长郡中学高一数学暑假自主学习作业本（二十三）

这是一份长郡中学高一数学暑假自主学习作业本（二十三），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
数学作业二十三　综合模拟1
一、单选题
1．(★)已知集合A＝{x|ln x＜1}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝(　　)　　　　　　　　
A．{1，2} B．{0，1，2}
C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}
2．(★)已知平面α⊥平面β，则“直线m⊥平面α”是“直线m∥平面β”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(★)2月国家统计局发布中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报．下图1是2018－2022年国内生产总值及其增长速度，图2是2018－2022年三次产业增加值占国内生产总值比重(三次产业包括第一产业，第二产业，第三产业)．根据图1，图2，以下描述不正确的是(　　)


A．2018－2022年国内生产总值呈逐年增长的趋势
B．2020年与2022年国内生产总值的增长速度较上一年有明显回落
C．2018－2022年第三产业增加值占国内生产总值比重的极差为1.7%
D．2020年第二产业增加值较2019年有所减少
4．(★★)已知m，n是两条不同的直线，α是平面，则下列四个结论中正确的是(　　)
A．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m，n与α所成的角相等，则m∥n


5．(★★)某家族有X，Y两种遗传性状，该家族某成员出现X性状的概率为415，出现Y性状的概率为215，X，Y两种性状都不出现的概率为710，则该成员X，Y两种性状都出现的概率为(　　)
A.115 B.110 C.215 D.415
6．(★★)函数f(x)＝log1e(－x2＋2x＋15)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，1) B．(－3，1)
C．(1，5) D．(5，＋∞)
7．(★★)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点D，E满足BD→＝DC→，BE→＝23BA→＋13BC→，AD与BE交于点P，则BP→·BC→＝(　　)
A.12 B.83 C．1 D．2
8．(★★★)设函数f(x)的定义域为I，若存在x0∈I，使得ffx0＝x0，则称x0是函数f(x)的二阶不动点．下列各四个函数中：①f(x)＝x2－x＋1；②f(x)＝log2x+1；③f(x)＝2x2x+1；④f(x)＝x−1x+1，有且仅有一个二阶不动点的函数的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．(★)已知平面向量a＝(1，λ)，b＝(－2，1)，则下列说法正确的是(　　)
A．若λ＝0，则a+b＝2
B．若a∥b，则λ＝－12
C．若a与b的夹角为锐角，则λ＜2
D．若λ＝－1，则a在b上的投影向量为－35b
10．(★★)已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值(即黄金分割值5−12，该值恰好等于2sin 18°)，则下列式子的结果等于5−14的是(　　)
A.12cos 48°－32sin 48°
B．cos 10°cos 82°＋sin 10°sin 82°
C．sin 173°cos 11°－sin 83°cos 101°
D.1−sin54°2
11．(★★)已知正实数x，y满足2x＋y＝xy，则(　　)
A．xy≥8 B．x＋y≥6
C.1x−1＋8y≥4 D．2x2y＋y2≥48
12．(★★★)已知圆锥SO(O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点)的母线长为7，高为3.若P，Q为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是(　　)
A．三角形SPQ面积的最大值为23
B．三棱锥O－SPQ体积的最大值为233
C．四面体SOPQ外接球表面积的最小值为11π
D．直线SP与平面SOQ所成角的余弦值的最小值为217
三、填空题
13．(★)设i为虚数单位，复数3−i1+i＝________．
14．(★★)若“x∈(0，＋∞)，λx＞2x2＋1”是假命题，则实数λ的取值范围是________．
15．(★★)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2B－sin2C＝sin Asin C，则2tanB2＋1tanC的最小值为________．
16．(★★★)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且当－1≤x≤0时，f(x)＝2x＋1－m，则当0＜x≤1时，f(x)＝____________；若对x∈[0，1]，都有f(－x2＋2tx＋14)≥2－2，则实数t的取值范围为______________．
四、解答题
17．(★)已知函数f(x)＝sin2x＋3sin xsin(x＋π2)．
(1)求f(π12)的值；
(2)当x∈0,π2时，求函数f(x)的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时对应自变量x的取值．






18．(★★)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D是AC的中点，AA1＝AB＝2.

(1)求证：AB1∥平面C1BD；
(2)若异面直线AC和A1B1所成角的余弦值为21313，求四棱锥B－AA1C1D的体积．




19．(★★)某市工会组织举行“红心向党”职工歌咏比赛，分初赛、复赛和决赛三个环节，初赛全市职工踊跃参与，通过各单位的初选，最终有2000名选手进入复赛，经统计，其年龄的频率分布直方图如图所示．
附：方差s2＝1n∑i=1n(xi－−x)2＝1n∑i=1nxi2－−x2.

(1)求直方图中x的值，并估计复赛选手年龄的平均值；
(2)根据频率分布直方图估计复赛选手年龄的第75百分位数；
(3)决赛由8名专业评审、10名媒体评审和12名大众评审分别打分，打分均采用10分制．已知某选手专业得分的平均数和方差分别为−x1＝8.4，s12＝0.015，媒体得分的平均数和方差分别为−x2＝8.8，s22＝0.054，大众得分的平均数和方差分别为−x3＝9.4，s32＝0.064，将这30名评审的平均分作为最终得分，请估计该选手的最终得分和方差(结果保留三位小数)．




20．(★★)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，∠ABC＝π3，AB＝BC，PA＝2.点A在平面PBC内的投影恰好为△PBC的重心E，连接PE并延长交BC于F.

(1)求证：AF⊥BC；
(2)求平面ACE与平面ABCD所成夹角的余弦值．






21．(★★★)在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，cos A＝35.
(1)求5b−3ccosC的值；
(2)求AB→+AC→－AB→·AC→的取值范围．
































22．(★★★)已知函数f(x)＝2x，其反函数为g(x)．
(1)若函数F(x)＝[g(x)]2－4g(x)＋3的定义域为[2，8]，求F(x)的最小值；




（2）设函数τ(x)的定义域为D，若x∈D有－x∈D，且满足τ(－x)＋τ(x)＝0，我们称函数τ(x)为“奇点函数”．已知函数h(x)＝［fx］2−2mfx−3,x≥−1,−3,x＜−1为其定义域上的“奇点函数”，求实数m的取值范围．

高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
参考答案
1．A　【解析】由ln x＜1得0＜x＜e，即A＝(0，e)，∴A∩B＝{1，2}，故选：A.
2．D　【解析】平面α⊥平面β，若直线m⊥平面α，则直线m∥平面β或m平面β；平面α⊥平面β，若直线m∥平面β，则直线m⊥平面α不一定成立．故选：D.
3．D　【解析】依题意，
对于A：由图1可以看出直方图逐年增高，所以2018－2022年国内生产总值呈逐年增长的趋势，A符合题意；
对于B：由图1可以看出折线在2020年与2022年时与上一年连线的斜率小于0，B符合题意；
对于C：由图2可以得出2018－2022年第三产业增加值占国内生产总值比重最大值为：54.5%，最小值为：52.8%，所以极差＝54.5%－52.8%＝1.7%，C符合题意；
对于D：结合图1图2可知，2019年第二产业的增加值为：986515×38.6%＝380794.79亿元；
2020年第二产业的增加值为：1013567×37.8%＝383128.326亿元．
因为383128.326＞380794.79，所以2020年第二产业增加值较2019年有所增加，D不符合题意．
故选：D.
4．A　【解析】由线面垂直的性质定理可得垂直于同一平面的两直线平行，即A符合题意；
若m∥α，n∥α，可知m，n的位置关系可以是平行、相交或异面，即B不符合题意；
若m⊥α，m⊥n，则直线n可以在平面α内，所以C不符合题意；
由线面角的定义可知，若m，n与α所成的角相等，则m，n的位置关系可以是平行、相交或异面，即D不符合题意．
故选：A.
5．B　【解析】设该家族某成员出现X性状为事件A，出现Y性状为事件B，
则X，Y两种性状都不出现为事件−A∩−B，两种性状都出现为事件A∩B，
所以P(A)＝415，P(B)＝215，P(−A∩−B)＝710，
所以P(A∪B)＝1－P(−A∩−B)＝310，
又因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，
所以P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝110，
故选：B.
6．B　【解析】对于函数f(x)＝log1e(－x2＋2x＋15)，令－x2＋2x＋15＞0，即(x＋3)(x－5)＜0，解得－3＜x＜5，所以函数的定义域为(－3，5)，
又y＝－x2＋2x＋15＝－(x－1)2＋16在(－3，1)上单调递增，在(1，5)上单调递减，
又y＝log1ex在定义域上单调递减，所以f(x)＝log1e(－x2＋2x＋15)的单调递减区间为(－3，1)．
故选：B.
7．D　【解析】因为BE→＝23BA→＋13BC→，所以BE→＝23BE→＋23EA→＋13BE→＋13EC→，所以EC→＝2AE→，所以点E为AC的一个靠近点A的三等分点，又因为BD→＝DC→，所以点D为BC的中点，
过E作EF⊥AD交AD于F点，如下图所示：

因为EFCD＝AEAC＝13，且BD＝CD，所以EFBD＝EPBP＝13，
所以BP→＝34BE→，
所以BP→·BC→＝34BE→·BC→＝12BA→+14BC→·BC→
＝12BA→·BC→＋14BC→2，
所以BP→·BC→＝12×2×2×cos 60°＋14×22＝2，
故选：D.
8．B　【解析】若f(x0)＝x0，称x0为一阶不动点，显然若f(x0)＝x0，则满足f[f(x0)]＝x0，故一阶不动点显然也是二阶不动点，若f(x0)＝y0，且f(y0)＝x0，即(x0，y0)，(y0，x0)都在函数y＝f(x)的图象上，即y＝f(x)上存在两点关于y＝x对称，此时这两点的横坐标也为二阶不动点，
下证：当y＝f(x)单调递增时，一阶不动点和二阶不动点等价，
因为f(x0)＝y0，若x0>y0，因为y＝f(x)单调递增，
所以f(x0)>f(y0)，即y0>x0，矛盾；
若x0