2022-2023学年安徽省合肥市六校联考高一（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年安徽省合肥市六校联考高一（下）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年安徽省合肥市六校联考高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 复数z=−1+2i，则z−=(    )
A. 1−2i B. 1+2i C. −1+2i D. −1−2i
2. 若a=(1,2),b=(x,3)且a⋅b=4，则x=(    )
A. −2 B. −12 C. 12 D. 10
3. 如图是一组数据的频率分布直方图，设这组数据的平均数为M，中位数为N，则关于M与N的大小关系，下面说法正确的是(    )

A. M>N B. M 4. 若一个球的表面积和体积的数值相等，则该球的半径为(    )
A. 3 B. 13 C. 163 D. 3
5. 在△ABC中，若a=2，b=2 3，A=30°，则B等于(    )
A. 30° B. 30°或150° C. 60° D. 60°或 120°
6. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，且E为DD1的中点，则直线BD1与AE所成角的大小为(    )
A. π3
B. π4
C. π6
D. 5π6


7. 已知平行四边形ABCD中，若BM=12BC，DN=13DC，AC=xAM+yAN，则x+y等于(    )
A. 35 B. 45 C. 1 D. 75
8. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更.最多相差一两天.”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从五月、六月、七月这六个节气中任选两个节气，则这两个节气恰在同一个月的概率为(    )
A. 12 B. 13 C. 15 D. 110
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知α，β表示平面，m，n表示直线，则(    )
A. 若m//α，n//α，则m//n B. 若m//α，m//β，则α//β
C. 若m⊥α，n⊥α，则m//n D. 若m⊥α，m⊥β，则α//β
10. 二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快体育强国建设步伐，某校进行50米短跑比赛，甲、乙两班分别选出6名选手，分成6组进行比赛，每组甲、乙每班各派出一名选手，且每名选手只能参加一个组的比赛.下面是甲、乙两班6个小组50米短跑比赛成绩(单位：秒)的折线圈，则下列说法正确的是(    )

A. 甲班成绩的极差小于乙班成绩的极差 B. 甲班成绩的众数小于于乙班成绩的众数
C. 甲班成绩的平均数大于乙班成绩的平均数 D. 甲班成绩的方差大于乙班成绩的方差
11. 三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断△ABC是钝角三角形的有(    )
A. a=7，b=5，c=4
B. AB⋅BC>0
C. a−bc+b=sinCsinA+sinB
D. b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC
12. 设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为(    )
A. 若A，B是互斥事件，P(A)=13,P(B)=12，则P(A∪B)=16
B. 若A，B是对立事件，则P(A∪B)=1
C. 若A，B是独立事件，P(A)=13,P(B)=23，则P(AB−)=19
D. 若P(A−)=13,P(B−)=12，且P(A−B)=14，则A，B是独立事件
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 常言道：国以民为本，民以食为天.食品安全问题是人类生存的第一需要.学校为了解学生对食堂满意情况组织了一次座谈会，并利用分层抽样的方法从高中3个年级中随机抽取了150人参加，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生______ 人.
14. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为(−2,−1)，则zi= ______ ．
15. 已知|a|= 2，a与b的夹角为π4，e是与b同向的单位向量，则a在b方向上的投影向量为______ ．
16. 方山双塔位于台州市黄岩区九峰公园内紫云峰之巅.南宋宝章阁直学士章雄飞《游九峰寺》诗中赞道：“九峰突地三千丈，双塔攒空十二层”.为了测量南塔高度，某同学设计了如下测量方法：先在塔底平台A点处测得塔底中心O在北偏西70°方向，塔顶仰角的正切值为32，再走到距离A点25米的点B处，测得点O在北偏东80°方向，塔顶仰角为π6，则该塔的高度为______ 米.


四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知向量a=(1,0)，b=(2,1)，
(1)当实数k为何值时，向量ka−b与a+3b共线
(2)当实数k为何值时，向量ka−b与a+3b垂直
18. (本小题12.0分)
如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为2，侧棱AA1=1，E是棱BC的中点，F是DC1与D1C的交点．
(1)求证：BD1//平面C1DE；
(2)求三棱锥D−D1BC的体积．

19. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin2A+sin2C=sinAsinC+sin2B.
(1)求角B的大小；
(2)若b= 3，△ABC的面积为 32，求△ABC的周长．
20. (本小题12.0分)
某校对100名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，得到如图所示频率分布直方图．
(1)求图中a的值；
(2)估计该校学生数学成绩的平均数；
(3)估计该校学生数学成绩的第75百分位数．

21. (本小题12.0分)
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.记事件A=“甲第一轮猜对”，B=“乙第一轮猜对”，C=“甲第二轮猜对”，D=“乙第二轮猜对”．
(1)求“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率；
(2)求“星队”在两轮活动中，甲、乙猜对成语的个数相等且至少为1的概率．
22. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2，PA⊥平面ABCD，且M是PD的中点．
(1)求证：AM⊥平面PCD；
(2)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：∵复数z=−1+2i，
∴z−=−1−2i．
故选：D．
根据共轭复数的定义判断即可．
本题考查了共轭复数的定义，是基础题．

2.【答案】A 
【解析】解：根据题意，若a=(1,2),b=(x,3)，
则a⋅b=x+6=4，解可得x=−2．
故选：A．
根据题意，由数量积的计算公式可得a⋅b=x+6=4，解可得答案．
本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．

3.【答案】B 
【解析】解：由题意，平均数是反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每一个数据都有关系；
将一组数据按大小顺序排列，处在中间位置的一个数，叫做这组数据的中位数．
平均数和中位数的大小关系与数据的分布的形态有关，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”的那边，

如图(1)中位数与平均数相等；如图(2)中位数小平均数；如图(3)中位数大于平均数，
结合给定的频率分布直方图，可知数据的中位数N更大一些，即M 故选：B．
根据数据的平均数和中位数的概念及关系，即可求解．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．

4.【答案】D 
【解析】解：设球的半径为R，由题意可得4πR2=43πR3，
解得R=3．
故选：D．
设球的半径为R，直接由球的表面积与体积相等列式求得R值．
本题考查球的表面积与体积公式，属基础题．

5.【答案】D 
【解析】解：∵a=2，b=2 3，A=30°，
∴由正弦定理得：sinB=bsinAa=2 3×122= 32．
∵b>a，
∴B=60°或120°．
故选：D．
直接利用正弦定理，求出B的正弦函数值，即可求出B的值．
本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正确利用正弦定理是解本题的关键，属于基础题．

6.【答案】C 
【解析】解：如图，取CC1的中点F，连接EF，BF，D1F，

在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB//CD，AB=CD，
因为E，F分别为DD1，CC1的中点，
所以EF//CD，EF=CD，即四边形ABFE为平行四边形，
所以AE//BF，所以∠D1BF(或其补角)为直线BD1与AE所成角，
因为AB=AD=1，AA1=2，
所以BC=C1D1=1，CC1=DD1=2，
所以BF= BC2+CF2= 2，
D1F= D1C12+C1F2= 2，
BD1= AB2+AD2+DD12= 6，
在等腰三角形FBD1中，cos∠D1BF=12BD1BF= 62 2= 32，
所以∠D1BF=π6，
故直线BD1与AE所成角的大小是π6．
故选：C．
长方体模型容易找平行线，通过构造平行四边形，运用平行线平移法作出异面直线所成的角，然后解三角形求解．
本题主要考查异面直线所成的角，考查转化能力，属于基础题．

7.【答案】D 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=AB+AD，
∵BM=12BC，DC=3DN，
∴AM=AB+BN=AB+12BC=AB+12AD，AN=AD+DN=AD+13DC=AD+13AB，
∵AC=xAM+yAN，
∴AC=x(AB+12AD)+y(AD+13AB)=(x+y3)AB+(x2+y)AD，
∵AB与AD不共线，
∴x+y3=1x2+y=1，得x=45y=35，
则x+y=75，
故选：D．
根据平面向量的线性运算可解．
本题考查平面向量的线性运算，属于中档题．

8.【答案】C 
【解析】解：由题意，基本事件由(立夏，小满)，(立夏，芒种)，(立夏，夏至)，(立夏，小暑)，(立夏，大暑)，(小满，芒种)，(小满，夏至)，(小满，小暑)，(小满，大暑)，(芒种，夏至)，(芒种，小暑)，(芒种，大暑)，(夏至，小暑)，(夏至，大暑)，(小暑，大暑)共15个，
其中任取两个在同一个月的有3个，
所以P=315=15．
故选：C．
写出基本事件，根据古典概型概率公式求解．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．

9.【答案】CD 
【解析】解：A选项，若m//α，n//α，则m，n可能平行，相交或异面，故A错误；
B选项，若m//α，m//β，则α，β可能相交或平行，故B错误；
C选项，若m⊥α，n⊥α，由线面垂直性质可知m//n，故C正确；
D选项，若m⊥α，m⊥β，则α，β互相平行，故D正确．
故选：CD．
由线面，面面关系相关知识判断各选项正误即可．
本题考查空间中直线与平面的位置关系的判断，属基础题．

10.【答案】AB 
【解析】解：甲班成绩的极差为9.1−8.1=1.0秒，乙班成绩的极差为9.3−7.0=2.3秒，A项正确；
甲班成绩的众数为8.6秒，乙班成绩的众数为8.9秒，B项正确；
甲班成绩的平均数为x−甲=16×(8.1+9.1+8.5+8.6+8.7+8.6)=8.6，
乙班成绩的平均数为x−乙=16×(7.0+9.3+8.3+9.2+8.9+8.9)=8.6.所以x−甲=x−乙，C项错误；
甲班成绩波动小，相对于甲班的平均值比较集中，乙班成绩波动大，且相对于乙班的平均值比较分散，
所以甲班成绩的方差小于乙班成绩的方差，D项错误．
故选：AB．
根据极差、众数、平均数的概念逐项进行判断即可求解．
本题主要考查统计图表，极差，众数，平均数，方差的求法，考查运算求解能力，属于基础题．

11.【答案】ABC 
【解析】解：对于A，∵a>b>c，
∴A>B>C，且b2+c2=41<49=a2，故A为钝角，故A正确；
对于B，∵AB⋅BC=−ac⋅cosB=2a，
∴cosB<0，则B为钝角，故B正确；
对于C，∵a−bc+b=sinCsinA+sinB，
∴由正弦定理可得，a−bc+b=ca+b，即b2+c2−a2=−bc，解得cosA=−12，A=2π3，故C正确；
对于D，∵b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，
∴由正弦定理可得，sin2B⋅sin2C+sin2C⋅sin2B=2sinB⋅sinC⋅cosB⋅cosC，
则sinB⋅sinC=cosB⋅cosC，即cos(B+C)=0，
故B+C=π2，则A=π2，故D错误．
故选：ABC．
根据已知条件，结合正余弦定理，依次求解．
本题主要考查平面向量数量积的性质及其运算，考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．

12.【答案】BC 
【解析】解：对于A：若A，B是互斥事件，P(A)=13，P(B)=12，则P(A∪B)=13+12=56，故A错误；
对于C：若A，B是独立事件，P(A)=13，P(B)=23，则A，B−也是独立事件P(B−)=13，则P(AB−)=P(A)P(B−)=13×13=19，故C正确；
对于B：若A，B是对立事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，故B正确；
对于D：若P(A−)=13,P(B−)=12，则P(A−B)=14≠13×12=P(A−)P(B)，则A−，B不是独立事件，故A，B也不是独立事件，故D错误．
故选：BC．
利用互斥事件与相互独立事件的性质逐一判断即可．
本题考查的知识要点：互斥事件和对立事件的定义，必然事件的定义及关系式的应用，属于中档题．

13.【答案】3000 
【解析】解：由题意可知，高三年级抽取了150−40−50=60，
故该高中共有学生：1200÷60150=3000人．
故答案为：3000．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．

14.【答案】−1+2i 
【解析】解：因为复数z对应的点的坐标为(−2,−1)，则z=−2−i，
则zi=−2−ii=(−2−i)⋅ii2=−1+2i．
故答案为：−1+2i．
利用复数的几何意义和复数的运算即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．

15.【答案】e 
【解析】解：因为|a|= 2，a与b的夹角为π4，e是与b同向的单位向量，
所以a在b方向上的投影向量为|a|cosπ4e= 2× 22e=e．
故答案为：e．
根据投影向量的定义计算即可．
本题考查了投影向量的定义与应用问题，是基础题．

16.【答案】757 
【解析】解：作出图形如图所示，OC为塔高，
由题意得，∠BOA=70°+80°=150°，
设塔高OC=m，由题意可得AO=23m，BO= 3m，
在△AOB中，由余弦定理可得AB2=BO2+AO2−2BO⋅AO⋅cos∠AOB，
∴252=( 3m)2+(23m)2−2⋅ 3m⋅23m⋅cos150°，
整理得499m2=625，解得m=757或m=−757(舍去)．
∴该塔的高度为757米．

故答案为：757．
作出图形，设塔高OC=m，由已知可得AO=23m，BO= 3m，∠BOA=150°，在△AOB中，由余弦定理可得AB2=BO2+AO2−2BO⋅AO⋅cos∠AOB，求解即可．
本题考查余弦定理在解三角形中的应用，属中档题．

17.【答案】解：(1)ka−b=k(1,0)−(2,1)=(k−2,−1)，a+3b=(1,0)+3(2,1)=(7,3)，
向量ka−b与a+3b共线，
所以(k−2)⋅3=(−1)×7，
所以k=−13．
(2)ka−b=k(1,0)−(2,1)=(k−2,−1)，a+3b=(1,0)+3(2,1)=(7,3)，
向量ka−b与a+3b垂直，
所以7(k−2)+3×(−1)=0，解得k=177． 
【解析】(1)根据向量共线的坐标计算即可求解；
(2)根据向量的垂直的坐标计算即可求解．
本题主要考查平面向量垂直、平行的性质，属于基础题．

18.【答案】解：(1)证明：在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形DCC1D1为矩形，则F为D1C的中点，
又E为BC的中点，则有EF//BD1，而EF⊂平面C1DE，BD1⊄平面C1DE，
所以BD1//平面C1DE．
(2)在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，BC=2，AA1=1，
△BDC的面积S△BDC=12BC2=2，
所以求三棱锥D−D1BC的体积VD−D1BC=VD1−BDC=13S△BDC⋅DD1=13×2×1=23． 
【解析】(1)根据给定条件证得EF//BD1，再利用线面平行的判定推理作答．
(2)利用等体积求法出三棱锥D−D1BC的体积作答．
本题考查线面平行的证明，三棱锥的体积的求解，属中档题．

19.【答案】解：(1)因为sin2A+sin2C=sinAsinC+sin2B.
由正弦定理可得：a2+c2=ac+b2，
则a2+c2−b2=ac，由余弦定理可得：cosB=a2+c2−b22ac=12，
又0 (2)由三角形的面积可得：S=12acsinB=12ac× 32= 32，
所以ac=2，
由余弦定理可得：cosB=12=a2+c2−b22ac=(a+c)2−32×2−1，
解得a+c=3，
所以三角形ABC的周长为a+b+c=3+ 3． 
【解析】(1)利用正弦定理可得a2+c2−b2=ac，然后再利用余弦定理即可求解；(2)利用三角形的面积求出ac的值，然后利用余弦定理求出a+c的值，进而可以求解．
本题考查了解三角形问题，涉及到正余弦定理的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．

20.【答案】解：(1)由频率分布直方图得：
a+0.02+0.025+0.035+a=0.1，
解得a=0.01．
(2)估计该校学生数学成绩的平均数为：
0.1×55+0.2×65+0.35×75+0.25×85+0.1×95=75.5(分)．
(3)第75百分位数为：
80+0.75−(0.1+0.2+0.35)0.25×10=84(分)． 
【解析】本题考查频率、平均数、百分位数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解等能力，属于基础题．
(1)由频率分布直方图列出方程，由此能求出a．
(2)由频率分布直方图能估计该校学生数学成绩的平均数．
(3)频率分布直方图能求出第75百分位数．

21.【答案】解：(1)设E=“‘星队’至少猜对3个成语”，
则E=ABCD∪A−BCD∪AB−CD∪ABC−D∪ABCD−，
则P(E)=P(ABCD)+P(A−BCD)+P(AB−CD)+P(ABC−D)+P(ABCD−)
=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A−)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B−)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C−)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D−)
=34×23×34×23+14×23×34×23+34×13×34×23+34×23×14×23+34×23×34×13=23，
故“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率为23．
(2)甲两轮猜对1个成语的概率为C21×34×14=38，甲两轮猜对2个成语的概率为(34)2=916，
乙两轮猜对1个成语的概率为C21×23×13=49，乙两轮猜对2个成语的概率为(23)2=49，
所以“星队”在两轮活动中，甲、乙猜对成语的个数相等的概率为38×49+916×49=512． 
【解析】(1)根据相互独立事件的乘法公式求得猜对3个成语和4个成语的概率，再利用概率的加法公式求解即可；
(2)分别求得甲、乙猜对一个，两个成语的概率，再根据相互独立事件的乘法公式求解即可．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．

22.【答案】解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，
又四边形ABCD是矩形，∴CD⊥DA，
∵DA⋂PA=A，∴CD⊥平面PAD，
∵AM⊂平面PAD，∴CD⊥AM，
又M是PD的中点，PA=AD=4，∴AM⊥PD，
∵CD⋂PD=D，所以AM⊥平面PCD；
(2)取AD中点为N，连接MN，AC，
在△PAD中，M，N分别为线段PD，AD的中点，故MN//PA，MN=12PA=2，
∵PA⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，
∴VM−ACD=13×MN×12×AD×CD=83，
由(1)得AM⊥平面PCD，∵MC⊂平面PCD，∴AM⊥MC，
∵PA=AD=4，∴PD=4 2,MD=2 2，又AB=CD=2，∴MC=2 3，
∴S△AMC=12×AM×MC=2 6，
设点D到平面AMC的距离为h，直线CD与平面ACM所成角为θ，
则VD−AMC=13×h×S△AMC=VM−ACD=83，解得：h=4 6，
故sinθ=hCD= 63，所以直线CD与平面ACM所成角的正弦值为 63． 
【解析】(1)根据线面垂直的性质与判定定理即可证明；
(2)先作出线面角，再解三角形，即可求解．
本题考查证明垂直的证明，线面角的求解，属中档题．