长郡中学高一数学暑假自主学习作业本（十四）

这是一份长郡中学高一数学暑假自主学习作业本（十四），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
数学作业十四　平面向量单元综合
一、单选题
1．(★)已知向量a＝(2，1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b＝(　　)
A．(－2，－1) B．(2，1)
C．(3，－1) D．(－3，1)
2．(★★)若平面向量a与b的夹角为60°，a＝2,0，b＝1，则a+2b＝(　　)
A.3 B．23 C．4 D．12
3．(★★)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC→＝a，BA→＝b，BE→＝3EF→，则BF→＝(　　)

A.54a＋35b B.35a＋45b
C.1225a＋925b D.1625a＋1225b
4．(★★★)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，∠BCD＝60°，∠ADC＝150°，BE→＝3EC→，CD＝233，BE＝3，若点F为边AD上的动点，则EF→·BF→的最小值为(　　)

A．1 B.1516 C.3132 D．2
二、多选题
5．(★)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.下列四个结论正确的是(　　)
A．若a＝2，A＝30°，则△ABC的外接圆半径是4
B．若acosA＝bsinB，则A＝45°
C．若a2＋b2＜c2，则△ABC一定是钝角三角形
D．若A＜B，则cos A＜cos B
6．(★★)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB＝4，AC＝2，则下列各式正确的有(　　)
A.AG→·BC→＝4
B.AO→·BC→＝－6
C.OH→＝OA→＋OB→＋OC→
D.AB→＋AC→＝4OM→＋2HM→
7．(★★)已知△ABC中，AB＝1，AC＝4，BC＝13，D在BC上，AD为∠BAC的角平分线，E为AC中点，下列结论正确的是(　　)
A．BE＝3
B．△ABC的面积为3
C．AD＝425
D．若点P在△ABE的外接圆上，则PB＋2PE的最大值为27
三、填空题
8．(★)如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝60°，在塔底C处测得点A的俯角β＝45°，已知铁塔BC部分高32米，则山高CD＝________米．

9．(★★)在四边形ABCD中，AB→＝DC→＝1,1，且BA→BA→＋BC→BC→＝3BD→BD→，则四边形ABCD的面积为________．
10．(★★★)已知平面向量a，b，c满足a＝b＝c＝a+b+c＝1，xa＋yb＋zc＝0(x，y，z≥0且x＋y＋z＝1)，则x2＋y2＋z2的取值范围是________．
四、解答题
11．(★)已知a＝2sinx,cos2x，b＝(3cos x，2)，且函数f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)求函数f(x)在区间0,π2上的最大值和最小值．





12．(★★)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且向量n＝2a−c,cosC与m＝b,cosB共线．
(1)求B；
(2)若BD→＝2DC→，且CD＝1，AD＝7，求△ABC的面积．































13 (★★)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.且2sinA−sinCsinC＝a2+b2−c2a2+c2−b2.
(1)求角B的大小；
(2)求sin A＋sin C的取值范围；
(3)若C＝π2，BC＝2，O为BC中点，P为线段AO上一点，且满足BP→·CP→＝0.求AP的值，并求此时△BPC的面积S.




高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
参考答案
1．A　【解析】因为a∥b，所以2×(－2)＝x，解得x＝－4.
所以a＋b＝(2，1)＋−4,−2＝(－2，－1)．故选：A.
2．B　【解析】因为a＝(2，0)，所以|a|＝2，
又因为向量a与b的夹角为60°，|b|＝1，
所以a·b＝abcos 60°＝2×1×12＝1，所以a+2b＝a2+4a·b+4b2＝4+4+4＝23.
故选：B.
3．D　【解析】由题意BF→＝BC→＋CF→＝BC→＋34EA→
＝BC→＋34EB→+BA→＝BC→＋34−34BF→+BA→，
所以2516BF→＝BC→＋34BA→，BF→＝1625BC→＋1225BA→，
即BF→＝1625a＋1225b.故选：D.
4．B　【解析】以B为原点建立如图所示平面直角坐标系．

依题意CE＝13BE＝33，BC＝BE＋CE＝433，∠BCD＝60°，
在△BCD中，由余弦定理得
BD＝4332+2332−2×433×233×cos60°＝2，
所以BD2＋CD2＝BC2，所以∠BDC＝90°.
而BC＝2CD，所以∠DBC＝30°，所以∠ABD＝60°.
在△CDE中，由余弦定理得
DE＝332+2332−2×33×233×cos60°＝1，
所以CE2＋DE2＝CD2，所以∠DEC＝90°，所以∠EDC＝30°.
在△ABD中，∠ABD＝∠ADB＝60°，
所以△ABD是等边三角形，所以AB＝BD＝2，
所以A0,2，D3,1，E3,0，设Fx,y，
依题意，令AF→＝λAD→0≤λ≤1，
即(x，y－2)＝λ3,−1＝3λ,−λ，
所以x=3λ,y−2=−λx=3λ,y=2−λ,所以F3λ,2−λ，
所以EF→·BF→＝3λ−3,2−λ·3λ,2−λ
＝4λ2－7λ＋4.
对于二次函数fλ＝4λ2－7λ＋40≤λ≤1，其对称轴为λ＝78，开口向上，所以当λ＝78时，fλ有最小值，
也即EF→·BF→有最小值为4×782－7×78＋4＝1516.
故选：B.
5．BC　【解析】由正弦定理知asinA＝4＝2R，所以外接圆半径是2，故A错误；
由正弦定理及acosA＝bsinB可得，sinAcosA＝sinBsinB＝1，即tan A＝1，由0＜A＜π，知A＝45°，故B正确；
因为cos C＝a2+b2−c22ab＜0，所以C为钝角，△ABC一定是钝角三角形，故C正确；
若A＝π6，B＝π4，显然cos A＞cos B，故D错误．故选：BC.
6．BCD　【解析】由G是三角形ABC的重心可得AG→＝23AM→＝23(12AB→＋12AC→)＝13AB→＋13AC→，所以AG→·BC→＝13(AB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝13(AC→|2−AB→|2)＝－4，故A项错误；过三角形ABC的外心O分别作AB，AC的垂线，垂足为D，E，如图①，易知D，E分别是AB，AC的中点，

则AO→·BC→＝AO→·(AC→－AB→)＝AO→·AC→－AO→·AB→
＝AO→AC→cos∠OAE−AO→AB→cos ∠OAD
＝AE→AC→−AD→AB→
＝12|AC→|2－12|AB→|2＝－6，故B项正确；
因为G是三角形ABC的重心，所以有GA→＋GB→＋GC→＝0，
故OA→＋OB→＋OC→＝(OG→＋GA→)＋(OG→＋GB→)＋(OG→＋GC→)
＝3OG→＋GA→＋GB→＋GC→＝3OG→，
由欧拉线定理可得OH→＝3OG→，故C项正确；
如图②，由OH→＝3OG→可得MG→＝23MO→＋13MH→，
即GM→＝23OM→＋13HM→，
则有AB→＋AC→＝2AM→＝6GM→＝6(23OM→＋13HM→)＝4OM→＋2HM→，D项正确．故选：BCD.
7．ABD　【解析】在△ABC中，由余弦定理得，
cos ∠BAC＝AB2+AC2−BC22AB·AC＝1+16−132×1×4＝12，
∴∠BAC＝60°，故S△ABC＝12×AB×AC×sin 60°＝12×1×4×32＝3，故B正确；
在△ABE中，由余弦定理得，BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE·cos ∠BAC＝1＋4－2×1×2×12＝3，∴BE＝3，故A正确；
由余弦定理可知cos C＝13+16−12×4×13＝7213，
∴sin C＝3213，
∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝30°，
∴sin∠ADC＝sin∠ADB＝sin(C＋30°)＝3213×32＋7213×12＝5213，
在△ACD中，由正弦定理可得ADsinC＝ACsin∠ADC，
故AD＝ACsinCsin∠ADC＝4×32135213＝435，故C不正确；
∵AB＝1，AE＝2，BE＝3，∴AB⊥BE，
∴AE为△ABE的外接圆的直径，
故△ABE的外接圆的半径为1，

显然当PB＋2PE取得最大值时，P在优弧BAE上，
故∠BPE＝∠BAE＝60°，
设∠PBE＝α，则∠PEB＝120°－α，0°＜α＜120°，
∴PBsin120°−α＝PEsinα＝2，
∴PB＝2sin(120°－α)＝3cos α＋sin α，PE＝2sin α，
∴PB＋2PE＝3cos α＋5sin α＝27sin(α＋θ)，其中sin θ＝327，cos θ＝527，
∴当α＋θ＝π2时，PB＋2PE取得最大值27，故D正确．
故选：ABD.
8．16(3＋1)　【解析】由α＝60°，β＝45°得，
∠BAD＝60°，∠CAD＝45°，
设AD＝x，则CD＝AD·tan ∠CAD＝AD·tan 45°＝x，
BD＝AD·tan ∠BAD＝AD·tan 60°＝3x，
∴BC＝BD－CD＝3x－x＝32，
∴x＝323−1＝16(3＋1)．
9.3　【解析】因为AB→＝DC→，所以四边形ABCD为平行四边形，又因为1BA→BA→＋1BC→BC→＝3BD→BD→，所以平行四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，因此SABCD＝2×2×sin 60°＝3.
10.38,12　【解析】如图，单位圆中OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OP→＝a＋b，OT→＝a＋b＋c，

根据向量加法的平行四边形法则，BP∥OA且BP＝OA，TP∥CO且TP＝CO.
∵a＝b＝c＝a+b+c＝1，
∴OT→＝OB→＝1，BP→＝OA→＝1，TP→＝OC→＝1，
∴△OPB≌△OPT，即B，T重合，
OA∥BP∥OC，且OC→＝BP→＝OA→，∴a＝－c.
又∵xa＋yb＋zc＝0，∴x−za＋yb＝0，
当a，b不共线时，有x－z＝0，y＝0，
又x，y，z≥0，x＋y＋z＝1，
得x＝z＝12，x2＋y2＋z2＝12；
当a，b共线时，∵a＝b＝1，∴z－x＝±y，
若z－x＝y，x＋y＋z＝1，得z＝12，x＋y＝12，
x2＋y2＋z2＝x2＋12−x2＋14＝2x2－x＋12，x∈0,12，
x2＋y2＋z2∈38,12；
若z－x＝－y，x＝z＋y，x＋y＋z＝1，x＝12，z＋y＝12，
x2＋y2＋z2＝z2＋12−z2＋14＝2z2－z＋12，z∈0,12，
x2＋y2＋z2∈38,12.
综上，x2＋y2＋z2的取值范围是38,12.
故答案为：38,12.
11．【解析】(1)a＝(2sin x，cos 2x)，b＝(3cos x，2)，
由f(x)＝a·b＝23sin xcos x＋2cos 2x
＝3sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin(2x＋π6)＋1，
f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，
由2kπ＋π2≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，
得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z，
故f(x)的单调递减区间为π6+kπ,2π3+kπ，k∈Z.
(2)由x∈0,π2可得2x＋π6∈π6,7π6，
当2x＋π6＝7π6时，函数f(x)取得最小值为2sin7π6＋1＝0，
当2x＋π6＝π2时，函数f(x)取得最大值为2sinπ2＋1＝3，
故得函数f(x)在区间0,π2上的最大值为3，最小值为0.
12．【解析】(1)在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∵向量n与向量m共线，则2a−c·cos B＝b·cos C，
由正弦定理可得2sinA−sinC·cos B＝sin B·cos C，
∴2sin A·cos B＝sinB+C＝sin A，
∵A，B∈0,π，则sin A＞0，∴cos B＝12，因此B＝π3.
(2)∵BD→＝2DC→，且CD＝1，AD＝7，
∴BD＝2，BC＝3，
在△ABD中，由余弦定理有AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B，
即7＝AB2＋4－2AB×2cosπ3，即AB2－2AB－3＝0，
∵AB＞0，解得AB＝3，
∴S△ABC＝12AB·BC·sin B＝12×3×3×32＝934.
13．【解析】(1)由正弦定理及2sinA−sinCsinC＝a2+b2−c2a2+c2−b2，
得2a−cc＝a2+b2−c2a2+c2−b2，
即2ac－1＝2a2−a2+b2−c2a2+c2−b2＝2a2a2+c2−b2－1，
化简得a2＋c2－b2＝ac，故cos B＝a2+c2−b22ac＝12.
又B∈0,π，故B＝π3.
(2)由(1)知，A＋C＝2π3，
故sin A＋sin C＝sin A＋sin2π3−A
＝sin A＋32cos A＋12sin A
＝32sin A＋32cos A＝3sinA+π6.
又0＜A＜2π3，则π6＜A＋π6＜5π6，
则3sinA+π6∈32,3，
故sin A＋sin C∈32,3.
(3)

∵BP→·CP→＝0，∴PB⊥PC，
∵BC＝2，O为BC中点，∴PO＝1，
∵BC＝2，∴AC＝23，AB＝4，
∴AO＝232+12＝13，AP＝13－1.
设∠OCP＝α，则∠COP＝π－2α，
∴sin α＝PBBC＝12PB，cos α＝PCBC＝12PC，
∴S＝12PB×PC＝2sin αcos α＝sin 2α，
在Rt△ACO中，sin ∠COA＝sinπ−2α＝sin 2α＝ACAO＝2313＝23913，
∴当AP＝13－1时，△BPC的面积S为23913.