14.1整式的乘法 导学案 2022-2023学年人教版八年级数学上册

这是一份14.1整式的乘法 导学案 2022-2023学年人教版八年级数学上册，共12页。

整式的乘法
姓名：
研习点l 同底数幂的乘法（重点）
1．同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
2．同底数幂乘法公式：都是正整数）．
3．同底数幂乘法公式拓展：都是正整数）．
积累活用
(l)同底数幂相乘的前提条件是“同底”，即相乘的几个幂的底数必须相同才行．在应用公式时注意等号左边是同底数的幂，且是相乘的关系，右边的结果得到一个幂，幂的底数与原来的底数相同，幂的指数是左边的所有指数之和．
(2)逆用公式，可以把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数，公式中的指数可以是具体的数，也可以是表示正整数的字母．
例l 计算：的正确结果是 （ ）
A． B． C． D．

研习点2 幂的乘方（重点）
1．幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
2．幂的乘方公式：都是正整数）．
辨析比较
幂的乘方与同底数幂的乘法既有区别又有联系．
(1)区别：①幂的乘方是几个相同的幂相乘的积；其结果是底数不变，指数相乘；
②同底数幂相乘的结果是底数不变，指数相加．
(2)联系：①幂的乘方可以转化为同底数幂相乘，如；
②当指数相同的两个同底数幂相乘时，可以转化为幂的乘方，如
．
例2 计算的结果是 （ ）
A． B． C． D.

研习点3 积的乘方（重点）
1．积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
2．积的乘方公式：为正整数）．
拓展引申
(1)三个或三个以上的积的乘方，也适用上面的法则（公式），另外底数可以是单项式、多项式，本公式也可以逆向应用；
(2)同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方统称幂的乘方性质，它们是整式乘法的基础，同时也是中考的考查点．
例3 计算： ．

研习点4 单项式的乘法（重难点）
1．单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的因式．
2．单项式乘法运算的一般步骤：
(1)按法则归类（即系数与系数、同底数幂与同底数幂分别相乘，只在一个单项式中出现的字母及其指数作为积的因式）；
(2)确定积的符号；
(3)确定系数的绝对值；
(4)确定字母及其指数（利用同底数幂的乘法）．
梳理总结
(l)单项武与单项式相乘，积仍然是．个单项式；且该法则对三个以上的单项式相乘仍然适用；
(2)结果中的系数是各单项式系数的积；
(3)结果中的字母是各单项式中所有出现过的字母，因此不能满乘只在一个单项式中出现的字母及其指数；
(4)结果中的字母的指数是各单项武中该字母的指数之和．
例4 计算 的结果是 （ ）
A． B． C． D．

研习点5 单项式与多项式的乘法（重难点）
单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法对加法的分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
领悟整合
(1)单项式与多项式的乘法法则将单项式与多项式的乘法转化成了单项式的乘法，
这种化未知为已知、化新问题为老问题、化不熟悉的问题为熟悉的问题的思想，我们称之为化归思想．
(2)由法则可知：①单项式与多项式相乘的结果仍然是多项式；②结果的项数与原多项式的项数相等；③每一项都是单项式与多项项中相应的项的积．因此，在进行单项式与多项式的乘法运算时，首先要分清多项式的项，注意其每一项都包括它前面的符号；④运算的结果中若有同类项要合并，使结果最简．
例5 计算：



研习点6 多项式与多项式相乘（难点）
多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
归纳总结
(1)多项式与多项式相乘的结果仍是多项式；计算时要用一个多项式的每一项分别去乘另一个多项式的每一项，不能遗漏．
(2)在没有合并同类项之前，结果的项数应该是原两个多项式项数的积．这是检验有无漏项的一般方法．
例6 计算：



易错点l 幂运算出错
进行幂的运算时，常会因对公式的运用不熟练或是思维不严密，出现各种各样的错误．如同底数幂相乘时容易丢掉单独字母的指数“1”，进行负底数幂的乘方时易算错符号，对幂的概念不清晰，常常混淆类似、而出错．
例7 计算：(1)； (2)； (3)．




例8 计算：(1)； (2) ．



易错点2 整式乘法常见错误
整式乘法运算过程中，由于式子的复杂性会出现：括号前面是负号，去括号时符号没有改变或漏乘等现象．
例9 计算：(l)；




(2)．




探究解题新思路
题型一 算式的简便运算
例1 用简便方法计算：
(1)； (2)．






例2 试确定是几位正整数．




题型二 化简求值
例3 先化简再求值：，其中．





例4 当展开后，如果不含和项，求出的值．








题型三 确定指数的值
例5 解下列各题：
(1)如果，求的值； (2)已知，求的值．





题型四 解方程和不等式
例6 解方程：





例7 解不等式组：







综合思维探究
题型一 学科综合题
例8 如图所示，矩形花园中，，，花园中建有一条矩形道路及一条平行四边形道路，若，则花园中的可绿化部分的面积是多少？




题型二 社科热点题
例9 卫星脱离地球进入太阳系的速度是米／秒，计算秒卫星走了多少米？（结果保留两个有效数字）．




题型三 实际应用题
例10 王刚的爸爸将现金元存入银行一年，年利率为，到期后又连本带利存入银行，形式又是一年期，但年利率调整为，那么一年后，王刚的爸爸能获得本息总和是多少呢？（扣除的利息税）






例11 一块长方形铁皮长为米，宽为米，在它的四个角上各剪去一个边长为米的小正方形，然后折成—个无盖的盒子．问这个盒子的表面积是多少？





题型四 阅读理解题
例12 阅读下面的材料后完成填空：
你能比较和的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较和的大小且为正整数），然后从分析，，，…这些简单的情形入手，从中发现规律，经过归纳猜想得出结论．
(1)通过计算，比较①一③各组数的大小（填“>”“<”或“=”）．
①，②，③，④，⑤，
⑥，⑦…；
(2)根据第(1)小题的结果，可以猜想出和的大小关系是 ；
(3)根据上面归纳猜想得出的一般结论可得（填“>”“<”或“﹦”）．


创新思维探究
题型一 活学巧用题
例13 已知，，试比较的大小关系．





题型二 奇思妙解题
例14 有这样一道题，计算：的值，其中，小明把“”错误地抄成了“”，但他计算的结果也是正确的，请问这是怎么回事？请给出说明．



例15 (1)计算：正确的是 ．
A． B． C． D．
(2)计算的结果正确的是 ．
A． B． C． D．
(3)当时代数式的值是 ．

例16 求值题：
(1)已知，求代数式的值；




(2)已知，，求的值．




知识深化拓展
幂的大小比较的几种策略
幂的大小比较是整式的乘法一节中一个重要而又常见的问题，对于较小的幂，可以直接通过计算其结果比较其大小，而对于较复杂的幂，则需根据其特点选择恰当的方法，才能使问题得解，下面来说明比较幂的大小的几种特殊的方法．
一、底数比较法
这种方法是将欲比较的几个幂变成指数相同的幂，再通过比较其底数的大小即可得出其大小．
例l 已知：，，，，则这几个数的大小关系是 （ ）
A． B．
C． D．

二、指数比较法
本方法将欲比较的几个幂变成底数相同的幂，再通过比较其指数的大小即可得出其大小关系．
例2 已知：，，，试比较的大小．






三、作差比较法
根据“若，则；若，则；若，则”的原则将欲比较的两个数相减，再根据其差的正负（或等于0）的情况得出其大小关系．
例3 已知，．试比较的大小．





家庭作业：
一、理解与应用
1．若，，则等于 （ ）
A．9 B．24 C．27 D．ll
2．等于 （ ）
A．0 B． C． D．
3．计算的结果是 （ ）
A． B．
C． D．
4．等于 （ ）
A． B．
C． D．
5．已知计算的结果中不含一次项，那么应等于 （ ）
A．0 B．1 C． D．
6．如果长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为 （ ）
A． B．
C． D．
二、拓展与创新
7．化简求值：
(1)，其中；





(2)，其中．






8．解方程：
(1)；





(2)；



(3)．





三、综合与探究
9．目前，纳米技术的研究和开发，正受到世界各国的广泛重视，中国在这一领域的研
究处于世界领先地位．纳米是长度单位，1米等于纳米．试计算长为5米，宽
为4米，高为3米的长方体的体积为多少立方纳米．





10．在太阳系，火星是距离地球最近的行星，光的速度大约是千米／秒，如
果一束光线从地球上向火星射去，大约需要20分钟才能到达火星，求火星距离地
球大约多少千米？

















多彩数学漫步
巧组数
谷超豪是我国著名的数学家，他小时候并不比其他孩子聪明，可他很喜欢看书，特别是那些生动有趣的自然科学书籍，一看就入迷，读书多，使他丰富了知识，开阔了视野，发现了许多奇妙的问题，渐渐地他变得聪明起来了．
在中学读书的时候，有一次，数学老师讲过了“乘方”的知识，对同学们讲：“同学们，在布置作业前，让我们共同做一个数学游戏．”
一听说做游戏，同学们兴趣盎然，教室里严肃紧张的气氛顿时被轻松、愉快的情绪驱散了．
“游戏的第一个题目是：用四个‘1’组成一个最小的数．”老师伸出四个手指说，“不准用任何运算符号，看谁组的又快又准．”
同学们的兴趣一下子都集中到认真思考与计算上去了．
“报告老师，最小的数是1111.”一个同学抢先回答，老师摇摇头．
“组成最小的数是．”第二个同学说，老师还是摇摇头．
有的同学在草稿纸上列出了的式子进行计算，很快发现，这个数要比1111大得多，自然打消了回答的念头．
这时，谷超豪举手，站起来回答说：“用四个‘l’组成的最小数是1…．”
“这个数是几？”老师追问道．
“是l．”
老师点点头说：“你能不能把四个‘1’组成的数，按照从小到大的顺序排列起来？”
谷超豪立即做出了明确的回答：．
“同学们，”老师用喜悦的口吻说，“刚才是第一个游戏，组成最小的数，下面做第二个游戏，用三个‘9’组成一个最大的数．”
有的同学认为是．也有的认为是．老师微笑着看着大家，等待着同学们的发言．
最后谷超豪举手回答说：“最大．”
“谷超豪，你再算一算，9的指数是9的9次方，9的指数到底是多少？”老师心情激动地说．
谷超豪通过计算回答说：“9的指数是，也就说，．不难看出，要比大得多，而又比大，所以有．
“同学们，乘方可以使很小的数变得异常庞大．这个数字大到计算起来都十分麻烦，如果用笔算，平均每10秒钟完成一次乘方，昼夜不停，大约需要150多年，计算出来的数字用五号铅字排列起来，长约几千亿千米……”