长郡中学高一数学暑假自主学习作业本（九）

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高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
数学作业九　三角恒等变换
【知识梳理】
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)＝__________________________；
cos(αβ)＝__________________________；
tan(α±β)＝tanα±tanβ1tanαtanβ.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝________________；
cos 2α＝______________＝______________＝______________；
tan 2α＝2tanα1−tan2α.
3．公式的常用变形
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1tan αtan β)；
(2)cos2α＝1+cos2α2，sin2α＝1−cos2α2；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝2sinα±π4.
4．三角变换的一般方法
(1)角的变换，一般包括角的分解和角的组合，如α＝(α＋β)－β，π4＋x＝π2－π4−x，α＝2·α2等；
(2)函数名称的变换，一般包括将三角函数统一成弦，以减少函数种类，对齐次式也可化成切；
(3)注意结构的变换，如升幂与降幂，辅助角公式等；
(4)角变换中以角的变换为中心；解题时，一看角，二看名称，三看结构．
5．三角变换的常见题型
(1)化简：灵活选用和、差、倍、辅助角公式进行三角恒等变换是化简三角函数式的难点，解题时应注意降次，减少角的种类及三角函数的种类，注意角的范围及三角函数的正负；
(2)求值：给值求值时，注意要求角与已知角及特殊角的关系；
(3)证明：证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一．
【专题训练】
一、单选题
1．(★)设向量a＝(cos 23°，cos 67°)，b＝(cos 53°，cos 37°)，则a·b＝(　　)
A.32 B.12 C．－32 D．－12
2．(★)已知θ∈0,π4，且cos 2θ＝53，则tan θ的值为(　　)
A.3−52 B.3−54C.55 D.55或5
3．(★★)已知0＜β＜α＜π2，且cosα−β＝1213，cos 2β＝35，则sinα+β＝(　　)
A.6365 B.3365 C.4865 D.1665
4．(★★)已知α，β∈(0，π)，sin(α－β)＝56，tanαtanβ＝－14，则α＋β＝(　　)
A.5π6 B.7π6
C.11π6 D.7π6或11π6
二、多选题
5．(★)下列各式中值为1的是(　　)
A.tan12°+tan33°1−tan12°tan33°
B．sinπ12cosπ12
C．sin 72°cos 18°－cos 72°sin 18°
D.2cos2π8−sin2π8
6．(★★)下列计算正确的是(　　)
A.tan22.5°1−tan222.5°＝12
B．sin275°＋cos2105°＋sin 75°cos 105°＝34
C．1－2sin275°＝32
D.tan20°+tan40°−tan60°tan20°tan40°＝－3
7．(★★★)已知α，β均为锐角，若sinα+β+5π4＝－225，cosβ+π6＝22，则(　　)
A．β＝π12
B．sinα+π3＝225
C．cosα+π3＝175
D．sin 2α+β＝－925
三、填空题
8．(★★)已知3cos2α+β＋4cos β＝0，则tanα+βtan α＝________．
9．(★★)已知向量a＝(tan(θ＋π12)，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则tan(2θ＋5π12)＝________．
10．(★★★)求值：sin 160°3+3tan50°＝________．
四、解答题
11．(★)已知0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos α＝210，sin β＝－55.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)求α－2β的大小．


12.(★★)已知α，β∈0,π2，且满足sinβsinα＝cosα+β.
(1)证明：tan β＝sinαcosα1+sin2α；
(2)求tan β的最大值．










13．(★★)已知向量m＝(2，cos α)，n＝(2sin α，－6)，且m⊥n.
(1)求2sin2α＋3sin αcos α的值；
(2)若sinα−β＝55，α，β∈0,π，求角β.

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参考答案
【知识梳理】
1．sin αcos β±cos αsin β　cos αcos β±sin αsin β
2．2sin αcos α　cos2α－sin2α　2cos2α－1　1－2sin2α
【专题训练】
1．A　【解析】a·b＝cos 23°cos 53°＋cos 67°cos 37°
＝cos 23°cos 53°＋sin 23°sin 53°
＝cos23°−53°＝cos 30°＝32.故选：A.
2．A　【解析】由cos 2θ＝cos2θ−sin2θcos2θ+sin2θ＝1−tan2θ1+tan2θ＝53，
所以3－3tan2θ＝5＋5tan2θ，则tan2θ＝3−53+5＝3−524，
由θ∈0,π4，则tan θ＝3−52.故选：A.
3．A　【解析】因为0＜β＜α＜π2，所以0＜α－β＜π2，
又cosα−β＝1213，所以sinα−β＝1−cos2α−β＝1−12132＝513，
因为0＜β＜π2，所以0＜2β＜π，
因为cos 2β＝35，所以sin 2β＝1−cos22β＝1−352＝45，
所以sinα+β＝sin[(α－β)＋2β]＝sinα−βcos 2β＋cosα−βsin 2β＝513×35＋1213×45＝6365.故选：A.
4．B　【解析】因为α，β∈(0，π)，tanαtanβ＝－14＜0，
所以0＜α＜π2，π2＜β＜π或0＜β＜π2，π2＜α＜π，
若0＜α＜π2，π2＜β＜π，则－π＜α－β＜0，此时sin(α－β)＜0(舍)；
若0＜β＜π2，π2＜α＜π，则0＜α－β＜π，此时sin(α－β)＞0(符合题意)，
所以0＜β＜π2，π2＜α＜π，即α＋β∈(π2，3π2)；
因为sin(α－β)＝56且tanαtanβ＝－14，
所以sin αcos β－cos αsin β＝56且sinαcosβcosαsinβ＝－14，
解得sin αcos β＝16，cos αsin β＝－23，
则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－12，
又α＋β∈(π2，3π2)，所以α＋β＝7π6.故选：B.
5．AD　【解析】A.tan12°+tan33°1−tan12°tan33°＝tan 45°＝1，故A正确；
B．sinπ12cosπ12＝12sinπ6＝14，故B错误；
C．sin 72°cos 18°－cos 72°sin 18°＝sin72°−18°＝sin 54°≠1，故C错误；
D.2cos2π8−sin2π8＝2cosπ4＝1，故D正确．故选：AD.
6．ABD　【解析】tan22.5°1−tan222.5°＝12×2tan22.5°1−tan222.5°＝12tan 45°＝12，A正确；
sin275°＋cos2105°＋sin 75°cos 105°＝sin275°＋cos275°－sin 75°cos 75°＝1－12sin 150°＝1－12sin 30°＝34，B正确；
1－2sin275°＝cos 150°＝－cos 30°＝－32，C错误；
因为tan 60°＝tan20°+tan40°1−tan20°tan40°＝3，
故tan 20°＋tan 40°＝3(1－tan 20°tan 40°)，
所以tan20°+tan40°−tan60°tan20°tan40°＝31−tan20°tan40°−3tan20°tan40°＝－3，D正确．故选：ABD.
7．ABD　【解析】因为0＜β＜π2，所以π6＜β＋π6＜2π3，
又cosβ+π6＝22，所以β＋π6＝π4，故β＝π12，A正确；
因为sinα+β+5π4＝－225，
所以sinα+π12+5π4＝－225，
即sinα+π3+π＝－225，
所以－sinα+π3＝－225，
所以sinα+π3＝225，B正确；
因为0＜α＜π2，所以π3＜α＋π3＜5π6，
因为sinα+π3＝225＜32，所以2π3＜α＋π3＜5π6，
所以cosα+π3＝－1−sin2α+π3＝－175，C错误；
sin 2α+β＝sin2α+π6＝－cos2α+π6+π2
＝－cos 2α+π3＝2sin2α+π3－1＝－925，D正确．
故选：ABD.
8．－7　【解析】cos2α+β＝cos[(α＋β)＋α]＝cos(α＋β)cos α－sin(α＋β)sin α，
cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以3cos2α+β＋4cos β＝7cosα+βcos α＋sin(α＋β)·sin α＝0，
故7cosα+βcos α＝－sinα+βsin α，
则tanα+βtan α＝－7.故答案为：－7.
9．－17　【解析】因为向量a＝(tan(θ＋π12)，1)，b＝1,−2，且a⊥b，则tanθ+π12－2＝0，即tan(θ＋π12)＝2，
于是tan(2θ＋π6)＝tan 2(θ＋π12)＝2tanθ+π121−tan2θ+π12
＝2×21−22＝－43，
所以tan(2θ＋5π12)＝tan[(2θ＋π6)＋π4]
＝tan2θ+π6+tanπ41−tan2θ+π6tanπ4＝−43+11−−43×1＝－17.
故答案为：－17.
10.3　【解析】sin 160°3+3tan50°
＝3sin 20°3+tan50°＝3sin 20°3+sin50°cos50°
＝3sin 20°·3cos50°+sin50°cos50°
＝3sin 20°·2cos50°−30°cos50°＝23sin20°cos20°sin40°
＝3sin40°sin40°＝3.故答案为：3.
11．【解析】(1)∵0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos α＝210，sin β＝－55，∴sin α＝1−cos2α＝7210，cos β＝1−sin2β＝255，
∴cosα−β＝cos αcos β＋sin αsin β＝210×255＋7210×−55＝－1010.
(2)由(1)得tan α＝sinαcosα＝7，tan β＝sinβcosβ＝－12，
tan 2β＝2tanβ1−tan2β＝2×−121−−122＝－43，
∴tanα−2β＝tanα−tan2β1+tanαtan2β＝7−−431+7×−43＝－1，
由0＜α＜π2，－π2＜β＜0，得0＜α－2β＜3π2，
∴α－2β＝3π4.
12．【解析】(1)∵sinβsinα＝cosα+β＝cos αcos β－sin αsin β，
(1＋sin2α)sin β＝sin αcos αcos β，∴tan β＝sinαcosα1+sin2α.
(2)由α∈(0，π2)，则tan α＞0，cos α＞0，
由(1)得tan β＝sinαcosα1+sin2α＝sinαcosα2sin2α+cos2α＝tanα2tan2α+1
＝12tanα+1tanα≤122tanα·1tanα＝122＝24，
当且仅当2tan α＝1tanα，即tan α＝22时取等号，
所以tan β的最大值是24.
13．【解析】(1)∵m⊥n，则m·n＝2sin α－6cos α＝0，
整理得tan α＝3，
∴2sin2α＋3sin αcos α＝2sin2α+3sinαcosαsin2α+cos2α
＝2tan2α+3tanαtan2α+1＝2×9+3×39+1＝92+3310.
(2)由(1)可知tan α＝3＞0，则α∈0,π2，
∵β∈0,π，则α－β∈−π,π2，
由sinα−β＝55＞0，可得α－β∈0,π2，
则cosα−β＝1−sin2α−β＝255，
可得tanα−β＝sinα−βcosα−β＝12，
则tan β＝tanα−α−β＝tanα−tanα−β1+tanα·tanα−β
＝3−121+3×12＝1，
又β∈0,π，故β＝π4.