七年级数学暑假作业

这是一份七年级数学暑假作业，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第二学期七年级期末试卷
科目：数学 时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图标中，（ ）是轴对称图形．
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 在北京冬奥会的赛场上，石墨烯“温暖亮相”，向全世界展示中国自主研发的新型加热材料，也让身处冰雪赛场的人们多了一重温度保障、不畏严寒．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034米用科学记数法表示为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
4. 如果把直角三角形两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（ ）
A. 1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍
5. 如图，已知直线ab，∠1＝85°，∠2＝60°，则∠3＝（　　）

A. 35° B. 25° C. 15° D. 30°
6. 如图，在△与中，，，添加下列条件后，仍不能得到是（ ）

A. B. C. D.
7. 端午节的早上，小丽妈妈买了八个粽子，其中有两个蜜枣的，如果她只吃一个粽子，那么她吃不到蜜枣粽子的概率是（ ）
A. 0 B. 1 C. D.
8. 如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，，若，则BD的长是（ ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
9. 如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，的周长等于12，则的长度为（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10. 在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程（米）与各自所用时间（秒）之间的函数图像分别为线段和折线，则下列说法不正确的是（ ）

A. 甲的速度保持不变 B. 乙的平均速度比甲的平均速度大
C. 在起跑后第180秒时，两人不相遇 D. 在起跑后第50秒时，乙在甲的前面
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11. 计算：=____________．
12. 如图所示，添加一个条件，使___________________．

13. 如图，在中，BC边上的高是4cm，点D从点C出发，沿CB边向点B匀速运动，速度为0.1cm/s，连接AD，设动点D的运动时间为t（s）（点D到点B后停止运动），的面积为S（），则S与t之间的关系式为______．

14. 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要____________元钱．

15. 如果是一个完全平方式，则__________．
16. 弹簧原长（不挂物体）15cm，弹簧总长L（cm）与物体质量x（kg）的关系如表所示：
弹簧总长L（cm）
16
17
18
19
20
重物质量x（kg）
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
当物体质量为5kg（在弹性限度内）时，弹簧的总长是 _____cm．
17. 如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则____．

18. 如图，的顶点、、都在小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫做格点三角形．则图中与有唯一公共顶点且与全等的格点三角形共有________个（不包括）．

19. 如图，是一张三角形纸板，其中，一只蚂蚁在这张纸板上自由爬行，则蚂蚁爬到阴影部分的概率为______．

20. 如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，BM为的角平分线，l与BM相交于点P．若，，则的度数为________________．

三、解答题（本大题共8小题，共60分）
21. 计算和化简
（1）；
（2）．
（3）
22. 先化简，再求值：，其中，．
23. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．


24. 如图，在正方形网格图中有一个．

（1）画出关于直线对称图形（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积．
（3）在直线上找一点，使得的周长最小，并标出点．
25. 如图，，，．

（1）求证：；
（2）若，AE平分，求的度数．
26. 在一个不透明口袋中放入6个白球和14个红球，它们除颜色外完全相同．
（1）求从口袋中随机摸出一个球是白球的概率；
（2）现从口袋中取出若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取出了多少个红球？
27. 某星期天下午，小锐和同学小雪相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小锐从家出发先步行到车站，等小雪到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小锐离开家的路程y（公里）和所用时间x（分）之间的函数关系．

（1）问题中的自变量是 ，根据图像可知，小锐从家到公共汽车站步行了 公里，在公共汽车站等小雪用时 分钟；
（2）求小锐从家出发步行到车站过程中y与x函数关系式；
（3）求公共汽车行驶的平均速度（单位：公里/小时）．
28. 已知△ABC中，AC＝BC；△DEC中，DC＝EC；∠ACB＝∠DCE＝α，点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．
（1）如图1，当α＝60°时，
①求证：AD＝BE；
②请求出∠AEB的度数；
（2）如图2，当α＝90°时，请直接写出：
①∠AEB的度数为 　　；
②若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，线段AF的长为　　．






第二学期七年级期末试卷
科目：数学 时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图标中，（ ）是轴对称图形．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据整式的加法、完全平方公式、积的乘方以及多项式的乘法计算即可得出答案．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的运算，涉及整式的加法、完全平方公式、积的乘方以及多项式的乘法等，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．
3. 在北京冬奥会的赛场上，石墨烯“温暖亮相”，向全世界展示中国自主研发的新型加热材料，也让身处冰雪赛场的人们多了一重温度保障、不畏严寒．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034米用科学记数法表示为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】根据科学记数法表示方法表示即可；
【详解】解：科学记数法表示为：
0.00000000034=．
故选：D
【点睛】本题主要考查科学记数法的表示，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
4. 如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（ ）
A. 1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍
【答案】B
【解析】
【详解】设原直角三角形的三边长分别是，且，
则扩大后的三角形的斜边长为，
即斜边长扩大到原来的2倍，
故选B.
5. 如图，已知直线ab，∠1＝85°，∠2＝60°，则∠3＝（　　）

A. 35° B. 25° C. 15° D. 30°
【答案】A
【解析】
【分析】由平行线的性质可得∠DCE＝∠1＝85°，再由对顶角相等得∠ABC＝∠2，∠ACB＝∠DCE，再由三角形的内角和即可求解．
【详解】解：如图，

∵ab，∠1＝85°，
∴∠DCE＝∠1＝85°，
∴∠ACB＝∠DCE＝85°，
∵∠2＝60°，∠ABC＝∠2，
∴∠ABC＝60°，
∴∠3＝180°−∠ACB−∠ABC＝35°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
6. 如图，在△与中，，，添加下列条件后，仍不能得到的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理逐项进行分析判断即可．
【详解】添加∠B=∠F，则可根据AAS判断△ABC≌ △DFE，故A选项不符合题意；
添加BE=CF，则可得BC=FE，可根据SAS判断△ABC≌ △DFE，故B选项不符合题意；
添加∠A=∠D，则可根据ASA判断△ABC≌ △DFE，故C选项不符合题意；
添加AB=DF，根据SSA不能判断△ABC≌ △DFE，故D选项符合题意.
故选D
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
7. 端午节的早上，小丽妈妈买了八个粽子，其中有两个蜜枣的，如果她只吃一个粽子，那么她吃不到蜜枣粽子的概率是（ ）
A. 0 B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出不是蜜枣粽子的数量，再根据概率公式解答即可．
【详解】解：∵共有8个粽子，其中有2个蜜枣的，
∴不是蜜枣的有6个
∴吃不到蜜枣粽子概率＝．
故选：D．
【点睛】本题考查的是概率公式，熟知事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
8. 如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，，若，则BD的长是（ ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先证明△ADE≌△CFE(AAS)，得AD=CF=4，然后由BD=AB-AD求解即可．
【详解】解：∵FCAB，
∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE(AAS)，
∴AD=CF=4，
∴BD=AB-AD=7-4=3，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
9. 如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，的周长等于12，则的长度为（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再利用的周长为12即可求解．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴的周长，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
10. 在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程（米）与各自所用时间（秒）之间的函数图像分别为线段和折线，则下列说法不正确的是（ ）

A. 甲的速度保持不变 B. 乙的平均速度比甲的平均速度大
C. 在起跑后第180秒时，两人不相遇 D. 在起跑后第50秒时，乙在甲的前面
【答案】B
【解析】
【分析】A、由于线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，由此可以确定甲的速度是没有变化的；B、甲比乙先到，由此可以确定甲的平均速度比乙的平均速度快；C、根据图象可以知道起跑后180秒时，两人的路程确定是否相遇；D、根据图象知道起跑后50秒时OB在OA的上面，由此可以确定乙是否在甲的前面．
【详解】解：A、∵线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，∴甲的速度是没有变化的，故不选A；
B、∵甲比乙先到，∴乙的平均速度比甲的平均速度慢，故选B；
C、∵起跑后180秒时，两人的路程不相等，∴他们没有相遇，故不选C；
D、∵起跑后50秒时OB在OA的上面，∴乙是在甲的前面，故不选D．
故选：B．
【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11. 计算：=____________．
【答案】1
【解析】
【分析】逆用积的乘方运算法则进行计算即可得出答案．
【详解】解：．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方运算法则并能逆用是解决本题的关键．
12. 如图所示，添加一个条件，使___________________．

【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据平行线的判定即可得．
【详解】解：∵，
∴（同位角相等，两直线平行），
即添加条件，可使得，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了平行线判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．
13. 如图，在中，BC边上的高是4cm，点D从点C出发，沿CB边向点B匀速运动，速度为0.1cm/s，连接AD，设动点D的运动时间为t（s）（点D到点B后停止运动），的面积为S（），则S与t之间的关系式为______．

【答案】S＝0.2t
【解析】
【分析】先用t表示出CD的长度，△ACD中CD边上的高为4cm，运用三角形面积基本求法可得，面积S与时间t的关系式．
【详解】解：根据题意得：CD=0.1tcm，DC边上的高是4cm，
∴的面积为，
∴S与t之间的关系式为S＝0.2t．
故答案为：S＝0.2t
【点睛】本题考查了一次函数关系式及其应用，关键在于能够正确写出三角形的面积公式并进行化简从而得出答案．
14. 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要____________元钱．

【答案】612
【解析】
【分析】先由勾股定理求出BC的长为12m，再用(AC+BC)乘以2乘以18即可得到答案．
【详解】如图，∵∠C=90，AB=13m，AC=5m，
∴BC==12m，
∴（元）．
故填：612.

【点睛】此题考查勾股定理、平移的性质，题中求出地毯的总长度是解题的关键，地毯的长度由平移可等于楼梯的垂直高度和水平距离的和，进而求得地毯的面积．
15. 如果是一个完全平方式，则__________．
【答案】-1或3
【解析】
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】解：∵=，
∴2(m-1)x=±2×x×2，
解得m=-1或m=3．
故答案为-1或3
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
16. 弹簧原长（不挂物体）15cm，弹簧总长L（cm）与物体质量x（kg）的关系如表所示：
弹簧总长L（cm）
16
17
18
19
20
重物质量x（kg）
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
当物体质量为5kg（在弹性限度内）时，弹簧的总长是 _____cm．
【答案】25
【解析】
【分析】根据观察，可发现：每挂1千克弹簧增长2厘米，可得答案．
【详解】解：由题意，得L=2x+15，
当x=5时，L=2×5+15=25cm，
答：重物为5（千克）时弹簧总长L（cm）是25厘米．
故答案为：25
【点睛】本题考查了函数关系式，观察发现规律：每挂1千克弹簧增长2厘米是解题关键．
17. 如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则____．

【答案】50°##50度
【解析】
【分析】此题要求∠AEG的度数，只需求得其邻补角的度数，根据平行线的性质以及折叠的性质就可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD长方形
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠1＝65°，
由折叠的性质得：∠GEF＝∠DEF＝65°，
根据平角的定义，得：∠AEG＝180°−65°×2＝50°．
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题），正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
18. 如图，的顶点、、都在小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫做格点三角形．则图中与有唯一公共顶点且与全等的格点三角形共有________个（不包括）．

【答案】13
【解析】
【分析】以C点为唯一公共点，其它两点在格点上作出与全等的三角形即可．
【详解】解：如图所示：与有唯一公共顶点且与全等的格点三角形共有13个，
故答案为：13．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握相关性质是解题的关键．
19. 如图，是一张三角形纸板，其中，一只蚂蚁在这张纸板上自由爬行，则蚂蚁爬到阴影部分的概率为______．

【答案】
【解析】
【分析】利用等底同高的三角形面积相等的概念，将分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是面积的，所以蚂蚁爬到阴影部分的概率是．
【详解】解：连接．

，，，
利用三角形中线的性质可得，
被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的，
所以蚂蚁踩到阴影部分的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质以及几何概率等知识，利用三角形中线的性质得出面积相等的三角形是解题关键．
20. 如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，BM为的角平分线，l与BM相交于点P．若，，则的度数为________________．

【答案】##32度
【解析】
【分析】根据角平分线的定义可得,根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得,再根据等边对等角可得,然后利用三角形的内角和等于列出方程求解即可.
【详解】 直线BM为的角平分线,
.
直线l为BC的中垂线,
,
,
,
在中,,
即,
解得
故答案为：32°
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线性质定理,角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识点,熟练掌握定理是解答本题的关键.
三、解答题（本大题共8小题，共60分）
21. 计算和化简
（1）；
（2）．
（3）
【答案】（1）0 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）应用有理数乘方，负整数指数幂，零指数幂的运算法则进行计算即可得出答案；
（2）应用整式乘法法则进行计算即可得出答案；
（2）应用整式乘法法则进行计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：


；
【小问2详解】
解：

；
【小问3详解】
解：


．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，整式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握平方差公式，整式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂的运算法则进行求即是解决本题的关键．
22. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】根据整式的混合计算法则先化简，然后代值计算即可．
【详解】解：



，
当，时，
原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的混合计算法则是解题的关键．
23. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．


【答案】84.
【解析】
【详解】解：作AD⊥BC于D，

如图所示：设BD = x，则．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：，
∴ ，
解之得：．
∴．
∴ ．
24. 如图，在正方形网格图中有一个．

（1）画出关于直线的对称图形（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积．
（3）在直线上找一点，使得的周长最小，并标出点．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）先找出点A、点B、点C关于直线的对称点，再依次连接对称点即可．
（2）先求出所在的长方形的面积，再求出长方形里其他三个直角三角形的面积，用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可．
（3）先找出点A关于直线的对称点D，连接与直线相交于点P，即的最小值就是的长度．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
；
【小问2详解】
解：的面积．
【小问3详解】
解：如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图—轴对称变化、轴对称—最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解决本题的关键．
25. 如图，，，．

（1）求证：；
（2）若，AE平分，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）35°
【解析】
分析】（1）根据，可得，进而证明，即可得证；
（2）根据角平分线的定义可得，根据（1）的结论可得，即可求解．
【小问1详解】
证明：，
，
在与中，

，
；
【小问2详解】
解： ，AE平分，

，

【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的意义，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
26. 在一个不透明的口袋中放入6个白球和14个红球，它们除颜色外完全相同．
（1）求从口袋中随机摸出一个球是白球的概率；
（2）现从口袋中取出若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取出了多少个红球？
【答案】（1）
（2）10个
【解析】
【分析】（1）用白球的个数除以总球的个数即可；
（2）设取出了x个红球，根据概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案．
【小问1详解】
解：口袋中共有6个白球和14个红球，所有可能的结果有20种，每种结果出现的可能性相同，
∴（摸出白球）．
答：从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是；
【小问2详解】
设取出了个红球．根据题意，得：
，
解这个方程，得．
答：取出了10个红球．
【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
27. 某星期天下午，小锐和同学小雪相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小锐从家出发先步行到车站，等小雪到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小锐离开家的路程y（公里）和所用时间x（分）之间的函数关系．

（1）问题中的自变量是 ，根据图像可知，小锐从家到公共汽车站步行了 公里，在公共汽车站等小雪用时 分钟；
（2）求小锐从家出发步行到车站过程中y与x的函数关系式；
（3）求公共汽车行驶的平均速度（单位：公里/小时）．
【答案】（1）所用时间；2；10
（2）
（3）公共汽车行驶的平均速度为公里/小时
【解析】
【分析】（1）根据图像进行解答即可；
（2）用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）用总路程除以总时间求出公共汽车行驶的平均速度即可．
【小问1详解】
解：问题中的自变量是所用时间；根据图象可知，小锐从家到公共汽车站步行了2公里；在公共汽车站等小雪用时（分钟）；
故答案为：所用时间；2；10．
小问2详解】
解：设小锐从家出发步行到车站过程中y与x的函数关系式为，
把代入得：，
解得：，
∴y与x的函数关系式为．
【小问3详解】
解：（公里/小时），
答：公共汽车行驶的平均速度为公里/小时．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是能根据图像获得相关信息．
28. 已知△ABC中，AC＝BC；△DEC中，DC＝EC；∠ACB＝∠DCE＝α，点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．
（1）如图1，当α＝60°时，
①求证：AD＝BE；
②请求出∠AEB的度数；
（2）如图2，当α＝90°时，请直接写出：
①∠AEB的度数为 　　；
②若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，线段AF的长为　　．

【答案】（1）①见解析；②60°；（2）①90°；②4
【解析】
【分析】（1）①由“SAS”可证△CDA≌△CEB，可得AD＝BE；②由全等三角形的性质可得∠CEB＝∠CDA＝120°，最后根据平角的性质求解即可；
（2）①由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC＝135°，可得结论；②由全等三角形的性质可得AD＝BE＝2，由外角的性质和等腰三角形的性质可求AD＝CD＝DF＝2，即可解得．
【详解】解：（1）①∵AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴△ABC和△DEC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°，CA＝CB，CD＝CE，
∴∠ACB﹣∠DCF＝∠DCE﹣∠DCF，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△CDA和△CEB中，
，
∴△CDA≌△CEB（SAS），
∴AD＝BE；
②∵△CDA≌△CEB，
∴∠CEB＝∠CDA＝180°﹣∠CDE＝120°，
∵∠CED＝60°，
∴∠AEB＝∠CEB﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°；
（2）①∵AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°＝∠CED，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°，
故填：90°；
②∵△ACD≌△BCE，BE＝2，
∴BE＝AD＝2，
∵∠CAF＝∠BAF＝22.5°，∠CDE＝45°＝∠CAD+∠ACD，
∴∠ACD＝∠CAD＝22.5°，
∴AD＝CD＝2，
∵∠DCF＝90°﹣∠ACD＝67.5°，∠AFC＝∠ABC+∠BAF＝67.5°，
∴∠DCF＝∠AFC，
∴DC＝DF＝2，
∴AF＝AD+DF＝4，
故填：4．