即－2＜t＜－1，
由二次函数的对称性，可得x3＋x4＝8，
又－log2(x1＋1)＝log2(x2＋1)
log2[(x1＋1)(x2＋1)]＝0，
即(x1＋1)(x2＋1)＝1，得x1x2＋x1＋x2＝0，
所以1x1＋1x2＝－1，
故(1x1＋1x2)(x3＋x4)＝－8.
故答案为：(－2，－1)；－8.
17．【解析】(1)左边＝sin2B1+cos2B＝2sinBcosB2cos2B＝sinBcosB，
右边＝tanC+1tanC−1＝sinCcosC+1sinCcosC−1＝sinC+cosCsinC−cosC，
由题意得sinBcosB＝sinC+cosCsinC−cosC
sin Bsin C－sin Bcos C＝cos Bsin C＋cos Bcos C
sin(B＋C)＋cos(B＋C)＝0tan(B＋C)＝－1，
即tan A＝1，又因为0＜A＜π，所以A＝π4.
(2)由S△ABC＝12a×2＝12bcsinπ4a＝24bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosπ4a2＝b2＋c2－2bc18b2c2＝b2＋c2－2bc18b2c2＋2bc＝b2＋c2≥2bcbc≥8(2－2)，当且仅当b＝c时取“等号”，
而S△ABC＝12bcsinπ4＝24bc，
故(S△ABC)min＝24×8(2－2)＝42－4.
18．【解析】(1)证明：如图，连接AC1交A1C于M，连接OM.

因为ABC－A1B1C1是棱柱，所以AA1C1C是平行四边形，因此M是AC1的中点．
又因为O为AB的中点，所以BC1∥OM.
又因为OM平面A1OC，BC1平面A1OC，
所以BC1∥平面A1OC.
(2)因为△ABC是等边三角形，且AB＝AA1＝2，∠A1AB＝60°，O为棱AB的中点，
所以A1O⊥AB，CO⊥AB，CO＝A1O＝3.
又因为平面AA1B1B⊥平面ABC交于AB，所以A1O⊥平面ABC，
所以VA1－BB1C＝VC－BB1A1＝VC－A1AB＝VA1－ABC＝13S△ABC×A1O＝13×12AB×CO×A1O＝13×12×2×3×3＝1.
19．【解析】(1)b－32a＝(cos ωx－32sin ωx，32cos ωx)，
f(x)＝a·(b－32a)
＝sin ωx·(cos ωx－32sin ωx)＋cos ωx·32cos ωx
＝sin ωxcos ωx＋32cos2ωx－32sin2ωx
＝12sin 2ωx＋32cos 2ωx＝sin(2ωx＋π3)，
则g(x)＝f(x－π6)＝sin2ωx−π6+π3
＝sin(2ωx－ωπ3＋π3)，
∵函数g(x)＝f(x－π6)为奇函数，
则－ωπ3＋π3＝kπ(k∈Z)，得ω＝1－3k(k∈Z)，
又0＜ω＜3，∴ω＝1.
(2)g(x)＝f(x－π6)＝sin 2x，
∵g(x)＞2msin(x＋π4)－2cos(x－π4)＝(m－1)·(sin x＋cos x)在0,π2内恒成立，
即sin 2x＞(m－1)(sin x＋cos x)在0,π2内恒成立，
令t＝sin x＋cos x＝2sin(x＋π4)，
∵x∈0,π2，则x＋π4∈π4,3π4，
得2sin(x＋π4)∈[1，2]，即t∈[1，2]，
且有sin 2x＝t2－1，
得m－1＜sin2xsinx+cosx＝t2−1t＝t－1t，
∵函数y＝t－1t在[1，2]上单调递增，
故当t＝1时y取得最小值0，
即m－1＜0，得m＜1，
∴实数m的取值范围是(－∞，1)．
20．【解析】(1)当一次投放4克洗衣液，即a＝4时，
y＝4·f(x)＝8x,0≤x≤4,24x−3+8,x＞4.
因为当水中洗衣液的浓度不低于16克/升时，才能够起到有效去污的作用，
所以当0≤x≤4时，由8x≥16，解得x≥2，所以此时2≤x≤4；
当x＞4时，由24x−3＋8≥16，得x≤6，所以此时4＜x≤6，
综上可得2≤x≤6，
所以若一次投放4克洗衣液，有效去污时间可达4分钟；
(2)由(1)得，当4≤x≤8时，
y＝24x−3＋8＋8(x－4)＝24x−3＋8(x－3)；
当x＞8时，y＝24x−3＋8＋24x−7＋8＝24x−3＋24x−7＋16.
综上，y＝24x−3+8x−3,4≤x≤8,24x−3+24x−7+16,x＞8,
当4≤x≤8时，y＝24x−3＋8(x－3)≥224x−3×8x−3＝163，当且仅当x＝3＋3时等号成立．
又163＞16，所以接下来的4分钟能够有效去污．
21．【解析】(1)∵在四棱锥P－ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，AB⊥BC，

∴以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AD∥BC，AB＝AD＝2，CD⊥PD，异面直线PA和CD所成角等于60°.
∴设BC＝a，BP＝b，则B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，a，0)，D(2，2，0)，P(0，0，b)．
∵PD→＝(2，2，－b)，CD→＝(2，2－a，0)，CD⊥PD，
∴PD→·CD→＝4＋4－2a＝0，解得a＝BC＝4，
又PA→＝(2，0，－b)，CD→＝(2，－2，0)，
∵异面直线PA和CD所成角等于60°，
∴cos 60°＝|PA→·CD→||PA→|·|CD→|＝44+b2·8，解得b＝BP＝2，
∴PC→＝(0，4，－2)，AD→＝(0，2，0)，PA→＝(2，0，－2)．
设平面PAD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n·AD→=2y=0,n·PA→=2x−2z=0,取x＝1，得n＝(1，0，1)，
设直线PC和平面PAD所成角为θ，
则直线PC和平面PAD所成角的正弦值的大小为：
sin θ＝|PC→·n||PC→|·|n|＝220·2＝1010.
(2)假设在棱PA上存在一点E，使得二面角A－BE－D的余弦值为66，
设PE→＝λPA→，且E(x1，y1，z1)，
则(x1，y1，z1－2)＝λ(2，0，－2)，解得E(2λ，0，2－2λ)，
BD→＝(2，2，0)，BE→＝(2λ，0，2－2λ)，
设平面DEB的一个法向量为m＝(x2，y2，z2)，
则m·BD→=2x2+2y2=0,m·BE→=2λx2+2−2λz2=0,
取x＝1，得m＝(1，－1，λλ−1)，
又平面ABE的法向量p＝(0，1，0)，
∵二面角A－BE－D的余弦值为66，
∴|cos 〈m，p〉|＝|m·p||m||p|＝12+λλ−12＝66，
解得λ＝23或λ＝2(不合题意)．
∴存在这样的E点，E为棱PA上靠近点A的三等分点．
22．【解析】(1)由(ax2＋x)·ex＞0可得ax2＋x＞0，
即ax(x＋1a)＞0，
由于a＜0，所以解集为x|0＜x＜−1a.
(2)当a＝0时，方程f(x)＝(x＋1)·ex＋x－2即为ex＋x－2＝0，
设h(x)＝ex＋x－2，
由于y＝ex和y＝x－2均为增函数，则h(x)也是增函数，
又因为h(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，h(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，
所以该函数的零点在区间0,1上，又由于函数为增函数，所以该函数有且仅有一个零点，
所以方程ex＋x－2＝0有且仅有一个根，且在0,1内，
所以存在唯一的整数k＝0.
(3)当x∈[－1，1]时，
f(x)＋(2ax＋1)·ex≥0恒成立，
即不等式ax2＋(2a＋1)x＋1≥0恒成立，
令g(x)＝ax2＋(2a＋1)x＋1，
若a＝0，则x＋1≥0，该不等式满足在x∈[－1，1]时恒成立；
若a≠0，由于Δ＝(2a＋1)2－4a＝4a2＋1＞0，
所以g(x)有两个零点，其图象的对称轴为x＝－2a+12a.
当a＞0，则－2a+12a＜－1，故a＞0,g−1≥0,即a＞0,a≤0,此时a无解；
当a＜0，则需满足a＜0,g−1≥0,g1≥0,即a＜0,a≤0,a≥−23,
所以－23≤a＜0.
综上所述，a的取值范围是－23≤a≤0.