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2022-2023学年上海市闵行区七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年上海市闵行区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市闵行区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，无理数是( )
A. 227 B. 4 C. π D. 2.023
2. 下列说法正确的是( )
A. 4的平方根是2 B. 1的立方根是±1
C. −3没有五次方根 D. 0的任何次方根都是0
3. 已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，且AC//DF，AD=BE，增加下列条件不能推导出△ABC≌△DEF的是( )
A. BC=EF
B. BC//EF
C. AC=DF
D. ∠C=∠F
4. 在平面直角坐标系xOy中，点M与点N(3,4)关于原点对称，那么点M的坐标为( )
A. (3,4) B. (−3,−4) C. (−3,4) D. (3,−4)
5. 下列说法错误的是( )
A. 等腰三角形两腰上的高相等 B. 等腰三角形两腰上的中线相等
C. 等腰三角形两底角的平分线相等 D. 等腰三角形高、中线和角平分线重合
6. 已知：如图，∠AOB=45°，点P在∠AOB的内部，OP=4，点P1与点P关于OB对称，点P2与点P关于OA对称，那么以P1、O、P2三点为顶点的三角形面积是( )
A. 4 B. 8 C. 16 D. 无法确定
二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）
7. 计算：( 3)2= ______ ．
8. 比较大小：− 5 ______−2.(填“>”、“=”或“<”)
9. 点A和点B是数轴上的两点，点A表示的数为− 3，点B表示的数为32 3，那么A、B两点间的距离为______ ．
10. 利用计算器计算： 6−44≈ ______ (保留两个有效数字)．
11. 用分数指数幂表示：5a6= ______ ．
12. 已知：如图，a//b，三角尺的直角顶点在直线b上，∠1=49°，∠2的度数为______ ．
13. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P(−2,−3)向上移动4个单位后得到点Q，那么点Q的坐标是______ ．
14. 已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的腰长为______ ．
15. 如图：将正方形纸片ABCD先对折，得折痕EF后展开，然后再将AB沿BG翻折，使点A落在折痕EF上的点P，联结PC得△PBC，那么△PBC的形状为______ ．
16. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A关于x轴的对称点落在第二象限，那么它关于y轴的对称点落在第______ 象限．
17. 已知∠AOB与∠CDE的两边分别平行，∠AOB=34°，∠CDE的度数是______ ．
18. 我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角.如图：一辆车在一段绕山公路行驶(沿箭头方向)时，在点B、C和D处的转弯角分别是α、β和θ，且AB//DE，则α、β和θ之间的数量关系是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算：( 5× 10−2 2)÷ 2．
20. (本小题6.0分)
计算：( 3+1)2×(4−2 3)．
21. (本小题6.0分)
计算：(313÷312)6= ______ ．
22. (本小题6.0分)
已知：如图，平面直角坐标系xOy中的△ABC．
(1)写出△ABC三个顶点的坐标；
(2)画出△ABC关于y轴的对称图形．
23. (本小题6.0分)
已知：如图，在△ABC中，已知BD平分∠ABC，DE//BC，点M是BD的中点.请说明EM⊥BD．
解：因为BD平分∠ABC(已知)，
所以∠CBD= ______ (角平分线的意义)．
因为DE//BC(已知)，
所以∠CBD=∠BDE(______ ).
所以∠BDE= ______ (______ ).
所以EB=ED(______ ).
因为点M是BD的中点(已知)，
所以EM⊥BD(______ ).
24. (本小题8.0分)
已知：如图，点C、D在AB的异侧，AC=AD，BC=BD，请说明△ABC与△ABD全等的理由．
25. (本小题8.0分)
已知在等腰三角形ABC中，AC=BC，∠C=2∠B.求∠B的度数．
26. (本小题8.0分)
已知在等边△ABC中，点D是边AB上一点，点E是CB延长线上一点，DC=DE．
(1)如图1，如果点D是AB的中点，说明BE=AD；
(2)如图2，如果点D是AB上任意一点(不与点A、B重合)，BE=AD还成立吗？请说明理由．
27. (本小题10.0分)
如图：在平面直角坐标系xOy中，已知点P(4,4)，点A是x轴的正半轴上一点，横坐标为a(4
(2)点B的坐标为______ (用含a的代数式表示)，四边形OAPB的面积为______ ；
(3)联结OP．
i)∠POA= ______ °；
ii)说明点A和点B到线段OP的距离之和等子线段OP的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：227是分数， 4=2是整数，2.023是有限小数，
它们均为有理数，
则A，B，D均不符合题意；
π是无限不循环小数，也是无理数，
则C符合题意；
故选：C．
整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数；据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，其相关定义是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】D
【解析】解：4的平方根是±2，故A不符合题意；
1的立方根是1，故B不符合题意；
−3有五次方根，故C不符合题意；
0的任何次方根都是0，故D符合题意；
故选：D．
分别根据平方根、立方根和n次方根的定义进行判断即可．
本题考查平方根、立方根和n次方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3.【答案】A
【解析】解：∵AC//DF，
∴∠A=∠FDE，
∵AD=BE，
∴AD+DB=BE+DB，
即AB=DE，
A、∵AB=DE，BC=EF，∠A=∠FDE，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；
B、∵BC//EF，
∴∠ABC=∠DEF，
∵∠A=∠FDE，AB=DE，∠ABC=∠DEF，
∴△ABC≌△DEF(ASA)，
故此选不项符合题意；
C、∵AC=DF，∠A=∠FDE，AB=DE，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
故此选项不符合题意；
D、∵∠C=∠F，∠A=∠FDE，AB=DE，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，
故此选项不符合题意；
故选：A．
根据全等三角形的判定定理求解即可．
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵点M与点N(3,4)关于原点对称，
∴点M的坐标为(−3,−4)．
故选：B．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)，即可得出答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
5.【答案】D
【解析】解：A、等腰三角形两腰上的高相等，故A不符合题意；
B、等腰三角形两腰上的中线相等，故B不符合题意；
C、等腰三角形两底角的平分线相等，故C不符合题意；
D、等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的角平分线互相重合，故D符合题意；
故选：D．
根据等腰三角形的性质，逐一判断即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：如图，
∵OP=4，点P1与点P关于OB对称，点P2与点P关于OA对称，
∴OP1=OP2=OP=4，∠P2OA=∠AOP，∠POB=∠BOP1，
∵∠AOB=45°，
∴∠P2OA+∠AOP+∠POB+∠BOP1=90°，
即∠P2OP1=90°，
∴S△P2OP1=12×OP1×OP2=12×4×4=8．
故选：B．
由对称的性质证∠P2OP1=90°，再根据三角形面积计算即可．
本题考查了轴对称的性质和三角形的面积，熟练掌握并运用轴对称的性质是解题的关键．
7.【答案】3
【解析】解：( 3)2=3，
故答案为：3．
根据二次根式的乘方法则计算即可．
本题考查的是二次根式的乘方，掌握二次根式的乘方法则是解题的关键．
8.【答案】<
【解析】解：因为2= 4< 5，
所以− 5<−2，
故答案为：<．
求出2= 4< 5，再根据实数的大小比较法则比较即可．
本题考查了实数的大小比较法则的应用，注意：两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
9.【答案】52 3
【解析】解：∵点A表示的数为− 3，点B表示的数为32 3，
∴AB=|− 3−32 3|=|−52 3|=52 3．
故答案为：52 3．
根据数轴上两点间的距离公式AB=|a−b|，代入A点和B点表示的数，求解即可．
此题主要是考查了数轴上两点间的距离，能够熟练运用公式是解答此题的关键．
10.【答案】1.0
【解析】解：原式≈2.449−1.414=1.035≈1.0．
故答案为：1.0．
利用计算器分别计算出各数，再根据有理数的减法进行计算即可．
本题考查的是计算器−数的开方，能熟练利用计算器计算数的开方是解答此题的关键．
11.【答案】a65
【解析】解：原式=a65．
故答案为：a65．
直接化根式为分数指数幂得答案．
本题考查根式与分数指数幂的互化，是基础的计算题．
12.【答案】41°
【解析】解：∵a//b，
∴∠3=∠1=49°，
∴∠2=180°−90°−49°=41°．
故答案为：41°．
由a//b，得到∠3=∠1=49°，由平角定义得到∠2=180°−90°−49°=41°．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到∠3=∠1=49°．
13.【答案】(−2,1)
【解析】解：∵将点P(−2,−3)向上移动4个单位后得到点Q，
∴点Q的纵坐标为−3+4=1，
∴点Q的坐标为(−2,1)．
故答案为：(−2,1)．
根据向上平移横坐标不变，纵坐标加进行计算即可得解．
本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
14.【答案】4
【解析】解：设等腰三角形的另一边为x，
∵等腰三角形的周长为10，一边长为2，
∴有以下两种情况：
①当x为等腰三角形的腰长时，底边为2，
依题意得：2x+2=10，
解得：x=4，
∵2+4>5，
故符合三角形任意两边之和大于第三边，
∴腰长为4，
②当2为等腰三角形的腰长时，底边为x，
依题意得：2+2+x=10，
解得：x=6，
∵2+2<6，
故不符合三角形任意两边之和大于第三边，此种情况不存在．
综上所述：该等腰三角形的腰长为4．
故答案为：4．
首先设等腰三角形的另一边为x，再分两种情况讨论：①当x为等腰三角形的腰长时，底边为2，根据等腰三角形的周长为10可求出x=4，然后根据“三角形任意两边之和大于第三边”进行检验即可得出答案；②当2为等腰三角形的腰长时，底边为x，根据等腰三角形的周长为10可求出x=4，然后根据“三角形任意两边之和大于第三边”进行检验即可得出答案．
此题主要考查了等腰三角形的概念，三角形三边之间的关系，解答此题的关键是理解三角形任意两边之和大于第三边，进行分类讨论是解答此题的难点，也是易错点．
15.【答案】等边三角形
【解析】解：等边三角形．
证明如下，
由题意知，EF垂直平分线段BC，
∴PB=PC，
∵△ABG和△PBG关于BG对称，
∴PB=PC=BA，
∵四边形ABCD是正方形，
∴PB=PC=BA=BC，
∴△PBC是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
由轴对称可知BA=BP=PC，再由正方形的边长相等可知BP=PC=BC，从而判断形状．
本题主要考查了轴对称的性质．本题的关键是将轴对称转化为线段相等．
16.【答案】四
【解析】解：∵点A关于x轴的对称点落在第二象限，
∴A点在第三象限，
∴它关于y轴的对称点落在第四象限．
故答案为：四．
由已知可得点A位于第三象限，可求点A关于y轴的对称点的坐标，根据点的坐标特点可得答案．
此题考查的是关于x轴、y轴对称的点的坐标，关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P(x,y)关于y轴的对称点P′的坐标是(−x,y)．
17.【答案】34°或146°
【解析】解：如图1，
∵OA//DC，OB//DE，
∴∠AOB=∠CEB，∠CDE=∠CEB，
∴∠CDE=∠AOB=34°°．
如图2，
∵OA//CD，DE//OB，
∴∠AOB=∠DNB，∠DNB+∠CDE=180°，
∴∠AOB+∠CDE=180°，
∵∠AOB=34°，
∴∠CDE=146°，
∴∠CDE=34°或146°．
故答案为：34°或146°．
由平行线的性质得到∠CDE=∠AOB或∠CDE+∠AOB=180°，即可得到答案．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到∠CDE=∠AOB或∠CDE+∠AOB=180°．
18.【答案】θ=α+β
【解析】解：如图，
∵AB//DE，
∴∠DFC=α，
∵θ=∠DFC+β，
∴θ=α+β．
故答案为：θ=α+β．
根据题意画出图形，然后根据平行线的性质证得∠DFC=α，再根据三角形外角的性质解答即可．
本题考查的是平行线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用；平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
19.【答案】解：原式=(5 2−2 2)÷ 2
=3 2÷ 2
=3．
【解析】利用二次根式的乘除计算得出答案．
本题考查了二次根式的混合运算，题目难度较小，明确二次根式乘除法的性质是解决问题的关键．
20.【答案】解：( 3+1)2×(4−2 3)
=(4+2 3)×(4−2 3)
=16−12
=4．
【解析】利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】13
【解析】解：原式=(3−16)6
=3−1
=13．
故答案为：13．
先计算同底数幂的除法，再计算幂的乘方即可．
本题考查了分数指数幂，熟练掌握运算法则是关键．
22.【答案】解：(1)A(−1,2)，B(−2,−2)，C(1,−1)；
(2)如图所示，△DEF即为所求．
【解析】(1)根据图形直接写出点的坐标即可；
(2)根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解．
本题考查了轴对称变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
23.【答案】∠ABD 两直线平行，内错角相等 ∠ABD 等量代换 等角对等边 等腰三角形的性质
【解析】解：因为BD平分∠ABC(已知)，
所以∠CBD=∠ABD(角平分线的意义)．
因为DE//BC(已知)，
所以∠CBD=∠BDE(两直线平行，内错角相等)．
所以∠BDE=∠ABD(等量代换)．
所以EB=ED(等角对等边)．
因为点M是BD的中点(已知)，
所以EM⊥BD(等腰三角形的性质)．
由角平分线的定义和平行线的性质得到∠BDE=∠ABD，由等腰三角形的判定得到EB=ED，根据等腰三角形的性质即可证得EM⊥BD．
本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，灵活运用相关知识是解决问题的关键．
24.【答案】证明：在△ABC和△ABD中，
AC=AD,BC=BD,AB=AB,
∴△ABC≌△ABD(SSS)．
【解析】由SSS即可证明两三角形全等．
本题考查了三角形全等的判定．本题的关键是发掘公共边相等这一条件．
25.【答案】解：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
设∠A=∠B=x，则∠C=2∠B=2x，
∴x+x+2x=180°，
∴x=45°，
∴∠B=45°．
【解析】根据等腰三角形的性质得∠A=∠B，设∠A=∠B=x，则∠C=2∠B=2x，由三角形的内角和定理得到关于x的方程，即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC，
∵点D是AB的中点，
∴∠CDB=90°，∠DCB=12∠ACB=30°，
∵DC=DE，
∴∠E=∠DCB=30°，
∵∠EDB=∠ABC−∠E=30°，
∴∠EDB=∠E=30°，
∴BE=BD，
∵BD=AD，
∴BE=AD；
(2)BE=AD还成立，
理由：过点D作DF//CB，交AC于点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∴∠ABE=180°−∠ABC=120°，
∵DF//BC，
∴∠ADF=∠ABC=60°，∠AFD=∠ACB=60°，
∴∠CFD=180°−∠AFD=120°，
∴∠ABE=∠CFD=120°，
∵∠A=∠ADF=∠AFD=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=DF，
∵DE=DC，
∴∠E=∠DCE，
∵DF//BC，
∴∠DCB=∠FDC，
∴∠E=∠FDC，
∴△DBE≌△CFD(AAS)，
∴BE=DF，
∴BE=AD．
【解析】(1)根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC，再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠CDB=90°，∠DCB=30°，然后利用等腰三角形的性质可得∠E=∠DCB=30°，再利用三角形的外角性质可得∠EDB=∠E=30°，从而可得BE=BD，最后利用等量代换即可解答；
(2)过点D作DF//CB，交AC于点F，根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠A=60°，从而可得∠ABE=120°，再根据平行线的性质可得∠ADF=∠ABC=60°，∠AFD=∠ACB=60°，从而可得∠CFD=120°，然后根据等边三角形的判定可得△ADF是等边三角形，从而可得AD=DF，再根据等腰三角形的性质可得∠E=∠DCE，最后根据平行线的性质可得∠DCB=∠FDC，从而可得∠E=∠FDC，进而利用AAS证明△DBE≌△CFD，再利用全等三角形的性质可得BE=DF，从而利用等量代换即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
27.【答案】(0,8−a) 16 45°
【解析】解：(1)如下图：
(2)如图：作AN⊥x轴，BM⊥y轴，
∵P(4,4)、A(a,0)，
∴PM=4，PN=4，
∵∠MPN=∠BPA=90°，
∴∠MPB=∠NPA，
又∵∠PMB=∠PNA=90°，
∴△PBM≌△PAN(AAS)，
∴S△PMB=S△PNA，AN=BM=a−4，
∴S四边形OAPB=S四边形ONPB+S△PNA=S△四边形ONPB+S△PMB=S正方形PMON=PM2=16，
∵OM=4，
∴OB=OM−BM=4−(a−4)=8−a，
∴B(0,8−a)，
故答案为：B(0,8−a)，16；
(3)连接OP，作BE⊥OP，AF⊥OP，
i)由(2)知四边形PMON为正方形，
所以OP为正方形PMON的对角线，
∴∠PON=∠POA=45°，
故答案为：∠POA=45°；
ii)由图知S四边形OAPB=S△PBO+S△PAO=16，
∴12×OP×BE+12×OP×AF=16，
∵P(4,4)，
∴OP=4 2，
∴BE+AF=4 2，
∴点A和点B到线段OP的距离之和等于线段OP的长．
(1)根据题目中的要求画出图形；
(2)根据图形的特征，通过旋转，构造全等三角形，观察图形中线段间的数量关系即得答案；
(3)i)正方形的对角线平分每一组对角得的角pop等45度，正方形的对角线平分每一组对角得的角POA等于45°，
ii)利用割补法来证明A点B点到OP的距离的和等于OP的长．见解答．
本题考查坐标与图形的变化——旋转，四边形的面积等知识解题的，关键是理解题意学会利用参数构建方程解决问题属于中考中常考的题型
2022-2023学年上海市闵行区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，无理数是( )
A. 227 B. 4 C. π D. 2.023
2. 下列说法正确的是( )
A. 4的平方根是2 B. 1的立方根是±1
C. −3没有五次方根 D. 0的任何次方根都是0
3. 已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，且AC//DF，AD=BE，增加下列条件不能推导出△ABC≌△DEF的是( )
A. BC=EF
B. BC//EF
C. AC=DF
D. ∠C=∠F
4. 在平面直角坐标系xOy中，点M与点N(3,4)关于原点对称，那么点M的坐标为( )
A. (3,4) B. (−3,−4) C. (−3,4) D. (3,−4)
5. 下列说法错误的是( )
A. 等腰三角形两腰上的高相等 B. 等腰三角形两腰上的中线相等
C. 等腰三角形两底角的平分线相等 D. 等腰三角形高、中线和角平分线重合
6. 已知：如图，∠AOB=45°，点P在∠AOB的内部，OP=4，点P1与点P关于OB对称，点P2与点P关于OA对称，那么以P1、O、P2三点为顶点的三角形面积是( )
A. 4 B. 8 C. 16 D. 无法确定
二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）
7. 计算：( 3)2= ______ ．
8. 比较大小：− 5 ______−2.(填“>”、“=”或“<”)
9. 点A和点B是数轴上的两点，点A表示的数为− 3，点B表示的数为32 3，那么A、B两点间的距离为______ ．
10. 利用计算器计算： 6−44≈ ______ (保留两个有效数字)．
11. 用分数指数幂表示：5a6= ______ ．
12. 已知：如图，a//b，三角尺的直角顶点在直线b上，∠1=49°，∠2的度数为______ ．
13. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P(−2,−3)向上移动4个单位后得到点Q，那么点Q的坐标是______ ．
14. 已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的腰长为______ ．
15. 如图：将正方形纸片ABCD先对折，得折痕EF后展开，然后再将AB沿BG翻折，使点A落在折痕EF上的点P，联结PC得△PBC，那么△PBC的形状为______ ．
16. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A关于x轴的对称点落在第二象限，那么它关于y轴的对称点落在第______ 象限．
17. 已知∠AOB与∠CDE的两边分别平行，∠AOB=34°，∠CDE的度数是______ ．
18. 我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角.如图：一辆车在一段绕山公路行驶(沿箭头方向)时，在点B、C和D处的转弯角分别是α、β和θ，且AB//DE，则α、β和θ之间的数量关系是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算：( 5× 10−2 2)÷ 2．
20. (本小题6.0分)
计算：( 3+1)2×(4−2 3)．
21. (本小题6.0分)
计算：(313÷312)6= ______ ．
22. (本小题6.0分)
已知：如图，平面直角坐标系xOy中的△ABC．
(1)写出△ABC三个顶点的坐标；
(2)画出△ABC关于y轴的对称图形．
23. (本小题6.0分)
已知：如图，在△ABC中，已知BD平分∠ABC，DE//BC，点M是BD的中点.请说明EM⊥BD．
解：因为BD平分∠ABC(已知)，
所以∠CBD= ______ (角平分线的意义)．
因为DE//BC(已知)，
所以∠CBD=∠BDE(______ ).
所以∠BDE= ______ (______ ).
所以EB=ED(______ ).
因为点M是BD的中点(已知)，
所以EM⊥BD(______ ).
24. (本小题8.0分)
已知：如图，点C、D在AB的异侧，AC=AD，BC=BD，请说明△ABC与△ABD全等的理由．
25. (本小题8.0分)
已知在等腰三角形ABC中，AC=BC，∠C=2∠B.求∠B的度数．
26. (本小题8.0分)
已知在等边△ABC中，点D是边AB上一点，点E是CB延长线上一点，DC=DE．
(1)如图1，如果点D是AB的中点，说明BE=AD；
(2)如图2，如果点D是AB上任意一点(不与点A、B重合)，BE=AD还成立吗？请说明理由．
27. (本小题10.0分)
如图：在平面直角坐标系xOy中，已知点P(4,4)，点A是x轴的正半轴上一点，横坐标为a(4
(2)点B的坐标为______ (用含a的代数式表示)，四边形OAPB的面积为______ ；
(3)联结OP．
i)∠POA= ______ °；
ii)说明点A和点B到线段OP的距离之和等子线段OP的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：227是分数， 4=2是整数，2.023是有限小数，
它们均为有理数，
则A，B，D均不符合题意；
π是无限不循环小数，也是无理数，
则C符合题意；
故选：C．
整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数；据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，其相关定义是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】D
【解析】解：4的平方根是±2，故A不符合题意；
1的立方根是1，故B不符合题意；
−3有五次方根，故C不符合题意；
0的任何次方根都是0，故D符合题意；
故选：D．
分别根据平方根、立方根和n次方根的定义进行判断即可．
本题考查平方根、立方根和n次方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3.【答案】A
【解析】解：∵AC//DF，
∴∠A=∠FDE，
∵AD=BE，
∴AD+DB=BE+DB，
即AB=DE，
A、∵AB=DE，BC=EF，∠A=∠FDE，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；
B、∵BC//EF，
∴∠ABC=∠DEF，
∵∠A=∠FDE，AB=DE，∠ABC=∠DEF，
∴△ABC≌△DEF(ASA)，
故此选不项符合题意；
C、∵AC=DF，∠A=∠FDE，AB=DE，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
故此选项不符合题意；
D、∵∠C=∠F，∠A=∠FDE，AB=DE，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，
故此选项不符合题意；
故选：A．
根据全等三角形的判定定理求解即可．
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵点M与点N(3,4)关于原点对称，
∴点M的坐标为(−3,−4)．
故选：B．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)，即可得出答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
5.【答案】D
【解析】解：A、等腰三角形两腰上的高相等，故A不符合题意；
B、等腰三角形两腰上的中线相等，故B不符合题意；
C、等腰三角形两底角的平分线相等，故C不符合题意；
D、等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的角平分线互相重合，故D符合题意；
故选：D．
根据等腰三角形的性质，逐一判断即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：如图，
∵OP=4，点P1与点P关于OB对称，点P2与点P关于OA对称，
∴OP1=OP2=OP=4，∠P2OA=∠AOP，∠POB=∠BOP1，
∵∠AOB=45°，
∴∠P2OA+∠AOP+∠POB+∠BOP1=90°，
即∠P2OP1=90°，
∴S△P2OP1=12×OP1×OP2=12×4×4=8．
故选：B．
由对称的性质证∠P2OP1=90°，再根据三角形面积计算即可．
本题考查了轴对称的性质和三角形的面积，熟练掌握并运用轴对称的性质是解题的关键．
7.【答案】3
【解析】解：( 3)2=3，
故答案为：3．
根据二次根式的乘方法则计算即可．
本题考查的是二次根式的乘方，掌握二次根式的乘方法则是解题的关键．
8.【答案】<
【解析】解：因为2= 4< 5，
所以− 5<−2，
故答案为：<．
求出2= 4< 5，再根据实数的大小比较法则比较即可．
本题考查了实数的大小比较法则的应用，注意：两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
9.【答案】52 3
【解析】解：∵点A表示的数为− 3，点B表示的数为32 3，
∴AB=|− 3−32 3|=|−52 3|=52 3．
故答案为：52 3．
根据数轴上两点间的距离公式AB=|a−b|，代入A点和B点表示的数，求解即可．
此题主要是考查了数轴上两点间的距离，能够熟练运用公式是解答此题的关键．
10.【答案】1.0
【解析】解：原式≈2.449−1.414=1.035≈1.0．
故答案为：1.0．
利用计算器分别计算出各数，再根据有理数的减法进行计算即可．
本题考查的是计算器−数的开方，能熟练利用计算器计算数的开方是解答此题的关键．
11.【答案】a65
【解析】解：原式=a65．
故答案为：a65．
直接化根式为分数指数幂得答案．
本题考查根式与分数指数幂的互化，是基础的计算题．
12.【答案】41°
【解析】解：∵a//b，
∴∠3=∠1=49°，
∴∠2=180°−90°−49°=41°．
故答案为：41°．
由a//b，得到∠3=∠1=49°，由平角定义得到∠2=180°−90°−49°=41°．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到∠3=∠1=49°．
13.【答案】(−2,1)
【解析】解：∵将点P(−2,−3)向上移动4个单位后得到点Q，
∴点Q的纵坐标为−3+4=1，
∴点Q的坐标为(−2,1)．
故答案为：(−2,1)．
根据向上平移横坐标不变，纵坐标加进行计算即可得解．
本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
14.【答案】4
【解析】解：设等腰三角形的另一边为x，
∵等腰三角形的周长为10，一边长为2，
∴有以下两种情况：
①当x为等腰三角形的腰长时，底边为2，
依题意得：2x+2=10，
解得：x=4，
∵2+4>5，
故符合三角形任意两边之和大于第三边，
∴腰长为4，
②当2为等腰三角形的腰长时，底边为x，
依题意得：2+2+x=10，
解得：x=6，
∵2+2<6，
故不符合三角形任意两边之和大于第三边，此种情况不存在．
综上所述：该等腰三角形的腰长为4．
故答案为：4．
首先设等腰三角形的另一边为x，再分两种情况讨论：①当x为等腰三角形的腰长时，底边为2，根据等腰三角形的周长为10可求出x=4，然后根据“三角形任意两边之和大于第三边”进行检验即可得出答案；②当2为等腰三角形的腰长时，底边为x，根据等腰三角形的周长为10可求出x=4，然后根据“三角形任意两边之和大于第三边”进行检验即可得出答案．
此题主要考查了等腰三角形的概念，三角形三边之间的关系，解答此题的关键是理解三角形任意两边之和大于第三边，进行分类讨论是解答此题的难点，也是易错点．
15.【答案】等边三角形
【解析】解：等边三角形．
证明如下，
由题意知，EF垂直平分线段BC，
∴PB=PC，
∵△ABG和△PBG关于BG对称，
∴PB=PC=BA，
∵四边形ABCD是正方形，
∴PB=PC=BA=BC，
∴△PBC是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
由轴对称可知BA=BP=PC，再由正方形的边长相等可知BP=PC=BC，从而判断形状．
本题主要考查了轴对称的性质．本题的关键是将轴对称转化为线段相等．
16.【答案】四
【解析】解：∵点A关于x轴的对称点落在第二象限，
∴A点在第三象限，
∴它关于y轴的对称点落在第四象限．
故答案为：四．
由已知可得点A位于第三象限，可求点A关于y轴的对称点的坐标，根据点的坐标特点可得答案．
此题考查的是关于x轴、y轴对称的点的坐标，关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P(x,y)关于y轴的对称点P′的坐标是(−x,y)．
17.【答案】34°或146°
【解析】解：如图1，
∵OA//DC，OB//DE，
∴∠AOB=∠CEB，∠CDE=∠CEB，
∴∠CDE=∠AOB=34°°．
如图2，
∵OA//CD，DE//OB，
∴∠AOB=∠DNB，∠DNB+∠CDE=180°，
∴∠AOB+∠CDE=180°，
∵∠AOB=34°，
∴∠CDE=146°，
∴∠CDE=34°或146°．
故答案为：34°或146°．
由平行线的性质得到∠CDE=∠AOB或∠CDE+∠AOB=180°，即可得到答案．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到∠CDE=∠AOB或∠CDE+∠AOB=180°．
18.【答案】θ=α+β
【解析】解：如图，
∵AB//DE，
∴∠DFC=α，
∵θ=∠DFC+β，
∴θ=α+β．
故答案为：θ=α+β．
根据题意画出图形，然后根据平行线的性质证得∠DFC=α，再根据三角形外角的性质解答即可．
本题考查的是平行线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用；平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
19.【答案】解：原式=(5 2−2 2)÷ 2
=3 2÷ 2
=3．
【解析】利用二次根式的乘除计算得出答案．
本题考查了二次根式的混合运算，题目难度较小，明确二次根式乘除法的性质是解决问题的关键．
20.【答案】解：( 3+1)2×(4−2 3)
=(4+2 3)×(4−2 3)
=16−12
=4．
【解析】利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】13
【解析】解：原式=(3−16)6
=3−1
=13．
故答案为：13．
先计算同底数幂的除法，再计算幂的乘方即可．
本题考查了分数指数幂，熟练掌握运算法则是关键．
22.【答案】解：(1)A(−1,2)，B(−2,−2)，C(1,−1)；
(2)如图所示，△DEF即为所求．
【解析】(1)根据图形直接写出点的坐标即可；
(2)根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解．
本题考查了轴对称变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
23.【答案】∠ABD 两直线平行，内错角相等 ∠ABD 等量代换 等角对等边 等腰三角形的性质
【解析】解：因为BD平分∠ABC(已知)，
所以∠CBD=∠ABD(角平分线的意义)．
因为DE//BC(已知)，
所以∠CBD=∠BDE(两直线平行，内错角相等)．
所以∠BDE=∠ABD(等量代换)．
所以EB=ED(等角对等边)．
因为点M是BD的中点(已知)，
所以EM⊥BD(等腰三角形的性质)．
由角平分线的定义和平行线的性质得到∠BDE=∠ABD，由等腰三角形的判定得到EB=ED，根据等腰三角形的性质即可证得EM⊥BD．
本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，灵活运用相关知识是解决问题的关键．
24.【答案】证明：在△ABC和△ABD中，
AC=AD,BC=BD,AB=AB,
∴△ABC≌△ABD(SSS)．
【解析】由SSS即可证明两三角形全等．
本题考查了三角形全等的判定．本题的关键是发掘公共边相等这一条件．
25.【答案】解：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
设∠A=∠B=x，则∠C=2∠B=2x，
∴x+x+2x=180°，
∴x=45°，
∴∠B=45°．
【解析】根据等腰三角形的性质得∠A=∠B，设∠A=∠B=x，则∠C=2∠B=2x，由三角形的内角和定理得到关于x的方程，即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC，
∵点D是AB的中点，
∴∠CDB=90°，∠DCB=12∠ACB=30°，
∵DC=DE，
∴∠E=∠DCB=30°，
∵∠EDB=∠ABC−∠E=30°，
∴∠EDB=∠E=30°，
∴BE=BD，
∵BD=AD，
∴BE=AD；
(2)BE=AD还成立，
理由：过点D作DF//CB，交AC于点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∴∠ABE=180°−∠ABC=120°，
∵DF//BC，
∴∠ADF=∠ABC=60°，∠AFD=∠ACB=60°，
∴∠CFD=180°−∠AFD=120°，
∴∠ABE=∠CFD=120°，
∵∠A=∠ADF=∠AFD=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=DF，
∵DE=DC，
∴∠E=∠DCE，
∵DF//BC，
∴∠DCB=∠FDC，
∴∠E=∠FDC，
∴△DBE≌△CFD(AAS)，
∴BE=DF，
∴BE=AD．
【解析】(1)根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC，再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠CDB=90°，∠DCB=30°，然后利用等腰三角形的性质可得∠E=∠DCB=30°，再利用三角形的外角性质可得∠EDB=∠E=30°，从而可得BE=BD，最后利用等量代换即可解答；
(2)过点D作DF//CB，交AC于点F，根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠A=60°，从而可得∠ABE=120°，再根据平行线的性质可得∠ADF=∠ABC=60°，∠AFD=∠ACB=60°，从而可得∠CFD=120°，然后根据等边三角形的判定可得△ADF是等边三角形，从而可得AD=DF，再根据等腰三角形的性质可得∠E=∠DCE，最后根据平行线的性质可得∠DCB=∠FDC，从而可得∠E=∠FDC，进而利用AAS证明△DBE≌△CFD，再利用全等三角形的性质可得BE=DF，从而利用等量代换即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
27.【答案】(0,8−a) 16 45°
【解析】解：(1)如下图：
(2)如图：作AN⊥x轴，BM⊥y轴，
∵P(4,4)、A(a,0)，
∴PM=4，PN=4，
∵∠MPN=∠BPA=90°，
∴∠MPB=∠NPA，
又∵∠PMB=∠PNA=90°，
∴△PBM≌△PAN(AAS)，
∴S△PMB=S△PNA，AN=BM=a−4，
∴S四边形OAPB=S四边形ONPB+S△PNA=S△四边形ONPB+S△PMB=S正方形PMON=PM2=16，
∵OM=4，
∴OB=OM−BM=4−(a−4)=8−a，
∴B(0,8−a)，
故答案为：B(0,8−a)，16；
(3)连接OP，作BE⊥OP，AF⊥OP，
i)由(2)知四边形PMON为正方形，
所以OP为正方形PMON的对角线，
∴∠PON=∠POA=45°，
故答案为：∠POA=45°；
ii)由图知S四边形OAPB=S△PBO+S△PAO=16，
∴12×OP×BE+12×OP×AF=16，
∵P(4,4)，
∴OP=4 2，
∴BE+AF=4 2，
∴点A和点B到线段OP的距离之和等于线段OP的长．
(1)根据题目中的要求画出图形；
(2)根据图形的特征，通过旋转，构造全等三角形，观察图形中线段间的数量关系即得答案；
(3)i)正方形的对角线平分每一组对角得的角pop等45度，正方形的对角线平分每一组对角得的角POA等于45°，
ii)利用割补法来证明A点B点到OP的距离的和等于OP的长．见解答．
本题考查坐标与图形的变化——旋转，四边形的面积等知识解题的，关键是理解题意学会利用参数构建方程解决问题属于中考中常考的题型
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