长郡中学高一数学暑假自主学习作业本（六）

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高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
数学作业六　函数与方程、函数的应用
【知识梳理】
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，我们把使__________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)三个等价关系
方程f(x)＝0有实数解函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有________．
(3)函数零点的判定(函数零点存在定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条____________的曲线，并且有____________，那么，函数y＝f(x)在区间__________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得____________，这个______也就是方程f(x)＝0的解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程f(x)＝0的近似解就是求函数f(x)零点的近似值．
3．有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系


Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象



与x轴的交点
______________
____________
无交点
零点个数
________
________
__________

【专题训练】
一、单选题
1．(★)下列函数不能用二分法求零点的是(　　)　　　　
A．f(x)＝4x－3
B．f(x)＝ln x＋2x－8
C．f(x)＝sin x＋1
D．f(x)＝x2－3x＋1
2．(★★)核酸检测在新冠疫情防控中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加p%.若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为(　　)
(参考数据：100.2≈1.585，10－0.2≈0.631)
A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1
3．(★★)函数f(x)＝log2x－sin x＋12的零点所在的区间为(　　)
A．(14，12) B．(12，1)
C．(1，2) D．(2，3)
4．(★★)已知函数f(x)在区间(1，2)内有1个零点，用二分法求零点的近似值时，若精度小于0.01，则至少计算中点函数值(　　)
A．5次 B．6次 C．7次 D．8次
二、多选题
5．(★)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，则下列结论错误的是(　　)
A．若f(a)f(b)＞0，则f(x)在[a，b]上不存在零点
B．若f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上至少有一个零点
C．若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)＜0
D．若f(x)在[a，b]上存在零点，则可用二分法求此零点的近似值
6．(★★)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，有f(1－x)＝－f(1＋x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2＋x－2，则(　　)
A．f(x)是以2为周期的周期函数
B．点(－3，0)是函数f(x)的一个对称中心
C．f(2021)＋f(2022)＝－2
D．函数y＝f(x)－log2(x＋1)有3个零点
7．(★★★)已知函数f(x)＝x,x∈［0,1),12fx−1,x∈［1,+∞),则以下结论正确的是(　　)
A．函数f(x)为增函数
B．x1，x2∈[0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|＜1
C．若f(x)＜38在x∈[n，＋∞)上恒成立，则n的最小值为2
D．若关于x的方程2mf2(x)＋(m＋2)f(x)＋1＝0(m∈R)有三个不同的实根，则－8≤m＜－4
三、填空题
8．(★★)已知函数f(x)＝|lg(x－1)|－k有两个零点分别为a，b，则a＋b的取值范围是__________．
9．(★★)设函数f(x)＝|2x−1|,x≤2,−x+5,x＞2,若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围是________．
10．(★★★)x∈R，记[x]为不大于x的最大整数，{x}＝x－[x]，若x∈[0，3]，则关于x的不等式2[x]{x}＋1≥x＋{x}的解集为__________．
四、解答题
11．(★)某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元，甲、乙两种商品可分别获得y1，y2万元的利润，利润曲线P1：y1＝axn，P2：y2＝bx＋c如图所示．

(1)求函数y1，y2的解析式；
(2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资额才能获最大利润．


















12. (★★)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1 min测量一次茶水温度，收集到以下数据：

时间/min
0
1
2
3
4
5
水温/℃
85.00
79.00
73.60
68.74
64.36
60.42
设茶水温度从85 ℃开始，经过t min后温度为y ℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现有以下两种函数模型供选择：
①y＝kat＋b；②y＝at2＋bt＋c.
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式；
(2)若茶水温度降至55 ℃时饮用，可以产生最佳口感，根据(1)中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？
(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
13.(★★★)已知函数f(x)＝x－5x，x∈[1，5]，g(x)＝x2－2a|x－1|＋a.
(1)求函数f(x)的值域；




（2）若对任意的x∈[2，4]，都有g(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围









(3)若对任意的x0∈[1，5]，都存在四个不同的实数x1，x2，x3，x4，使得g(xi)＝f(x0)，其中i＝1，2，3，4，求实数a的取值范围．

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参考答案
【知识梳理】
1．(1)f(x)＝0　(2)零点
(3)连续不断　f(a)f(b)<0　(a，b)　f(c)＝0　c
4．(x1 ，0)，(x2，0)　(x1，0)　2　1　0
【专题训练】
1．C　【解析】对于A，因为存在f(1)·f(－1)＝－7＜0，
故可以用二分法求零点；
对于B，因为存在f(1)·f(e2)＝－6×(2e2－6)＜0，
故可以用二分法求零点；
对于C，因为y＝sin x＋1≥0恒成立，不存在区间(a，b)使f(a)·f(b)＜0，
所以y＝sin x＋1不能用二分法求零点；
对于D，因为存在f(0)·f(1)＝－1＜0，
故可以用二分法求零点．故选：C.
2．C　【解析】设DNA数量没有扩增前为a，
由题意可得a(1＋p%)5＝10a，即(1＋p%)5＝10，
所以1＋p%＝100.2，
即p%＝100.2－1≈1.585－1＝0.585，
故p≈58.5.故选：C.
3．C　【解析】因为f(12)＝－1－sin12＋12＜0，f(1)＝－sin 1＋12＜0，f(2)＝1－sin 2＋12＞0，所以f(1)·f(2)＜0.故选：C.
4．C　【解析】设对区间(1，2)至少二等分n次，开始区间长度为1，
第1次二等分后区间长为12，第2次二等分后区间长为122，
第3次二等分后区间长为123，第n次二等分后区间长为12n，
依题意得12n＜0.01，
∴n＞log2100，由于6＜log2100＜7，∴n≥7，
故至少计算中点函数值7次．故选：C.
5．ACD　【解析】令f(x)＝x2，a＝－1，b＝1，
则f(0)＝0，f(－1)＝1，f(1)＝1，
A．f(a)f(b)＞0，但f(x)在[a，b]上存在零点0，故A错误；
B．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，若f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上至少有一个零点，由函数零点存在定理知正确，故B正确；
C．f(x)＝x2在(a，b)内有且只有一个零点0，但f(a)·f(b)＞0，故C错误；
D．f(x)＝x2在[a，b]上存在零点0，在零点两侧函数值都是正值，则不可用二分法求此零点的近似值，故D错误．
故选：ACD.
6．BD　【解析】依题意，f(x)为偶函数，
且f(1＋x)＝－f(1－x)，有1−x+1+x2＝1，
即f(x)关于点(1，0)对称，
则f(x＋4)＝f(1＋x＋3)＝－f(1－(x＋3))＝－f(－2－x)
＝－f(－(2＋x))＝－f(2＋x)＝－f(1＋1＋x)＝f(1－(1＋x))＝f(－x)＝f(x)，
所以f(x)是周期为4的周期函数，故A错误；
因为f(x)的周期为4，f(x)关于(1，0)对称，
所以点(－3，0)是函数f(x)的一个对称中心，故B正确；
因为f(x)的周期为4，则f(2021)＝f(1)＝0，f(2022)＝f(2)＝－f(0)＝2，
所以f(2021)＋f(2022)＝2，故C错误；
作函数y＝log2(x＋1)和y＝f(x)的图象如下图所示，

由图可知，两个函数图象有3个交点，
所以函数y＝log2(x＋1)－f(x)有3个零点，故D正确．
故选BD.
7．BCD　【解析】作出函数f(x)的部分图象如图，

由图可知，f(x)在定义域内不是单调函数，故A错误；
x1，x2∈[0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|＜1，故B正确；
因为38＜48＝12，由图可知，当x∈[2，＋∞)时，f(x)＜38恒成立，n的最小值为2，故C正确；
当m＝0时，2f(x)＋1＝0，方程无实数根，所以m≠0，
2mf2(x)＋(m＋2)f(x)＋1＝0，
即[mf(x)＋1][2f(x)＋1]＝0，
得f(x)＝－1m或f(x)＝－12(舍去)．
由图可知，若f(x)＝－1m有三个不同实数根，
则－1m∈18,14，得m∈[－8，－4)，故D正确．
故选：BCD.
8．(4，＋∞)　【解析】函数f(x)＝lgx−1－k有两个零点分别为a，b，
等价转化为方程|lg(x－1)|＝k有两个不同的实数根分别为a，b，
等价转化为函数g(x)＝|lg(x－1)|与y＝k的图象有两个交点，交点的横坐标分别为a，b，
先画出函数g(x)＝|lg(x－1)|的大致图象，如下图所示，

∵a≠b，且g(a)＝g(b)，
∴－lg(a－1)＝lg(b－1)，
即1a−1＝b－1，∴b＝1＋1a−1，
又1＜a＜2，
∴a＋b＝a－1＋1a−1＋2≥2a−1·1a−1＋2＝4，
当且仅当a－1＝1a−1，即a＝2时等号成立，此时a＝b不满足题意，
∴a＋b的取值范围为(4，＋∞)．
9．(18，34)　【解析】根据题意，
函数f(x)＝|2x−1|,x≤2,−x+5,x＞2＝−2x+1,x＜0,2x−1,0≤x≤2−x+5,x＞2,，
其部分图象如图所示，

若互不相等的实数a，b，c，满足f(a)＝f(b)＝f(c)，
设a＜b＜c，
结合函数的图象有a∈(－∞，0)，b∈(0，1)，c∈(4，5)，
由f(a)＝f(b)，则－2a＋1＝2b－1，则2a＋2b＝2，
又c∈(4，5)，则2c∈(16，32)，
则2a＋2b＋2c＝2＋2c∈(18，34)，
则2a＋2b＋2c的取值范围是(18，34)．
故答案为：(18，34)．
10.0,12∪[1，2)∪52,3
【解析】当0≤x＜1时，[x]＝0，{x}＝x－[x]＝x，
所以2[x]{x}＋1≥x＋{x}，等价于0＋1≥x＋x，
解得x≤12，所以0≤x≤12；
当1≤x＜2时，[x]＝1，{x}＝x－[x]＝x－1，
所以2[x]{x}＋1≥x＋{x}，等价于2(x－1)＋1≥x＋x－1，
解得x∈R，所以1≤x＜2；
当2≤x＜3时，[x]＝2，{x}＝x－[x]＝x－2，
所以2[x]{x}＋1≥x＋{x}，等价于4(x－2)＋1≥x＋x－2，
解得x≥52，所以52≤x＜3；
当x＝3时，[x]＝3，{x}＝x－[x]＝0，
所以2[x]{x}＋1≥x＋{x}，等价于0＋1≥3＋0，无解，
所以x∈．
综上所述，不等式的解集为0,12∪[1，2)∪52,3.
故答案为：0,12∪1,2∪52,3.
11．【解析】(1)P1：y1＝axn，过点(1，54)，(4，52)，
∴54=a,52=a·4n,∴a=54,n=12,
∴y1＝54x，x∈[0，＋∞)，
P2：y2＝bx＋c，过点(0，0)，(4，1)，
∴c=0,b=14,
∴y2＝14x，x∈[0，＋∞)．
(2)设用x万元投资甲商品，那么投资乙商品为10－x万元，总利润为y万元．
则y＝54x＋14(10－x)＝－14(x－52)2＋6516，
当且仅当x＝52，即x＝254＝6.25时，ymax＝6516，
此时投资乙商品为10－6.25＝3.75万元．
答：用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润．
12．【解析】(1)由表格中数据可知，随着时间t的增加，茶水温度y一直在降低，所以函数①y＝kat＋b是最符合实际的函数模型，
把表格中前3组数据代入得k+b=85,ka+b=79,ka2+b=73.6,
解得a=0.9,b=25,k=60,
∴函数模型的解析式为y＝60×0.9t＋25.
(2)由(1)知y＝60×0.9t＋25，
令y＝55得，60×0.9t＋25＝55，
解得0.9t＝12，
两边同时取常用对数得lg 0.9t＝lg12，
所以t＝−lg2lg9−1＝lg21−2lg3≈0.301−2×0.48＝7.5，
故刚泡好的茶水大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感．
13．【解析】(1)因为函数f(x)＝x－5x在区间[1，5]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(1)＝－4，最大值为f(5)＝4，
所以函数f(x)的值域为[－4，4]．
(2)因为对任意的x∈[2，4]，都有g(x)≥a恒成立，
且x∈[2，4]时，x－1∈[1，3]，
所以g(x)＝x2－2a|x－1|＋a≥a，即x2－2a(x－1)≥0，
所以2a≤x2x−1＝(x－1)＋1x−1＋2，
因为(x－1)＋1x−1＋2≥4，
当且仅当x－1＝1x−1，即x＝2时取等号，
所以2a≤4，即a≤2，
所以实数a的取值范围是(－∞，2]．
(3)因为函数f(x)的值域为[－4，4]，
由题意可知对任意一个实数t∈[－4，4]，方程g(x)＝t有四个根，
又g(x)＝x2−2ax+3a,x≥1,x2+2ax−a,x＜1,则必有a＞1，
令n＝g(1)＝a＋1，m＝max{g(a)，g(－a)}＝{－a2＋3a，－a2－a}＝－a2＋3a，
故有[－4，4](m，n)，故有a+1＞4,−a2+3a＜−4,解得a＞4，
故实数a的取值范围是(4，＋∞)．