长郡中学高一数学暑假自主学习作业本（八）

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高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
数学作业八　三角函数概念、诱导公式、同角三角函数关系式
【知识梳理】
1．与角a终边相同的角构成的集合可表示为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2．弧度制
(1)1弧度的角：圆中弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
(2)角的弧度制定义：α＝lr (弧度)(rad)．
(3)弧度制与角度制的互化
360°＝2π(弧度)；180°＝π(弧度)；
1°＝π180 (弧度)≈ 0.01745(弧度)，
同时：2π(弧度)＝360°； π(弧度)＝180°；1 (弧度)＝(180π)°≈57.3°＝57°18′.
常见的角的弧度数与角度数的互化：

度
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
180°
270°
360°
弧度
0
π12
π6
π4
π3
5π12
π2
π
3π2
2π
3.三角函数值的定义
(1)定义三角函数值需要借助坐标系这个媒介，但又不能否定原来锐角三角函数值，应该又是一次“扩充”．“扩充”时，我们还是从锐角开始：

设角α终边上任意一点P(x，y)，r＝|OP|，
则定义：sin α＝yr(正弦)；cos α＝xr (余弦)；tan α＝yx(x≠0)(正切)．
(2)各个象限内的角的三角函数值的正负：

4．同角三角函数值的基本关系
对于同一个角的正弦值、余弦值、正切值之间具有关系：sin2α＋cos2α＝1，tan α＝sinαcosα.
5．诱导公式
与α终边相同的角：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，tan(2kπ＋α)＝tan α；
与α终边关于y轴对称的角：
sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，
tan(π－α)＝－tan α；
与α终边关于原点对称的角：
sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α；
与α终边关于x轴对称的角：
sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，
tan(－α)＝－tan α.
我们可利用互余的两个角的三角函数之间的关系及第一类诱导公式，得到第二类(y轴上加、减α)诱导公式：
sin(π2－α)＝cos α，sin(π2＋α)＝cos α，
sin(3π2－α)＝－cos α，sin(3π2＋α)＝－cos α，
cos(π2－α)＝sin α，cos(π2＋α)＝－sin α，
cos(3π2－α)＝－sin α，cos(3π2＋α)＝sin α，
tan(π2－α)＝cot α，tan(π2＋α)＝－cot α，
tan(3π2－α)＝cot α，tan(3π2＋α)＝－cot α，
【专题训练】
一、单选题
1．(★)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，则该扇形圆心角的弧度数为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　

A．1或4 B.12或8 C．1 D.12
2．(★)下列说法正确的是(　　)
A．第一象限角一定是锐角
B．终边相同的角一定相等
C．小于90°的角一定是锐角
D．钝角的终边在第二象限
3．(★★)在平面直角坐标系中，角α与β的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边构成一条直线，且sin α＝33，则cos(α＋β)＝(　　)
A．1 B.13 C．－13 D．－1
4．(★★★)已知α∈0,π4，则下列说法错误的是(　　)
A．sin α＜α＜tan α＜1
B．sincosα＜cossinα
C．logsin αlogsinαcosα＜logcos αlogsinαcosα
D．logαlogαtanα＞logtan αlogαtanα
二、多选题
5．(★)已知sin α－cos α＝13(0＜α＜π)，则下列选项正确的是(　　)
A．sin αcos α＝49
B．sin α＋cos α＝173
C．cos4α＋sin4α＝79
D．cos4α＋sin4α＝4981
6．(★)下列命题正确的是(　　)
A．若tan α＜0且sin α＞0，则α为第二象限角
B．cos3π2−α＋cos5π2+α＝0
C．若sin α＝sin β，则α＝β＋2kπk∈Z
D．若角α的终边在第一象限，则sinα2sinα2＋cosα2cosα2的取值集合为−2,2
7．(★★)如图，已知A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)两点在单位圆O上，且都在第一象限，线段AB的中点为MxM,yM，点CxC,yC是射线OM与单位圆O的交点，则(　　)

A．xM＝cosα+β2cosα−β2
B．yM＝12(sin α＋sin β)
C．yC＝cosα+β2
D．sinα+β2＞12(sin α＋sin β)
三、填空题
8．(★)已知一个直径为30厘米的轮子，每秒旋转25弧度，则轮周上一点在半分钟内所经过的弧长为________厘米．
9．(★★)若α是第四象限角，且tanπ3+α＝－512，则cosπ6−α＝________．
10．(★★)若cos α＝－13，α是第三象限角，且1−cosα＝2sinα2，则cosα2＝______．
四、解答题
11．(★)(1)化简：f(α)＝
cosπ2+αtan2021π−αsin3π2−αsinπ−αsin3π2+α
(2)如图，扇形半径为6，阴影部分周长为10＋3π，求矩形OABC的面积．








12.(★★)一年之计在于春，春天正是播种的好季节．小林的爷爷对自己的一块正方形菜园做了一些规划．如图，四边形ABCD是边长为80米的正方形菜园，扇形AMN区域计划种植花生，矩形ECFG区域计划种植蔬菜，其余区域计划种植西瓜．E，F分别在BC，CD上，G在弧MN上，AM＝60米，设矩形ECFG的面积为S(单位：平方米)．

(1)若∠GAM＝θ，请写出S(单位：平方米)关于θ的函数关系式；
(2)求S的最小值．


13.(★★)(1)已知tan x＝2，求sin2x－3sin xcos x的值；

(2)已知sin α＋cos α＝23，α∈−π2,π2，求tan α的值．

高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
参考答案
【专题训练】
1．D　【解析】设扇形圆心角为α，半径为R，弧长为l.
由已知可得，l+2R=10,12lR=4,解得l=8,R=1或l=2,R=4.
当l=8,R=1时，α＝lR＝8＞2π(舍去)；
当l=2,R=4时，α＝lR＝12.
综上所述，α＝12.故选：D.
2．D　【解析】对于A，第一象限角构成的集合可表示为α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z，所以第一象限角不一定是锐角，故A错误；
对于B，终边相同的角不一定相等，它们可能相差k·360°，k∈Z，故B错误；
对于C，小于90°的角不一定是锐角，也可能是零角或者负角，故C错误；
对于D，钝角是大于90°且小于180°的角，故D正确．
故选：D.
3．C　【解析】由题意，角α与β的顶点在原点，终边构成一条直线，所以β＝α＋π＋2kπk∈Z，
所以cosα+β＝cos2α+π+2kπ＝cos2α+π＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1，
又sin α＝33，所以cos(α＋β)＝2sin2α－1＝2×332－1＝－13.故选：C.
4．D　【解析】对于A，假设α∈0,π2，如图，设点A为α的终边与单位圆的交点，点B为x轴与单位圆的交点，
过点A作AA1⊥x轴于点A1，过点B作BB1⊥x轴，交α的终边于点B1.

设扇形OBA的弧长为l，
则AA1＝Rsin α＝sin α，l＝αR＝α，tan α＝BB1R＝BB1，
且S△OAB＜S扇形OAB＜S△OBB1，
即12×OB×AA1＜12×OB×l＜12×OB×BB1，
即12sin α＜12α＜12tan α，所以sin α＜α＜tan α.
所以当α∈0,π4时，有0＜sin α＜α＜tan α＜1，故A项正确；
对于B，由A知，当α∈0,π2时，sin α＜α，
又0＜cos α＜1＜π2，所以sincosα＜cos α.
又余弦函数在0,π2上单调递减，0＜sin α＜α＜π2，
所以cossinα＞cos α，
所以sincosα＜cos α＜cossinα，故B项正确；
对于C，当α∈(0，π4)时，有0＜sin α＜cos α＜1，
所以函数y＝logsin αx在0,+∞上单调递减，
所以0＝logsin α1＜logsin αcos α＜logsin αsin α＝1.
因为logsin αx－logcos αx＝lgxlgsinα－lgxlgcosα
＝lgxlgcosα−lgsinαlgsinα·lgcosα，
y＝lg x在0,1上单调递增，且lg x＜0，
所以lg sin α＜lg cos α＜0，所以lg cos α－lg sin α＞0，
所以logsin αx－logcos αx＜0，所以logsin αx＜logcos αx.
因为0＜logsin αcos α＜1，
所以logsin αlogsinαcosα＜logcos αlogsinαcosα，故C项正确；
对于D，因为0＜α＜tan α＜1，
所以函数y＝logαx在0,+∞上单调递减，
所以0＝logα1＜logαtan α＜logαα＝1.
因为logαx－logtan αx＝lgxlgα－lgxlgtanα
＝lgxlgtanα−lgαlgα·lgtanα，
y＝lg x在0,1上单调递增，且lg x＜0，
所以lg α＜lg tan α＜0，所以lg tan α－lg α＞0，
所以logαx－logtan αx＜0，所以logαx＜logtan αx.
因为0＜logαtan α＜1，
所以logαlogαtanα＜logtan αlogαtanα，故D项错误．
故选：D.
5．ABD　【解析】sin α－cos α＝13两边平方，得(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝19，
即2sin αcos α＝89，则sin αcos α＝49，选项A正确；
因为0＜α＜π，所以sin α＞0，
又因为sin αcos α＝49＞0，所以cos α＞0，
因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋89＝179，
所以sin α＋cos α＝179＝173，选项B正确，
因为cos4α＋sin4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－2×492＝4981，故D正确，C错误，
故选：ABD.
6．AD　【解析】若tan α＜0，则α为第二或四象限角，且sin α＞0，则α为第一或二象限角，则α为第二象限角，A选项正确；
cos3π2−α＋cos5π2+α＝－sin α＋cosπ2+α
＝－sin α＋(－sin α)＝－2sin α，B选项错误；
sin α＝sin β，可取α＝π6，β＝5π6，则α＋β＝π，C选项错误；
角α的终边在第一象限，则角α2的终边在第一或三象限，
若角α2的终边在第一象限，则sinα2sinα2＋cosα2cosα2＝1＋1＝2，
若角α2的终边在第三象限，则sinα2sinα2＋cosα2cosα2＝
－1－1＝－2，D选项正确．故选：AD.
7．AB　【解析】A项：xM＝12xA+xB＝12(cos α＋cos β)
＝12cosα+β2+α−β2+cosα+β2−α−β2
＝12cosα+β2cosα−β2−sinα+β2sinα−β2+cosα+β2cosα−β2
+sinα+β2sinα−β2
＝12·2cosα+β2cosα−β2＝cosα+β2cosα−β2，故A正确；
B项：yM＝12yA+yB＝12(sin α＋sin β)，故B正确；
C项：yC＝sinα+β2，故C错误；
D项：取α＝π6，β＝7π3，则sinα+β2＝sin5π4＝－22，12(sin α＋sin β)＝1212+32＝1+34，此时sinα+β2＜12(sin α＋sin β)，故D错误．故选：AB.
8．11250　【解析】l＝30×25×302＝11250.故答案为：11250.
9．－513　【解析】因为α是第四象限角，
所以－π2＋2kπ＜α＜2kπ，k∈Z，
所以2kπ－π6＜π3＋α＜π3＋2kπ，k∈Z，
又tanπ3+α＝－512，故π3＋α在第四象限，
tanπ3+α＝sinπ3+αcosπ3+α＝－512，
sin2π3+α＋cos2π3+α＝1，
所以sinπ3+α＝－513，
所以cosπ6−α＝cosπ2−π3+α＝sinπ3+α＝－513.
故答案为：－513.
10．－33　【解析】因为cos α＝－13，且1−cosα＝2sinα2，
所以sinα2＝63，又因为α是第三象限角，所以kπ＋π2＜α2＜kπ＋3π4，k∈Z，
则α2是第二或第四象限，又sinα2＝63＞0，所以α2在第二象限，
所以cosα2＝－1−sinα22＝－33，故答案为：－33.
11．【解析】(1)fα＝cosπ2+αtan2021π−αsin3π2−αsinπ−αsin3π2+α＝−sinα−tanα−cosαsinα−cosα＝tan α.
(2)设OA＝a，OC＝c，因为扇形半径为6，阴影部分周长为10＋3π，
所以(6－a)＋(6－c)＋π2×6＋a2+c2＝10＋3π，且a2＋c2＝36.
则a2+c2=36,a+c=8,即矩形OABC面积等于ac＝a+c2−a2+c22＝64−362＝14.
12．【解析】(1)延长FG交AB于H，
则GH＝60sin θ米，AH＝60cos θ米，
则GE＝HB＝80−60cosθ米，FG＝80−60sinθ米，
∴S＝80−60cosθ80−60sinθ
＝40016−12sinθ+cosθ+9sinθcosθ0≤θ≤π2.

(2)由(1)得，
S＝40016−12sinθ+cosθ+9sinθcosθ0≤θ≤π2，
令t＝sin θ＋cos θ，则sin θcos θ＝t2−12，
∵t＝sin θ＋cos θ＝2sinθ+π40≤θ≤π2，
∴t∈1,2，
∴S＝40016−12t+9t2−92＝1800t−432＋1400，
∵t∈1,2，∴当t＝43时，Smin＝1400，
即当sin θ＋cos θ＝43时，矩形ECFG面积的最小值为1400平方米．
13．【解析】(1)因为tan x＝2，
所以sin2x－3sin xcos x＝sin2x−3sinxcosxsin2x+cos2x
＝tan2x−3tanxtan2x+1＝22−3×222+1＝－25.
(2)因为sin α＋cos α＝23，所以sinα+cosα2＝49，
即sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝49，则sin αcos α＝－518＜0，
又因为α∈−π2,π2，所以sin α＜0，cos α＞0，
又sinα−cosα2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝149，
所以cos α－sin α＝143，
联立sinα+cosα=23,cosα−sinα=143,解得sinα=2−146,cosα=2+146,
所以tan α＝sinαcosα＝2−1462+146＝－9−2145.