长郡中学高一数学暑假自主学习作业本（十三）

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高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
数学作业十三　解三角形
【知识梳理】
一、基础知识
1．正弦定理(其中R为△ABC外接圆半径)
①a＝2Rsin A，b＝____________，c＝____________；
②sin A＝__________，sin B＝__________，sin C＝______________；
③a∶b∶c＝____________________；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A.
2．余弦定理
①a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝__________________，c2＝________________；
②cos A＝b2+c2−a22bc，cos B＝____________________，cos C＝________________．
3．三角形的面积
S△ABC＝______________＝______________＝____________＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径)．
二、基本方法
1．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．
2．由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A＞Ba＞bsin A＞sin B.
3．已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能)．而解的情况确定的一般方法是“大边对大角，且三角形钝角至多一个”．
4．利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角；
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；
(3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角；
(4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定．
【专题训练】
一、单选题
1．(★)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，c＝3，B＝π3，则AC边上的高为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.2114 B.217
C.32114 D.3217
2．(★★)如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为6米，则树的高度为(　　)

A．33＋3米 B.33+62米
C.63+32米 D.33+32米
3. (★★)在△ABC中，cos C＝23，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　　)
A.19 B.13
C.12 D.23
4．(★★)已知△ABC的三条边的边长分别为4米、5米、6米，将三边都截掉x米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则x的取值范围是(　　)
A．0＜x＜5 B．1＜x＜5
C．1＜x＜3 D．1＜x＜4
二、多选题
5．(★)对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是(　　)
A．若cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形
B．若A＞B，则sin A＞sin B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形
6．(★★)已知△ABC中的两个内角的正切值为方程x2－5x＋6＝0的两个根，最长边的长为3，则△ABC的(　　)
A．最小角为π4
B．最短边的中线长为29
C．最长边上的高为2
D．外接圆的半径为10
7．(★★★)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝6，4sin B＝5sin C，以下四个命题正确的是(　　)
A．△ABC的面积的最大值为40
B．满足条件的△ABC不可能是直角三角形
C．当A＝2C时，△ABC的周长为15
D．当A＝2C时，若O为△ABC的内心，则△AOB的面积为7

三、填空题
8. (★)记△ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________．
9．(★★)如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.

10．(★★)已知△ABC 中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当ACAB取得最小值时，BD＝________．
四、解答题
11．(★★)记△ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3 ，已知S1－S2＋S3＝32，sin B＝13.
(1)求△ABC的面积；
(2)若sin Asin C＝23，求b.


















12. (★★)在△ABC 中，已知sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC 周长的最大值．

13. (★★)如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD空地上修建两条道路EA和ED，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草．其中点E在边BC的三等分点处(靠近B点)，BC＝3百米，BC⊥CD，∠ABC＝120°，EA＝21 百米，∠AED＝60°.

(1)求△ABE区域的面积；

(2)为便于花草种植，现拟过C点铺设一条水管CH至道路ED上，求水管CH最短的长度．



高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
参考答案
【知识梳理】
1．①2Rsin B　2Rsin C
②a2R　b2R　c2R
③sin A∶sin B∶sin C
2．①a2＋c2－2accos B　a2＋b2－2abcos C
②a2+c2−b22ac　a2+b2−c22ab
3.12absin C　12acsin B　12bcsin A
【专题训练】
1．D　【解析】在△ABC 中，a＝2，c＝3，B＝π3，由余弦定理得，
AC2＝a2＋c2－2accos B＝4＋9－2×2×3×12＝7，
解得AC＝7，
设AC 边的高为h，
则S△ABC＝12acsin B＝12h·AC，
即 12·2·3·sinπ3＝12h·7，解得h＝3217.故选：D.
2．A　【解析】过点P 作PC⊥AB，垂足为C，

由已知可得，在△ABP 中，∠PAB＝30°，∠APB＝45°－30°＝15°，AB＝6，
由正弦定理可得ABsin∠APB＝BPsin∠PAB，
所以6sin15°＝BPsin30°，所以BP＝3sin15°，
又sin 15°＝sin(45°－30°)＝6−24，
所以BP＝126−2＝3(6＋2)，
由已知△PBC 为直角三角形，又∠PBC＝45°，
所以PC＝PBsin 45°＝3(6＋2)×22＝33＋3.故选：A.
3．A　【解析】 在△ABC 中，cos C＝23，AC＝4，BC＝3，
根据余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C
＝42＋32－2×4×3×23，
可得AB2＝9，即AB＝3，
则 cos B＝AB2+BC2−AC22AB·BC＝9+9−162×3×3＝19.故选：A.
4．C　【解析】三边剩余的部分长分别为4－x，5－x，6－x(0＜x＜4)，其为钝角三角形，则(6－x)2＞(5－x)2＋(4－x)2，解得1＜x＜5，由两边之和大于第三边得(4－x)＋(5－x)＞6－x，解得x＜3，综上得，1＜x＜3.故选：C.
5．ABD　【解析】对于A，若cos A＝cos B，则A＝B，
∴△ABC为等腰三角形，故正确；
对于B，若A＞B，则a＞b，由正弦定理asinA＝bsinB＝2R，
得2Rsin A＞2Rsin B，即sin A＞sin B成立．故正确；
对于C，由余弦定理可得b＝82+102−2×8×10×12＝84，只有一解，故错误；
对于D，若sin2A＋sin2B＜sin2C，
则根据正弦定理得a2＋b2＜c2，cos C＝a2+b2−c22ab＜0，
∴C为钝角，∴△ABC是钝角三角形，故正确．
故选：ABD.
6．AC　【解析】方程x2－5x＋6＝0 的解为x1＝2，x2＝3，
设tan A＝2，tan B＝3，
则tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－2+31−2×3＝1，则A，B，C∈(0，π2)，且B＞A＞C，
故C为最小角π4，故A正确；
b 为最大边，c 为最短边，所以b＝3，
sin A＝255，sin B＝31010，sin C＝22，cos C＝22，
因为asinA＝bsinB＝csinC，
所以a＝bsinAsinB＝22，c＝bsinCsinB＝5，
设最短边c 的中点为D，
则CD→＝12CA→+CB→，
故CD→＝14CA―→+CB―→2＝12CA―→2+CB―→2+2CA―→·CB―→＝129+8+2×3×22×22＝292，
即最短边的中线长为292，故B错误；
设最长边上的高为h，则S△ABC＝12bh＝12absin C，
即32h＝12×22×3×22，解得h＝2，即最长边上的高为2，故C正确；
外接圆的直径为asinA＝22255＝10，故D错误．
故选：AC.
7．ACD　【解析】以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，可得B(－3，0)，C(3，0)，
由4sin B＝5sin C，可得4b＝5c，
设A(m，n)，可得4m−32+n2＝5m+32+n2，
平方可得16(m2＋n2－6m＋9)＝25(m2＋n2＋6m＋9)，
即有m2＋n2＋823m＋9＝0，
化为m+4132＋n2＝4032，
则A的轨迹为以−413,0为圆心，半径为403的圆(除去与x轴的交点)，
可得△ABC的面积的最大值为12×6×403＝40，故A对；
a＝6，4sin B＝5sin C，即4b＝5c，设b＝5t，c＝4t，
若B为直角，由36＋16t2＝25t2，可得t＝2，
满足条件的△ABC可能是直角三角形，故B错误；
a＝6，4sin B＝5sin C，A＝2C，可得B＝π－3C，
由正弦定理可得4b＝5c，可得b＝5c4，
由bsinB＝csinC，
可得5c4sinπ−3C＝csinC＝5c4sinC4cos2C−1，
由sin C≠0，可得4cos2C－1＝54，
解得cos C＝34或－34(舍去)，
sin C＝1−cos2C＝74，
可得sin A＝2sin Ccos C＝2×34×74＝378，
由6378＝c74，可得c＝4，b＝5，
则a＋b＋c＝15，故C对；
当A＝2C时，c＝4，b＝5，a＝6，sin A＝378，
S△ABC＝12bcsin A＝12×5×4×378＝1574.
设△ABC的内切圆半径为R，
则R＝2Sa+b+c＝2×15744+5+6＝72，
S△ABO＝12cR＝12×4×72＝7.故D对．故选：ACD.
8．22　【解析】由题意，S△ABC＝12acsin B＝34ac＝3，
所以ac＝4，a2＋c2＝12，
所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×12＝8，
解得b＝22 (负值舍去)．
故答案为：22.
9．150　【解析】在Rt△ABC中，AC＝1002，
在△MAC中，MAsin60°＝ACsin45°，解得MA＝1003，
在Rt△MNA中，MN1003＝sin 60°＝32，
故MN＝150，即山高MN为150 m.
10.3－1　【解析】设CD＝2BD＝2m＞0，
则在△ABD 中，AB2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos ∠ADB＝m2＋4＋2m，
在△ACD 中，AC2＝CD2＋AD2－2CD·ADcos ∠ADC＝4m2＋4－4m，
所以AC2AB2＝4m2+4−4mm2+4+2m＝4m2+4+2m−121+mm2+4+2m
＝4－12m+1+3m+1
≥4－122m+1·3m+1＝4－23，
当且仅当m＋1＝3m+1，即m＝3－1 时，等号成立，
所以当ACAB 取得最小值时，BD＝m＝3－1.

故答案为：3－1.
11．【解析】(1)由题意得S1＝12·a2·32＝34a2，S2＝34b2，S3＝34c2，则S1－S2＋S3＝34a2－34b2＋34c2＝32，
即a2＋c2－b2＝2，由余弦定理得cos B＝a2+c2−b22ac，
整理得accos B＝1，则cos B＞0，又sin B＝13，
则cos B＝1−132＝223，ac＝1cosB＝324，
则S△ABC＝12acsin B＝28.
(2)由正弦定理得，bsinB＝asinA＝csinC，
则b2sin2B＝asinA·csinC＝acsinAsinC＝32423＝94，
则bsinB＝32，b＝32sin B＝12.
12．【解析】(1)由正弦定理可得，BC2－AC2－AB2＝AC·AB，
∴cos A＝AC2+AB2−BC22AC·AB＝－12，
∵A∈(0，π)，∴A＝2π3.
(2)由余弦定理得，BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A＝AC2＋AB2＋AC·AB＝9，
即(AC＋AB)2－AC·AB＝9.
∵AC·AB≤AC+AB22 (当且仅当AC＝AB 时取等号)，
∴9＝(AC＋AB)2－AC·AB≥(AC＋AB)2－AC+AB22＝34(AC＋AB)2，
解得AC＋AB≤23 (当且仅当AC＝AB 时取等号)，
∴△ABC 周长L＝AC＋AB＋BC≤3＋23，
∴△ABC 周长的最大值为3＋23.
13．【解析】(1)由题意可知，BE＝1，∠ABC＝120°，EA＝21，
在△ABE 中，由余弦定理得，
AE2＝AB2＋BE2－2AB·BE·cos ∠ABE，
即21＝AB2＋1＋AB，解得AB＝4百米，
所以S△ABE＝12×AB×BE×sin ∠ABE＝12×4×1×32＝3平方百米，
所以△ABE 区域的面积为3 平方百米．
(2)设∠AEB＝α，在△ABE 中，由正弦定理得，
ABsinα＝AEsin∠ABE，即4sinα＝2132，解得sin α＝277.
所以cos α＝1−sin2α＝217 .
当CH⊥DE 时，水管CH长最短，
在Rt△ECH 中，
CH＝CEsin ∠HEC＝2sin2π3−α
＝2sin2π3cos α－2cos2π3sin α ＝577 百米，
所以水管CH 最短的长度为577 百米．