精品解析：湖南省长沙市雅礼教育集团2022-2023 学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

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2023年上学期八年级期末检测试卷
数学科目
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 在实数，，中，有理数有（　　）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式、立方根定义化简，再根据有理数的概念即可求解．
【详解】解：∵，是开不尽方的数，是无理数，
∴有理数是，，个，
故选：．
【点睛】本题主要考查二次根式，三次根式的运算，有理数的概念的综合，掌握以上知识是解题的关键．
2. 某桑蚕丝的直径约为米，将用科学记数法表示是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：将用科学记数法表示是；
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 一元二次方程的一个根为2，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将代入一元二次方程，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为2，
∴
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入一元二次方程是解题的关键．
4. 一次函数的图象经过（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限
【答案】D
【解析】
【分析】一次项系数k=3＞0，b=-5＜0，则图象经过一、三、四象限．
【详解】解：∵k=3＞0，b=-5＜0，
∴图象经过一、三、四象限．
故选D．
【点睛】本题考查一次函数的性质，一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数及常数是大于0或是小于0．
5. 已知样本数据：3，2，1，7，2，下列说法不正确的是（ ）
A. 平均数是3 B. 中位数是1 C. 众数是2 D. 方差是4.4
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的计算公式和定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A．平均数：，正确，故此选项不符合题意；
B．把数据按从小到大排列为：1，2，2，3，7，中间的数是2，所以中位数为2，故中位数是1错误，故此选项符合题意；
C．2出现次数最多，故众数为2，正确，故此选项不符合题意；
D．方差为：，正确，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了平均数、中位数和众数、方差，用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一般地设n个数据，，，…，的平均数为，则方差．
6. 下列说法不正确的是（　　）
A. 平行四边形的对边相等 B. 菱形的邻边相等
C. 矩形的对角线互相垂直 D. 正方形的四个角均相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据特殊四边形的性质即可求解．
【详解】解：、平行四边形的对边相等，正确，不符合题意；
、菱形的邻边相等，正确，不符合题意；
、矩形的对角线相等，且互相平分，故错误，符合题意；
、正方形的四个角均相等，正确，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查特殊四边形的性质，掌握平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，正方形的性质是解题的关键．
7. 将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线对应的函数表达式为（　　）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数平移的性质“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”，由此即可求解．
【详解】解： 向右平移个单位得，再向上平移个单位得，，
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，掌握函数图像平移的性质是解题的关键．
8. 某商品原价为100元，连续两次降价后为80元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设平均每次降价率为x，则经过两次降价后的价格是，根据关键语句“连续两次降价后为81元，”可得答案．
【详解】解：由题意得：
故选：B．
【点睛】此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
9. 如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形是（ ）

A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
【答案】B
【解析】
【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
【详解】解：由图可知，过A点作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，

∵两条纸条宽度相等，
∴AE=AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵SABCD=BC×AE=CD•AF．
又∵AE=AF，
∴BC=CD，
∴四边形ABCD为菱形．
故选：B．
【点睛】本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
10. 为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（　　）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点A到点O的距离为4，得到,代入求得，再将解析式化为顶点式即可得解；
【详解】点A到点O的距离为4，
,
把代入得
，
，
，
水流喷出的最大高度为，
故选择：Ａ
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确的求出函数解析式是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式2，再利用完全平方公式分解．
【详解】解：


故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法的综合应用．
12. 甲、乙两名学生参加学校举办的“防疫知识大赛”，两人5次成绩的平均数都是95分，方差分别是，，则两人成绩比较稳定的是____________（填“甲”或“乙）
【答案】甲
【解析】
【分析】根据方差的意义求解即可．
【详解】∵，，
∴，
∴甲的成绩要比乙的成绩稳定．
故答案为：甲．
【点睛】本题考查了方差的定义，它反映了一组数据的波动大小，熟练掌握方差越小，波动性越小是解本题的关键．
13. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝60°，AD＝3，则BD的长为_______.

【答案】6
【解析】
【详解】【分析】由矩形的性质得出OA=OD，再证明△AOD是等边三角形，得出OD=AD=3，即可得出BD的长．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OD＝BD，AC＝BD，∴OA＝OD.
∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，
∴OD＝AD＝3，∴BD＝2OD＝6，
故答案为6.
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
14. 已知二次函数，其与x轴有___________个交点．
【答案】2##两
【解析】
【分析】二次函数的图象与x轴交点个数只需要判断方程根的情况，也就是判断即可．
【详解】当时，
∵
∴方程有两个不相等的实数根
∴二次函数与x轴有两个交点
故答案为：2
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程得关系，二次函数与x轴交点问题转换成求是解题的关键．
15. 如图，y＝k1x+b1与y＝k2x+b2交于点A，则方程组的解为______．

【答案】
【解析】
【详解】试题解析：∵与交于点
∴二元一次方程组的解为
故答案为
16. 如图，点D、E分别是的边的中点，连接，点F在上，连接，且平分，若，，则的长为___________．

【答案】7
【解析】
【分析】根据点D边的中点，得，根据点D、E分别是的边的中点得，，则，根据平分得，即可得，根据得，即可得．
【详解】解：∵点D边的中点，，
∴，
∵点D、E分别是的边的中点，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了三角形的中位线，平行线的性质，角平分线，等角对等边，解题的关键是掌握这些知识点．
三、解答题（共9小题，总计72分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
【详解】解：原式

【点睛】此题主要考查了实数的运算，掌握负整数指数幂，绝对值，有理数的乘方法则化简各数是解题关键．
18. 已知：，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】按照分式混合运算顺序化简分式后，再把整体代入即可．
【详解】解：原式



，
原式．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式运算法则和混合运算顺序是解题的关键．
19. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2）无实数根
【解析】
【分析】（1）利用直接开平方法即可求解；
（2）利用公式法计算即可．
【小问1详解】
解：
，
，；
【小问2详解】
解：∵，
∴
原方程无实数根
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．
20. 某校为了解本校学生参与家务劳动时间的情况，在校内随机调查了100名学生的“上周内劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：
组别
“劳动时间”t/分钟
频数
A

8
B

16
C

x
D

36
根据上述信息，解答下列问题：
（1）填表：___________；
（2）这100名学生的“劳动时间”的中位数落在___________组；
（3）若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数．
【答案】（1）40 （2）C
（3）912人
【解析】
【分析】（1）用总人数减去A、B、D组的频数可得x的值；
（2）根据中位数的定义可得答案；
（3）用该校总人数乘以调查的学生中“劳动时间”不少于90分钟的人数所占的比例即可．
【小问1详解】
解：，
故答案为：40；
【小问2详解】
解：因为排序后第50，51名学生的“劳动时间”均在C组，
所以这100名学生的“劳动时间”的中位数落在C组，
故答案为：C；
【小问3详解】
解：（人），
答：估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数为 912人．
【点睛】本题考查了频数分布表，中位数的定义，用样本估计总体，熟练掌握相关概念是解题的关键．
21. 方程是关于x一元二次方程，该方程的两个实数根分别是．
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据方程有两个实数根得到，解不等式即可得到答案；
（2）由一元二次方程根与系数关系得到，，整体代入，即可求得m的值．
【小问1详解】
解：方程有两个实数根，
，
，，，
，
解得：；
【小问2详解】
根据题意得，，
，
，

【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数关系是解题的关键．
22. 为促进销售，某地水果种植户借助网络平台，在线下批发的基础上同步网络零售水果．已知销售相同数量的水果，网络零售的销售额为450元，线下批发销售额为300元，且网络零售的单价比线下批发的单价贵15元．
（1）求网络零售和线下批发水果的单价分别为每千克多少元？
（2）该种植户某天网络零售和线下批发共销售水果100千克，且网络销售的数量低于线下批发数量的2倍，设网络零售a（a为正整数）千克，获得的总销售额为W元．请写出W与a之间的函数关系式，并求出当网络销售水果的数量为多少时，当天所获得的总销售额最大？最大销售额是多少？
【答案】（1）网络零售水果的单价为45元，线下批发水果的单价为30元
（2）；出当网络销售水果的数量为66千克时，当天所获得的总销售额最大，最大销售额是3990元
【解析】
【分析】（1）设线下批发的单价为元/干克，根据“销售相同数量的水果”为等量关系列分式方程解题即可；
（2）设网络零售千克，根据“网络销售的数量低于线下批发数量的2倍，”列出不等式，利用一次函数的增减性解题即可．
【小问1详解】
设线下批发的单价为元/干克，网络零售单价为元/千克．

解得
经检验，是分式方程的解

答：网络零售水果的单价为45元，线下批发水果的单价为30元．
【小问2详解】
设网络零售千克，线下批发千克．
，
解得：且正整数．
，
且a为正整数，
当时，最大，此时（元），
答：与之间的函数关系式为：；出当网络销售水果的数量为66千克时，当天所获得的总销售额最大，最大销售额是3990元．
【点睛】本题考查一次函数和分式方程的应用，能正确理解题意，列出方程和关系式是解题的关键．
23. 如图，在中，且分别交对角线于点E、F，连接．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
（3）在（2）的条件下，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）180
【解析】
【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，，再由平行线的性质推出，进一步证明得到，由此即可证明四边形是平行四边形；
（2）利用勾股定理求出，，进而得到，再利用勾股定理求出的长即可；
（3）先求出，再根据进行求解即可.
【小问1详解】
证明：在平行四边形中，，
，
又∵，
，
，
在和中，
，
，
，
∵，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故的长为．
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，熟知平行四边形的性质与判定条件是解题的关键．
24. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在的“美好函数”．
（1）函数①；②；③．其中函数___________是在上的“美好函数”；（填序号）
（2）已知函数：．
①函数是在上的“美好函数”，求的值；
②当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值；
（3）已知函数：，若函数是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数，使得，求的值．
【答案】（1）① （2）①或；②或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据材料提示的“美好函数”的计算方法即可求解；
（2）①根据二次函数的特点，确定自变量取值范围内的最大值，最小值，再根据材料提示“美好函数”的计算方法即可求解；②根据材料提示的“美好函数”的运算方法，即可求解；
（3）根据二次函数图像的性质，结合材料提示的“美好函数”的运算方法，即可求解．
【小问1详解】
解：①，∴当时，，当时，，
，符合题意；
②，当时，，当时，，
，不符合题意；
③，当时，，当时，，
，不符合题意；
故答案为：①．
【小问2详解】
解：①函数的对称轴为直线，
当时，，当时，，
若，则当时，随的增大而增大，
，
，
若，则当时，随的增大而减小，
，
，
综上所述，或；
②当时，二次函数为，对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
若，则，解得（舍去）；
若，则，解得（舍去），；
若，则，解得，（舍去）；
若，则，解得（舍去）；
综上所述，或．
【小问3详解】
解：二次函数的对称轴为直线，
又，
，
，
当时，随的增大而增大，
当时取得最大值，时取得最小值，
，
，为整数，且，
即的值为，
又，
，
．
【点睛】本题主要考查函数与定义新运算的综合，理解定义新运算的计算方法，掌握函数图像的性质是解题的关键．
25. 如图1，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．

（1）求抛物线的表达式；
（2）若点D是直线上方拋物线上一动点，连接，和，交于点M，设的面积为，的面积为，当时，求点D的坐标；
（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，过点P作轴交直线于Q点，请问在y轴上是否存在点E，使以P，Q，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）
（2）或．
（3）符合条件的点有三个，坐标为：，，
【解析】
【分析】（1）把点和代入解析式求解即可；
（2）由得从而，即，据此列方程求解即可；
（3）分类当为对角线和菱形边时，利用直线与x轴成角关系建立关于P的横坐标的方程，进而求出点的坐标．
【小问1详解】
把点和代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
设，对于抛物线，令，则，
．
，
．
，即．
，
．
，解得，．
点的坐标是或．
【小问3详解】
设直线解析式是，
把，代入，得
，
∴，
∴．
①当为菱形的对角线时，如图2，垂直平分，

∵，，
∴，
，
此时四边形是正方形．
．
设，则，
，
，解得（不合题意舍去）或，
此时，．
②当为菱形的边时，如图3，

设，则，
∴，，
作于点H，
，
∴．
∴
解得：，，（不合题意舍去）．
或．
，，
综上所述，符合条件的点有三个，坐标为：，，．
【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键．