长郡中学高一数学暑假自主学习作业本（十五）

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高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
数学作业十五　复数
【知识梳理】
1．复数的概念

概念
定义
复数
把形如______(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做__________．复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a与b分别叫做复数z的__________与__________
复数集
全体复数所构成的集合，即C＝{a＋bi|a，b∈R}
复数相等
a＋bi＝c＋di__a＝c__，__b＝d__，其中a，b，c，d∈R
复数分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类：复数实数b=0,虚数b≠0当a=0时为纯虚数
共轭复数
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为______，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数z的共轭复数用−z表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么−z＝a－bi
复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)对应的向量为OZ→，则向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|.即|z|＝|a＋bi|＝______，其中a，b∈R.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是复数z＝a＋bi在复平面内对应的点Z(a，b)到坐标原点的距离
2.复数的几何意义

为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量OZ→，并且规定，____的向量表示同一个复数．
3．复数的四则运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①z1±z2＝______________．②z1z2＝______________．③z1z2＝________________(z2≠0)．
(2)复数加、减法的几何意义

加法
复数z1＋z2是以OZ1→，OZ2→为邻边的平行四边形的对角线OZ所表示的向量OZ→所对应的复数

减法
复数z1－z2是从向量OZ2→的终点指向向量OZ1→的终点的向量Z2Z1→所对应的复数

(3)复数加法的运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有

交换律
z1＋z2＝z2＋z1
结合律
(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
(4)复数乘法的运算律：对于任意z1，z2，z3∈C，有

交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3

【专题训练】
一、单选题
1．(★)若复数z满足(1＋2i)·z＝3＋4i(其中i是虚数单位)，复数z的共轭复数为−z，则(　　)
A．z的实部是115
B.−z的虚部是－25
C．复数−z在复平面内对应的点在第四象限
D.z＝5
2．(★★)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：eix＝cos x＋isin x(e是自然对数的底数，i是虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被普为“数学中的天桥”．下列说法正确的是(　　)
A．eix＋1＝0
B．(12＋32i)3＝1
C．cos x＝eix+e−ix2
D．sin x＝eix−e−ix2

3．(★★)已知复数zk＝cos θk＋sinθk+1iθ∈R对应复平面内的动点为Zkk=1,2，模为1的纯虚数z3对应复平面内的点为Z3，若Z3Z1→＝12Z3Z2→，则z1−z2＝(　　)
A．1 B.62 C.3 D．3
4．(★★)关于复数的运算，错误的是(　　)
A.1rcosθ+isinθ＝1r(－cos θ－isin θ)
B.z1z2＝|z1||z2|
C．|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2
D．(z1z2)＝z1z2
二、多选题
5．(★)已知复数z＝1+i1−i，以下结论正确的是(　　)
A．z2021是纯虚数
B.z+i＝2
C．z·−z＝－1
D．在复平面内，复数−z＋z·i对应的点位于第三象限
6．(★★)设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是(　　)
A．若z＝1，则z＝±1或z＝±i
B．若点Z的坐标为−3,2，且z是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根，则p＋q＝19
C．若z＝3－2i，则z的虚部为－2i
D．若1≤z−2i≤2，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
7．(★★★)一个复数集X称为某种运算的“和谐集”是指X满足性质：①XC；②a，b∈X对某种规定的运算ab，都有ab∈X.则下列复数集X是相应运算的“和谐集”的是(　　)
A．X＝{x∈C|x＝in，n∈Z}，其中i是虚数单位，规定运算：ab＝a·b(a，b∈X)
B．X＝{x∈C|x·−x＝1}，规定运算：ab＝ab(a，b∈X)
C．X＝{x∈C|x≤1}，规定运算：ab＝a·b(a，b∈X)
D．X＝{x∈C||−x|＋|−y|≤|x－y|，y＝1＋i}，规定运算：ab＝a＋b(a，b∈X)
三、填空题
8．(★)已知z1，z2∈C，若z2＝4，则z1−z216−−z1z2＝________．
9．(★★)设复数z＝1－3i在复平面上对应的向量为OZ→，将OZ→绕原点O逆时针旋转n个5π6角后得到向量OZ1→n∈N∗，向量OZ1→所对应的复数为z1，若z1＜0，则自然数n的最小数值为________．
10．(★★★)为求方程x5－1＝0的虚根，可把原式变形为(x－1)(x2＋ax＋1)(x2＋bx＋1)＝0，由此可得原方程的一个虚根的实部为________．


四、解答题
11．(★)求实数m的值或取值范围，使得复数z＝m2＋m－2＋m2−1i分别满足：
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z在复平面中对应的点位于第二象限．









12．(★★)设z1是虚数，z2＝z1＋1z1是实数，且－1≤z2≤1.
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．
(2)若ω＝1−z11+z1，求证：ω为纯虚数．


















13．(★★★)对一般的实系数一元三次方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0(a≠0)，由于总可以通过代换x＝y－b3a消去其二次项，就可以变为方程x3＋px＋q＝0.在一些数学工具书中，我们可以找到方程x3＋px＋q＝0的求根公式，这一公式被称为卡尔达诺公式，它是以16世纪意大利数学家卡尔达诺(G.Cardano)的名字命名的．
卡尔达诺公式的获得过程如下：三次方程x3＋px＋q＝0可以变形为x3＝－px＋(－q)，把未知数x写成两数之和x＝m＋n，再把等式x3＝(m＋n)3的右边展开，就得到x3＝m3＋n3＋3mn(m＋n)，即x3＝3mnx＋(m3＋n3)．将上式与x3＝－px＋(－q)相对照，得到3mn=−p,m3+n3=−q,把此方程组中的第一个方程两边同时作三次方，m3n3=−p33,m3+n3=−q,并把m3与n3看成未知数，解得m3=−q2+q22+p33,n3=−q2−q22+p33,
于是，方程x3＋px＋q＝0的一个根可以写成：x＝3−q2+q22+p33＋
3−q2−q22+p33.
阅读以上材料，求解方程x3－3x2－12x＋10＝0.




高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
参考答案
【知识梳理】
1．a＋bi　虚数单位　实部　虚部　a＝c　b＝d　共轭复数
a2+b2
2．相等
3．(a±c)＋(b±d)i　(ac－bd)＋(ad＋bc)i　ac+bdc2+d2＋bc−adc2+d2i
【专题训练】
1．A　【解析】∵1+2i·z＝3＋4i，
∴z＝3+4i1+2i＝3+4i·1−2i1+2i·1−2i＝11−2i5＝115－25i，
z的实部是115，故A正确；
z＝1152+252＝555＝5≠5，故D错误；
−z＝115＋25i，−z的虚部是25≠－25，故B错误；
−z＝115＋25i在复平面上对应的点为115,25，所以为第一象限点，故C错误．故选：A.
2．C　【解析】对于A，当x＝π2时，因为eπ2i＝cosπ2＋isinπ2＝i，所以eπ2i＋1＝i＋1≠0，故eix＋1＝0不一定成立，选项A错误；
对于B，12+32i3＝cosπ3+isinπ33＝eπ3i3＝eπi＝cos π＋isin π＝－1，所以B错误；
对于C，由eix＝cos x＋isin x，e－ix＝cos(－x)＋isin(－x)＝cos x－isin x，所以eix＋e－ix＝2cos x，得出cos x＝eix+e−ix2，选项C正确；
对于D，由C选项的分析得eix－e－ix＝2isin x，
得出sin x＝－eix−e−ix2i，选项D错误．故选：C.
3．B　【解析】设x=cosθ,y=sinθ+1(θ∈R)，则x2＋y−12＝1，
即z1，z2所对应的点在以0,1为圆心，1为半径的圆上，
设该圆与y轴交点A0,2，
因为模为1的纯虚数z3对应复平面内的点为Z3，即z3＝±i，
若Z3Z1→＝12Z3Z2→，则Z1为Z2，Z3的中点，所以z3＝i对应的点0,1不合题意，舍去，故z3＝－i，对应的点为(0，－1)，
因此z3＝－i，
由圆的切割线定理可得Z3O·Z3A＝Z3Z1·Z3Z2，
设Z3Z1＝m，Z3Z2＝2m，则1×3＝m·2m，则m＝62，则z1−z2＝62.故选：B.
4．A　【解析】对于A，1rcosθ+isinθ＝cosθ−isinθrcos2θ−i2sin2θ＝1r(cos θ－isin θ)，故A错误；
对于B，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
∴z1z2＝a+bic+di＝a+bic−dic2+d2＝ac+bdc2+d2＋bc−adc2+d2i，
∴z1z2＝ac+bdc2+d22+bc−adc2+d22
＝a2c2+2acbd+b2d2+b2c2−2bcad+a2d2c2+d22
＝a2+b2c2+d2c2+d2＝a2+b2c2+d2＝|z1||z2|，故B正确；
对于C，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝(a＋c)2＋(b＋d)2＋(a－c)2＋(b－d)2＝2(a2＋c2＋b2＋d2)＝2(a2＋b2)＋2(b2＋c2)＝2|z1|2＋2|z2|2，故C正确；
对于D，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)，
由z1z2＝ac+bdc2+d2＋bc−adc2+d2i，
∴(z1z2)＝ac+bdc2+d2－bc−adc2+d2i，
z1z2＝a−bic−di＝a−bic+dic2+d2＝ac+bd−bc−adic2+d2＝ac+bdc2+d2－bc−adc2+d2i＝z1z2，故D正确．故选：A.
5．ABD　【解析】z＝1+i1−i＝1+i1+i1−i1+i＝2i2＝i，
对于A，∵z2021＝i2021＝i4×505＋1＝i，∴z2021为纯虚数，A正确；
对于B，z+i＝2i＝2，B正确；
对于C，z·−z＝i·−i＝－i2＝1，C错误；
对于D，∵−z＋z·i＝－i＋i2＝－1－i，∴−z＋z·i对应的点为−1,−1，位于第三象限，D正确．故选：ABD.
6．BD　【解析】A中，令z＝12＋32i，则z＝1，故A错误；
B中，若点Z的坐标为−3,2，则z＝－3＋2i，
所以(－3＋2i)2＋(－3＋2i)p＋q＝0，
整理得5＋q－3p＋(2p－12)i＝0，
所以5+q−3p=0,2p−12=0,解得p=6,q=13,
所以p＋q＝19，故B正确；
C中，易知z的虚部为－2，故C错误；
D中，记z＝x＋yi，
则z−2i＝x+y−2i＝x2+y−22，
所以1≤x2＋(y－2)2≤2，
圆x2＋(y－2)2＝2的面积为2π，
圆x2＋(y－2)2＝1的面积为π，
所以点Z的集合所构成的图形的面积为2π－π＝π，故D正确．故选：BD.
7．ABCD　【解析】对于A，设a＝in1，b＝in2(n1，n2∈Z)，则ab＝a·b＝in1＋n2，∵n1，n2∈Z，∴n1＋n2∈Z，∴in1＋n2∈X，即ab∈X，故A正确；
对于B，a，b∈X，则a·−a＝1，b·−b＝1，故−a·a−b·b＝1，即ab·ab＝1，∴ab∈X，即ab∈X，故B正确；
对于C，a，b∈X，则|a|≤1，|b|≤1，∴|a·b|＝|a||b|≤1，即a·b∈X，即ab∈X，故C正确；
对于D，由于在复数范围内，−x＝x，−y＝y，
所以由|−x+−y≤x−y|x|＋|y|≤x−y，由复数的模的不等式得到存在实数k≤0，使得x＝kyk≤0，
又y＝1＋i，于是x∈X存在实数k≤0，使得x＝k1+i，
a，b∈X，a＝k1+i，b＝k′1+i(k≤0，k′≤0)，∴ab＝a＋b＝k+k′1+i，∵k≤0，k′≤0，∴k＋k′≤0，即ab∈X，故D正确．故选：ABCD.
8.14　【解析】因为|z2|＝4，所以z2·−z2＝16，
则16－−z1z2＝−z2z2－−z1z2＝z2(−z2－−z1)≠0，故z1≠z2，
所以z1−z216−−z1z2＝z1−z2−z2z2−−z1z2＝z1−z2z2×−z2−−z1＝1z2＝14.
故答案为：14.
9．4　【解析】因为z＝1－3i＝212−32i＝2cos5π3＋2isin5π3，
将OZ→绕原点O逆时针旋转n个5π6角后得到向量OZ1→n∈N∗，向量OZ1→所对应的复数为z1，
则z1＝2cos5π3+5nπ6＋2isin5π3+5nπ6，
因为z1＜0，所以cos5π3+5nπ6=−1,sin5π3+5nπ6=0,
所以5n+2π6＝π＋2kπk∈N，
所以n＝12k−45，当k＝2时，n取得最小值4.
故答案为：4.
10.−1−54或−1+54　【解析】(x－1)(x2＋ax＋1)(x2＋bx＋1)＝(x－1)[x4＋(a＋b)x3＋(2＋ab)x2＋(a＋b)x＋1]＝x5－1＝(x－1)(x4＋x3＋x2＋x＋1)，
对比系数得a+b=1,ab+2=1,
解得a＝1+52，b＝1−52，或a＝1−52，b＝1+52，
所以原方程的虚根为
−1−5±10−25i4，−1+5±10+25i4，
故原方程的一个虚根的实部为−1−54或−1+54.
故答案为：−1−54或−1+54.
11．【解析】(1)由题意得m2－1＝0，所以m＝±1.
(2)由题意得m2+m−2=0,m2−1≠0,所以m＝－2.
(3)由题意得m2+m−2＜0,m2−1＞0,所以－2＜m＜－1.
12．【解析】(1)设z1＝a＋bia,b∈R,b≠0，
则z2＝a＋bi＋1a+bi＝a＋aa2+b2＋b−ba2+b2i，
因为z2∈R，所以b－ba2+b2＝0，又b≠0，所以a2＋b2＝1，
所以z1＝1.
所以z2＝a＋aa2+b2＋b−ba2+b2i＝2a，
又z2≤1，即|2a|≤1，解得－12≤a≤12.
所以z1的实部的取值范围为−12,12.
(2)证明：ω＝1−z11+z1＝1−a−bi1+a+bi＝1−a2−b2−2bi1+a2+b2＝－b1+ai，
因为b≠0，所以－b1+a≠0，
所以ω为纯虚数．
13．【解析】令x＝y＋1，方程x3－3x2－12x＋10＝0化为：y3＝15y＋4，
令y＝m＋n，
则有3mny＋m3＋n3＝15y＋4，
于是得m3+n3=4,mn=5,即m3+n3=4,m3n3=125,
m3，n3是关于z的方程z2－4z＋125＝0的两个根，
解z2－4z＋125＝0得z＝2±11i，
即m3=2+11i,n3=2−11i或m3=2−11i,n3=2+11i,
而2＋11i＝(2＋i)3，2－11i＝(2－i)3，
因此m=2+i,n=2−i或m=2−i,n=2+i,
于是得y＝4，方程y3＝15y＋4化为(y－4)(y2＋4y＋1)＝0，解得y＝4或y＝－2±3，
因此x＝5或x＝－1±3，
所以方程x3－3x2－12x＋10＝0的解为x＝5或x＝－1－3或x＝－1＋3.