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2022-2023学年北京市东城区七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年北京市东城区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市东城区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，小手盖住的点的坐标可能为( )
A. (−2,−3)
B. (−2,3)
C. (2,3)
D. (2,−3)
2. 4的算术平方根是( )
A. 2 B. ±2 C. 16 D. ±16
3. 下列调查方式，最适合全面调查的是( )
A. 检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准 B. 了解某班学生一分钟跳绳成绩
C. 了解北京市中学生视力情况 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力
4. 若x=2y=1是关于x，y的二元一次方程x+my=5的解，则m的值为( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
5. 实数a，b对应的位置如图所示，下列式子正确的是( )
A. a2
A. 140° B. 60° C. 50° D. 40°
7. 如图，在数轴上，与表示 2的点最接近的点是( )
A. 点P B. 点Q C. 点M D. 点N
8. 已知二元一次方程组x+2y=8,2x+y=−5,则x+y的值为( )
A. −1 B. −3 C. 1 D. 3
9. 如图为小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出.已知当电梯乘载的重量超过400千克时警示音响起，且小丽、小欧的重量分别为50千克、70千克.若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x千克，则x的取值范围是( )
A. 280
①与2018年相比，2019年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升；
②从2018年到2022年，进口额最多的是2022年；
③2018−2022年进口额年增长率持续下降；
④与2021年相比，2022年出口额增加了2.3万亿元．
A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
11. “m的2倍与5的和是正数”可以用不等式表示为______ ．
12. 如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路.小丽觉得行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是______ ．
13. 北京中轴线南起永定门，北至钟鼓楼，全长7.8千米.如图是利用平面直角坐标系画出的中轴线及其沿线部分地点分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示天安门的点的坐标为(0,−1)，表示王府井的点的坐标为(1,−1)，则表示永定门的点的坐标为______ ．
14. 如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动)，圆上的一点由原点到达点O′，点O′所对应的数值是______ ．
15. 如图，将含有60°的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，如果∠1=20°，那么∠2= ______ °.
16. 如图，一块边长为10米的正方形花园，在上面修了一条道路，路的宽都是1米，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是______ 平方米．
17. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前.书中记载了一个数学问题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”其大意是：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺，问长木多少尺？”设绳长x尺，木长y尺，可列方程组为______ ．
18. 在平面直角坐标系xOy中，若一个多边形的顶点都在格点(点的横、纵坐标均为整数)上，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.如图，△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．
(1)图中格点四边形DEFG对应的S为______ ；
(2)已知格点多边形的面积可以表示为S=aN+bL−1，其中a，b为常数.若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S= ______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
19. 解方程组3x+2y=192x−y=1．
四、解答题（本大题共9小题，共49.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题5.0分)
计算： 4+3−64− (−3)2+| 3−1|．
21. (本小题5.0分)
解不等式组：5x−1>3(x+1)1+2x3≥x−1，并求出它的整数解．
22. (本小题5.0分)
请将下面的证明过程补充完整：
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠BCD=40°，∠BAD=80°，∠BAD的角平分线交BC于点E，求证：AE//DC．
证明：∵AE平分∠BAD，∠BAD=80°(已知)，
∴∠DAE=12∠BAD=40°(理由：______ ).
∵AD//BC(已知)，
∴ ______ =∠DAE=40°(理由：______ ).
∵∠BCD=40°(已知)，
∴∠BCD= ______ (等量代换)．
∴AE//DC(理由：______ ).
23. (本小题5.0分)
一个数值转换器如图所示：
(1)当输入的x值为16时，输出的y值是______ ；
(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______ ；
(3)若输出的y值是 5，请直接写出两个满足要求的x的值．
24. (本小题4.0分)
如图.三角形ABC的顶点坐标分别为A(−1.4)，B(−4,−1)，C(1,1).若将三角形ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形A′B′C′，其中点A′，B′，C′分别是点A.B，C的对应点．
(1)画出三角形A′B′C′；
(2)若三角形ABC内有一点P(a,b)经过上述平移后的对应点为P′，写出点P′的坐标：(______ ，______ )；
(3)若点D在y轴上且三角形BOD的面积为4，直接写出点D的坐标．
25. (本小题5.0分)
如图为国家节水标志，节水标志各部分的含义为：灰色的圆形代表分像一只手托起一滴水，手又像一条蜿蜒的河流，象征滴水汇成江河.某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查，通过简单随机抽样调查获得了50个家庭去年的月均用水量(单位：吨).以下是整理数据后的不完整统计表、统计图．
月均用水量频数分布表
分组
频数
2≤x<3
4
3≤x<4
12
4≤x<5
a
5≤x<6
9
6≤x<7
5
7≤x<8
4
8≤x<9
2
合计
50
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
(1)表中a的值为______ ，请补全频数分布直方图；
(2)扇形统计图中，月均用水量为“E：6≤x<7”的扇形的圆心角是______ °；
(3)为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费.若要使60%的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？
26. (本小题6.0分)
已知，直线AB//CD，点E为直线CD上一定点，射线EK交AB于点F，FG平分∠AFK，∠FED=α．
(1)如图1，当α=60°时，∠GFK= ______ °；
(2)点P为线段EF上一定点，点M为直线AB上的一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM交直线CD于点N．
①如图2，当点M在点F右侧时，求∠BMP与∠PNE的数量关系；
②当点M在直线AB上运动时，∠MPN的一边恰好与射线FG平行，直接写出此时∠PNE的度数(用含α的式子表示)．
27. (本小题7.0分)
围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史.某商家销售A、B两种材质的围棋，每套进价分别为200元、170元，下表是近两个月的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A种材质
B种材质
第一个月
3套
5套
1800元
第二个月
4套
10套
3100元
(1)求A、B两种材质的围棋每套的售价．
(2)若商家准备用不多于5400元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套，求A种材质的围棋最多能采购多少套？
(3)在(2)的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1300元的目标？请说明理由．
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x1,y1)，点Q(x2,y2)，定义|x1−x2|与|y1−y2|中的值较大的为点P，Q的“绝对距离”，记为d(P,Q).特别地，当|x1−x2|=|y1−y2|时，规定d(P,Q)=|x1−x2|，例如，点P(1,2)，点Q(3,5)，因为|1−3|<|2−5|，所以点P，Q的“绝对距离”为|2−5|=3，记为d(P,Q)=3．
(1)已知点A(0,1)，点B为x轴上的一个动点．
①若d(A,B)=3，求点B的坐标；
②d(A,B)的最小值为______ ；
③动点C(x,y)满足d(A,C)=r，所有动点C组成的图形面积为64，请直接写出r的值．
(2)对于点D(−1,0)，点E(2,5)，若有动点M(m,n)使得d(D,M)+d(E,M)=5，请直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：如图，小手盖住的点的坐标可能为(2,−3)，
故选：D．
根据第四象限点的坐标特征(+,−)，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故选A
利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准，最适合抽样调查，故A不符合题意；
B、了解某班学生一分钟跳绳成绩，最适合全面调查，故B符合题意；
C、了解北京市中学生视力情况，最适合抽样调查，故C不符合题意；
D、调查某批次汽车的抗撞击能力，最适合抽样调查，故D不符合题意；
故选：B．
根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：将x=2y=1代入原方程得：2+m=5，
解得：m=3，
∴m的值为3．
故选：B．
将x=2y=1代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：根据图示，可得：a
∴选项A不符合题意；
∵a
∴选项B不符合题意；
∵−5
∴选项C不符合题意；
∵a
故选：D．
根据图示，可得：a
6.【答案】C
【解析】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∵∠COE=40°，
∴∠AOC=∠AOE−∠COE=90°−40°=50°，
∴∠BOD=∠AOC=50°，
故选：C．
由垂线的定义得出∠AOE=90°，即可求出∠AOC的度数，根据对顶角相等即可得出∠BOD的度数．
本题考查了垂线的定义，对顶角的性质，熟知对顶角相等的性质．
7.【答案】B
【解析】解：∵1< 2<2，
∴与表示 2的点最接近的点是点Q，
故选：B．
先对无理数 2进行估算，再根据数轴表示进行求解．
此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识进行求解．
8.【答案】C
【解析】解：x+2y=8①2x+y=−5②，
①+②得：3x+3y=3，
解得：x+y=1，
故选：C．
利用整体的思想，进行计算即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握整体的思想是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：根据题意得：x+50≤400x+50+70>400，
解得：280
根据“小丽进入电梯不超重，小欧进入电梯超重”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：①由条形图与折线图可知，2018的进口额为14.1万亿元，进口额的年增长率为12.8%，2019的进口额为14.3万亿元，进口额的年增长率为1.4%，所以与2018年相比，2019年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升，故①结论正确，符合题意；
②由条形图可知，从2018年到2022年，进口额最多的是2022年，为18.1万亿元，故②结论正确，符合题意；
③由折线图可知，2018−2022年进口额年增长率先下降再上升再下降，故③结论错误，不符合题意；
④由条形图可知，与2021年相比，2022年出口额增加了24.0−21.7=2.3万亿元，故④结论正确，符合题意；
故选：A．
根据条形统计图与折线统计图所给的信息进行求解即可．
本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，折线统计图表示的是事物的变化情况．
11.【答案】5+2m>0
【解析】解：m的2倍为2m，
5与m的2倍的和写为5+2m，
和是正数，
则5+2m>0，
故答案为：5+2m>0．
m的2倍与5的和是正数为5+2m；和是正数，那么前面所得的结果大于0．
本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式的知识点，解决本题的关键是理解正数用数学符号表示是“>0”．
12.【答案】垂线段最短
【解析】解：∵垂线段最短，
∴行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理．
故答案为：垂线段最短．
根据垂线段最短的性质求解即可．
本题考查垂线的性质，关键是掌握垂线的两条性质，明白垂线段最短．
13.【答案】(0,−7)
【解析】解：永定门的点的坐标为(0,−7)，
故答案为：(0,−7)．
直接利用已知点坐标进而确定原点位置进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
14.【答案】π
【解析】解：∵圆的周长为=1×π=π，
∴圆从原点沿数轴向右滚动一周经过的路径长OO′=π，
∴O′点对应的数是π．
故答案为：π．
求出OO′的长即可确定O′点对应的数．
本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解题的关键是求出OO′的长．
15.【答案】40
【解析】解：根据题意可知，两直线平行，内错角相等，
∵∠1=20°，∠1+∠3=60°，
∴∠3=40°，
∵∠2=∠3，
∴∠2=40°．
故答案为：40．
利用两直线平行，内错角相等作答．
本题主要考查了两直线平行，内错角相等的性质，需要注意隐含条件，直尺的对边平行，等腰直角三角板的锐角是45°的利用．
16.【答案】81
【解析】解：(10−1)×(10−1)
=9×9
=81(平方米)．
故种植花草的面积是81平方米．
故答案为：81．
直接利用平移方法，将2条道路平移到图形的一侧，进而求出即可．
本题考查了生活中的平移现象，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致错误．
17.【答案】x−y=4.5y−12x=1
【解析】解：∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，
∴x−y=4.5；
∵将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺，
∴y−12x=1．
∴根据题意可列方程组x−y=4.5y−12x=1．
故答案为：x−y=4.5y−12x=1．
根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18.【答案】3 79
【解析】解：(1)过G点作MH⊥ED延长线于点H，过E作NE⊥DE，过F点作MN//x轴，交MH于点M，交NE于点N，
则HD=1，GH=1，GM=1，MF=1，FN=2，NE=2，MH=2，HE=3，
∴S矩形MNEH=MH×MN=2×3=6，
S△GHD=12×GH×HD=12×1×1=12，
S△GMF=12×MG×MF=12×1×1=12，
S△FNE=12×FN×NE=12×2×2=2，
∴S四边形DEFG=S矩形MNEH−S△GHD−S△GMF−S△FNE
=6−12−12−2=3．
故答案为：3．
(2)对于四边形DEFG，S=3，N=1，L=6，
由题意知，
1=a×0+4b−13=a+6b−1，
解得，a=1b=12，
∴S=aN+bL−1=1×71+12×18−1=79，
故答案为：79．
(1)过G点作MH⊥ED延长线于点H，过E作NE⊥DE，过F点作MN//x轴，交MH于点M，交NE于点N，分别求出△GHD，△MGF，△FNE，矩形MNEH的面积，即可求出四边形DEFG的面积．
(2)通过已知可知1=a×0+4b−13=a+6b−1，即可求出a，b的值，从而可求所求S的值．
本题主要考查了新定义问题、平面直角坐标系中图形面积的求解、二元一次方程组的求解．求平面直角坐标系中图形面积时，常用的方法是间接法，即在图形外补出一个规则图形或者将所求图形分割成若干规则小图形．
19.【答案】解：3x+2y=19 ①2x−y=1 ②，
由②得：y=2x−1③，
把③代入①得：3x+2(2x−1)=19，即x=3，
把x=3代入③得：y=5，
则方程组的解为x=3y=5．
【解析】方程组利用代入消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解： 4+3−64− (−3)2+| 3−1|
=2+(−4)−3+ 3−1
= 3−6．
【解析】先算算式平方根，立方根以及绝对值，二次根式的化简，再算加减法，即可求解．
本题主要考查了实数的混合运算，掌握算式平方根，立方根，二次根式的化简以及绝对值的概念是解题的关键．
21.【答案】解：解不等式①，得 x>2，
解不等式②，得 x≤4，
故原不等式组的解集为2
【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，从而得到它的整数解．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．
22.【答案】角平分线的定义 ∠AEB 两直线平行，内错角相等 ∠AEB 同位角相等，两直线平行
【解析】证明：∵AE平分∠BAD，∠BAD=80°(已知)，
∴∠DAE=12∠BAD=40°(理由：角平分线的定义)．
∵AD//BC(已知)，
∴∠AEB=∠DAE=40°(理由：两直线平行，内错角相等)．
∵∠BCD=40°(已知)，
∴∠BCD=∠AEB(等量代换)．
∴AE//DC(理由：同位角相等，两直线平行)．
故答案为：角平分线的定义；∠AEB；两直线平行，内错角相等；∠AEB；同位角相等，两直线平行．
由角平分线求出∠DAE，再由平行的性质求出∠AEB，从而可判断∠AEB和∠BCD的大小关系，从而可证明AE//DC．
本题考查了角平分线的定义、平行线的性质和判定．本题的关键是熟练应用平行的性质和判定．
23.【答案】 2 0和1
【解析】解：(1)∵16的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出，
∴4的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出，
∴2的算术平方根是 2，是无理数，输出 2，
故答案为： 2
(2)∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，
∴当x=0和1时，始终输不出y的值；
故答案为：0和1；
(3)25的算术平方根是5，5的算术平方根是 5，
∴若输出的y值是 5，满足要求的x的值为5和25．
(1)根据算术平方根，即可解答；
(2)根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出y值；
(3)25的算术平方根是5，5的算术平方根是 5，据此解答．
本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
24.【答案】a+4 b−3
【解析】解：(1)如图，三角形A′B′C′即为所求；
(2)若三角形ABC内有一点P(a,b)经过上述平移后的对应点为P′，写出点P′的坐标：(a+4,b−3)；
故答案为：a+4，b−3；
(3)设点D(0,m)．
则有12×4×|m|=4，
∴m=±2，
∴点D的坐标为(0,2)或(0,−2)．
(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
(2)利用平移变换的性质判断即可；
(3)设D(0,m)，构建方程求解即可．
本题考查作图−平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
25.【答案】14 36
【解析】解：(1)C的频数为：a=50×28%=14，
补全频数分布直方图如下：
故答案为：14；
(2)扇形统计图中，月均用水量为“E：6≤x<7”的扇形的圆心角是：360°×550=36°；
故答案为：36；
(3)要使60%的家庭水费支出不受影响，家庭月均用水量应该定为5吨，理由如下：
因为月平均用水量不超过5吨的百分比为8%+24%+28%=60%．
(1)用50乘以C组的百分比即可求出a的值，即可补全频数分布直方图；
(2)360°乘以E所占的比例即可求解；
(3)由于50×60%=30，所以为了鼓励节约用水，要使60%的家庭收费不受影响，即要使30户的家庭收费不受影响，而7+23=30，故家庭月均用水量应该定为5吨．
本题考查读频数分布直方图和频数分布表的能力及利用统计图表获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
26.【答案】60
【解析】解：(1)∵AB//CD，
∴∠KFB=∠FED=α，
∵∠AFK+∠KFB=180°，
∴∠AFK=180°−∠KFB=180°−α，
∵FG平分∠AFK，
∴∠GFK=12∠AFK=12(180°−α)
∵α=60°，
∴∠GFK=12(180°−α)=12(180°−60°)=60°．
(2)①∠BMP与∠PNE的数量关系是：∠BMP−∠PNE=90°．
理由如下：
延长MP交CD于点Q，
∵AB//CD，
∴∠BMP+∠PQN=180°，
∵PN⊥PM，
∴∠MPN=90°，
∴∠PQN+∠PNE=∠MPN=90°，
∴∠PQN=90°−∠PNE，
∴∠BMP+90°−∠PNE=180°，
∴∠BMP−∠PNE=90°．
②∠PNE的度数为：90°−12α或12α．
理由如下：
∵∠MPN的一边恰好与射线FG平行，
∴有以下两种情况，
(ⅰ)当PN与射线FG平行时，设∠PNE=θ，
延长NP∠AB于点H，
∵AB//CD，
∴∠PHF=∠PNE=θ，∠PFH=∠FED=α，
∵PN//FG，
∴∠HPF=∠GFK，
由(1)可知：∠GFK=12(180°−α)，
∴∠HPF=12(180°−α)，
∵∠PHF+∠PFH+∠HPF=180°，
∴θ+α+12(180°−α)=180°，
∴θ=90°−12α，
∴∠PNE=θ=90°−12α，
(ⅱ)当PM与射线FG平行时，
∵PM//FG，
∴∠MPF=∠GFK=12(180°−α)，
∵PN⊥PM，
∴∠MPN=90°，
∴∠MPF+∠NPE=90°，
∴∠NPE=90°−∠MPF=90°−12(180°−α)=12α，
∵∠FPD=∠NPE+∠PNE，
∴∠PNE=∠FPD−∠NPE=α−12α=12α．
(1)由AB//CD得∠KFB=∠FED=α，根据平角的定义及角平分线的性质可得出∠GFK=12∠AFK=12(180°−α)，然后将α=60°代入即可；
(2)①延长MP交CD于点Q，由AB//CD得∠BMP+∠PQN=180°，由PN⊥PM得∠MPN=90°=∠PQN+∠PNE可得出结论；
②由于∠MPN的一边恰好与射线FG平行，因此有以下两种情况，
(ⅰ)当PN与射线FG平行时，设∠PNE=θ，延长NP∠AB于点H，由AB//CD得∠PHF=∠PNE=θ，∠PFH=∠FED=α，再由PN//FG及(1)的结论得∠GFK=∠HPF=12(180°−α)，然后由三角形的内角和定理得∠PHF+∠PFH+∠HPF=180°，据此可得出答案；
(ⅱ)当PM与射线FG平行时，由PM//FG得∠MPF=∠GFK=12(180°−α)由PN⊥PM得∠MPN=90°，进而得∠MPF+∠NPE=90°，据此可得∠NPE=12α，最后再由三角形的外角定理可得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行内错角相等，两直线平行同位角相等，难点是分类讨思想在解题中的应用，这也是解答此题的易错点之一．
27.【答案】解：(1)设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元，
根据题意得：3x+5y=18004x+10y=3100，
解得：x=250y=210．
答：A种材质的围棋每套的售价为250元，B种材质的围棋每套的售价为210元；
(2)设采购A种材质的围棋m套，则采购B种材质的围棋(30−m)套，
根据题意得：200m+170(30−m)≤5400，
解得：m≤10，
∴m的最大值为10．
答：A种材质的围棋最多能采购10套；
(3)在(2)的条件下，商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标，理由如下：
根据题意得：(250−200)m+(210−170)(30−m)=1300，
解得：m=10，
又∵m≤10，
∴m=10符合题意，
∴在(2)的条件下，商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标．
【解析】(1)设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元，利用销售收入=销售单价×销售数量，结合近两个月的销售情况，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设采购A种材质的围棋m套，则采购B种材质的围棋(30−m)套，利用进货总价=进货单价×进货数量，结合进货总价不多于5400元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论；
(3)在(2)的条件下，商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标，利用总利润=每套的销售利润×销售数量，可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，再结合(2)中m的取值范围，即可得出在(2)的条件下，商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；(3)找准等量关系，正确列出一元一次方程．
28.【答案】1
【解析】解：(1)设B(x,0)，
①∵|0−1|=1≠3，
∴|x−0|=3，
∴x=±3，
∴B点的坐标为(−3,0)或(3,0)．
②当x<−1或x>1时，
|x−0|>|0−1|，
∴d(A,B)=|x|>1；
当−1≤x≤1时，
|x−0|≤|0−1|=1，
∴d(A,B)=1，
综上所述，d(A,B)的最小值为1．
故答案为：1．
③r=4．
由题意知，
点C在以A点为对称中心，边长为2r的正方形边上，
∵正方形面积为64，
∴正方形的边长为8，
即2r=8，
∴r=4．
(2)由题意知，
当M点在矩形DFEG内(含边)内运动时，d(D,M)+d(E,M)=5．
∴−2≤m≤3．
(1)①设B(x,0)，由题意可得|x−0|=3，从而可求出B点的坐标；
②分当x<−1或x>1和−1≤x≤1两种情况求出d(A,B)，即可求出最小值；
③由已知可得点C在以A点为对称中心，边长为2r的正方形边上，根据面积即可求出r；
(2)结合图象，画出符合题意的M点所在的区域，从而可求出m的取值范围．
本题主要考查了平面直角坐标系中点的特征．本题的最后一问的解题关键是结合图象，先求出动点所在的区域，再求取值范围．
2022-2023学年北京市东城区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，小手盖住的点的坐标可能为( )
A. (−2,−3)
B. (−2,3)
C. (2,3)
D. (2,−3)
2. 4的算术平方根是( )
A. 2 B. ±2 C. 16 D. ±16
3. 下列调查方式，最适合全面调查的是( )
A. 检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准 B. 了解某班学生一分钟跳绳成绩
C. 了解北京市中学生视力情况 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力
4. 若x=2y=1是关于x，y的二元一次方程x+my=5的解，则m的值为( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
5. 实数a，b对应的位置如图所示，下列式子正确的是( )
A. a2
A. 140° B. 60° C. 50° D. 40°
7. 如图，在数轴上，与表示 2的点最接近的点是( )
A. 点P B. 点Q C. 点M D. 点N
8. 已知二元一次方程组x+2y=8,2x+y=−5,则x+y的值为( )
A. −1 B. −3 C. 1 D. 3
9. 如图为小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出.已知当电梯乘载的重量超过400千克时警示音响起，且小丽、小欧的重量分别为50千克、70千克.若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x千克，则x的取值范围是( )
A. 280
①与2018年相比，2019年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升；
②从2018年到2022年，进口额最多的是2022年；
③2018−2022年进口额年增长率持续下降；
④与2021年相比，2022年出口额增加了2.3万亿元．
A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
11. “m的2倍与5的和是正数”可以用不等式表示为______ ．
12. 如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路.小丽觉得行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是______ ．
13. 北京中轴线南起永定门，北至钟鼓楼，全长7.8千米.如图是利用平面直角坐标系画出的中轴线及其沿线部分地点分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示天安门的点的坐标为(0,−1)，表示王府井的点的坐标为(1,−1)，则表示永定门的点的坐标为______ ．
14. 如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动)，圆上的一点由原点到达点O′，点O′所对应的数值是______ ．
15. 如图，将含有60°的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，如果∠1=20°，那么∠2= ______ °.
16. 如图，一块边长为10米的正方形花园，在上面修了一条道路，路的宽都是1米，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是______ 平方米．
17. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前.书中记载了一个数学问题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”其大意是：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺，问长木多少尺？”设绳长x尺，木长y尺，可列方程组为______ ．
18. 在平面直角坐标系xOy中，若一个多边形的顶点都在格点(点的横、纵坐标均为整数)上，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.如图，△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．
(1)图中格点四边形DEFG对应的S为______ ；
(2)已知格点多边形的面积可以表示为S=aN+bL−1，其中a，b为常数.若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S= ______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
19. 解方程组3x+2y=192x−y=1．
四、解答题（本大题共9小题，共49.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题5.0分)
计算： 4+3−64− (−3)2+| 3−1|．
21. (本小题5.0分)
解不等式组：5x−1>3(x+1)1+2x3≥x−1，并求出它的整数解．
22. (本小题5.0分)
请将下面的证明过程补充完整：
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠BCD=40°，∠BAD=80°，∠BAD的角平分线交BC于点E，求证：AE//DC．
证明：∵AE平分∠BAD，∠BAD=80°(已知)，
∴∠DAE=12∠BAD=40°(理由：______ ).
∵AD//BC(已知)，
∴ ______ =∠DAE=40°(理由：______ ).
∵∠BCD=40°(已知)，
∴∠BCD= ______ (等量代换)．
∴AE//DC(理由：______ ).
23. (本小题5.0分)
一个数值转换器如图所示：
(1)当输入的x值为16时，输出的y值是______ ；
(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______ ；
(3)若输出的y值是 5，请直接写出两个满足要求的x的值．
24. (本小题4.0分)
如图.三角形ABC的顶点坐标分别为A(−1.4)，B(−4,−1)，C(1,1).若将三角形ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形A′B′C′，其中点A′，B′，C′分别是点A.B，C的对应点．
(1)画出三角形A′B′C′；
(2)若三角形ABC内有一点P(a,b)经过上述平移后的对应点为P′，写出点P′的坐标：(______ ，______ )；
(3)若点D在y轴上且三角形BOD的面积为4，直接写出点D的坐标．
25. (本小题5.0分)
如图为国家节水标志，节水标志各部分的含义为：灰色的圆形代表分像一只手托起一滴水，手又像一条蜿蜒的河流，象征滴水汇成江河.某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查，通过简单随机抽样调查获得了50个家庭去年的月均用水量(单位：吨).以下是整理数据后的不完整统计表、统计图．
月均用水量频数分布表
分组
频数
2≤x<3
4
3≤x<4
12
4≤x<5
a
5≤x<6
9
6≤x<7
5
7≤x<8
4
8≤x<9
2
合计
50
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
(1)表中a的值为______ ，请补全频数分布直方图；
(2)扇形统计图中，月均用水量为“E：6≤x<7”的扇形的圆心角是______ °；
(3)为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费.若要使60%的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？
26. (本小题6.0分)
已知，直线AB//CD，点E为直线CD上一定点，射线EK交AB于点F，FG平分∠AFK，∠FED=α．
(1)如图1，当α=60°时，∠GFK= ______ °；
(2)点P为线段EF上一定点，点M为直线AB上的一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM交直线CD于点N．
①如图2，当点M在点F右侧时，求∠BMP与∠PNE的数量关系；
②当点M在直线AB上运动时，∠MPN的一边恰好与射线FG平行，直接写出此时∠PNE的度数(用含α的式子表示)．
27. (本小题7.0分)
围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史.某商家销售A、B两种材质的围棋，每套进价分别为200元、170元，下表是近两个月的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A种材质
B种材质
第一个月
3套
5套
1800元
第二个月
4套
10套
3100元
(1)求A、B两种材质的围棋每套的售价．
(2)若商家准备用不多于5400元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套，求A种材质的围棋最多能采购多少套？
(3)在(2)的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1300元的目标？请说明理由．
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x1,y1)，点Q(x2,y2)，定义|x1−x2|与|y1−y2|中的值较大的为点P，Q的“绝对距离”，记为d(P,Q).特别地，当|x1−x2|=|y1−y2|时，规定d(P,Q)=|x1−x2|，例如，点P(1,2)，点Q(3,5)，因为|1−3|<|2−5|，所以点P，Q的“绝对距离”为|2−5|=3，记为d(P,Q)=3．
(1)已知点A(0,1)，点B为x轴上的一个动点．
①若d(A,B)=3，求点B的坐标；
②d(A,B)的最小值为______ ；
③动点C(x,y)满足d(A,C)=r，所有动点C组成的图形面积为64，请直接写出r的值．
(2)对于点D(−1,0)，点E(2,5)，若有动点M(m,n)使得d(D,M)+d(E,M)=5，请直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：如图，小手盖住的点的坐标可能为(2,−3)，
故选：D．
根据第四象限点的坐标特征(+,−)，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故选A
利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准，最适合抽样调查，故A不符合题意；
B、了解某班学生一分钟跳绳成绩，最适合全面调查，故B符合题意；
C、了解北京市中学生视力情况，最适合抽样调查，故C不符合题意；
D、调查某批次汽车的抗撞击能力，最适合抽样调查，故D不符合题意；
故选：B．
根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：将x=2y=1代入原方程得：2+m=5，
解得：m=3，
∴m的值为3．
故选：B．
将x=2y=1代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：根据图示，可得：a
∴选项A不符合题意；
∵a
∴选项B不符合题意；
∵−5
∴选项C不符合题意；
∵a
故选：D．
根据图示，可得：a
6.【答案】C
【解析】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∵∠COE=40°，
∴∠AOC=∠AOE−∠COE=90°−40°=50°，
∴∠BOD=∠AOC=50°，
故选：C．
由垂线的定义得出∠AOE=90°，即可求出∠AOC的度数，根据对顶角相等即可得出∠BOD的度数．
本题考查了垂线的定义，对顶角的性质，熟知对顶角相等的性质．
7.【答案】B
【解析】解：∵1< 2<2，
∴与表示 2的点最接近的点是点Q，
故选：B．
先对无理数 2进行估算，再根据数轴表示进行求解．
此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识进行求解．
8.【答案】C
【解析】解：x+2y=8①2x+y=−5②，
①+②得：3x+3y=3，
解得：x+y=1，
故选：C．
利用整体的思想，进行计算即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握整体的思想是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：根据题意得：x+50≤400x+50+70>400，
解得：280
根据“小丽进入电梯不超重，小欧进入电梯超重”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：①由条形图与折线图可知，2018的进口额为14.1万亿元，进口额的年增长率为12.8%，2019的进口额为14.3万亿元，进口额的年增长率为1.4%，所以与2018年相比，2019年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升，故①结论正确，符合题意；
②由条形图可知，从2018年到2022年，进口额最多的是2022年，为18.1万亿元，故②结论正确，符合题意；
③由折线图可知，2018−2022年进口额年增长率先下降再上升再下降，故③结论错误，不符合题意；
④由条形图可知，与2021年相比，2022年出口额增加了24.0−21.7=2.3万亿元，故④结论正确，符合题意；
故选：A．
根据条形统计图与折线统计图所给的信息进行求解即可．
本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，折线统计图表示的是事物的变化情况．
11.【答案】5+2m>0
【解析】解：m的2倍为2m，
5与m的2倍的和写为5+2m，
和是正数，
则5+2m>0，
故答案为：5+2m>0．
m的2倍与5的和是正数为5+2m；和是正数，那么前面所得的结果大于0．
本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式的知识点，解决本题的关键是理解正数用数学符号表示是“>0”．
12.【答案】垂线段最短
【解析】解：∵垂线段最短，
∴行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理．
故答案为：垂线段最短．
根据垂线段最短的性质求解即可．
本题考查垂线的性质，关键是掌握垂线的两条性质，明白垂线段最短．
13.【答案】(0,−7)
【解析】解：永定门的点的坐标为(0,−7)，
故答案为：(0,−7)．
直接利用已知点坐标进而确定原点位置进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
14.【答案】π
【解析】解：∵圆的周长为=1×π=π，
∴圆从原点沿数轴向右滚动一周经过的路径长OO′=π，
∴O′点对应的数是π．
故答案为：π．
求出OO′的长即可确定O′点对应的数．
本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解题的关键是求出OO′的长．
15.【答案】40
【解析】解：根据题意可知，两直线平行，内错角相等，
∵∠1=20°，∠1+∠3=60°，
∴∠3=40°，
∵∠2=∠3，
∴∠2=40°．
故答案为：40．
利用两直线平行，内错角相等作答．
本题主要考查了两直线平行，内错角相等的性质，需要注意隐含条件，直尺的对边平行，等腰直角三角板的锐角是45°的利用．
16.【答案】81
【解析】解：(10−1)×(10−1)
=9×9
=81(平方米)．
故种植花草的面积是81平方米．
故答案为：81．
直接利用平移方法，将2条道路平移到图形的一侧，进而求出即可．
本题考查了生活中的平移现象，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致错误．
17.【答案】x−y=4.5y−12x=1
【解析】解：∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，
∴x−y=4.5；
∵将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺，
∴y−12x=1．
∴根据题意可列方程组x−y=4.5y−12x=1．
故答案为：x−y=4.5y−12x=1．
根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18.【答案】3 79
【解析】解：(1)过G点作MH⊥ED延长线于点H，过E作NE⊥DE，过F点作MN//x轴，交MH于点M，交NE于点N，
则HD=1，GH=1，GM=1，MF=1，FN=2，NE=2，MH=2，HE=3，
∴S矩形MNEH=MH×MN=2×3=6，
S△GHD=12×GH×HD=12×1×1=12，
S△GMF=12×MG×MF=12×1×1=12，
S△FNE=12×FN×NE=12×2×2=2，
∴S四边形DEFG=S矩形MNEH−S△GHD−S△GMF−S△FNE
=6−12−12−2=3．
故答案为：3．
(2)对于四边形DEFG，S=3，N=1，L=6，
由题意知，
1=a×0+4b−13=a+6b−1，
解得，a=1b=12，
∴S=aN+bL−1=1×71+12×18−1=79，
故答案为：79．
(1)过G点作MH⊥ED延长线于点H，过E作NE⊥DE，过F点作MN//x轴，交MH于点M，交NE于点N，分别求出△GHD，△MGF，△FNE，矩形MNEH的面积，即可求出四边形DEFG的面积．
(2)通过已知可知1=a×0+4b−13=a+6b−1，即可求出a，b的值，从而可求所求S的值．
本题主要考查了新定义问题、平面直角坐标系中图形面积的求解、二元一次方程组的求解．求平面直角坐标系中图形面积时，常用的方法是间接法，即在图形外补出一个规则图形或者将所求图形分割成若干规则小图形．
19.【答案】解：3x+2y=19 ①2x−y=1 ②，
由②得：y=2x−1③，
把③代入①得：3x+2(2x−1)=19，即x=3，
把x=3代入③得：y=5，
则方程组的解为x=3y=5．
【解析】方程组利用代入消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解： 4+3−64− (−3)2+| 3−1|
=2+(−4)−3+ 3−1
= 3−6．
【解析】先算算式平方根，立方根以及绝对值，二次根式的化简，再算加减法，即可求解．
本题主要考查了实数的混合运算，掌握算式平方根，立方根，二次根式的化简以及绝对值的概念是解题的关键．
21.【答案】解：解不等式①，得 x>2，
解不等式②，得 x≤4，
故原不等式组的解集为2
【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，从而得到它的整数解．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．
22.【答案】角平分线的定义 ∠AEB 两直线平行，内错角相等 ∠AEB 同位角相等，两直线平行
【解析】证明：∵AE平分∠BAD，∠BAD=80°(已知)，
∴∠DAE=12∠BAD=40°(理由：角平分线的定义)．
∵AD//BC(已知)，
∴∠AEB=∠DAE=40°(理由：两直线平行，内错角相等)．
∵∠BCD=40°(已知)，
∴∠BCD=∠AEB(等量代换)．
∴AE//DC(理由：同位角相等，两直线平行)．
故答案为：角平分线的定义；∠AEB；两直线平行，内错角相等；∠AEB；同位角相等，两直线平行．
由角平分线求出∠DAE，再由平行的性质求出∠AEB，从而可判断∠AEB和∠BCD的大小关系，从而可证明AE//DC．
本题考查了角平分线的定义、平行线的性质和判定．本题的关键是熟练应用平行的性质和判定．
23.【答案】 2 0和1
【解析】解：(1)∵16的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出，
∴4的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出，
∴2的算术平方根是 2，是无理数，输出 2，
故答案为： 2
(2)∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，
∴当x=0和1时，始终输不出y的值；
故答案为：0和1；
(3)25的算术平方根是5，5的算术平方根是 5，
∴若输出的y值是 5，满足要求的x的值为5和25．
(1)根据算术平方根，即可解答；
(2)根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出y值；
(3)25的算术平方根是5，5的算术平方根是 5，据此解答．
本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
24.【答案】a+4 b−3
【解析】解：(1)如图，三角形A′B′C′即为所求；
(2)若三角形ABC内有一点P(a,b)经过上述平移后的对应点为P′，写出点P′的坐标：(a+4,b−3)；
故答案为：a+4，b−3；
(3)设点D(0,m)．
则有12×4×|m|=4，
∴m=±2，
∴点D的坐标为(0,2)或(0,−2)．
(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
(2)利用平移变换的性质判断即可；
(3)设D(0,m)，构建方程求解即可．
本题考查作图−平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
25.【答案】14 36
【解析】解：(1)C的频数为：a=50×28%=14，
补全频数分布直方图如下：
故答案为：14；
(2)扇形统计图中，月均用水量为“E：6≤x<7”的扇形的圆心角是：360°×550=36°；
故答案为：36；
(3)要使60%的家庭水费支出不受影响，家庭月均用水量应该定为5吨，理由如下：
因为月平均用水量不超过5吨的百分比为8%+24%+28%=60%．
(1)用50乘以C组的百分比即可求出a的值，即可补全频数分布直方图；
(2)360°乘以E所占的比例即可求解；
(3)由于50×60%=30，所以为了鼓励节约用水，要使60%的家庭收费不受影响，即要使30户的家庭收费不受影响，而7+23=30，故家庭月均用水量应该定为5吨．
本题考查读频数分布直方图和频数分布表的能力及利用统计图表获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
26.【答案】60
【解析】解：(1)∵AB//CD，
∴∠KFB=∠FED=α，
∵∠AFK+∠KFB=180°，
∴∠AFK=180°−∠KFB=180°−α，
∵FG平分∠AFK，
∴∠GFK=12∠AFK=12(180°−α)
∵α=60°，
∴∠GFK=12(180°−α)=12(180°−60°)=60°．
(2)①∠BMP与∠PNE的数量关系是：∠BMP−∠PNE=90°．
理由如下：
延长MP交CD于点Q，
∵AB//CD，
∴∠BMP+∠PQN=180°，
∵PN⊥PM，
∴∠MPN=90°，
∴∠PQN+∠PNE=∠MPN=90°，
∴∠PQN=90°−∠PNE，
∴∠BMP+90°−∠PNE=180°，
∴∠BMP−∠PNE=90°．
②∠PNE的度数为：90°−12α或12α．
理由如下：
∵∠MPN的一边恰好与射线FG平行，
∴有以下两种情况，
(ⅰ)当PN与射线FG平行时，设∠PNE=θ，
延长NP∠AB于点H，
∵AB//CD，
∴∠PHF=∠PNE=θ，∠PFH=∠FED=α，
∵PN//FG，
∴∠HPF=∠GFK，
由(1)可知：∠GFK=12(180°−α)，
∴∠HPF=12(180°−α)，
∵∠PHF+∠PFH+∠HPF=180°，
∴θ+α+12(180°−α)=180°，
∴θ=90°−12α，
∴∠PNE=θ=90°−12α，
(ⅱ)当PM与射线FG平行时，
∵PM//FG，
∴∠MPF=∠GFK=12(180°−α)，
∵PN⊥PM，
∴∠MPN=90°，
∴∠MPF+∠NPE=90°，
∴∠NPE=90°−∠MPF=90°−12(180°−α)=12α，
∵∠FPD=∠NPE+∠PNE，
∴∠PNE=∠FPD−∠NPE=α−12α=12α．
(1)由AB//CD得∠KFB=∠FED=α，根据平角的定义及角平分线的性质可得出∠GFK=12∠AFK=12(180°−α)，然后将α=60°代入即可；
(2)①延长MP交CD于点Q，由AB//CD得∠BMP+∠PQN=180°，由PN⊥PM得∠MPN=90°=∠PQN+∠PNE可得出结论；
②由于∠MPN的一边恰好与射线FG平行，因此有以下两种情况，
(ⅰ)当PN与射线FG平行时，设∠PNE=θ，延长NP∠AB于点H，由AB//CD得∠PHF=∠PNE=θ，∠PFH=∠FED=α，再由PN//FG及(1)的结论得∠GFK=∠HPF=12(180°−α)，然后由三角形的内角和定理得∠PHF+∠PFH+∠HPF=180°，据此可得出答案；
(ⅱ)当PM与射线FG平行时，由PM//FG得∠MPF=∠GFK=12(180°−α)由PN⊥PM得∠MPN=90°，进而得∠MPF+∠NPE=90°，据此可得∠NPE=12α，最后再由三角形的外角定理可得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行内错角相等，两直线平行同位角相等，难点是分类讨思想在解题中的应用，这也是解答此题的易错点之一．
27.【答案】解：(1)设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元，
根据题意得：3x+5y=18004x+10y=3100，
解得：x=250y=210．
答：A种材质的围棋每套的售价为250元，B种材质的围棋每套的售价为210元；
(2)设采购A种材质的围棋m套，则采购B种材质的围棋(30−m)套，
根据题意得：200m+170(30−m)≤5400，
解得：m≤10，
∴m的最大值为10．
答：A种材质的围棋最多能采购10套；
(3)在(2)的条件下，商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标，理由如下：
根据题意得：(250−200)m+(210−170)(30−m)=1300，
解得：m=10，
又∵m≤10，
∴m=10符合题意，
∴在(2)的条件下，商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标．
【解析】(1)设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元，利用销售收入=销售单价×销售数量，结合近两个月的销售情况，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设采购A种材质的围棋m套，则采购B种材质的围棋(30−m)套，利用进货总价=进货单价×进货数量，结合进货总价不多于5400元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论；
(3)在(2)的条件下，商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标，利用总利润=每套的销售利润×销售数量，可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，再结合(2)中m的取值范围，即可得出在(2)的条件下，商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；(3)找准等量关系，正确列出一元一次方程．
28.【答案】1
【解析】解：(1)设B(x,0)，
①∵|0−1|=1≠3，
∴|x−0|=3，
∴x=±3，
∴B点的坐标为(−3,0)或(3,0)．
②当x<−1或x>1时，
|x−0|>|0−1|，
∴d(A,B)=|x|>1；
当−1≤x≤1时，
|x−0|≤|0−1|=1，
∴d(A,B)=1，
综上所述，d(A,B)的最小值为1．
故答案为：1．
③r=4．
由题意知，
点C在以A点为对称中心，边长为2r的正方形边上，
∵正方形面积为64，
∴正方形的边长为8，
即2r=8，
∴r=4．
(2)由题意知，
当M点在矩形DFEG内(含边)内运动时，d(D,M)+d(E,M)=5．
∴−2≤m≤3．
(1)①设B(x,0)，由题意可得|x−0|=3，从而可求出B点的坐标；
②分当x<−1或x>1和−1≤x≤1两种情况求出d(A,B)，即可求出最小值；
③由已知可得点C在以A点为对称中心，边长为2r的正方形边上，根据面积即可求出r；
(2)结合图象，画出符合题意的M点所在的区域，从而可求出m的取值范围．
本题主要考查了平面直角坐标系中点的特征．本题的最后一问的解题关键是结合图象，先求出动点所在的区域，再求取值范围．
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