长郡中学高一数学暑假自主学习作业本（二十一）

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高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
数学作业二十一　概率
【知识梳理】
一、随机事件的概率与古典概型
1．样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的__________称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
(2)随机事件
①定义：样本空间Ω的________称为随机事件，简称事件．
②表示：大写字母A，B，C，….
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．
2．事件的关系和运算


定义
符号表示
包含


关系
若事件A发生，则事件B__________，就称“事件B包含事件A”(或“事件A包含于事件B”)
________(或AB)
相等


关系
若BA且AB，则称事件A与事件B相等
__________
并事件


(和事件)
事件A与事件B____________发生，事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件


(积事件)
事件A与事件B________发生，事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，则称这个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥


事件
事件A与事件B______________，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
A∩B＝
对立


事件
事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为−A
A∪B＝Ω，且A∩B＝，
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1



3.古典概型
(1)定义：
具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
①有限性：样本空间的样本点只有______个．
②等可能性：每个样本点发生的可能性______．
(2)古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝kn＝nAnΩ，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
4．概率的基本性质
(1)对任意的事件A，都有____________．
(2)必然事件的概率P(Ω)＝______，不可能事件的概率P()＝______．
(3)如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝______________．
(4)如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝__________，P(A)＝__________．
(5)如果AB，那么P(A)______P(B)．
(6)设A，B是一个随机试验中的两个事件，则P(A∪B)＝____________________．
5．频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐__________事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
二、事件的相互独立性
1．相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝____________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
2．相互独立事件的性质
①当事件A，B相互独立时，则事件______与事件−B相互独立，事件−A与事件______相互独立，事件−A与事件−B相互独立．
②对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，…，An相互独立．
③公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．



【专题训练】
一、单选题
1．(★)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　)
A．至少有1个白球，都是白球
B．至少有1个白球，至少有1个红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球
D．至少有1个白球，都是红球　　　　　　　　　　
2．(★)小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平时小王都将笔杆和笔帽套在一起，但偶尔也会将笔杆和笔帽随机套在一起，则小王将两支笔的笔杆和笔帽的颜色混搭的概率是(　　)
A.16 B.13 C.12 D.56
3．(★★)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)
A．62% B．56% C．46% D．42%
4．(★★)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立
D．丙与丁相互独立
二、多选题
5．(★)下列说法正确的是(　　)
A．若事件A与事件B是互斥事件，则P(A∩B)＝0
B．若事件A与事件B是对立事件，则P(A∪B)＝1
C．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D．把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件
6．(★★)同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}，事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}，事件C＝{两个四面体向下的一面同时出现奇数，或者同时出现偶数}．则下列说法正确的是(　　)
A．P(A)＝P(B)＝P(C)
B．P(AB)＝P(AC)＝P(BC)
C．P(ABC)＝18
D．P(A)P(B)P(C)＝18
7．(★★)下列对各事件发生的概率判断正确的是(　　)
A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427
B．甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为25
C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12
D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为19，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是29
三、填空题
8．(★)某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶．假设此人射击1次，则其中靶的概率约为____________；中10环的概率约为________．
9．(★★)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当某一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
10．(★★)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A袋中的概率为__________．

四、解答题
11．(★)保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

赔付





金额/元
0
1000
2000
3000
4000
车辆数
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在车主是新司机的已投保车辆中，获赔金额为4000元的概率．


12．(★★)甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率是14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率是112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率是29.
(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．


















13．(★★★)溺水、触电等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均为23，乙队每人回答问题的正确率分别为12，23，34，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．
(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；
(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．

高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
参考答案
【知识梳理】
一、
1．基本结果　子集
2．一定发生　BA　A＝B　至少有一个　同时
不能同时发生
3．(1)有限　相等
4．(1)P(A)≥0　(2)1　0
(3)P(A)＋P(B)　(4)1－P(A)　1－P(B)
(5)≤　(6)P(A)＋P(B)－P(A∩B)
5．(1)稳定于
二、
1．P(A)P(B)
2．A　B
【专题训练】
1．C　【解析】结合互斥事件和对立事件的定义知，对于C中恰有1个白球，即1白1红，与恰有2个白球是互斥事件，但不是对立事件，因为还有2个都是红球的情况，故选：C.
2．C　【解析】设三支笔的笔杆分别为A，B，C，对应的笔帽分别为a，b，c，则不同的搭配方式分别为(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ab，Bc，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，(Ac，Bb，Ca)，共6种情形，其中恰有两支笔的笔杆和笔帽的颜色混搭的有(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ac，Bb，Ca)，共3种情形，故所求事件的概率是P＝36＝12.故选：C.
3．C　【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A∪B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A∩B，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.82，PA+B＝0.96，
所以P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝0.6＋0.82－0.96＝0.46，
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.
4．B　【解析】P(甲)＝16，P(乙)＝16，P(丙)＝536，P(丁)＝636＝16，P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝136＝P(甲)·P(丁)，P(乙丙)＝136≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丁)·P(丙)，故选：B.
5．ABC　【解析】若事件A与事件B是互斥事件，则P(A∩B)＝0，故A正确；
若事件A与事件B是对立事件，则P(A∪B)＝1，故B正确；
一个人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件，故C正确；
把红、橙、黄3张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得1张，事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，故它们不是互斥事件，D错误．
故选：ABC.
6．ABD　【解析】由古典概型的概率计算公式，得P(A)＝P(B)＝24＝12，P(C)＝84×4＝12，所以P(A)＝P(B)＝P(C)＝12，A正确；P(A)P(B)P(C)＝18，D正确；而事件A，B，C不可能同时发生，故P(ABC)＝0，所以C不正确；又P(AB)＝2×24×4＝14，P(AC)＝2×24×4＝14，P(BC)＝2×24×4＝14，所以P(AB)＝P(AC)＝P(BC)，B正确．故选：ABD.
7．AC　【解析】对于A，该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯，所以概率为1−132×13＝427，故A正确；
对于B，用A、B、C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码，则P(A)＝15，P(B)＝13，P(C)＝14，“三个人都不能破译出密码”发生的概率为45×23×34＝25，所以此密码被破译的概率为1－25＝35，故B不正确；
对于C，设“从甲袋中取到白球”为事件A，则P(A)＝812＝23，设“从乙袋中取到白球”为事件B，则P(B)＝612＝12，故取到同色球的概率为23×12＋13×12＝12，故C正确；
对于D，易得P(A∩−B)＝P(B∩−A)，
即P(A)·P(−B)＝P(B)P(−A)，
即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，∴P(A)＝P(B)，
又P(−A∩−B)＝19，
∴P(−A)＝P(−B)＝13，∴P(A)＝23，故D错误．故选：AC.
8．0.9；0.2　【解析】中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为910＝0.9，所以此人射击1次，中靶的概率约为0.9.同理得中10环的概率约为0.2.
9．0.18　【解析】若前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2＝0.108，
若前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2＝0.072，
综上所述，甲队以4∶1获胜的概率是p＝0.108＋0.072＝0.18.
10.34　【解析】记小球落入A袋中的概率为P(A)，小球落入B袋中的概率为P(B)，则P(A)＋P(B)＝1，又小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋，所以P(B)＝123＋123＝14，则P(A)＝1－P(B)＝34.
11．【解析】(1)由表可知本次共抽取了1000辆车，设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，
以频率估计概率得P(A)＝1501000＝0.15，P(B)＝1201000＝0.12.
由于投保金额为2800元，则赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，
所以估计其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“车主是新司机的已投保车辆中获赔4000元”，
由已知可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，
所以样本车辆的新司机车主中获赔金额为4000元的频率为24100＝0.24，
由频率估计概率得P(C)＝0.24.
12．【解析】(1)设A，B，C分别表示甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，那么
PA−B=14,PB−C=112,PAC=29,即PA1−PB=14,PB1−PC=112,PAPC=29,
解得P(A)＝13，P(B)＝14，P(C)＝23，
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别为13，14，23.
(2)设D为“从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品”的事件，则P(D)＝1－P(−D)＝1－(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))＝1－23×34×13＝56，
即从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率是56.
13．【解析】(1)记“甲队总得分为3分”为事件A，“甲队总得分为1分”为事件B.
甲队得3分，即三人都回答正确，
其概率P(A)＝23×23×23＝827，
甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余2人都回答错误，其概率P(B)＝23×1−23×1−23＋1−23×23×1−23＋1−23×1−23×23＝29.
故甲队总得分为3分与1分的概率分别为827，29.
(2)记“甲队总得分为2分”为事件C，“乙队总得分为1分”为事件D.
甲队得2分，即甲队三人中有2人回答正确，1人回答错误，则P(C)＝23×23×1−23＋23×1−23×23＋1−23×23×23＝49，
乙队得1分，即乙队三人中只有1人回答正确，其余2人回答错误，
则P(D)＝12×1−23×1−34＋1−12×23×1−34＋1−12×1−23×34＝14.
由题意得事件C与事件D相互独立，
则甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(CD)＝P(C)P(D)＝49×14＝19.