第十一章 《三角形》章节复习 课件+教案+导学案+达标检测（含教师+学生版和教学反思）

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第11章 三角形 章节复习
人教版数学八年级上册
1.梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识.2.结合图形回顾本章知识点，复习几种基本的画图，复习简单的证明技巧，在此基础上进行典型题、热点题的较大量的训练，旨在提高同学们对三角形有关知识、多边形内角和、外角和知识综合运用能力.3.通过初步的几何证明的学习培养学生的推理能力，通过由特殊到一般的探究过程的训练培养学生的探索能力，创新能力，以达到培养学生良好学习习惯的目的.
1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
线段AB，BC，CA是三角形的边. 点A，B，C是三角形的顶点. ∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角.
顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”.△ABC的三边，有时也用a，b，c来表示. 顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.
按角分类
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
2.三角形的分类：
按边分类
三边都不相等的三角形
等腰三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
2.三角形的分类：
3.三角形的三边关系：
三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
已知三角形的两边a、b（a＞b），则第三边的范围“a-b＜第三边＜a+b”
4.三角形的高、中线与角平分线
高：顶点与对边垂足间的线段，三条高或其延长线相交于一点，如图.
4.三角形的高、中线与角平分线
中线：顶点与对边中点间的线段，三条中线相交于一点（重心），如图.
4.三角形的高、中线与角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段.三条角平分线相交于一点，如图.
5.三角形的内角和与外角
几何语言：
∵∠A，∠B，∠C是△ABC三个内角,∴ ∠A+∠B+∠C=180°.
(1)三角形内角和定理: 三角形的内角和等于180°即 ∠A+∠B+∠C=180°
5.三角形的内角和与外角
(2)直角三角形的两个锐角互余；
几何语言：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．　
(3)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．　　
几何语言：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形.
5.三角形的内角和与外角
(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
(5)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.
几何语言：∵ ∠ACD是△ABC的一个外角，∴ ∠ACD=∠A+∠B.
几何语言：∵∠ACD是△ABC的外角 ∴ ∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B
6.多边形及其内角和
(5)n边形内角和等于(n-2)×180 °(n≥3的整数）.
(1)在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.正多边形的各个角都相等，各条边都相等的多边形.
 
(6)n边形的外角和等于360°.
6.多边形及其内角和
(7)正多边形的每个内角的度数是
(8)正多边形的每个外角的度数是
或
例1.已知a、b、c为△ABC的三边长，且a2+b2=6a+10b﹣34，其中c是△ABC中最长的边长，且c为整数，求c的值．
解：∵a2+b2=6a+10b﹣34 ∴a2﹣6a+9+b2﹣10b+25=0∴（a﹣3）2+（b﹣5）2=0∴a=3，b=5∴5﹣3＜c＜5+3即 2＜c＜8． 又∵c是△ABC中最长的边长       ∴c=5、6、7
【点睛】三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三条线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任意两边的和都大于第三边，也可以直接检查较小两边之和是否大于第三边.三角形的三边关系在求线段的取值范围以及在证明线段的不等关系中有着重要的作用.
 
解：（1）∵(a-b)2+|?−?|=0∴(a-b)2=0且|?−?|=0∴ a=b=c∴△ABC是等边三角形．
（2）∵a，b，c是△ABC的三边长∴b-c-a<0,a-b+c>0,a-b-c<0原式=-(b-c-a)+ a-b+c-[-(a-b-c)]=a+c-b+a-b+c-b-c+a=3a-3b+c
例3.已知a，b，c分别为△ABC三边的长，且满足a＋b＝3c－2，a－b＝2c－6.(1)求c的取值范围； (2)若△ABC的周长为18，求c的值．
(2)∵△ABC的周长为18，a＋b＝3c－2，∴a＋b＋c＝4c－2＝18.解得c＝5.　 
【1-1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A．3cm、 3cm、6cm B．3cm、5cm、7cmC．2cm、4cm、6cm D．2cm、9cm、6cm
【1-2】已知三角形的三边长分别为2，a－1，4，则化简|a－3|－|a－7|的结果为___________.
B
2a－10
解：∵a，b满足|a−7|＋(b−2)2＝0，∴a−7＝0，b−2＝0，解得a＝7，b＝2，根据三角形的三边关系，得7−2＜c＜7＋2，即：5＜c＜9，又∵三角形的周长为偶数，a＋b＝9，∴c＝7．
例4.如图,在△ABC中,∠ABC=40°,∠C=60°,AD⊥BC于D,AE是∠BAC的平分线.(1)求∠DAE的度数; (2)指出AD是哪几个三角形的高.
解:(1)AD⊥BC于D,∴∠ADB=∠ADC=90° ∵∠ABC=40°,∠C=60°,∴∠BAD=50,∠CAD=30°∴∠BAC=50°+30°=80°∵AE是∠BAC的平分线,∴∠BAE=40°.∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-40°=10°.
(2)AD是△ABE、△ABD 、△ABC、△AED、△AEC、 △ADC的高.
例5.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,△ABD的周长比△ADC的周长多2,且AB与AC的和为10.(1)求AB、AC的长; (2)求BC边的取值范围.
解:(1)∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD.∵△ABD的周长-△ADC的周长=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2,即AB—AC=2 ①.又AB+AC=10 ②,①+②得2AB=12,解得AB=6.∴AC=4.
(2)∵AB=6,AC=4,∴2＜BC＜10.
例6.如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.
 
 
 
∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，
∴S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
【点睛】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
【2-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，图中可以作为△ACD的高的线段有( )A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 
【2-2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是( )A．BE是△ABD的中线B．BD是△BCE的角平分线C．∠1＝∠2＝∠3D．S△AEB＝S△EDB
【2-3】如图，在△ABC中，点D是BC上的一点，DC＝2BD，点E是AC的中点，S△ABC＝20cm2，则S△ADE＝_____cm2.
C
C
 
例7.如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA．(1)求证：∠EAC＝∠B；(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．
 
（2）解：由(1)可知∠EAC＝∠B＝50°.设∠CAD＝x，则∠E＝3x，∠EAD＝∠ADE＝x＋50°，∴50°＋x＋50°＋x＋3x＝180°.∴x＝16°.∴∠E＝3x＝48°.
例7.如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA．(1)求证：∠EAC＝∠B；(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．
例8.如图，在△ABC中，三条内角平分线AD，BE，CF相交于点O，OG⊥BC于点G.(1)若∠ABC＝40°，∠BAC＝60°，求∠BOD和∠COG的度数；
 
例8.如图，在△ABC中，三条内角平分线AD，BE，CF相交于点O，OG⊥BC于点G.(2)若∠ABC＝α，∠BAC＝β，猜想∠BOD和∠COG的数量关系，并说明理由．
 
【3-2】一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为( )A．∠α＋∠β＝180° B．∠α＋∠β＝225°C．∠α＋∠β＝270° D．∠α＝∠β 
【3-1】如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F.若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为( )A．65° B．70° C．75° D．85°
B
B
 
【3-3】如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是_______.
17°、78°、85°
50°
解：∵∠A＋∠D＋∠F＝180°，∠B＋∠C＋∠E＋∠G＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝180°＋360°＝540°.　
例9.如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．
例10.一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为1980°的新多边形，求原多边形的边数．
解：设新的多边形的边数为n，∵新的多边形的内角和是1980°，∴180°×（n﹣2）＝1980°，解得：n＝13，∵一个多边形从某一个顶点出发截去一个角后所形成的新的多边形是十三边形，①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为12，②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为13，③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为14，∴原多边形的边数可能是：12或13或14．
例11.如图,小明从A点出发,沿直线前进8米后向左转45°,再沿直线前进8米,又向左转45°……照这样走下去,他第一次回到出发点A时,共走路程为( )A.80米 B.96米 C.64米 D.48米
C
【4-2】一个多边形少算一个内角，其余内角之和是1500°，则这个多边形的边数是( ) A．8 B．9 C．10 D．11
【4-3】如图，已知正五边形ABCDE, BG平分∠ABC , DG平分正五边形的外角∠EDF,则∠G=( ) A.36° B.54° C.60° D.72°
【4-1】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是_______________________________．
十七边形或十八边形或十九边形
D
B
---方程思想
例12.如图，在△ABC中，∠C=∠ABC,BE⊥AC, △BDE是等边三角形，求∠C的度数.
解：设∠C=x °,则∠ABC=x°,因为△BDE是等边三角形，所以∠ABE=60°,所以∠EBC=x°-60°.在△BCE中，根据三角形内角和定理，得90°+x°+x°-60°=180°,解得x=75,所以∠C=75 °.
【点睛】在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.
如图，△ABC中，BD平分∠ABC, ∠1=∠2, ∠3=∠C,求∠1的度数.
解：设∠1=x,根据题意得∠2=x.因为∠3=∠1+ ∠2， ∠4=∠2，所以∠3=2x, ∠4=x，又因为∠3=∠C，所以∠C=2x.在△ABC中，根据三角形内角和定理，得x+2x+2x=180 °,解得x=36°,所以∠1=36 °.
---分类讨论思想
例13.已知等腰三角形的两边长分别为10和6，则三角形的周长是________．
【解析】由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要分两种情况讨论：第一种10为腰，则6为底，此时周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.
26或22
【点睛】别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.
---化归思想
如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论：∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图.
例14.如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数.
【解析】所求问题不是常见的求多边形的内角和问题，我们发现，只要连接CD便转化为求五边形的内角和问题.
解：连接CD，由“8字型”模型图可知 ∠FCD+∠GDC=∠F+∠G,所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=（5-2）×180°=540°.
---化归思想