七年级数学暑假作业

这是一份七年级数学暑假作业，共24页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题，羊二，直金十九两；牛二等内容，欢迎下载使用。
七年级试卷·数学
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分）
1. 计算2a·3a= ______________.
【答案】6a2
【解析】
【分析】根据单项式乘法法则，同底数幂的乘法性质，同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．
【详解】2a⋅3a=2×3a =6a2.
故答案为6a2.
【点睛】此题考查单项式乘单项式，解题关键在于掌握运算法则.
2. 是第五代移动通信技术，应用网络下载一个的文件只需要秒，则数据用科学记数法可表示为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
3. 六边形的内角和为______．
【答案】##720度
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式：多边形的内角和（其中为多边形的边数，且为整数），把数据代入公式解答即可．
【详解】解：∵多边形是六边形，
∴，
∴

．
∴六边形的内角和为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，关键是熟记公式．
4. 命题“，则”的逆命题的结论是________．
【答案】
【解析】
【分析】交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题．
【详解】解：如果，那么的逆命题是如果，那么，
故答案为：．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出该命题的逆命题，难度不大．
5. 某市某天的最高气温是，最低气温是，则当天该市气温的变化范围用不等式表示为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意列出不等式组即可得到答案．
【详解】解：某市某天的最高气温是，最低气温是，
当天该市气温的变化范围用不等式表示为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的意义，熟练掌握相关知识点是解题关键．
6. 如图，直线，把三角尺的直角顶点放在直线b上，若，则____________°．

【答案】36
【解析】
【分析】由直角三角板的性质可知，再根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，

∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：36．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，解答的关键是明确：两直线平行，同位角相等．
7. 已知三角形三条边长分别是2、、3，且为奇数，则____________，
【答案】3
【解析】
【分析】利用三角形的三边关系求解，即可得到答案．
【详解】解：三角形三条边长分别是2、、3，
，
，
为奇数，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
8. 如果(x＋1)(x＋m)的积中不含x的一次项，则m的值为________.
【答案】-1
【解析】
【详解】∵（x+1）（x+m）=x2+x+mx+m=x2+（1+m）x+m，
又∵乘积中不含x的一次项，
∴1+m=0，
解得m=-1．
9. 如图，是的中线，E是的中点，连接，若的面积为5，则的面积为_____________．

【答案】20
【解析】
【分析】因为是的中线，得到，由因为是的中线，得到，即可求出的面积．
【详解】解：是的中线，
，
，
，
是的中线，
，
，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了利用三角形中线求面积，解题关键是掌握三角形一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形，即两个三角形面积相等．
10. 已知a、b同时满足，，则的值为_____________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据已知，得到，再利用完全平方公式变形，即可计算答案．
详解】解：，，
，
，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握是解题关键．
11. 某校组织学生乘汽车去自然保护区野营．汽车先以的速度走平路，后又以的速度爬坡，共用了；返回时，汽车以的速度下坡，又以的速度走平路，共用了．则学校距自然保护区_____________．
【答案】270
【解析】
【分析】设从学校到自然保护区平路长，坡路长，根据时间=路程÷速度结合“先以的速度走平路，后又以的速度爬坡，共用了；返回时，汽车以的速度下坡，又以的速度走平路，共用了”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之再代入中即可求出结论．
【详解】解：设从学校到自然保护区平路长，坡路长，依题意，得：
，
解得：，
∴．
所以，从学校到自然保护区共，
故答案为：270．
【点睛】本题考查了二元一次方程组应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12. 如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形外点的位置（点、C在直线的异侧）．已知，，若折叠后的一边与平行，则的度数为____________．

【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况讨论：①当时；②当时，过点D作，利用折叠的性质和平行线的性质分别求解，即可得到答案．
【详解】解：①如图，当时，

，
由折叠的性质可知，，
；
②如图，当时，过点D作，

，
，
由折叠的性质可知，，，
，，
，

综上可知，的度数为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分）
13. 下列运算正确的是（ ）
A. a2•a3＝a6 B. （a2）3＝a5 C. （ab）3＝a3b3 D. a8÷a2＝a4
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法运算、同底数幂乘方运算、积的乘方、幂的除法运算法则，对选项进行逐一计算即可．
【详解】解：a2•a3＝a5，A选项错误；
（a2）3＝a6，B选项错误；
（ab）3＝a3b3，C选项正确；
a8÷a2＝a6，D选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的基本运算，解题关键在于要注意指数在计算过程中是相加还是相乘．
14. 不等式的解集在数轴上可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出不等式的解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：，

解得，．
不等式的解集在数轴上表示为：
．
故选：A．
【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键．
15. 如图，将直角沿的方向平移得到直角，交于点G．若，，，则图中阴影部分的面积等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的性质，得到，利用梯形公式求出面积，即可得到答案．
【详解】解：由平移的性质可知，，，
，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查了平移的性质，梯形的面积公式，解题关键是熟练掌握平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；平移后，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
16. 用简便方法计算：的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用积的乘方的逆用和平方差公式进行计算，即可得到答案．
【详解】解：




，
故选C．
【点睛】本题考查了积的乘方的逆用和平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
17. 如图，是五边形的三个外角，边的延长线相交于点F，如果，那么的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用多边形的外角和为360°和三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵多边形的外角和为360°，
∴
∴
∵
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的外角和和三角形的内角和定理．任意多边形的外角和等于360°．
18. 已知关于x、y的方程组的解都为非负数，若，则b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解方程组得到，根据方程组的解都为非负数得到，解不等式组得到，再利用得到，即可得到，解关于b的不等式组即可得到b的取值范围．
【详解】解：解得到，
∵关于x、y的方程组的解都为非负数，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
解得．
故选：D
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法等知识，根据题意得到是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共计78分）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）10 （2）
【解析】
【分析】（1）先计算乘方、负整数指数幂、零指数幂，再进行加减计算即可得到答案；
（2）利用多项式乘以多项式的法则展开合并，即可得到答案．
【小问1详解】
解：

；
【小问2详解】
解：

．
【点睛】本题考查了负整数指数幂、零指数幂，整式的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
20. 因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）综合提公因式法和公式法分解因式，即可得到答案；
（2）利用公式法分解因式，即可得到答案．
【小问1详解】
解：

；
【小问2详解】
解：


【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题关键．
21. 解方程组或不等式组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）分别求出每个不等式的解集，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，即可确定不等式组的解集．
【小问1详解】
解：，
由②得：，
将③代入①，得：，
解得：，
将代入③中，得：，
方程组的解为：；
【小问2详解】
解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
不等式组的解集为：
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组以及解一元一次不等式组，解题关键是掌握代入消元法和加减消元法，正确理解“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”原则．
22. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】原式先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项，然后再把a的值代入化简后的式子进行计算即可．
【详解】解：
=
=；
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值，能准确熟练地进行计算是解题的关键．
23. 如图，已知，．

（1）求证：；
（2）连接，若，，，则___________．
【答案】（1）证明见解析；
（2）80
【解析】
【分析】（1）先利用同位角相等，得到，进而推出，再利用内错角相等，即可证明；
（2）根据平行线的性质，得到，进而得到，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数．
【小问1详解】
证明：，，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：80．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键．
24. 观察下列算式：
算式①：
算式②：
算式③：
…
（1）按照以上三个算式的规律，请写出算式④：____________；
（2）上述算式用文字可表述为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”．若设两个连续奇数分别为，（n为整数），请证明这个命题成立；
（3）命题：“两个连续偶数的平方差能被8整除”是____________命题（填“真”或“假”）：
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）假
【解析】
【分析】（1）观察已知算式的规律，即可得到答案；
（2）利用平方差公式，得到，即可证明命题；
（3）举反例即可证明命题是假命题．
【小问1详解】
解：由已知算式可知，算式④：，
故答案为：；
【小问2详解】
证明：，
n为整数，
能被8整除，
即两个连续奇数的平方差能被8整除；
【小问3详解】
解：，不能被8整除，
“两个连续偶数的平方差能被8整除”是假命题，
故答案为：假．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，判断命题真假，熟练掌握是解题关键．
25. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里记载着这样一个问题：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何?”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两?”根据以上译文，请解决以下问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子?
（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请直接写出所有可能的购买方法；
（3）若某商人准备购买牛和羊共24头（只），且总银两不能超过60两，那么最多可以购买___________头牛．
【答案】（1）每头牛值3两银子、每只羊值2两银子；
（2）①购买1头牛，8只羊；②购买3头牛，5只羊；③购买3头牛，2只羊；
（3）12
【解析】
【分析】（1）设每头牛值两银子、每只羊值两银子，根据题意列二元一次方程组并求解，即可得到答案；
（2）设购买头牛，只羊，根据题意列方程，得到，再根据、都是正整数，逐一计算验证，即可得到答案；
（3）设商人购买头牛，则购买头羊，根据题意列不等式并求解，即可得到答案．
【小问1详解】
解：设每头牛值两银子、每只羊值两银子，
由题意得：，
解得：，
答：每头牛值3两银子、每只羊值2两银子；
【小问2详解】
解：设购买头牛，只羊，
由题意得：，
，
、都是正整数，
满足条件的解有，，，
商人可能的购买方法有3种：①购买1头牛，8只羊；②购买3头牛，5只羊；③购买3头牛，2只羊；
【小问3详解】
解：设商人购买头牛，则购买头羊，
由题意得：，
解得：，
最多可以购买12头牛，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了二元一次方程应用，一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程并求解是解题关键．
26. 对于任意有理数x、y定义一种新运算f，规定（其中a、b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．例如：．
（1）已知，．
①求a、b的值；
②若，则的取值范围是_____________，
（2）已知，，且，求出符合条件的a、b的整数值；
（3）在（2）的条件下，若关于m的不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是_____________．
【答案】（1）①；②；
（2），；
（3）
【解析】
【分析】（1）①根据已知新运算法则，列二元一次方程组，求解即可得到答案；
②由①得，进而得到不等式，求解即可得到答案；
（2）根据题意，列不等式组，求出的取值范围，再根据为整数，确定的值，进而求出的值即可；
（3）由（2）可知，，整理原不等式组，求出的取值范围，再根据原不等式组恰有两个整数解，即可确定的取值范围．
【小问1详解】
解：①由题意得：，
解得：；
②由①可知，，
，
，
解得：，
的取值范围是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，，
，
解得：，
为整数，
，
，
，
符合条件的a、b的整数值为，；
【小问3详解】
解：由（2）可知，，
原不等式组整理为：，
解得：，
原不等式组恰有两个整数解，
，
解得：，
的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，解一元一次不等式组以及一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握二元一次方程组和一元一次不等式组的解法是解题关键．
27. 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均剪成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）

（1）通过两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，可得到关于a、b的等量关系为____________；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题：
①若，，则_____________；
②已知，则____________；
③将边长分别为x、y的正方形、正方形按图3摆放，若，，求图3中阴影部分面积的和．
【答案】（1）
（2）①13②41③
【解析】
【分析】（1）一方面阴影部分是边长为的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去4个长为a，宽为b的长方形面积即可；
（2）①由（2）的结论代入计算即可；②把变形为，运用（2）的结论计算即可；③根据（1）可求出的值，根据图3可得阴影部分的面积等于即可得出答案．
【小问1详解】
方法一：阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去4个长a，宽为b的长方形面积，即；
可得到关于a、b的等量关系为；
故答案为：；
【小问2详解】
①∵，，
∴；
故答案为：13；
②∵，
∴
∵，
∴




故答案为：41；
③，即，
由（1）得，,
即，
又
∴，
由图3可得，．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义，负整数指数幂，掌握完全平方公式的结构特征以及公式的变形是解决问题的关键．
28. 【问题背景】
中，是角平分线，点E是边上的一动点．
【初步探索】
如图1，当点E与点A重合时，的平分线交于点O．
（1）若，，则 ____________；
（2）若，则___________；（用含m的代数式表示）

【变式拓展】
当点E与点A不重合时，连接，设，．
（1）如图2，的平分线交于点O．
①当，时，____________；
②用、的代数式表示____________．
（2）如图3，的平分线与相交于点O，与的平分线所在的直线相交于点F（点F与点E不重合），直接写出点F在不同位置时与之间的数量关系．（用含、的代数式表示）
【答案】初步探索（1）55；（2）；变式拓展（1）①75；②；（2）或
【解析】
【分析】初步探索（1）根据角平分线的定义，得到、，再根据三角形外角的性质，即可求出的度数；
（2）根据三角形内角和定理，得到，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可求出的度数；
变式拓展（1）①延长、交于点G，根据三角形内角和定理，得到，，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可求出的度数；
②同①理，即可表示出；
（2）分两种情况讨论：点F在内部和点F在外部，利用角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质分别求解，即可得到答案．
【详解】初步探索
解：（1）中，是角平分线，点E是边上的一动点．
，平分，
，
，平分，
，
，
故答案为：55；
（2），
，
平分，平分，
，，
，
故答案为：；
变式拓展
解：（1）①如图，延长、交于点G，
，
，
，
，
，
，
平分，平分，
，
，
故答案为：75；

②，，
，，
，
，
平分，平分，
，
，
故答案为：；
（2）如图，当点F在内部时，令于的交点为H，

，平分，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
平分，平分
，，
，
，
；
如图，当点F在外部时，令于的交点为K，

，平分，
，
，
，
，平分，
，
，
，
，
，
，
综上可知，与之间的数量关系或．