长郡中学高一数学暑假自主学习作业本（一）

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高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
数学作业一　集合与常用逻辑用语
【知识梳理】
1．集合的含义与表示
(1)一般地，我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________，简称为集．
(2)集合中的元素的三个特征：________、________、________．
(3)集合的表示方法有：________、________、________、________．
(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“______”与“______”来表示．
(5)常用的数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.
2．集合之间的关系
(1)一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素________集合B中的元素，我们就说这两个集合有________关系，称集合A为集合B的________，记作________________；若AB，且A≠B，则AB，我们就说A是B的真子集．
(2)不含任何元素的集合叫做________，记作________，它是__________________，是任何一个______________，即A，B(B≠)．
3．集合的基本运算
(1)并集：A∪B＝{x|x∈A____x∈B}．
(2)交集：A∩B＝{x|x∈A____x∈B}．
(3)补集：∁UA＝________________．
4．集合的运算性质
(1)A∩B＝AAB，A∩A＝A，A∩＝．
(2)A∪B＝AAB，A∪A＝A，A∪＝A.
(3)AB，BC，则AC.
(4)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，
∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，
A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U，
∁U(∁UA)＝A.
(5)AB，BA，则A＝B.
5．命题
用语言、符号或式子表达的，可以________________叫做命题，其中判断为真的语句叫做________，判断为假的语句叫做________．
6．充分条件与必要条件
(1)如果pq，则p是q的______条件，同时q是p的______条件．
(2)如果pq，但q/p，则p是q的____________条件．
(3)如果pq，且qp，则p是q的______条件．
(4)如果qp，且p/q，则p是q的__________条件．
(5)如果p/q，且q/p，则p是q的________________条件．
7．全称量词、存在量词
(1)全称量词
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__________，并用符号______表示．含有全称量词的命题，叫做__________________，全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”，简记作__________________．
(2)存在量词
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做______，并用符号______表示．含有存在量词的命题，叫做________，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，简记作________________________________________________________________________．
(3)两种命题的关系
全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题．

命题
命题的否定
x∈M，p(x)
______________
x∈M，p(x)
____________
(4)全称量词和存在量词

量词名词
常见量词
表示符号
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个、任何等
____________
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
____________

【专题训练】
一、单选题
1．(★)设M＝x|x=k2,k∈Z，N＝{x|x＝k＋12，k∈Z}，则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　

A．MN B．NM
C．M＝N D．M∩N＝
2．(★)设集合A，B，C均为非空集合，则下列命题为真命题的是(　　)
A．若A∩B＝B∩C，则A＝C
B．若A∪B＝B∪C，则A＝C
C．若A∪B＝B∩C，则CB
D．若A∩B＝B∪C，则CB
3．(★★)设集合A＝{x|x＜2或x≥4}，B＝{x|x＜a}，若(∁RA)∩B≠，则a的取值范围是(　　)
A．a＜2 B．a＞2
C．a≤4 D．a≥4
4．(★★)使“a＜b”成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．x∈(0，1]，a≤b＋x
B．x∈(0，1]，a＋x＜b
C．x∈[0，1]，a＜b＋x
D．x∈[0，1]，a＋x≤b
5．(★★)已知[x]表示不超过x的最大整数，集合A＝{x∈Z|0＜[x]＜3}，B＝{x|(x2＋ax)(x2＋2x＋b)＝0}，且A∩(∁RB)＝，则集合B的子集的个数为(　　)
A．4 B．8 C．16 D．18
6．(★★★)给出下列四个说法：
①命题“x＞0，都有x＋1x≥2”的否定是“x≤0，使得x＋1x＜2”；
②命题“若x∈R，则x2＋(a－1)x＋1≥0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围为[－1，3]；
③“x＞1”是“x2＞1”的必要不充分条件；
④若x＝x0为函数f(x)＝x2＋x＋2ln x－e－x的零点，则x0＋2ln x0＝0.
其中正确的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
7．(★)下列说法正确的是(　　)
A．“a＜－1，使得a2＋6a≥0成立”的否定是“a≥－1，有a2＋6a≥0不成立”
B．“a＜－1，使得a2＋6a≥0成立”的否定是“a＜－1，有a2＋6a＜0成立”
C．命题“x∈x1≤x≤2，－a≤x≤a”为真命题的一个充分不必要条件是“a≥7”
D．已知a，b∈R，则“a＞b”是“a＞b”成立的充要条件
8．(★★)下列命题正确的是(　　)
A．若不等式|ax＋2|＜6的解集为1,2，则实数a＝－4
B．已知集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若A∩B＝B，则满足条件的a的所有取值是a＝1或－12
C．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件ACB的集合C有3个
D．设集合A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B＝{1，2}
9．(★★)对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且xB}，叫做集合A和B的差集，记作A－B，例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}．下列说法正确的是(　　)

A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3，7，8}
B．如果A－B＝，那么AB
C．已知全集，集合A，集合B关系如上图所示，则B－A＝A∩∁UB
D．已知A＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{x|－2≤x＜4}，则A－B＝{x|x＜－2或x≥4}
10．(★★)下列命题为真命题的是(　　)
A．“A∩B≠”是“AB”的必要不充分条件
B．“x或y为有理数”是“xy为有理数”的既不充分也不必要条件
C．“A∪B＝A”是“BA”的充分不必要条件
D．“a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca”的充要条件是“a＝b＝c”
三、填空题
11．(★)已知关于x的不等式组x≥2,x≤3a+1的解集为，则实数a的取值范围为________．
12．(★★)如果集合A满足0,2A-1,0,1,2,4，则满足条件的集合A的个数为________．
13．(★★)已知集合A＝x|x+ax2-2=1是单元素集，用列举法表示a的取值集合为________．
14．(★★)“a1a2＝b1b2＝c1c2”是“不等式a1x2＋b1x＋c1＞0与a2x2＋b2x＋c2＞0同解”的________条件．
四、解答题
15．(★★)已知集合A＝{x|(x－a)(x－a＋1)≤0}，B＝x|x2+x-2＜0.
(1)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围；

(2)设命题p：x∈B，x2＋(2m＋1)x＋m2－m＞8，若命题p为假命题，求实数m的取值范围．

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参考答案
【知识梳理】
1．(1)元素　集合
(2)确定性　互异性　无序性
(3)列举法　描述法　图示法　区间法
(4)∈　
2．(1)都是　包含　子集　AB(或BA)
(2)空集　　任何一个集合的子集　非空集合的真子集
3．(1)或　且　{x|x∈U且xA}
5．判断真假的陈述句　真命题　假命题
6．(1)充分　必要　(2)充分不必要　(3)充要　(4)必要不充分　(5)既不充分也不必要
7．(1)全称量词　　全称量词命题　x∈M，p(x)
(2)存在量词　　存在量词命题　x∈M，p(x)
(3)x∈M，綈p(x)　x∈M，綈p(x)
(4)　
【专题训练】
1．B　【解析】因为x＝k＋12＝122k+1，k∈Z，所以集合N是由所有奇数的一半组成，而集合M是由所有整数的一半组成，故NM.故选：B.
2．D　【解析】对于A，A∩B＝B∩C，当A＝1,2，B＝1，C＝1,2,3时，结论不成立，则A错误；
对于B，A∪B＝B∪C，当A＝1,2，B＝3，C＝1,2,3时，结论不成立，则B错误；
对于C，A∪B＝B∩C，当A＝1，B＝1,2，C＝1,2,3时，结论不成立，则C错误；
对于D，因为(A∩B)B，A∩B＝B∪C，所以(B∪C)B，又B(B∪C)，所以B＝(B∪C)，则CB，则D正确．故选：D.
3．B　【解析】由集合A＝x|x＜2或x≥4，则∁RA＝x|2≤x＜4，又集合B＝xx＜a且∁RA∩B≠，则a＞2.故选：B.
4．B　【解析】对于A，若x∈0,1，a≤b＋x，当a＝b时，a＝b＜b＋x成立，
所以“x∈0,1，a≤b＋x”/ “a＜b”，A不满足条件；
对于B，x∈0,1，a＋x＜b，则a＜a＋x＜b，即a＜b，
所以“x∈0,1，a＋x＜b”“a＜b”，若a＜b，则x∈0,1，不妨取a＝1，b＝1.2，x＝0.5，则a＋x＞b，
所以“x∈0,1，a＋x＜b”/ “a＜b”，
所以“x∈0,1，a＋x＜b”是“a＜b”的充分不必要条件，B满足条件；
对于C，若a＜b，则x∈0,1，使得a＜b≤b＋x，即a＜b＋x，即“a＜b”“x∈0,1，a＜b＋x”，
所以“x∈0,1，a＜b＋x”是“a＜b”的必要条件，C不满足条件；
对于D，若x∈0,1，a＋x≤b，则a≤a＋x≤b，即a≤b，当且仅当x＝0时，等号成立，
所以“x∈0,1，a＋x≤b”/ “a＜b”，D不满足条件．
故选：B.
5．C　【解析】由题设可知，A＝{x∈Z|0＜[x]＜3}＝{1，2}，
又因为A∩(∁RB)＝，所以AB，
而B＝{x|(x2＋ax)(x2＋2x＋b)＝0}，
因为x2＋ax＝0的解为x＝0或x＝－a，
x2＋2x＋b＝0的两根x1，x2满足x1＋x2＝－2，
所以1，2分属方程x2＋ax＝0与x2＋2x＋b＝0的根，
若1是x2＋ax＝0的根，2是x2＋2x＋b＝0的根，
则有12+1×a=0,22+2×2+b=0,解得a=-1,b=-8,
代入x2＋ax＝0与x2＋2x＋b＝0，
解得x＝0或x＝1与x＝2或x＝－4，故B＝0,1,2,-4；
若2是x2＋ax＝0的根，1是x2＋2x＋b＝0的根，
则有22+2×a=0,12+2×1+b=0,解得a=-2,b=-3,
代入x2＋ax＝0与x2＋2x＋b＝0，解得x＝0或x＝2与x＝1或x＝－3，故B＝{0，1，2，－3}．
所以不管1，2如何归属方程x2＋ax＝0与x2＋2x＋b＝0，
集合B总是有4个元素，
故由子集个数公式可得集合B的子集的个数为24＝16.
故选：C.
6．C　【解析】对于①，由全称量词命题的否定可知，①错误；
对于②，由题意得，Δ≤0，即(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3，②正确；
对于③，解不等式x2＞1，得x＜－1或x＞1，所以“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件，③错误；
对于④，函数y＝f(x)的定义域为0,+∞，
构造函数g(x)＝x＋ex，则函数y＝g(x)为增函数，
又f(x)＝e2ln x＋x＋2ln x－e－x＝(e2ln x＋2ln x)－(－x＋e－x)＝g(2ln x)－g(－x)，
∵x＝x0为函数y＝f(x)的零点，
则f(x0)＝g(2ln x0)－g(－x0)＝0，
∴g(2ln x0)＝g(－x0)，∴2ln x0＝－x0，
则x0＋2ln x0＝0，④正确．故选：C.
7．BC　【解析】对于A，B因为“a＜－1，使得a2＋6a≥0成立”的否定是“a＜－1，有a2＋6a＜0成立”，所以A错误，B正确；
对于C，命题“x∈x1≤x≤2，－a≤x≤a”为真命题，则a≥4，所以“a≥7”是一个充分不必要条件，故C正确；
对于D，当a＜0，b＜0时，a，b无意义，故D错误．故选：BC.
8．AC　【解析】A.当a＞0时，－8a＜x＜4a，所以-8a=-1,4a=2,无解；当a＜0时，4a＜x＜－8a，所以-8a=2,4a=-1,解得a＝－4；当a＝0时显然不满足题意，所以该选项正确；
B．集合A＝{1，－2}，BA，所以B＝，{1}或{－2}，则满足条件a的所有取值是a＝1或－12或0，所以该选项错误；
C．集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，则满足条件ACB的集合C有3个，它们是{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，所以该选项正确；
D．A∩B＝12，所以该选项错误．故选：AC.
9．BD　【解析】对于A，由B－A＝{x|x∈B且xA}，故B－A＝{3，8}，错误；
对于B，由A－B＝{x|x∈A且xB}，且A－B＝，故AB，正确；
对于C，由韦恩图知，B－A如下图阴影部分，

所以B－A＝B∩∁UA，错误；
对于D，∁UB＝{x|x＜－2或x≥4}，
则A－B＝A∩∁UB＝{x|x＜－2或x≥4}，正确．
故选：BD.
10．BD　【解析】选项A，必要性：AB，当A＝时，此时A∩B＝，该选项错误；
选项B，x，y中有一个数为有理数时，xy不一定为有理数，如1×2＝2，所以“x或y为有理数”不能推导出“xy为有理数”；xy为有理数时，x，y可能均为无理数，如2×2＝2，所以“xy为有理数”不能推导出“x或y为有理数”，所以该选项正确；
选项C，充分性：A∪B＝ABA，必要性：BAA∪B＝A，应为充要条件，所以该选项错误；
选项D，必要性：a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，
所以a2+b2＋b2+c2＋a2+c2＝2ab＋2bc＋2ca，
即a-c2＋b-c2＋a-b2＝0，所以a＝b＝c；
充分性：a＝b＝c，则a2＋b2＋c2＝3a2＝ab＋bc＋ac，该选项正确．故选：BD.
11．(－∞，13)　【解析】由题意得，2＞3a＋1，所以a＜13.
故答案为：(－∞，13)．
12．7　【解析】由题意知集合A中必须包含0，2两个元素，且集合A≠{－1，0，1，2，4}；
∴满足条件的集合A为：{0，2}，{0，2，－1}，{0，2，1}，{0，2，4}，{0，2，1，4}，{0，2，－1，4}，{0，2，－1，1}，
∴满足条件的集合A的个数为7.故答案为：7.
13.2,-2,-94　【解析】由题意，集合A＝x|x+ax2-2=1是单元素集，即方程x+ax2-2＝1有唯一解，∵x2－2≠0x≠±2，
当a＝2时，原式＝1x-2＝1x＝2＋1，符合题意；
当a＝－2时，原式＝1x+2＝1x＝－2＋1，符合题意；
当a≠±2时，方程x+ax2-2＝1转化为x2－x－2－a＝0有唯一解，∴Δ＝1＋4a+2＝0，得a＝－94，
所以a的取值集合为2,-2,-94.
故答案为：2,-2,-94.
14．既不充分也不必要　【解析】取a1＝b1＝c1＝1，a2＝b2＝c2＝－1，满足a1a2＝b1b2＝c1c2，
所以a1x2＋b1x＋c1＞0即为x2＋x＋1＞0，a2x2＋b2x＋c2＞0即为－x2－x－1＞0，
两不等式的解集不同，故充分性不满足；
不等式x2－x＋1＞0与不等式x2＋x＋1＞0的解集相同，均为R，但不满足a1a2＝b1b2＝c1c2，故必要性不满足．
所以“a1a2＝b1b2＝c1c2”是“不等式a1x2＋b1x＋c1＞0与a2x2＋b2x＋c2＞0同解”的既不充分也不必要条件．故答案为：既不充分也不必要．
15．【解析】(1)由(x－a)(x－a＋1)≤0，即a－1≤x≤a，
所以A＝{x|(x－a)(x－a＋1)≤0}＝{x|a－1≤x≤a}，
由x2＋x－2＜0，即(x－1)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜1，
所以B＝x|x2+x-2＜0＝x|-2＜x＜1，
因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，
所以集合A真包含于集合B，
所以a-1＞-2,a＜1,解得－1＜a＜1，
即a∈(－1，1)．
(2)因为命题p：x∈B，x2＋(2m＋1)x＋m2－m＞8为假命题，
所以綈p：x∈B，x2＋(2m＋1)x＋m2－m≤8为真命题，
设g(x)＝x2＋(2m＋1)x＋m2－m－8，则g-2≤0,g1≤0,
即-22+2m+1×-2+m2-m-8≤0,12+2m+1×1+m2-m-8≤0,
解得-1≤m≤6,-3≤m≤2,所以－1≤m≤2，
即m∈-1,2.