长郡中学高一数学暑假自主学习作业本（三）

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高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
数学作业三　一元二次函数、方程、不等式
【知识梳理】
考点1　一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a，b，c均为常数，a≠0)的不等式都是一元二次不等式．
考点2　二次函数的零点
1．一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
2．二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．
3．一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
考点3　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象



一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x＜x1，或x＞x2}
x|x≠−b2a
R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．
(2)对于二次项系数是负数(即a＜0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．
考点4　解含参数的一元二次不等式
1．若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论．
2．若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论．
3．若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
考点5　简单的分式不等式的解法
系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”．

考点6　一元二次不等式的恒成立
1．不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，
对于一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0，它的解集为R的条件为a＞0,Δ=b2−4ac＜0.
2．一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为a＞0,Δ=b2−4ac≤0.
3．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为空集的条件为a＜0,Δ=b2−4ac≤0.
考点7　一元高次不等式的解法：数轴标根法
【专题训练】
一、单选题
1．(★)函数f(x)＝|4－x|·(x－1)的单调递增区间为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　

A．(52，4)
B．(1，4)
C．(－∞，4)
D．(－∞，52)，(4，＋∞)
2．(★★)设二次函数f(x)＝(a－2)x2＋3ax＋2在R上有最大值，最大值为m(a)，当m(a)取最小值时，a＝(　　)
A．0 B．1 C.12 D.2
3．(★★)已知二次函数f(x)＝mx2－2x＋n(m，n∈R)，若函数f(x)的值域是[0，＋∞)，且f(1)≤2，则m2n2+1＋n2m2+1的取值范围是(　　)
A．[0，12] B．[1，13]
C．[2，12] D．[3，13]
4．(★★)已知对一切x∈[2，3]，y∈[3，6]，不等式mx2－xy＋y2≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≤6 B．－6≤m≤0
C．m≥0 D．0≤m≤6
二、多选题
5．(★)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，则下列说法正确的是(　　)
A．a＞0
B．不等式bx＋c＞0的解集为xx＜−12
C．a＋b＋c＞0
D．不等式cx2－bx＋a＜0的解集为xx＜−14或x＞13
6．(★★)在R上定义运算：(abcd)＝ad－bc，若不等式(x－1,a＋1)　a－2,x))≥1对任意实数x恒成立，则实数a的可能取值为(　　)
A．－12 B．－32 C.12 D.32
7．(★★)已知不等式x2＋ax＋b＞0(a＞0)的解集是{x|x≠d}，则下列结论正确的是(　　)
A．a2＝4b
B．若不等式x2＋ax＋b＜c的解集为(－3，1)，则a＋b＋c＝7
C．若不等式x2＋ax－b＜0的解集为(x1，x2)，则x1x2＞0
D．若不等式x2＋ax＋b＜c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4
三、填空题
8．(★)不等式x+2x2−4x−5≥0的解集为________．
9．(★)若关于x的不等式a－2＜2a－x＜12只有一个整数解2，则实数a的取值范围为________．
10．(★)若函数y＝x2－5x－1的定义域为0,m，值域为−294,−1，则实数m的最大值为________．
四、解答题
11．(★)已知函数f(x)＝(ax＋2)(x－1)，a∈R.
(1)若a＝12，解不等式f(x)≥0；
(2)解关于x的不等式f(x)＜0.
















(★★)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)最小值为0，且关于x＝－1对称，当x∈(0，5)时，x≤f(x)≤2|x－1|＋1恒成立．
(1)求f(3)的值；
(2)若存在t∈R，只要当x∈[1，m]时，就有f(x＋t)≤x成立，求实数m(m＞1)的最大值．

13．(★★★)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x|x－m|(m＞0)．
(1)当x＜0时，求f(x)的表达式；
















(3)当m＝2时，若关于x的方程f2(x)＋af(x)＋b＝0(a，b∈R)恰有10个不同实数解，求a的取值范围．


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参考答案
【专题训练】

1．D　【解析】依题意，f(x)＝4−x·(x－1)＝4−xx−1,x＜4,x−4x−1,x≥4,作出函数f(x)的大致图象如图所示，观察可知，函数f(x)在(－∞，52)，(4，＋∞)上单调递增，在(52，4)上单调递减，故选：D.
2．A　【解析】∵f(x)＝(a－2)x2＋3ax＋2在R上有最大值m(a)，∴a－2＜0且当x＝－3a2a−2时，f(x)的最大值为8a−2−9a24a−2，即a