长郡中学高一数学暑假自主学习作业本（十七）

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高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
数学作业十七　空间角与距离
【知识梳理】
1．等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角__________．
2．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：0,π2.
3．直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的________直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理


文字语言
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判定



定理
如果一条直线与一个平面内的____________垂直，那么该直线与此平面垂直

m∩n=Pl⊥α
性质



定理
垂直于同一个平面的两条直线平行

a∥b
4.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的______所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°.
(2)范围：0,π2.
5．二面角
(1)定义：从一条直线出发的__________所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作________的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．

(3)二面角的范围：[0，π]．
6．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理


文字语言
图形表示
符号表示
判定



定理
如果一个平面过另一个平面的______，那么这两个平面垂直

α⊥β




性质



定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的______，那么这条直线与另一个平面垂直

l⊥α
【专题训练】
一、单选题
1．(★)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　

A.15 B.56 C.55 D.22
2．(★★)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为(　　)

A．20° B．40° C．50° D．90°
3．(★★)如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，其中AC＝3，PA＝4，BC＝5，则PB与平面PAC所成角的正弦值为(　　)

A.22 B.12 C.32 D.175
4．(★★)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A.π2 B.π3 C.π4 D.π6
二、多选题
5．(★)下列说法不正确的是(　　)
A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面
B．与同一条直线异面的两直线一定共面
C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行
D．一条直线与两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交
6．(★★)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中(　　)

A．AC与BD1的夹角为60°
B．二面角D－AC－D1的平面角的正切值为2
C．AB1与平面ACD1所成角的正切值为2
D．点D到平面ACD1的距离为33
7．(★★)如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝1，PD＝AB＝2，点E是PB的中点，过A，D，E三点的平面α与平面PBC的交线为l，则(　　)

A．l∥平面PAD
B．AE∥平面PCD
C．直线PA与l所成角的余弦值为55
D．平面α截四棱锥P－ABCD所得的上、下两部分几何体的体积之比为35
三、填空题
8．(★)已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________．
9．(★★)如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝14SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为________．

10．(★★)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，点P是AD1上的动点．PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值为________．

四、解答题
11．(★)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧面PAD为等边三角形．

(1)求证：AD⊥PB；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，点E为PB的中点，求三棱锥P－ADE的体积．














12．(★★)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为AA1，CC1的中点，M为棱AB上一点．

(1)若D1E与CM相交于点K，求证：D1E，CM，DA三条直线相交于同一点；
(2)若AB＝2，AA1＝4，∠BAD＝π3，求点D1到平面FBD的距离．








13．(★★★)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为四边形，△ABD是边长为2的正三角形，BC⊥CD，BC＝CD，PD⊥AB，平面PBD⊥平面ABCD.

(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)若二面角C－PB－D的平面角的余弦值为66，求PD的长．



高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
参考答案
【知识梳理】
1．相等或互补
3．(1)任意一条　(2)两条相交直线　mα　nα
l⊥m　l⊥n　a⊥α　b⊥α
4．射影
5．(1)两个半平面　(2)垂直于棱
6．(1)直二面角
(2)垂线　aα　a⊥β　交线　α⊥β　α∩β＝a　l⊥a　lβ
【专题训练】
1．C　【解析】如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，
则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角或其补角．
因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，

则AD1＝AD2+DD12＝2，
DM＝AD2+12AB2＝52，
DB1＝AB2+AD2+BB12＝5.
所以OM＝12AD1＝1，OD＝12DB1＝52，
于是在△DMO中，由余弦定理，
得cos∠MOD＝12+522−5222×1×52＝55，
即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为55.
2．B　【解析】如图所示，⊙O为赤道平面，⊙O1为A点处的日晷面所在的平面，

由点A处的纬度为北纬40°可知∠OAO1＝40°，
又点A处的水平面与OA垂直，晷针AC与⊙O1所在的平面垂直，则晷针AC与水平面所成角为40°.
3．A　【解析】根据题意，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则BC⊥AC，
又由PA⊥圆O所在平面，则PA⊥BC，
因为PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC，
则BC⊥平面PAC，故∠BPC是PB与平面PAC所成的角，在△ACB中，AC＝3，BC＝5，AC⊥BC，
则AB＝AC2+BC2＝34，
在△PAB中，AB＝34，PA＝4，PA⊥AB，
则PB＝PA2+AB2＝52，
在△PCB中，BC＝5，PB＝52，
则sin ∠BPC＝BCPB＝22.
4．D　【解析】如图，连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP平面B1BP，所以C1P⊥BP.连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，

则在Rt△C1PB中，C1P＝12B1D1＝2，
BC1＝22，sin ∠PBC1＝PC1BC1＝12，所以∠PBC1＝π6.
5．ABD　【解析】两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；
　　
图1　　　　　　图2
如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，同样DD1与B1C1也是异面直线，故B错误；
如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则AC∥BD，有AC与BD确定一个平面α，则ACα，BDα，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以ABα，CDα，这与假设矛盾，故C正确；
如图1，AB∥CD，而直线AA1与AB相交，但与直线CD不相交，故D错误．
6．BCD　【解析】连接BD，交AC于O，
则AC⊥BD，且AC⊥DD1，又BD∩DD1＝D，
所以AC⊥平面BDD1，又BD1平面BDD1，
所以AC与BD1的夹角为90°，故A错误；
因为DO⊥AC，D1O⊥AC，
所以∠DOD1为二面角D－AC－D1的平面角，
在直角三角形D1DO中，tan∠DOD1＝D1DDO＝2，故B正确；
因为B1D⊥平面ACD1，所以AB1与平面ACD1所成角θ是AB1与B1D所成角的余角，
tan∠AB1D＝ADAB1＝22，所以tan θ＝2，故C正确；
点B1到平面ACD1的距离为AB1sin θ＝2×63＝233，
所以点D到平面ACD1的距离为33，故D正确．
故选：BCD.
7．ACD　【解析】如图，取PC的中点F，连接EF，DF，

则AD∥EF，即A，D，E，F四点共面，即l为EF，
对于A，EF∥AD，所以EF∥平面PAD，即l∥平面PAD，故A正确；
对于B，由EF∥AD，若AE∥平面PCD，则必有AE∥DF，
即四边形ADFE为平行四边形，则AD＝EF，矛盾，故B错误；
对于C，PA与l所成的角，即PA与EF所成的角，即PA与AD所成的角，
由PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD，
cos∠PAD＝ADAP＝55，故C正确；
对于D，连接BD，
VP－ABCD＝13PD·S矩形ABCD＝13×2×2×1＝43，
VABCDEF＝VA－BDE＋VD－BCFE
＝13×52×25＋13×324×22＝56，
VP−ADFEVABCDEF＝43−5656＝35，故D正确．故选：ACD.
8.105　【解析】如图所示，补成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，

则所求角为∠BC1D或其补角，
∵BC1＝2，BD＝22+1−2×2×1×cos60°＝3，C1D＝AB1＝5，
易得C1D2＝BD2＋BC12，即BC1⊥BD，
因此cos∠BC1D＝BC1C1D＝25＝105.
9.113　【解析】如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF(或其补角)为异面直线SC与OE所成的角．

∵SE＝14SB，∴SE＝13BE.
又OB＝3，∴OF＝13OB＝1.
∵SO⊥OC，SO＝OC＝3，
∴SC＝32.
∵SO⊥OF，∴SF＝SO2+OF2＝10.
∵OC⊥OF，∴CF＝CO2+FO2＝10.
∴在等腰△SCF中，
tan ∠CSF＝102−3222322＝113.
10.233　【解析】连接A1P，易知B1A1⊥平面AA1D1，
则∠B1PA1是PB1与平面AA1D1所成的角，
在Rt△AA1D1中，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，
所以AA1＝23，A1D1＝2，
又tan ∠B1PA1＝B1A1A1P＝2A1P，
当A1P最小时，tan ∠B1PA1最大，
这时A1P⊥AD1，
由A1P＝A1D1·A1AAD1＝3，
得tan ∠B1PA1＝233，
即PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值为233.
11．【解析】(1)如图，取AD的中点O，连接OB，OP，BD，

因为△PAD为等边三角形，O是AD的中点，
所以OP⊥AD，
因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
所以△ABD是等边三角形，OB⊥AD，
因为OP∩OB＝O，OP，OB平面POB，
所以AD⊥平面POB，
因为PB平面POB，
所以AD⊥PB.
(2)因为底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，所以PA＝PD＝AD＝2，PO＝3，
底面ABCD的面积为23，
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，
所以PO⊥平面ABCD，
因为E为PB的中点，
所以VP－ADE＝VB－ADE＝12VP－ABD＝14VP－ABCD＝14×13×3×23＝12.
12．【解析】(1)∵D1E与CM相交于点K，
∴K∈D1E，K∈CM，
而D1E平面ADD1A1，CM平面ABCD，
且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，
∴K∈AD，
∴D1E，CM，DA三条直线相交于同一点K.
(2)∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，
∴BC＝CD＝2，
而四棱柱的侧棱AA1⊥底面ABCD，
∴CC1⊥底面ABCD，
又∵F是CC1的中点，CC1＝4，∴CF＝2，
∴BF＝DF＝22，
又∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝π3，
∴BD＝AB＝2，
∴S△FBD＝12×2×222−1＝7.
连接D1F，D1B，设点D1到平面FBD的距离为h，点B到平面DD1F的距离为d，
则d＝2sinπ3＝3，
又∵VD1－FBD＝VB－DD1F，
∴13×S△FBD×h＝13×S△DD1F×d，
∴13×7×h＝13×12×4×2×3，
解得h＝4217.
即点D1到平面FBD的距离为4217.
13．【解析】(1)证明：如图所示，E为BD的中点，连接AE，因为△ABD是正三角形，则AE⊥BD.

平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，
AE平面ABCD，故AE⊥平面PBD，
PD平面PBD，故AE⊥PD.
又PD⊥AB，AE∩AB＝A，AE，AB平面ABCD，
故PD⊥平面ABCD.
(2)过点E作EF⊥PB于点F，连接CF，CE，
因为BC⊥CD，BC＝CD，E为BD的中点，
所以EC⊥BD，所以EC⊥平面PBD.
又PB平面PBD，所以EC⊥PB，
又EC∩EF＝E，EC，EF平面EFC，
所以PB⊥平面EFC，
又因为CF平面EFC，
所以CF⊥PB，
故∠EFC为二面角C－PB－D的平面角．
因为cos∠EFC＝66，故tan ∠EFC＝5，
又EC＝1，故EF＝55.
则sin ∠PBD＝EFEB＝55，tan ∠PBD＝12，
即PDBD＝12，PD＝1.