长郡中学高一数学暑假自主学习作业本（十八）

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高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
数学作业十八　空间向量与立体几何
【知识梳理】
1．空间向量的有关概念
(1)在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的模或长度，用|a|表示，长度为零的向量叫做零向量，记为0；模为1的向量叫做单位向量．
(2)模相等且方向相同的向量叫做相等向量，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等．
2．空间向量的加、减法法则和运算律
(1)向量加法运算法则是平行四边形法则或三角形法则，即①加法法则：OB→＝OA→＋AB→；②减法法则：BA→＝OA→－OB→.
(2)运算法则：①加法交换律：a＋b＝b＋a；②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
(3)线段AB的中点公式：设O是空间任意一点，点P是线段AB的中点，则OP→＝12(OA→＋OB→)．
3．向量的数乘运算
(1)实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算，向量λa的长度为|λa|，当λ＞0时与a同向，当λ＜0时与a反向．
(2)运算法则：①数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；②数乘结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
4．平行向量(共线向量)
(1)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b，记作a∥b.
(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a(a≠0)，b，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b＝λa.
5．向量与平面平行
(1)如果表示向量a的有向线段所在直线与平面α平行或a在平面α内，我们就说向量a平行于平面α，记作a∥α.
(2)共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量．
(3)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb.
6．空间向量基本定理
(1)基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
(2)三个向量a，b，c不共面，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
7．空间向量的数量积
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．
①规定0≤〈a，b〉≤π，且〈a，b〉＝〈b，a〉；
②如果〈a，b〉＝π2，则称a与b互相垂直，记作a⊥b；
③如果非零向量a，b同向，则〈a，b〉＝0；如果非零向量a，b反向，则〈a，b〉＝π.
(2)向量的数量积定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(3)向量的模长公式：|a|＝a·a＝a2.
(4)a⊥ba·b＝0(a，b为非零向量)．
8．空间向量的坐标运算
(1)若O为原点，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间任意两点，则OA→＝(x1，y1，z1)，AB→＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
(2)各种运算的坐标表示：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
①a＋b＝________________；
②a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)；
③λa＝(λx1，λy1，λz1)，λ∈R；
④a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
(3)平行、垂直、模长、夹角的坐标表示：
①当b≠0时，a∥bx1x2＝y1y2＝z1z2＝λ(b不与坐标轴垂直)或a＝λb，其中λ∈R；
②a⊥bx1x2＋y1y2＋z1z2＝0；
③|a|＝x12+y12+z12；
④cos〈a，b〉
＝x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22.
(4)空间两点的距离公式：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间任意两点，则|AB|＝x2−x12+y2−y12+z2−z12.
9．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB→为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为n·a=0,n·b=0.
10．用向量法证明空间中的平行与垂直关系


平行
垂直
直线与直线(v1，v2分别为直线l1，l2的方向向量)
l1∥l2v1∥v2v1＝λv2(λ为非零实数)
l1⊥l2v1⊥v2v1·v2＝0
直线与平面(v为直线l的方向向量，n1为平面α的法向量)
①l∥αv⊥n1v·n1＝0

②l∥αv＝xa＋yb，其中a，b为平面α内不共线的向量，x，y均为实数
l⊥αv∥n1v＝λn1

(λ为非零实数)


平面与平面(n1，n2分别为平面α，β的法向量)
α∥βn1∥n2n1＝λn2(λ为非零实数)
α⊥βn1⊥n2n1·n2＝0
11.空间角和空间距离的向量表示
(1)直线与平面所成的角
直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成的角θ等于向量m，n所成的锐角的余角(若所成角为钝角，则取其补角的余角)，即sin θ＝|m·n||m||n|.
特例：若m⊥n，则l∥α或lα；若m∥n，则l⊥α.
(2)二面角的平面角
设二面角α－l－β的两个半平面α和β的法向量分别为m，n，二面角α－l－β的大小为θ，则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补．当二面角为锐角时，cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝|m·n||m||n|；当二面角为钝角时，cos θ＝－|cos 〈m，n〉|＝－|m·n||m||n|.
特例：若m∥n，则α∥β；若m⊥n，则α⊥β.
12．点到平面的距离
设平面α的法向量为n，P是平面α外一点，Q是平面α内任一点，则点P到平面α的距离d等于PQ→在法向量n上的投影的绝对值，即d＝|n·PQ→||n|.
【专题训练】
一、单选题
1．(★)平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　

A．2 B．－4
C．4 D．－2
2．(★)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB→＝(1，2，0)，AD→＝(2，1，0)，CC1→＝(0，1，5)，则对角线AC1的长为(　　)
A．42 B．43
C．52 D．12
3．(★★)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
4．(★★)如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则DB到平面EFG的距离为(　　)

A.1010 B.21111
C.35 D．1
二、多选题
5．(★★)下面四个结论正确的是(　　)
A．已知向量a＝(9，4，－4)，b＝(1，2，2)，则a在b上的投影向量为(1，2，2)
B．若对空间中任意一点O，有OP→＝16OA→＋13OB→＋12OC→，则P，A，B，C四点共面
C．已知a,b,c是空间的一组基底，若m＝a＋c，则a,b,m也是空间的一组基底
D．若直线l的方向向量为e＝(1，0，3)，平面α的法向量为n＝−2,0,23，则直线l⊥α
6．(★★)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱A1D1，AA1，CD的中点，则(　　)


A.BE→·BF→＝6
B．B1G⊥平面BEF
C．EF⊥BF
D．点B1到平面BEF的距离为43
7．(★★★)已知圆柱底面半径r＝1，高h＝1，下底面圆心为O，上底面圆心为O1，A是下底面圆上任意一点，B是上底面圆上任意一点，则下列命题正确的是(　　)
A．向量OB→与OO1→的夹角为定值
B.OA→·OB→的最大值为2
C.OA→与OB→夹角的最大值为3π4
D．1≤|AB→|≤5
三、填空题
8．(★)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝________．
9．(★★)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，∠DBC＝90°，BC＝BD＝2，AB＝1，则BC与平面ACD所成角的正弦值为________．

10．(★★)给出下列命题：
①直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量为b＝2,1,−12，则l与m平行；
②直线l的方向向量a＝(0，1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，则l⊥α；
③平面α，β的法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α∥β；
④平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1.
其中的真命题是______．(把你认为正确命题的序号都填上)
四、解答题
11．(★★)如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝2BC＝2CD＝4，△PAB为等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，Q为PB中点．

(1)求证：AQ⊥平面PBC；
(2)求二面角B－PC－D的余弦值．









12．(★★)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1上的动点，F是棱AB的中点，AC＝1，BC＝2，AA1＝4.

(1)当E是棱CC1的中点时，求证：CF∥平面AEB1；
(2)在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A－EB1－B的余弦值是21717？若存在，求CE的长；若不存在，请说明理由．
























13．(★★★)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.

(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．


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参考答案
【知识梳理】
8．(2)(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
【专题训练】
1．C　【解析】∵α∥β，∴两平面法向量平行，∴−21＝−42＝k−2，∴k＝4.
2．C　【解析】AC1→＝AA1→＋A1B1→＋B1C1→＝CC1→＋AB→＋AD→＝(0，1，5)＋(1，2，0)＋(2，1，0)＝(3，4，5)，
所以|AC1→|＝32+42+52＝52.
3．A　【解析】设l与α所成角为θ，∵cos 〈m，n〉＝－12，
∴sin θ＝|cos 〈m，n〉|＝12，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.
4．B　【解析】以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CG为z轴建立空间直角坐标系，
∴B(0，4，0)，F(4，2，0)，E(2，4，0)，G(0，0，2)，
∴FE→＝(－2，2，0)，EG→＝(－2，－4，2)，∴平面EFG的一个法向量为m＝(1，1，3)，∵BD∥平面EFG，∴直线BD到平面EFG的距离即点B到平面EFG的距离，
又BE→＝(2，0，0)，∴d＝|BE→·m||m|＝21111.
5．ABC　【解析】A选项，向量a＝(9，4，－4)，b＝(1，2，2)，则a在b上的投影向量为a·bb×b|b|＝(1，2，2)，故A选项正确；
B选项，因为16＋13＋12＝1，所以P，A，B，C四点共面，故B选项正确；
C选项，因为a,b,c是空间的一组基底，m＝a＋c，所以向量a，b，a＋c之间也不共面，所以a,b,m也是空间的一组基底，故C选项正确；
D选项，直线l的方向向量为e＝(1，0，3)，平面α的法向量为n＝−2,0,23，所以e·n＝0，即l∥α或lα，故D选项错误．故选：ABC.
6．ABD　【解析】以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，F(2，0，1)，E(1，0，2)，B1(2，2，2)，B(2，2，0)，G(0，1，0)，

BE→＝(－1，－2，2)，BF→＝(0，－2，1)，B1G→＝(－2，－1，－2)，EF→＝(1，0，－1)，BB1→＝(0，0，2)，BE→·BF→＝6，A正确．
BE→·B1G→＝0，BF→·B1G→＝0，BF→·EF→≠0，
所以BE⊥B1G，BF⊥B1G，B1G⊥平面BEF，直线BF与直线EF不垂直，B正确，C错误．
点B1到平面BEF的距离为BB1→·B1G→B1G→＝43，D正确．故选：ABD.
7．ACD　【解析】以下底面互相垂直的两条直径和上下底面圆心连线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，

对A，由圆柱底面半径r＝1，高h＝1，
则可设OA→＝u＝(cos θ，sin θ，0)，OB→＝v＝(cos β，sin β，1)，其中θ，β∈[0，2π)，OO1→＝(0，0，1)，
则cos〈v，OO1→〉＝v·OO1→vOO1→＝1cos2β+sin2β+12×1＝22，
因为〈v，OO1→〉∈[0，π]，所以〈v，OO1→〉＝π4，故A正确；
对B，OA→·OB→＝u·v＝cos θcos β＋sin θsin β＝cos(θ－β)，
因为θ，β∈[0，2π)，则－β∈(－2π，0]，则θ－β∈(－2π，2π)，
则cos(θ－β)∈[－1，1]，所以u·v的最大值为1，故B错误；
对C，cos 〈OA→，OB→〉＝cos 〈u，v〉＝u·vuv
＝cosθ−βcos2θ+sin2θcos2β+sin2β+12＝22cos(θ－β)≥－22，
因为〈u，v〉∈[0，π]，所以0≤〈u，v〉≤3π4，
所以OA→与OB→夹角的最大值为3π4，故C正确；
对D，AB→＝OB→－OA→＝v－u，
|AB→|2＝(v－u)2＝|u|2－2u·v＋|v|2＝3－2cos(θ－β)，
因为－1≤cos(θ－β)≤1，故1≤AB→≤5，故D正确．
故选：ACD.
8.657　【解析】由题意，可设a＝xb＋yc，
故(2，－1，3)＝x(－1，4，－2)＋y(7，5，λ)，
即−x+7y=2,4x+5y=−1,−2x+λy=3,解得λ＝657.
9.66　【解析】以B为原点，分别以射线BC，BD，BA为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，∵BC＝BD＝2，AB＝1，
∴B(0，0，0)，A(0，0，1)，C(2，0，0)，D(0，2，0)，
∴CB→＝(－2，0，0)，CA→＝(－2，0，1)，CD→＝(－2，2，0)，
设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)．
则n·CA→=0,n·CD→=0,∴−2x+z=0,−2x+2y=0,
∴可取n＝(1，1，2)，
设直线BC与平面ACD所成角为θ，
则sin θ＝|cos 〈CB→，n〉|＝−22×6＝66.
10．④　【解析】对于①，∵a＝(1，－1，2)，b＝2,1,−12，
∴a·b＝1×2－1×1＋2×−12＝0，
∴a⊥b，∴直线l与m垂直，①错误；
对于②，a＝(0，1，－1)，n＝(1，－1，－1)，
∴a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，
∴a⊥n，∴l∥α或lα，②错误；
对于③，∵n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，
∴n1与n2不共线，
∴α∥β不成立，③错误；
对于④，∵点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，
∴AB→＝(－1，1，1)，BC→＝(－1，1，0)，
向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，
∴n·AB→=0,n·BC→=0,即−1+u+t=0,−1+u=0,
则u＋t＝1，④正确．
综上，以上真命题的序号是④.
11．【解析】(1)证明：因为AB∥CD，∠BCD＝90°，
所以AB⊥BC，
又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面PAB.
又AQ平面PAB，所以BC⊥AQ，
因为Q为PB中点，且△PAB为等边三角形，
所以PB⊥AQ.
又PB∩BC＝B，PB，BC平面PBC，
所以AQ⊥平面PBC.
(2)取AB中点为O，连接PO，OD，
因为△PAB为等边三角形，所以PO⊥AB，
因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，
所以PO⊥OD，由AB＝2BC＝2CD＝4，∠ABC＝90°，
可知OD∥BC，所以OD⊥AB.
以O为坐标原点，分别以OA，OD，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.

则A(2，0，0)，D(0，2，0)，C(－2，2，0)，P(0，0，23)，B(－2，0，0)，
所以DP→＝(0，－2，23)，CD→＝(2，0，0)，
由(1)知，AQ→为平面PBC的法向量，因为Q为PB的中点，
所以Q(－1，0，3)，所以AQ→＝(－3，0，3)．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，
由n·CD→=0,n·DP→=0,得2x=0,−2y+23z=0,
取z＝1，则n＝(0，3，1)．
所以|cos 〈AQ→，n〉|＝AQ→·n|AQ→||n|＝332+3·3+1
＝14.
因为二面角B－PC－D为钝角，
所以二面角B－PC－D的余弦值为－14.
12．【解析】(1)证明：取AB1的中点G，连接EG，FG.
∵F，G分别是棱AB，AB1的中点，
∴FG∥BB1，FG＝12BB1，
又B1B綉C1C，EC＝12C1C，
∴FG綉EC.
∴四边形FGEC是平行四边形，
∴CF∥EG.
∵CF平面AEB1，EG平面AEB1，
∴CF∥平面AEB1.
(2)以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x，y，z轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，
则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，4)．
设E(0，0，m)(0≤m≤4)，平面AEB1的法向量n1＝(x，y，z)．

则AB1→＝(－1，2，4)，AE→＝(－1，0，m)．
由AB1→⊥n1，AE→⊥n1，
得−x+2y+4z=0,−x+mz=0,
令z＝2，则n1＝(2m，m－4，2)．
∵CA⊥平面C1CBB1，
∴CA→是平面EBB1的一个法向量，令n2＝CA→，
∵二面角A－EB1－B的余弦值为21717，
∴21717＝|cos 〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1||n2|
＝|2m|4m2+m−42+4，
又0≤m≤4，解得m＝1.
∴在棱CC1上存在点E符合题意，此时CE＝1.
13．【解析】(1)在正方形ABCD中，AD∥BC，
因为AD平面PBC，BC平面PBC，
所以AD∥平面PBC，
又因为AD平面PAD，平面PAD∩平面PBC＝l，
所以AD∥l，
因为在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，
所以AD⊥DC，所以l⊥DC，
又因为PD⊥平面ABCD，所以AD⊥PD，所以l⊥PD，
因为CD∩PD＝D，CD，PD平面PDC，
所以l⊥平面PDC.
(2)如图建立空间直角坐标系D－xyz，

因为PD＝AD＝1，则有D(0，0，0)，C(0，1，0)，A(1，0，0)，
P(0，0，1)，B(1，1，0)，则有DC→＝(0，1，0)，DQ→＝(m，0，1)，PB→＝(1，1，－1)．
设平面QCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则DC→·n=0,DQ→·n=0,即y=0,mx+z=0,令x＝1，则z＝－m，
所以平面QCD的一个法向量为n＝(1，0，－m)，
则cos 〈n，PB→〉＝n·PB→nPB→＝1+0+m3·m2+1，
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于|cos 〈n，PB→〉|＝|1+m|3·m2+1＝33·1+2m+m2m2+1＝33·1+2mm2+1≤33·1+2|m|m2+1≤33·1+1＝63，当且仅当m＝1时取等号，
所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63.