长郡中学高一数学暑假自主学习作业本（二）

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高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
数学作业二　不等式性质、基本不等式
【知识梳理】
1．比较大小的方法

依据
如果a＞b____________.
如果a＝b__________.

如果a＜b__________.

结论
要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的______与______的大小
2.重要不等式
a，b∈R，有a2＋b2____2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
3．等式的基本性质
(1)如果a＝b，那么________．
(2)如果a＝b，b＝c，那么________．
(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c.
(4)如果a＝b，那么ac＝bc.
(5)如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc.
4．不等式的性质

性质
别名
性质内容
注意
1
对称性
a＞bb____a
可逆
2
传递性
a＞b，b＞ca____c
不可逆
3
可加性
a＞ba＋c____b＋c
可逆
4
可乘性


a＞bc＞0ac____bc



a＞bc＜0ac____bc



,c的符号
5,同向可加性,a＞bc＞da＋c____b＋d,同向
6,同向同正可乘性,a＞b＞0c＞d＞0ac____bd,同向
7,可乘方性,a＞b＞0an____bn(n∈N，n≥2),同正5.基本(均值)不等式：ab≤a+b2
(1)基本(均值)不等式成立的条件：__________．
(2)等号成立的条件：当且仅当________时等号成立．
6．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥__________(a，b∈R)．
(2)ba＋ab≥______(a，b同号)．
(3)ab≤(a+b2)2(a，b∈R)．
(4)a2+b22≥(a+b2)2(a，b∈R)．
7．算术平均数与几何平均数
设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为a+b2，几何平均数为ab，基本(均值)不等式可叙述为：__________________________．
8．利用基本(均值)不等式求最值问题
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当__________时，x＋y有最______值2P.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当________时，xy有最__________值S24.(简记：和定积最大)
【专题训练】
一、单选题
1．(★)已知a＝4，b＝2＋6，c＝3＋5，则a，b，c的大小关系为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　

A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞b＞a D．b＞c＞a
2．(★)若x＜0，则x＋4x的最大值为(　　)
A．－8 B．－6 C．－4 D．－2
3．(★)《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为a和b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)

A.a+b2≥ab(a＞0，b＞0)
B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)
C.ab≥21a+1b(a＞0，b＞0)
D.a2+b22≥a+b2(a＞0，b＞0)
4．(★★)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，有以下4个命题：
①以a，b，c为边长的三角形一定存在；
②以a2，b2，c2为边长的三角形一定存在；
③以a+b2，b+c2，c+a2为边长的三角形一定存在；
④以ab，bc，ca为边长的三角形一定存在．
其中正确命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
5．(★)下列命题正确的有(　　)
A．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2
B．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c
C．若b＜a＜0，c＜0，则ca＜cb
D．若a＞0，b＞c＞0，则cb＜c+ab+a
6．(★★)已知(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2＋(bc－ad)2，由此可得到不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当bc＝ad时取等号，利用此不等式求解以下问题：设a，b，c，d∈R，且a2＋b2＝5，2ma＋nb＝5，则4m2+n2的值不可能为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
7．(★★)下列说法正确的是(　　)
A．若x＞2，则函数y＝x＋1x-1的最小值为3
B．若x＞0，y＞0，3x＋1y＝5，则3x＋4y的最小值为5
C．若x＞0，则xx2+1的最大值为12
D．若x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝3，则xy的最小值为1
三、填空题
8．(★)设4＜a＜6，1＜b＜2，则a－ab的取值范围是________．
9．(★★)已知x，y＞0，且1x＋1y＝2xy，则4y+x2xy的最小值为________．
10．(★★)若正实数x，y满足2x2－xy－y2－2＝0，则5x2+2xy+2y2x+2y的最小值为________．
四、解答题
11．(★★)
(1)设b＞a＞0，m＞0，证明：ab＜a+mb+m；
(2)设x＞0，y＞0，z＞0，证明：1＜xx+y＋yy+z＋zz+x＜2.

12．(★★)已知实数x，y满足xy＞0，且8xy＋1x＋1y＝1，求xy的取值范围．

13．(★★)中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3 m，底面积为12 m2，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m(2≤x≤6)．
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低，最低为多少；
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为900a1+xx元(a＞0)．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围．

高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
参考答案
【知识梳理】
1．a－b＞0　a－b＝0　a－b＜0　差　0
2．≥
3．(1)b＝a　(2)a＝c
4．＜　＞　＞　＞　＜　＞　＞　＞
5．(1)a＞0，b＞0　(2)a＝b
6．(1)2ab　(2)2
7．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
8．(1)x＝y　小　(2)x＝y　大
【专题训练】
1．B　【解析】∵b2＝2+62＝8＋212，
c2＝3+52＝8＋215，
又∵8＋212＜8＋215＜8＋216＝16，即b2＜c2＜a2，
又∵a，b，c均为正数，∴a＞c＞b.故选：B.
2．C　【解析】因为x＜0，则－x＞0，
则x＋4x＝－-x+-4x≤－2-x·-4x＝－4，当且仅当－x＝－4x，即x＝－2时取等号，此时取得最大值－4.故选：C.
3．B　【解析】因为直角三角形的直角边长分别为a和b，
所以大正方形的面积为a2＋b2，
由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，
所以a2＋b2≥4×12ab＝2ab(a＞0，b＞0)．
故选：B.
4．B　【解析】△ABC的三边长分别为a、b、c，不妨设a≥b≥c，则b＋c＞a，
对于①，(b＋c)2－(a)2＝b＋c－a＋2bc＞0，所以b＋c＞a，所以以a，b，c为边长的三角形一定存在，故①正确；
对于②，b2＋c2－a2＝(b＋c)2－2bc－a2＞0不一定成立，因此以a2，b2，c2为边长的三角形不一定存在，故②不正确；
对于③，b+c2＋c+a2－a+b2＝c＞0，因此以a+b2，b+c2，c+a2为边长的三角形一定存在，故③正确；
对于④，取a＝5，b＝4，c＝2，b＋c＞a，因此a，b，c能构成一个三角形的三边，而ac＋bc＜ab，因此以ab，bc，ca为边长的三角形不一定存在，故④不正确，
所以正确的命题有2个．故选：B.
5．BD　【解析】A错误，a＜b＜0，则a2＞ab＞b2，
B正确，由c＞d得－d＞－c，又a＞b，故a－d＞b－c成立，
C错误，由b＜a＜0得1a＜1b＜0，又c＜0，则ca＞cb，
D正确，由b＞c＞0得c－b＜0，又a＞0，故cb－c+ab+a＝bc+ac-bc-abba+b＝ac-bba+b＜0，即cb＜c+ab+a成立．故选：BD.
6．AB　【解析】由已知可得(a2＋b2)(4m2＋n2)≥(2am＋bn)2，
又a2＋b2＝5，2ma＋nb＝5，
所以4m2+n2≥5，故4m2+n2的值不可能为1，2.
故选：AB.
7．BC　【解析】对于A，由x＞2，可得函数y＝x＋1x-1＝(x－1)＋1x-1＋1≥2x-1×1x-1＋1＝3，
当且仅当x－1＝1x-1，即x＝2时等号成立，
因为x＞2，所以等号不成立，所以函数y＝x＋1x-1的最小值不是3，所以A不正确；
对于B中，由x＞0，y＞0，3x＋1y＝5，
则3x＋4y＝15(3x＋4y)(3x＋1y)
＝1513+12yx+3xy≥15×(13＋212yx×3xy)＝5，
当且仅当12yx＝3xy，即x＝2y＝1时，等号成立，
所以3x＋4y的最小值为5，所以B正确；
对于C，由x＞0，则xx2+1＝1x+1x≤12x×1x＝12，
当且仅当x＝1x，即x＝1时，等号成立，
所以xx2+1的最大值为12，所以C正确；
对于D，由x＞0，y＞0，可得x＋y＋xy≥2xy＋xy，
当且仅当x＝y时，等号成立，
所以xy＋2xy≤3，
即xy＋2xy－3＝(xy＋3)(xy－1)≤0，
解得0＜xy≤1，即0＜xy≤1，
所以xy的最大值为1，所以D不正确．故选：BC.
8．(0，3)　【解析】由1＜b＜2，得12＜1b＜1，
所以－1＜－1b＜－12，所以0＜1－1b＜12，
因为4＜a＜6，所以4×0＜a(1－1b)＜6×12，
即0＜a－ab＜3，所以a－ab的取值范围是(0，3)．
故答案为：(0，3)．
9．2＋22　【解析】∵1x＋1y＝2xy，∴x＋y＝2，
∴4y+x2xy＝4x＋xy＝2x+yx＋xy＝2＋2yx＋xy
≥2＋22yx·xy＝2＋22，
当且仅当2yx＝xy，即x＝4－22，y＝22－2时取等号．
故答案为：2＋22.
10．4　【解析】∵2x2－xy－y2＝2，∴(2x＋y)(x－y)＝2，
∴5x2＋2xy＋2y2＝(2x＋y)2＋(x－y)2＝[(2x＋y)－(x－y)]2＋4＝(x＋2y)2＋4，
∵正实数x，y，∴x＋2y＞0，
∴原式＝x+2y2+4x+2y＝(x＋2y)＋4x+2y≥24＝4，
当且仅当x＋2y＝2时等号成立，
∴5x2+2xy+2y2x+2y的最小值为4.故答案为：4.
11．【解析】证明：(1)因为b＞a＞0，m＞0，
所以a－b＜0，b＋m＞0，
所以ab－a+mb+m＝ab+m-ba+mbb+m＝a-bmbb+m＜0，
故得证．
(2)由不等式的性质知，xx+y＞xx+y+z，yy+z＞yx+y+z，zz+x＞zx+y+z，
所以xx+y＋yy+z＋zz+x＞xx+y+z＋yx+y+z＋zx+y+z＝1，
又根据(1)的结论可知，xx+y＜x+zx+y+z，yy+z＜x+yx+y+z，zz+x＜y+zx+y+z，
所以xx+y＋yy+z＋zz+x＜x+zx+y+z＋x+yx+y+z＋y+zx+y+z＝2.
所以1＜xx+y＋yy+z＋zz+x＜2.
12．【解析】∵8xy＋1x＋1y＝1，
∴8xy＝1－1x－1y＝xy-x+yxy，
∴xy＝8＋(x＋y)，
又xy＞0，若x＞0，y＞0，
则xy－8＝x＋y≥2xy，当且仅当x＝y时取等号，
∴(xy－4)(xy＋2)≥0，
解得xy≥4，∴xy≥16；
若x＜0，y＜0，则－x＞0，－y＞0，
可得xy－8＝x＋y＝－[(－x)＋(－y)]≤－2xy，当且仅当x＝y时取等号，
解得0≤xy≤2，
∴0＜xy≤4.
综上所述，0＜xy≤4或xy≥16.
13．【解析】(1)设甲工程队的总造价为y元，依题意左右两面墙的长度均为x m(2≤x≤6)，则屋子前面新建墙体长为12x m，
则y＝3(150×2x＋400×12x)＋7200＝900(x＋16x)＋7200(2≤x≤6)，
因为900(x＋16x)＋7200≥900×2×x·16x＋7200＝14400，
当且仅当x＝16x，即x＝4时等号成立，
所以当x＝4时，ymin＝14400，
即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元．
(2)由题意可得，900(x＋16x)＋7200＞900a1+xx对任意的x∈[2，6]恒成立，
即x+42x＞a1+xx，从而x+42x+1＞a，
即x＋1＋9x+1＋6＞a恒成立，
又x＋1＋9x+1＋6≥2x+1·9x+1＋6＝12，
当且仅当x＋1＝9x+1，即x＝2时等号成立，
所以0＜a＜12.