2022-2023学年安徽省合肥市庐江县八年级(下)期末数学试卷(含解析)
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一、选择题(本大题共10小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 若代数式 x−1在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1
2. 下列几组数据中能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 2, 3, 5 B. 5,6,7
C. 32,42,52 D. 6,8,11
3. 已知:四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB//CD,AD//BC
B. AB=CD,AD//BC
C. AO=CO,BO=DO
D. ∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB
4. 四边形ABCD为菱形,该菱形的周长为16,面积为8,则∠ABC为( )
A. 30° B. 150° C. 30°或150° D. 30°或120°
5. 若函数y=ax和函数y=bx+c的图象如图所示,则关于x的不等式ax−bx>c的解集是( )
A. x<2
B. x<1
C. x>2
D. x>1
6. 五名同学进行投篮练习,规定每人投20次,统计他们每人投中的次数,得到5个数据,若这5个数据的中位数是6,唯一众数是7.设另外两个数据分别是a,b,则a+b的值不可能是( )
A. 1 B. 5 C. 9 D. 10
7. 若点M(−1,y1),N(2,y2)都在直线y=−x+b上,则下列大小关系成立的是( )
A. y1>y2>b B. y2>y1>b C. y2>b>y1 D. y1>b>y2
8. 已知一次函数y=(1+k)x+k,若y随着x的增大而减小,且它的图象与y轴交于负半轴,则直线y=kx−k的大致图象是( )
A. B. C. D.
9. 若顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形,那么原来四边形一定是( )
A. 矩形 B. 菱形
C. 对角线相等的四边形 D. 对角线互相垂直的四边形
10. 如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=5,点P在AD上,点Q在BC上,且AP=CQ,连接CP,QD,则PC+QD的最小值为( )
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
11. 若正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象经过第二、四象限,则k的值可以是______(写出一个即可).
12. 某商场为了招聘商品拆装上架员工一名,设置了计算机、语言和商品知识三项测试,并对这三项测试成绩分别赋权2,3,5.若某应试者三项测试成绩分别为70,50,80,则该应试者的平均成绩是______.
13. 当x= 2023−1时,代数式x2+2x+2的值是______ .
14. ▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB=6,BC=8.
(1)若OA=OB,则▱ABCD的面积等于______ ;
(2)若OA=AB,则▱ABCD的面积等于______ .
三、计算题(本大题共1小题,共8.0分)
15. 计算:(2 3−1)2+( 3+2)( 3−2).
四、解答题(本大题共8小题,共82.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16. (本小题8.0分)
一组数据从小到大的顺序排列:1,2,3,x,4,5,若这组数据的中位数为3,求这组数据的方差.
17. (本小题8.0分)
如图,在矩形ABCD中,将△ABE沿着AE折叠至△AEF的位置,点F在对角线AC上,若BE=3,EC=5,求线段CD的长.
18. (本小题8.0分)
已知某一次函数的图象与y轴的交点坐标为(0,−4),当x=2时,y=−3.
(1)求一次函数的解析式;
(2)将该函数的图象沿x轴向右平移3个单位,求平移后的图象与坐标轴围成三角形面积.
19. (本小题10.0分)
在Rt△ABC中,∠ACB=90°.点D是边AB上的一点,连接CD.作AE//DC,CE//AB,连接ED.
(1)如图1,当CD⊥AB时,求证:AC=ED;
(2)如图2,当D是边AB的中点时,若AB=10,ED=8,求四边形ADCE的面积.
20. (本小题10.0分)
某校200名学生参加植树活动,要求每人植4~7棵,活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量,并分为四种类型,A:4棵;B:5棵;C:6棵;D:7棵,将各类的人数绘制成扇形图(如图1)和条形图(如图2).
回答下列问题:
(1)在这次调查中D类型有多少名学生?
(2)写出被调查学生每人植树量的众数、中位数;
(3)求被调查学生每人植树量的平均数,并估计这200名学生共植树多少棵?
21. (本小题12.0分)
A县和B县分别有某种库存机器6台和12台,现决定支援C村10台,D村8台,已知从A县调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元;从B县调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元.
(1)设A县运往C村机器x台,求总运费y关于x的函数关系式;
(2)若要求总运费不超过9000元,共有几种调运方案?哪种调运方案运费最低?
22. (本小题12.0分)
A,B两地距离24km,甲、乙两人同时从A地出发前往B地.甲先匀速慢走2h,而后匀速慢跑;乙始终保持匀速快走,设运动时间为x(单位:h).甲、乙距离A地的路程分别为y1,y2(单位:km),y1,y2分别与x的函数关系如图所示.
(1)求y1关于x的函数解析式;
(2)相遇前,是否存在甲、乙两人相距1km的时刻?若存在,求运动时间;若不存在,请说明理由.
23. (本小题14.0分)
已知AE//BF,点C为射线BF上一动点(不与点B重合),△BAC关于AC的轴对称图形为△DAC.
(1)如图1,当点D在射线AE上时,求证:四边形ABCD是菱形;
(2)如图2,当点D在射线AE,BF之间时,若点G为射线BF上一点,点C为BG的中点,且AB=6,BG=10,AC=5,求DG的长.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解:∵式子 x−1在实数范围内有意义,
∴x−1≥0,解得x≥1.
故选:D.
根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式,求出x的取值范围即可.
本题考查的是二次根式有意义的条件,即被开方数大于等于0.
2.【答案】A
【解析】解:A、( 2)2+( 3)2=( 5)2,符合勾股定理的逆定理,故本选项符合题意;
B、52+62≠72,不符合勾股定理的逆定理,故本选项不符合题意;
C、92+162≠252,不符合勾股定理的逆定理,故本选项不符合题意;
D、62+82≠112,不符合勾股定理的逆定理,故本选项不符合题意.
故选:A.
根据勾股定理的逆定理:如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.如果没有这种关系,这个就不是直角三角形,逐一判定即可.
本题考查了勾股定理的逆定理,在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大边后,再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断.
3.【答案】B
【解析】解:A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形,故此选项不合题意;
B、不能判定四边形ABCD是平行四边形,故此选项符合题意;
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形,故此选项不合题意;
D、根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形,故此选项不合题意;
故选:B.
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可.
此题主要考查了平行四边形的判定,关键是掌握(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4.【答案】C
【解析】解:分两种情况:
①如图1,当∠BAC为钝角时,过A作AE⊥BC于点E,
∵菱形ABCD的周长为16,
∴AB=BC=CD=AD=4,
∵菱形ABCD的面积为8,
∴BC⋅AE=8,
∴AE=2,
∴AE=12AB,
∴∠ABC=30°;
②如图2,当∠BAC为锐角时,过D作DE⊥AB于点E,
∵菱形ABCD的周长为16,
∴AB=BC=CD=AD=4,AD//BC,
∴∠ABC+∠A=180°,
∵菱形ABCD的面积为8,
∴AB⋅DE=8,
∴DE=2,
∴DE=12AB,
∴∠A=30°,
∴∠ABC=180°−∠A=150°;
即∠ABC的度数为30°或150°,
故选:C.
分两种情况,当∠BAC为钝角和锐角时分别求出∠ABC的度数即可.
本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的判定以及分类讨论等知识,熟练掌握菱形的性质,注意分类讨论,防止漏解.
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系:认真体会一次函数与一元一次不等式(组)之间的内在联系及数形结合思想是解决本题的关键.
利用函数图象,写出直线y=ax在直线y=bx+c上方所对应的自变量的取值范围即可.
【解答】
解:观察函数图象得x>1时,ax>bx+c,
即x>1时,ax−bx>c,
所以关于x的不等式ax−bx>c的解集为x>1.
故选:D.
6.【答案】D
【解析】解:中位数是6,唯一众数是7,
则两个较小的数一定是小于6的非负整数,且不相等,即,两个较小的数最大为4和5,
∴a+b的值不可能是10.
故选:D.
根据题意,两个较小的数一定是小于6的非负整数,且不相等,则可求得其余两个数的和的范围,进而判断.
本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力,掌握中位数和众数的定义是解答本题的关键.
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数的性质,牢记“k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x的增大而减小”是解题的关键.
由k=−1<0,利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小,结合−1<0<2,即可得出y1>b>y2.
【解答】
解:∵k=−1<0,
∴y随x的增大而减小,
又∵点M(−1,y1),N(2,y2)都在直线y=−x+b上,且−1<0<2,
∴y1>b>y2.
故选:D.
8.【答案】D
【解析】解:∵一次函数y=(1+k)x+k中y随x的增大而减小,
∴1+k<0,
∴k<−1
∵一次函数y=(1+k)x+k与y轴负半轴相交,
∴k<0,
∴k<0,
∴直线y=kx−k的大致图象如图:
故选:D.
一次函数y=(1+k)x+k中y随x的增大而减小,且与y轴负半轴相交,即可确定k的符号,即可求解.
此题主要考查了一次函数图象与系数的关系,一次函数y=kx+b的图象有四种情况:
①当k>0,b>0,函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限,y的值随x的值增大而增大;
②当k>0,b<0,函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限,y的值随x的值增大而增大;
③当k<0,b>0时,函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,y的值随x的值增大而减小;
④当k<0,b<0时,函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限,y的值随x的值增大而减小.
9.【答案】D
【解析】解:由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,
根据三角形中位线定理得:EH//FG//BD,EF//AC//HG,
∴四边形EFGH是平行四边形,
∵四边形EFGH是矩形,即EF⊥FG,
∴AC⊥BD,
故选:D.
由于顺次连接四边各边中点得到的四边形是平行四边形,有对应边与原对角线平行,由矩形的性质可知,应为对角线互相垂直的四边形.
本题考查菱形的判定、矩形的判定、三角形中位线性质和正方形的判定.解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍,运用发散思维,多方思考,探究问题在不同条件下的不同结论,挖掘它的内在联系.
10.【答案】C
【解析】解:如图,连接BP,
在矩形ABCD中,AD//BC,AD=BC,
∵AP=CQ,
∴AD−AP=BC−CQ,
∴DP=QB,DP//BQ,
∴四边形DPBQ是平行四边形,
∴PB//DQ,PB=DQ,
则PC+QD=PC+PB,则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值,
在BA的延长线上截取AE=AB=6,连接PE,
∵PA⊥BE,
∴PA是BE的垂直平分线,
∴PB=PE,
∴PC+PB=PC+PE,
连接CE,则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE,
∵BE=2AB=12,BC=AD=5,
∴CE= BE2+BC2=13.
∴PC+PB的最小值为13.
故选:C.
连接BP,在BA的延长线上截取AE=AB=6,连接PE,CE,PC+QD=PC+PB,则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值,在BA的延长线上截取AE=AB=6,则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE,根据勾股定理可得结果.
本题考查的是最短线路问题,矩形的性质,熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键.
11.【答案】−2(答案不唯一)
【解析】解:∵若正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限,
∴k<0,
∴k的值可以是−2,
故答案为:−2(答案不唯一).
据正比例函数的性质:当k<0时,正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限,可确定k的取值范围,再根据k的范围选出答案即可.
本题主要考查了正比例函数的性质,关键是熟练掌握:在直线y=kx中,当k>0时,y随x的增大而增大,直线经过第一、三象限;当k<0时,y随x的增大而减小,直线经过第二、四象限.
12.【答案】69
【解析】解:该应试者的平均成绩是:70×20%+50×30%+80×50%=69.
故答案为:69.
根据加权平均数的计算公式列出算式计算即可.
此题考查了加权平均数,掌握加权平均数的计算公式是本题的关键,是一道基础题.
13.【答案】2022
【解析】解:∵x= 2023−1,
∴x+1= 2023.
∴x2+2x+1=2023.
∴x2+2x+2=2024.
故答案为:2024.
变形已知,先求出x+1的值,再求出x2+2x+1的值,最后求出x2+2x+2的值.
本题考查了二次根式及完全平方公式,掌握乘法的完全平方公式是解决本题的关键.乘法的完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2
14.【答案】48 2 455
【解析】解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵OA=OB,
∴AC=BD,
∴▱ABCD是矩形,
∴▱ABCD的面积=AB⋅BC=48,
故答案为:48;
(2)如图,过点A作AH⊥CB延长线于点H,
设HC=x,
在Rt△AHC与Rt△AHB中,由勾股定理得,
AH2=AC2−HC2=AB2−BH2,
即122−x2=62−(x−8)2,
解得x=434,
∴AH= AC2−HC2= 4554,
∴▱ABCD的面积=8× 4554=2 455.
故答案为:2 455.
(1)证明四边形ABCD是矩形即可求解;
(2)过点A作AH⊥CB延长线于点H,在Rt△AHC与Rt△AHB中,由勾股定理得推出AH的长即可求解.
本题考查了平行四边形的性质,勾股定理,矩形的判定,正确作出辅助线构造直角三角形,通过勾股定理得出平行四边形的高是解(2)的关键.
15.【答案】解:原式=12−4 3+1+3−4
=12−4 3.
【解析】本题主要考查二次根式的混合运算,解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则.
先利用完全平方公式和平方差公式计算,再计算加减可得.
16.【答案】解:∵按从小到大的顺序排列为1,2,3,x,4,5,这组数据的中位数为3,
∴x=3,
∴这组数据的平均数是(1+2+3+3+4+5)÷6=3,
∴这组数据的方差是:16×[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2]=53.
【解析】先根据中位数的定义求出x的值,再求出这组数据的平均数,最后根据方差公式S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]进行计算即可.
本题考查了中位数和方差,掌握中位数的定义以及方差的公式是解答本题的关键.
17.【答案】解:∵四边形ABCD为矩形,
∴AB=CD,∠B=90°,
由折叠的性质得:AB=AF,BE=EF,∠AFE=∠B=90°,
∵BE=3,EC=5,
∴EF=3,BC=8,
在Rt△EFC中,EF=3,EC=5,
由勾股定理得:CF= EC2−EF2=4,
则CD=x,则AB=AF=x,
∴AC=AF+CF=4+x,
在Rt△ABC中,AB=x,BC=8,AC=4+x,
由勾股定理得:AC2−AB2=BC2,
即:(4+x)2−x2=82,
解得:x=6,
∴CD=x=6.
【解析】首先根据矩形的性质及折叠的性质得由折叠的性质的:AB=AF,BE=EF,∠AFE=∠B=90°,进而可在Rt△EFC中由勾股定理求出CF=4,再设CD=x,则AB=AF=x,AC=4+x,据此可在Rt△ABC中利用勾股定理构造关于x的方程,最后解方程求出x即可.
此题主要考查了图形的折叠变换及性质,矩形的性质,勾股定理等,解答此题的关键是熟练掌握图形的折叠变换,灵活运用勾股定理构造方程求解.
18.【答案】解:(1)设一次函数的解析式为y=kx+b,
由题意得b=−42k+b=−3,
解得k=12b=−4
∴一次函数解析式为y=12x−4;
(2)将该函数的图象沿x轴向右平移3个单位可得y=12(x−3)−4=12x−112,
令y=0可得12x−112=0,解得x=11,
令x=0可得y=12x−112=−112,
∴平移后的图象与坐标轴围成三角形面积为:12×11×112=1214.
【解析】(1)利用待定系数法可求得一次函数解析式;
(2)利用平移的规律可求得平移后的解析式,令y=0可求得与x轴的交点坐标,令x=0可求得与y轴的交点坐标,然后利用三角形面积公式即可求得.
本题主要考查待定系数法求一次函数解析式,一次函数图象与几何变换,三角形面积,求得函数解析式、掌握平移的规律是解题的关键.
19.【答案】(1)证明:∵AE//DC,CE//AB,
∴四边形AECD是平行四边形,
∵CD⊥AB,
∴∠CDA=90°,
∴四边形AECD是矩形,
∴AC=ED;
(2)解:∵D是边AB的中点,∠ACB=90°,AB=10,
∴CD=AD=5,
∵AE//DC,CE//AB,
∴四边形AECD是平行四边形,
∴四边形AECD是菱形,
∴AC= 102−82=6,
∴四边形ADCE的面积是12AC⋅DE=12×6×8=24,
即四边形ADCE的面积是24.
【解析】本题考查勾股定理、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
(1)根据AE//DC,CE//AB,可以得到四边形AECD是平行四边形,再根据CD⊥AB,即可得到结论成立;
(2)根据题意,先判断四边形AECD是菱形,然后求出AC的长,再计算四边形ADCE的面积即可.
20.【答案】解(1)D类的人数是:20×10%=2(人).
(2)众数为5棵,中位数为5棵;
(3)x−=4×4+5×8+6×6+7×220=5.3(棵).
估计200名学生共植树5.3×200=1060(棵).
【解析】(1)利用总人数20乘以对应的百分比即可求得D类的人数,从而补全直方图;
(2)根据众数、中位数的定义即可直接求解;
(3)首先求得调查的20人的平均数,乘以总人数200即可.
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
21.【答案】解根据题意得:
(1)W=300x+500(6−x)+400(10−x)+800[12−(10−x)]=200x+8600.
(2)因运费不超过9000元
∴W=200x+8600≤9000,
解得x≤2.
∵0≤x≤6,
∴0≤x≤2.
则x=0,1,2,所以有三种调运方案.
当x=0时调运方案运费最低.
此时的调运方案是:A县运至C村0台,运至D村6台,B县运往C市10台,运往D村2台,最低总运费为8600元.
【解析】本题主要考查了一次函数的应用,函数的综合应用题往往综合性强,覆盖面广,包含的数学思想方法多.
(1)设A县运往C村机器x台,再结合给出的分析表,根据等量关系“总运费=A运往C的运费+A运往D的运费+B运往C的运费+B运往D的运费”可得函数式;
(2)根据总运费不超过9000元列一个不等式求解即可;
22.【答案】解:(1)当0≤x≤2时,设y1=kx,把(2,8)代入得:
2k=8,解得k=4,
∴y1=4x,
当x>2时,设y1=mx+b,
把(2,8)(3,16)代入得:
2m+b=83m+b=16,解得m=8b=−8,
∴y1=8x−8,
∴y1关于x的函数解析式为y1=4x(0≤x≤2)8x−8(x>2);
(2)∵乙3小时运动16千米,
∴乙的速度是163千米/小时,
∴y2=163x,
当163x−4x=1时,解得x=34,
当163x−(8x−8)=1时,解得x=218,
答:相遇前,存在甲、乙两人相距1km的时刻,运动时间为34小时或218小时.
【解析】本题考查一次函数的实际应用,根据待定系数法求出函数关系式是解题关键.
(1)分段用待定系数法可得解析式;
(2)分两种情况分别列方程可得答案.
23.【答案】(1)证明:∵△BAC关于AC的轴对称图形为△DAC,
∴∠ACB=∠ACD,AB=AD,BC=DC,
∵AD//BC,
∴∠ACB=∠CAD,
∴∠CAD=∠ACD,
∴AD=CD,
∴AB=AD=BC=CD,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)解:∵△BAC关于AC的轴对称图形为△DAC,
∴AC⊥BD,BM=DM,
∴∠AMD=90°,
∵C是BG的中点,
∴CM//DG,
∴∠BDG=∠AMD=90°,
∴△BDG是直角三角形;
∵BM=DM,C是BG的中点,BG=10,
∴CM是△BDG的中位线,
∴DG=2CM,CD=BC=12BG=5,AD=AB=6,
设CM=x,
∵AC=5,
∴AM=5−x,
在Rt△AMD中,DM2=AD2−AM2,
在Rt△CMD中,DM2=CD2−CM2,
∴AD2−AM2=CD2−CM2,
即62−(5−x)2=52−x2,
解得:x=75,
∴CM=75,
∴DG=2CM=145.
【解析】(1)根据轴对称图形的性质得到∠ACB=∠ACD,AB=AD,BC=DC,根据平行线的性质推出∠CAD=∠ACD,根据等腰三角形的判定得出AD=CD,则AB=AD=BC=CD,根据菱形的判定定理即可得解;
(2)根据轴对称图形的性质得到AC⊥BD,BM=DM,则CM是△BDG的中位线,根据三角形中位线性质得出CM//DG,根据平行线的性质及直角三角形的判定即可得解,根据三角形中位线的判定与性质及直角三角形的性质求出DG=2CM,CD=BC=12BG=5,AD=AB=6,设C=x,则AM=5−x,根据勾股定理推出62−(5−x)2=52−x2,据此求出x=75,根据三角形中位线性质即可得解.
此题是四边形综合题,考查了轴对称图形的性质、三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识,熟练运用轴对称图形的性质、三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理是解题的关键.
2023-2024学年安徽省合肥市庐江县八年级(上)期末数学试卷(含解析): 这是一份2023-2024学年安徽省合肥市庐江县八年级(上)期末数学试卷(含解析),共20页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省合肥市庐江县七年级(下)期末数学试卷(含解析): 这是一份2022-2023学年安徽省合肥市庐江县七年级(下)期末数学试卷(含解析),共18页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省合肥市庐江县九年级(下)月考数学试卷(3月份)(含解析): 这是一份2022-2023学年安徽省合肥市庐江县九年级(下)月考数学试卷(3月份)(含解析),共20页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。