北师大版八年级上册1 认识无理数教学设计

这是一份北师大版八年级上册1 认识无理数教学设计，共11页。
授课时间:40分钟
授课人数:50人
课时:1课时
课型:新授课
授课班级:八年级2班
授课出处:北师大版八年级上册第二章第一节
教材分析
本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》的第一节。主要是建立有理数和实数的概念并能对实数按要求进行不同的分类，同时了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义，让学生在实验操作中明确实数和数轴上的点是一一对应的。
本节课教科书突出其产生的实际背景，让学生经历无理数发现的过程，感知生活中确实存在不同于有理数的数，从而产生探求的欲望，最终总结出实数的概念。这一过程与历史上无理数发现的过程是一致的，也符合学生的认知规律，同时也对平面直角坐标系的引入起了铺垫作用。
学情分析
本节课的教学对象是初二学生。他们好奇心特强，喜欢动手探究，有强烈的问题意识。在课前他们对无理数有一定的了解，但是对于无理数产生的过程不清楚，所以通过本节课的学习让学生感受无理数存在的必要性和合理性，从而升华到实数的概念。
教学目标
根据新课程标准，本节课的教学目标有：
知识与技能：
通过动手操作，回顾历史，经历发现无理数的过程，能通过二分法的原理对已知形里数进行估值，了解无理数的客观存在，以及在数抽上和有理数是稠密排列的。
了解实数与无理数的概念，通过对比分析，理解无理数是无限不循环小数，能够辨析一个数是不是无理数。
过程与方法：
通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力。
让学生亲自动手做拼图实验，感受无理数存在的必要性和合理性，培养动手能力和合作精神。
通过“实数与数轴上的点一一对应”，渗透“数形结合”思想。
情感态度价值观：
激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情。
了解有关无理数发现的数学文化，了解熟悉从整数到有理数，再到实数的一个扩充的过程，理解实数系统的构成结构，感受数学中严谨的分类思想。
教学重难点
重点：
简单地估算一个无理数，理解无理数在数轴上是存在的。
会判断一个实数是有理数还是无理数。
难点：
理解无理数是无限不循环小数，以及实数与数轴上的点一一对应的关系。
会判断一个实数是有理数还是无理数。
教法与学法
教法分析
教法上通过讲授法和实验法结合，以动手实验为路线，鼓励学生动手拼图和找点判大小，以连续提问的方式引导学生主动参与课堂，去思考无理数的存在性和大小，以唤起他们的切身感受。另外，通过多媒体工具来加深学生对新知识的直观领悟和认识，使学习氛围变得活跃。
学法分析
学法上主要通过师生合作探究，学生在回答教师提问的过程中加固知识脉络，由有理数到无理数，在体验无理数的存在和探究无理数大小中学习，同时把与之对应的有理数相关性质或特点串联起来。在学习数学史中古人智慧的同时，来提升课堂学习效率。
教学环境及资源准备
多媒体课件，彩色粉笔，两个面积为 1 的正方形彩纸，剪刀等
课时安排
1课时
教学过程设计
（一）温故知新
【教师】好，今天我们将进入课本第二章的学习。我们先来复习一下我们学过的知识。小学的时候我们学过自然数，自然数是从0开始0,1,2,3,4……一直到后面，那到了初中我们学习一个研究数值很有用的工具，是一根长长的？（等待学生作答）
【学生】数轴！
【教师】对！有了数轴之后，我们就区分出了自然数中除了0之外的正整数，那么与之相对的就有？（等待学生作答）
【学生】负整数！
【教师】对！负整数！我们就把正整数、0和负整数统称为整数。也就是说整数包含了正整数、0和负整数。后面我们发现，整数并不能解决所有的问题。比如，我们知道9÷3 可以用整数2来表示，那么8÷3可以用整数来表示吗？
【学生】不能！
【教师】对，不能！其实我们用余数2余2也可以表示，但如果要用一个数应该如何表示呢？（抽问）
【学生】可以写成分数83！
【教师】好，我们学习了分数，这个时候就可以用83来表示。那这里的83是一个特殊的分数，如何用一个普遍的形式来表示分数呢？
【学生】mn！
【教师】很好，他用两个字母来表示的分数。那老师这里就把字母换一下，用qp来表示一个分数。那么对于这里的p和q有没有什么要求呢？（等待学生作答）
【学生】p不能等于0 ！
【学生】p和q都是整数！
【教师】好，首先分数要有意义分母p就不能为0，第二就是p和q都是整数，虽然我们遇到过0.20.1这种情况，但是它只是分数的形式不是分数对吧！那还有一个最后要求，就是p和q要互素。那如果不互素怎么样呢？比如会出现48这种情况，那这样的分数我们叫做不是？（等待学生作答）
【学生】最简分数！
【教师】对，不是最简分数！所以我们要求，分数满足 qp 形式，并且满足这三个条件。特别地，当p=1会发生什么情况？（等待学生作答）
【学生】变成了整数！
【教师】是的，这个时候这个分数就可以化成整数！这个时候我们就把分数和整数统一起来，统称为有理数。那么同样的，有理数我们就统一用qp的形式来表示，自然也那三个条件。我们刚刚说了整数和分数都可以用我们的工具---数轴上找一个点来表示，也就是说数轴上的一个点可以代表一个有理数。
【教师】同学们再思考：我们如何来比较这两部分的大小呢？整数和整数我们会比较，整数和分数也没有问题，那分数和分数要如何比较呢？比如这里有23和54，你会怎么来比较？
【学生】可以通分！
【教师】对，我们可以通分！那有没有更直接的方法呢？
【教师】我可以把23化成0.6，把54化成1.25。比较分数的大小，我们有一个比较快的方法就是把他们化成小数。那么整数和分数都可以化成什么样的小数呢？要么是像54这样的化成有限小数，或者像23这样的无限循环小数。所以，有理数就可以化成有限小数或者无限循环小数，这是它的一个本质。这是我们之前学习的知识，现在我们思考两个问题：是不是所有的数都能写成qp的形式呢？也就是是不是所有的数都是有理数？
设计意图：通过引导学生回顾七年级已学内容，并以之为切入点，引入新课，激发学生的学习兴趣。
（二）创设情境 引入新课
【学生】不是，比如π。
【教师】很好，那么π究竟是什么呢？这是我们今天一起研究的。再来看下一个，我们知道一个正方形，如果它的面积是9，则它的边长就为3；如果它的面积是4，则边长就为2。那面积为2的正方形它的边长是多少呢？首先，同学们这个正方形边长存在吗？
【学生】存在！
【教师】是的，因为面积存在，所以边长一定是存在的。但是这个边长我们又说不明白，那么接下来我们就通过实验来研究这个问题。我们将通过实验把两个面积为1的小正方形拼接成一个大正方形，大家注意观察，首先就把两个小正方形沿着一条对角线剪开得到4个小的直角三角形，然后把它们像这样拼接，最后得到一个大的正方形。我们发现这个大正方形的面积是多少？
设计意图：通过拼图实验，激发兴趣，增强学生的求知欲与好奇心。提出问题，引发学生思考，让学生自主探究。
【学生】面积是2！
（三）师生合作 探究新知
【教师】对的！面积为2，也就是两个小正方形的面积之和=1+1=2。那现在要求边长，我们可以设未知数x，利用方程来解。设大正方形的边长为x，那我们可以列出怎样的方程？（抽问）
【学生】x2=2！
【教师】好，所以我们得到边长的平方等于面积2，这个求解我们暂时还没学，老师这里先给出定义，这里的x=2，就是2在外面加一个符号，这样的符号读作根号。
【教师】好，现在x=2，也就是这个大正方形的边长，那这个2是原来小正方形的什么呢？
【学生】对角线！
【教师】很好！是这个小正方形的对角线！那么2是有理数吗？它有多大呢？
【学生】我觉得它不是有理数。
【教师】那它有多大呢？
【学生】我觉得它不是有理数。
【教师】为什么呢？
【学生】因为1x1=1
【教师】对的！1x1=1，但是这个2x2却是2。好，那他采取了一个方法去比较2和1的大小，对吧？那我们先把2是不是有理数这个问题放一放，我们先看它有多大？刚刚的同学给了我们启发，我们可以比较1和2的平方。1的平方等于1，但2的平方等于2。那也就是2>1。但大于1的有很多，所以现在还需要一个数字，你选选哪一个去和它比较？
【学生】2！
【教师】非常好！我会选2！2的平方等于4，那么我们发现2的平方恰好在1的平方和2的平方之间，而且这三个数都是正的，所以可以说2就在1和2之间。
【教师】好，那现在我们再来看一种方法。我们刚刚说到了2是小正方形的对角线长度，如果我想把2在数轴上表示出来，应该怎么做的呢？我现在以正方形左下角这一个顶点作为原点，它的边长1作为单位长度画出数轴，那接下来我们应该用什么方法把2放在这个数轴上去呢？（抽问）
【学生】以为圆心，以对角线为半径向右边做弧。
【教师】好，我们可以以原点为圆心，这个对角线的长度为半径做弧，去截取。我们来试试看。
设计意图：通过动态展示,形象而直观,易于突破思维定式。
【教师】结果我们会在数轴上截得这样一个点，所以这个点的数就表示2。我们观察到它的确是在1到2之间，但范围还是比较大。如果想要更精确应该怎么办？
【学生】取1.5的平方！
【教师】好！有同学说了取1.5的平方，也就是等于2.25，我们发现2.25大于2，是不是就说明1.5>2。那现在2就在1和1.5之间了。那继续，接下来取多少？
【学生】1.3！
【教师】1.3的平方是多少？1.69，它比2小，则1.3