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2022-2023学年山东省烟台市开发区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省烟台市开发区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省烟台市开发区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如果2x=3y，那么下列比例式中正确的是( )
A. xy=23 B. x3=2y C. xy=32 D. x2=y3
2. 下列二次根式中，与 5是同类二次根式的是( )
A. 18 B. 52 C. 20 D. 0.5
3. 若xy<0，则 x2y化简后的结果是( )
A. x y B. x −y C. −x −y D. −x y
4. 以x=4± 16+4c2为根的一元二次方程可能是( )
A. x2−4x−c=0 B. x2+4x−c=0 C. x2−4x+c=0 D. x2+4x+c=0
5. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2−7x+12=0的一个根，则这个三角形的周长是( )
A. 9 B. 12 C. 13 D. 12或13
6. 如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是( )
A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ①③④
7. 根据方程x2−3x−5=0可列表如下( )
x
−3
−2
−1
…
4
5
6
x2−3x−5
13
5
−1
…
−1
5
13
则x的取值范围是( )
A. −3
A. ADDB=AEDH B. CFDE=DHCG C. FDFG=ECCG D. CHBC=AEAC
9. 已知α、β是方程x2−3x−4=0的两个实数根，则α2+αβ−3α的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10. 今年为庆祝共青团成立100周年，教体局举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制(每两支球队之间都进行一场比赛)，据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了x支球队参加比赛．根据题意可列方程是( )
A. x(x+1)2=28 B. x(x−1)=28 C. x(x−1)2=28 D. x(x−3)=28
11. 已知等腰三角形ABC的边长分别是m，n，4，且m，n是关于x的方程x2−6x+a+1=0的两根，则a的值为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 7或8
12. 如图，AB//CD，AC与BD交于点E，EF//DC交BC于点F，CE=5，CF=4，AE=BC，则DEBE的值是( )
A. 23
B. 13
C. 14
D. 35
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 若式子 1−x|x|−2有意义，则实数x的取值范围是 ．
14. 实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简： a2+ (a+b)2−|a−b|=______．
15. 如图，已知AB//CD//EF，AD：AF=3：5，BC=6，则CE的长为______．
16. 若关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有实数根，则k的取值范围是______．
17. 刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对(a,b)进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b−1，例如把(3,−2)放入其中，就会得到32+(−2)−1=6.现将实数对(m,−2m)放入其中，得到实数2，则m=______．
18. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0两根为−1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax+bx+c=0必有两个不相等的实根.其中真命题有______ (填写序号)．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
19. 第十五届中国上海国际艺术节期间，瑞士日内瓦大歌剧院芭蕾舞团芭蕾舞剧《吉赛尔》在市内的城市剧院演出，主办方工作人员准备利用一边靠墙(墙26米)的空旷场地为提前到场的观众设立面积为300平方米的封闭型长方形等候区.如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳48米.请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？
四、解答题（本大题共7小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题8.0分)
解方程：(1)x2−4x+3=0；
(2)(x−2)2=4(x+3)2．
21. (本小题8.0分)
计算：(1) 18+ 2− 12−( 3−1)2；
(2)( 6−2 3)2−(2 5− 2)(2 5+ 2)．
22. (本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−(m+3)2x+m+2=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值．
23. (本小题8.0分)
已知：x= 7+ 5，y= 7− 5.求下列各式的值．
(1)x2−xy+y2；
(2)xy−yx．
24. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC=DFCG．
求证：△ADF∽△ACG．
25. (本小题8.0分)
为了吸引游客，某旅游景点推出团体票，收费标准如下：如果团队人数不超过25人，每张票160元；如果超过25人，每增加1人每张票降低2元，但每张票不得低于120元．某旅行社共支付团体票价5200元，则该旅行社购买了多少张票？
26. (本小题8.0分)
观察下列各式：
1+112+122=1+11−12=112， 1+122+132=1+12−13=116， 1+132+142=1+13−14=1112；
请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
(1)猜想 1+162+172=1+16−17= ______ ；
(2)归纳：根据猜想写出一个用n(n表示正整数)表示的等式；
(3)应用计算： 181+101100；
(4)拓展应用：化简下列式子；
1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+…+ 1+120192+120202．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵2x=3y，
∴xy=32或x3=y2或x2=3y4．
故选：C．
由2x=3y，根据比例的性质，即可求得答案．
此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质．
2.【答案】C
【解析】解：A、 18=3 2，与 5不是同类二次根式；
B、 52= 102，与 5不是同类二次根式；
C、 20=2 5，与 5是同类二次根式；
D、 0.5= 22，与 5不是同类二次根式；
故选：C．
根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的性质和化简，是基础知识要熟练掌握．
根据二次根式有意义可得出y≥0，再由xy<0，得出x<0，y>0，从而化简即可．
【解答】
解：∵x2y≥0，
∴y≥0，
∵xy<0，
∴x<0，y>0，
∴ x2y=−x y．
故选D．
4.【答案】A
【解析】解：A.此方程的根为x=4± 16+4c2，符合题意；
B.此方程的根为x=−4± 16+4c2，不符合题意；
C.此方程的根为x=4± 16−4c2，不符合题意；
D.此方程的根为x=−4± 16−4c2，不符合题意；
故选：A．
根据求根公式逐一判断即可．
本题主要考查解一元二次方程—公式法，解题的关键是掌握求根公式．
5.【答案】C
【解析】解：解方程x2−7x+12=0得第三边的边长为3或4．
∵3<第三边的边长<9，
∴第三边的边长为4，
∴这个三角形的周长是3+6+4=13．
故选：C．
易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
6.【答案】A
【解析】解：由图形知，⑤中∠AHG=135°，
而①②③④中，只有①∠BAC=135°和③∠ADE=135°，
再根据两边成比例可判断，与⑤相似的三角形是①③，
故选：A．
根据相似三角形的旋转可知，相似三角形的对应角相等即可判断．
本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两个相似三角形的判定定理是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：根据表格可知，x2−3x−5=0时，对应的x的值在−2～−1与4～5之间．
故选D．
观察表格可知，x2−3x−5的值在−2～−1之间由正到负，在4～5之间由负到正，故可判断x2−3x−5=0时，对应的x的值在−2～−1与4～5之间．
本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系．关键是观察表格，确定函数值由正到负和由负到正时，对应的自变量取值范围．
8.【答案】B
【解析】解：∵DE//BC，DH//AC，
∴四边形DECH是平行四边形，
∴DH=CE，DE=CH，
∵DE//BC，
ADDB=AEEC=AEDH，故选项A正确，不符合题意；
∵DH//CG，
∴FDDG=DHCG=ECCG，故C正确，不符合题意；
∵DE//BC，
∴DEBC=CHBC=AEAC，故D正确，不符合题意．
由已知条件不能得出CFDE=DHCG，故B符合题意．
故选：B．
首先证明四边形DECH是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断即可．
本题考查平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9.【答案】A
【解析】解：根据题意得α+β=3，αβ=−4，
所以原式=a(α+β)−3α
=3α−3α
=0．
故选：A．
根据根与系数的关系得到得α+β=3，再把原式变形得到a(α+β)−3α，然后利用整体代入的方法计算即可．
本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是利用整体法代值计算，此题难度一般．
10.【答案】C
【解析】解：设一共邀请了x支球队参加比赛，由题意得，
x(x−1)2=28．
故选：C．
设一共邀请了x支球队参加比赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间都进行一场比赛)，则每个队参加(x−1)场比赛，则共有x(x−1)2 场比赛，可以列出一元二次方程．
本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×(队数−1)÷2，进而得出方程是解题关键．
11.【答案】D
【解析】解：①当m=n时，
∵且m，n是关于x的方程x2−6x+a+1=0的两根，
∴Δ=(−6)2−4(a+1)=0，
解得，a=8，
∴关于x的方程为x2−6x+9=0，
解得：m=n=3，
∵m+n>4，
∴分别是m，n，4为边能组成三角形；
②m=4或n=4时，
∴4是关于x的方程x2−6x+a+1=0的根，
∴42−6×4+a+1=0，
解得：a=7，
∴关于x的方程为x2−6x+8=0，
解得：m=2，n=4，
∵m+n>4，
∴分别是m，n，4为边能组成三角形；
综上所述：a的值为7或8．
故选：D．
①当m=n时，②m=4或n=4时，根据根的判别式和三角形的三边关系即可得到结论．
本题考查了根的判别式，三角形的三边关系，分类讨论是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：设AE=x，则CB=x，
∵AB//CD且EF//DC，
∴EF//AB，
∴CECA=CFCB，
∴55+x=4x，
解得：x=20，
经检验x=20是分式方程的解，
∵AB//CD，
∴△ECD∽△EAB，
∴DEBE=CEAE=14．
故选：C．
设AE=x，CB=x，根据平行线分线段成比例定理，由AB//CD且EF//DC得 EF//AB得到55+x=4x，解得：x=20；由AB//CD根据相似三角形的判定定理可得△ECD∽△EAB；根据相似三角形的性质可得DEBE=CEAE，由此可得出解答．
本题考查了平行线段成比例、相似三角形的判定和性质，解决此题的关键是学会掌握并运用以上性质．
13.【答案】x≤1且x≠−2
【解析】解：由题意知：1−x≥0，|x|≠2，
解得：x≤1且x≠−2，
故答案为：x≤1且x≠−2．
要使代数式有意义，令被开方数≥0，分母≠0，得1−x≥0，|x|≠2，即可得答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，关键是令被开方数≥0，分母≠0．
14.【答案】a
【解析】解：∵由数轴可知：a<0
∴ a2+ (a+b)2−|a−b|
=|a|+|a+b|−|a−b|
=−a+(a+b)−(b−a)
=−a+a+b−b+a
=a．
故答案为：a．
由数轴可知a<0
15.【答案】4
【解析】解：∵AB//CD//EF，
∴ADAF=BCBE，
∴35=6BE，
∴BE=10，
∴CE=BE−BD=10−6=4，
故答案为：4．
由AB//CD//EF，推出ADAF=BCBE，推出35=6BE，可得结论．
本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
16.【答案】k≤1且k≠0
【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有实数根，
∴△=b2−4ac≥0，
即：4−4k≥0，
解得：k≤1，
∵关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0中k≠0，
故答案为：k≤1且k≠0．
根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
17.【答案】3或−1
【解析】
【分析】
根据题意，把实数对(m,−2m)代入a2+b−1=2中，得到一个一元二次方程，利用因式分解法可求出m的值．
本题考查了一元二次方程的应用及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是根据题意列出方程．
【解答】
解：把实数对(m,−2m)代入a2+b−1=2中得m2−2m−1=2，
移项得m2−2m−3=0，
因式分解得(m−3)(m+1)=0，
解得m=3或−1．
故答案为3或−1．
18.【答案】①②③
【解析】解：①若a+b+c=0，方程ax2+bx+c=0有一根为1，又a≠0，则b2−4ac≥0，正确；
②由两根关系可知，−1×2=ca，整理得：2a+c=0，正确；
③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则−ac>0，可知b2−4ac>0，故方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，正确．
正确命题有①②③，
故答案为：①②③．
①a+b+c=0，即系数和为0，说明原方程有一根是1，a≠0，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，就有两个，△≥0；
②已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论；
③判断方程的根的情况，只要看根的判别式Δ=b2−4ac的值的符号就可以了．
本题考查一元二次方程根的判别式与方程系数的关系，熟记一元二次方程根的判别式与方程系数的关系是解题的关键．
19.【答案】解：设封闭型长方形等候区的边AB为x米，
由题意得：x(48−2x+2)=300，
整理，得x2−25x+150=0，
解得x1=10，x2=15，
当x=10时，BC=30>26；
当x=15时，BC=20<26，
∴x=10不合题意，应舍去．
答：封闭型长方形等候区的边AB为15米，BC为20米．
【解析】设封闭型长方形等候区的边AB为x米，根据面积为300平方米的封闭型长方形等候区可得(48+2−2x)x=300，再解一元二次方程即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽．
20.【答案】解：(1)∵x2−4x+3=0，
∴(x−1)(x−3)=0，
则x−1=0或x−3=0，
解得x1=1，x2=3；
(2)∵(x−2)2=4(x+3)2，
∴x−2=2(x+3)或x−2=−2(x+3)，
解得x1=−8，x2=−43．
【解析】(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
(2)两边直接开平方求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
21.【答案】解：(1)原式=3 2+ 2−2 3−(3−2 3+1)
=3 2+ 2−2 3+2 3−4
=4 2−4；
(2)原式=6+12−12 2−(20−2)
=6+12−12 2−18
=−12 2．
【解析】(1)直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
(2)直接利用乘法公式化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
22.【答案】(1)证明：∵Δ=(m+3)2−4(m+2)=(m+1)2≥0，
∴方程总有两个实数根；
(2)解：∵x2−(m+3)2x+m+2=0，
∴(x−m−2)(x−1)=0，
∴x1=m+2，x2=1．
∵方程两个根的绝对值相等，
∴m+2=±1．
∴m=−3或−1．
【解析】(1)先根据题意求出Δ的值，再根据一元二次方程根的情况与根的判别式Δ的关系即可得出结论；
(2)利用因式分解法求得方程的解，然后根据题意列出关于m的方程，解方程即可得到结论．
本题考查了根的判别式，一元二次方程的解法，掌握判别式Δ与0的关系判定方程根的情况是解决本题的关键．
23.【答案】解：(1)∵x= 7+ 5，y= 7− 5，
∴x+y=( 7+ 5)+( 7− 5)=2 7，x−y=( 7+ 5)−( 7− 5)=2 5，
xy=( 7+ 5)( 7− 5)=7−5=2，
∴x2−xy+y2=(x+y)2−3xy=28−6=22；
(2)xy−yx=x2−y2xy=(x+y)(x−y)xy=2 7×2 52=2 35．
【解析】(1)根据二次根式的加法法则求出x+y，根据二次根式的乘法法则求出xy，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
(2)根据分式的减法法则、平方差公式把原式变形，代入计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则、完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
24.【答案】证明：∵∠AED=∠B，∠BAC=∠EAD，
∴∠ADE=∠C，
∵ADAC=DFCG，
∴△ADF～ACG．
【解析】根据题意可得∠AED=∠B，∠BAC=∠BAC，根据内角和定理，可知∠ADE=∠C，且ADAC=DFCG，所以△ADF～ACG．
本题主要考查了三角形相似的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
25.【答案】解：设该旅行社购买了x张票，则每张票的票价为160−2(x−25)=(210−2x)元，
依题意得：x(210−2x)=5200，
整理得：x2−105x+2600=0，
解得：x1=40，x2=65．
当x=40时，210−2x=210−2×40=130>120，符合题意；
当x=65时，210−2x=210−2×65=80<120，不符合题意，舍去．
答：该旅行社购买了40张票．
【解析】设该旅行社购买了x张票，则每张票的票价为160−2(x−25)=(210−2x)元，根据该旅行社共支付团体票价5200元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26.【答案】1142
【解析】解：(1)∵ 1+112+122=1+11−12=112，
1+122+132=1+12−13=116，
1+132+142=1+13−14=1112，
……
∴ 1+162+172=1+16−17=1142，
故答案为：1142；
(2))∵ 1+112+122=1+11−12=112，
1+122+132=1+12−13=116，
1+132+142=1+13−14=1112，
……
1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1=1+1n(n+1)，
即 1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)；
(3)由(2)题结论可得，
181+101100
= 1+181+1100
= 1+192+1102
=1+19×10
=1190；
(4)由(2)题结论可得，
1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+…+ 1+120192+120202
=(1+11×2)+(1+12×3)+(1+13×4)+……+(1+12019×2020)
=1×2019+(11×2+12×3+13×4+……+12019×2020)
=2019+(1−12+12−13+13−14)
=2019+34
=201934．
(1)根据题目中式子的特点进行求解；
(2)根据题意进行猜想、归纳出这种式子的规律；
(3)将式子算： 181+101100改写为 1+192+1102，运用规律进行求解；
(4)运用规律对算式进行改写、计算．
此题考查了二次根式运算规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意，并进行规律的归纳、应用．
2022-2023学年山东省烟台市开发区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如果2x=3y，那么下列比例式中正确的是( )
A. xy=23 B. x3=2y C. xy=32 D. x2=y3
2. 下列二次根式中，与 5是同类二次根式的是( )
A. 18 B. 52 C. 20 D. 0.5
3. 若xy<0，则 x2y化简后的结果是( )
A. x y B. x −y C. −x −y D. −x y
4. 以x=4± 16+4c2为根的一元二次方程可能是( )
A. x2−4x−c=0 B. x2+4x−c=0 C. x2−4x+c=0 D. x2+4x+c=0
5. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2−7x+12=0的一个根，则这个三角形的周长是( )
A. 9 B. 12 C. 13 D. 12或13
6. 如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是( )
A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ①③④
7. 根据方程x2−3x−5=0可列表如下( )
x
−3
−2
−1
…
4
5
6
x2−3x−5
13
5
−1
…
−1
5
13
则x的取值范围是( )
A. −3
A. ADDB=AEDH B. CFDE=DHCG C. FDFG=ECCG D. CHBC=AEAC
9. 已知α、β是方程x2−3x−4=0的两个实数根，则α2+αβ−3α的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10. 今年为庆祝共青团成立100周年，教体局举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制(每两支球队之间都进行一场比赛)，据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了x支球队参加比赛．根据题意可列方程是( )
A. x(x+1)2=28 B. x(x−1)=28 C. x(x−1)2=28 D. x(x−3)=28
11. 已知等腰三角形ABC的边长分别是m，n，4，且m，n是关于x的方程x2−6x+a+1=0的两根，则a的值为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 7或8
12. 如图，AB//CD，AC与BD交于点E，EF//DC交BC于点F，CE=5，CF=4，AE=BC，则DEBE的值是( )
A. 23
B. 13
C. 14
D. 35
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 若式子 1−x|x|−2有意义，则实数x的取值范围是 ．
14. 实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简： a2+ (a+b)2−|a−b|=______．
15. 如图，已知AB//CD//EF，AD：AF=3：5，BC=6，则CE的长为______．
16. 若关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有实数根，则k的取值范围是______．
17. 刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对(a,b)进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b−1，例如把(3,−2)放入其中，就会得到32+(−2)−1=6.现将实数对(m,−2m)放入其中，得到实数2，则m=______．
18. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0两根为−1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax+bx+c=0必有两个不相等的实根.其中真命题有______ (填写序号)．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
19. 第十五届中国上海国际艺术节期间，瑞士日内瓦大歌剧院芭蕾舞团芭蕾舞剧《吉赛尔》在市内的城市剧院演出，主办方工作人员准备利用一边靠墙(墙26米)的空旷场地为提前到场的观众设立面积为300平方米的封闭型长方形等候区.如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳48米.请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？
四、解答题（本大题共7小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题8.0分)
解方程：(1)x2−4x+3=0；
(2)(x−2)2=4(x+3)2．
21. (本小题8.0分)
计算：(1) 18+ 2− 12−( 3−1)2；
(2)( 6−2 3)2−(2 5− 2)(2 5+ 2)．
22. (本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−(m+3)2x+m+2=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值．
23. (本小题8.0分)
已知：x= 7+ 5，y= 7− 5.求下列各式的值．
(1)x2−xy+y2；
(2)xy−yx．
24. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC=DFCG．
求证：△ADF∽△ACG．
25. (本小题8.0分)
为了吸引游客，某旅游景点推出团体票，收费标准如下：如果团队人数不超过25人，每张票160元；如果超过25人，每增加1人每张票降低2元，但每张票不得低于120元．某旅行社共支付团体票价5200元，则该旅行社购买了多少张票？
26. (本小题8.0分)
观察下列各式：
1+112+122=1+11−12=112， 1+122+132=1+12−13=116， 1+132+142=1+13−14=1112；
请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
(1)猜想 1+162+172=1+16−17= ______ ；
(2)归纳：根据猜想写出一个用n(n表示正整数)表示的等式；
(3)应用计算： 181+101100；
(4)拓展应用：化简下列式子；
1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+…+ 1+120192+120202．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵2x=3y，
∴xy=32或x3=y2或x2=3y4．
故选：C．
由2x=3y，根据比例的性质，即可求得答案．
此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质．
2.【答案】C
【解析】解：A、 18=3 2，与 5不是同类二次根式；
B、 52= 102，与 5不是同类二次根式；
C、 20=2 5，与 5是同类二次根式；
D、 0.5= 22，与 5不是同类二次根式；
故选：C．
根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的性质和化简，是基础知识要熟练掌握．
根据二次根式有意义可得出y≥0，再由xy<0，得出x<0，y>0，从而化简即可．
【解答】
解：∵x2y≥0，
∴y≥0，
∵xy<0，
∴x<0，y>0，
∴ x2y=−x y．
故选D．
4.【答案】A
【解析】解：A.此方程的根为x=4± 16+4c2，符合题意；
B.此方程的根为x=−4± 16+4c2，不符合题意；
C.此方程的根为x=4± 16−4c2，不符合题意；
D.此方程的根为x=−4± 16−4c2，不符合题意；
故选：A．
根据求根公式逐一判断即可．
本题主要考查解一元二次方程—公式法，解题的关键是掌握求根公式．
5.【答案】C
【解析】解：解方程x2−7x+12=0得第三边的边长为3或4．
∵3<第三边的边长<9，
∴第三边的边长为4，
∴这个三角形的周长是3+6+4=13．
故选：C．
易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
6.【答案】A
【解析】解：由图形知，⑤中∠AHG=135°，
而①②③④中，只有①∠BAC=135°和③∠ADE=135°，
再根据两边成比例可判断，与⑤相似的三角形是①③，
故选：A．
根据相似三角形的旋转可知，相似三角形的对应角相等即可判断．
本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两个相似三角形的判定定理是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：根据表格可知，x2−3x−5=0时，对应的x的值在−2～−1与4～5之间．
故选D．
观察表格可知，x2−3x−5的值在−2～−1之间由正到负，在4～5之间由负到正，故可判断x2−3x−5=0时，对应的x的值在−2～−1与4～5之间．
本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系．关键是观察表格，确定函数值由正到负和由负到正时，对应的自变量取值范围．
8.【答案】B
【解析】解：∵DE//BC，DH//AC，
∴四边形DECH是平行四边形，
∴DH=CE，DE=CH，
∵DE//BC，
ADDB=AEEC=AEDH，故选项A正确，不符合题意；
∵DH//CG，
∴FDDG=DHCG=ECCG，故C正确，不符合题意；
∵DE//BC，
∴DEBC=CHBC=AEAC，故D正确，不符合题意．
由已知条件不能得出CFDE=DHCG，故B符合题意．
故选：B．
首先证明四边形DECH是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断即可．
本题考查平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9.【答案】A
【解析】解：根据题意得α+β=3，αβ=−4，
所以原式=a(α+β)−3α
=3α−3α
=0．
故选：A．
根据根与系数的关系得到得α+β=3，再把原式变形得到a(α+β)−3α，然后利用整体代入的方法计算即可．
本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是利用整体法代值计算，此题难度一般．
10.【答案】C
【解析】解：设一共邀请了x支球队参加比赛，由题意得，
x(x−1)2=28．
故选：C．
设一共邀请了x支球队参加比赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间都进行一场比赛)，则每个队参加(x−1)场比赛，则共有x(x−1)2 场比赛，可以列出一元二次方程．
本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×(队数−1)÷2，进而得出方程是解题关键．
11.【答案】D
【解析】解：①当m=n时，
∵且m，n是关于x的方程x2−6x+a+1=0的两根，
∴Δ=(−6)2−4(a+1)=0，
解得，a=8，
∴关于x的方程为x2−6x+9=0，
解得：m=n=3，
∵m+n>4，
∴分别是m，n，4为边能组成三角形；
②m=4或n=4时，
∴4是关于x的方程x2−6x+a+1=0的根，
∴42−6×4+a+1=0，
解得：a=7，
∴关于x的方程为x2−6x+8=0，
解得：m=2，n=4，
∵m+n>4，
∴分别是m，n，4为边能组成三角形；
综上所述：a的值为7或8．
故选：D．
①当m=n时，②m=4或n=4时，根据根的判别式和三角形的三边关系即可得到结论．
本题考查了根的判别式，三角形的三边关系，分类讨论是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：设AE=x，则CB=x，
∵AB//CD且EF//DC，
∴EF//AB，
∴CECA=CFCB，
∴55+x=4x，
解得：x=20，
经检验x=20是分式方程的解，
∵AB//CD，
∴△ECD∽△EAB，
∴DEBE=CEAE=14．
故选：C．
设AE=x，CB=x，根据平行线分线段成比例定理，由AB//CD且EF//DC得 EF//AB得到55+x=4x，解得：x=20；由AB//CD根据相似三角形的判定定理可得△ECD∽△EAB；根据相似三角形的性质可得DEBE=CEAE，由此可得出解答．
本题考查了平行线段成比例、相似三角形的判定和性质，解决此题的关键是学会掌握并运用以上性质．
13.【答案】x≤1且x≠−2
【解析】解：由题意知：1−x≥0，|x|≠2，
解得：x≤1且x≠−2，
故答案为：x≤1且x≠−2．
要使代数式有意义，令被开方数≥0，分母≠0，得1−x≥0，|x|≠2，即可得答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，关键是令被开方数≥0，分母≠0．
14.【答案】a
【解析】解：∵由数轴可知：a<0
∴ a2+ (a+b)2−|a−b|
=|a|+|a+b|−|a−b|
=−a+(a+b)−(b−a)
=−a+a+b−b+a
=a．
故答案为：a．
由数轴可知a<0
15.【答案】4
【解析】解：∵AB//CD//EF，
∴ADAF=BCBE，
∴35=6BE，
∴BE=10，
∴CE=BE−BD=10−6=4，
故答案为：4．
由AB//CD//EF，推出ADAF=BCBE，推出35=6BE，可得结论．
本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
16.【答案】k≤1且k≠0
【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有实数根，
∴△=b2−4ac≥0，
即：4−4k≥0，
解得：k≤1，
∵关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0中k≠0，
故答案为：k≤1且k≠0．
根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
17.【答案】3或−1
【解析】
【分析】
根据题意，把实数对(m,−2m)代入a2+b−1=2中，得到一个一元二次方程，利用因式分解法可求出m的值．
本题考查了一元二次方程的应用及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是根据题意列出方程．
【解答】
解：把实数对(m,−2m)代入a2+b−1=2中得m2−2m−1=2，
移项得m2−2m−3=0，
因式分解得(m−3)(m+1)=0，
解得m=3或−1．
故答案为3或−1．
18.【答案】①②③
【解析】解：①若a+b+c=0，方程ax2+bx+c=0有一根为1，又a≠0，则b2−4ac≥0，正确；
②由两根关系可知，−1×2=ca，整理得：2a+c=0，正确；
③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则−ac>0，可知b2−4ac>0，故方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，正确．
正确命题有①②③，
故答案为：①②③．
①a+b+c=0，即系数和为0，说明原方程有一根是1，a≠0，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，就有两个，△≥0；
②已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论；
③判断方程的根的情况，只要看根的判别式Δ=b2−4ac的值的符号就可以了．
本题考查一元二次方程根的判别式与方程系数的关系，熟记一元二次方程根的判别式与方程系数的关系是解题的关键．
19.【答案】解：设封闭型长方形等候区的边AB为x米，
由题意得：x(48−2x+2)=300，
整理，得x2−25x+150=0，
解得x1=10，x2=15，
当x=10时，BC=30>26；
当x=15时，BC=20<26，
∴x=10不合题意，应舍去．
答：封闭型长方形等候区的边AB为15米，BC为20米．
【解析】设封闭型长方形等候区的边AB为x米，根据面积为300平方米的封闭型长方形等候区可得(48+2−2x)x=300，再解一元二次方程即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽．
20.【答案】解：(1)∵x2−4x+3=0，
∴(x−1)(x−3)=0，
则x−1=0或x−3=0，
解得x1=1，x2=3；
(2)∵(x−2)2=4(x+3)2，
∴x−2=2(x+3)或x−2=−2(x+3)，
解得x1=−8，x2=−43．
【解析】(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
(2)两边直接开平方求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
21.【答案】解：(1)原式=3 2+ 2−2 3−(3−2 3+1)
=3 2+ 2−2 3+2 3−4
=4 2−4；
(2)原式=6+12−12 2−(20−2)
=6+12−12 2−18
=−12 2．
【解析】(1)直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
(2)直接利用乘法公式化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
22.【答案】(1)证明：∵Δ=(m+3)2−4(m+2)=(m+1)2≥0，
∴方程总有两个实数根；
(2)解：∵x2−(m+3)2x+m+2=0，
∴(x−m−2)(x−1)=0，
∴x1=m+2，x2=1．
∵方程两个根的绝对值相等，
∴m+2=±1．
∴m=−3或−1．
【解析】(1)先根据题意求出Δ的值，再根据一元二次方程根的情况与根的判别式Δ的关系即可得出结论；
(2)利用因式分解法求得方程的解，然后根据题意列出关于m的方程，解方程即可得到结论．
本题考查了根的判别式，一元二次方程的解法，掌握判别式Δ与0的关系判定方程根的情况是解决本题的关键．
23.【答案】解：(1)∵x= 7+ 5，y= 7− 5，
∴x+y=( 7+ 5)+( 7− 5)=2 7，x−y=( 7+ 5)−( 7− 5)=2 5，
xy=( 7+ 5)( 7− 5)=7−5=2，
∴x2−xy+y2=(x+y)2−3xy=28−6=22；
(2)xy−yx=x2−y2xy=(x+y)(x−y)xy=2 7×2 52=2 35．
【解析】(1)根据二次根式的加法法则求出x+y，根据二次根式的乘法法则求出xy，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
(2)根据分式的减法法则、平方差公式把原式变形，代入计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则、完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
24.【答案】证明：∵∠AED=∠B，∠BAC=∠EAD，
∴∠ADE=∠C，
∵ADAC=DFCG，
∴△ADF～ACG．
【解析】根据题意可得∠AED=∠B，∠BAC=∠BAC，根据内角和定理，可知∠ADE=∠C，且ADAC=DFCG，所以△ADF～ACG．
本题主要考查了三角形相似的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
25.【答案】解：设该旅行社购买了x张票，则每张票的票价为160−2(x−25)=(210−2x)元，
依题意得：x(210−2x)=5200，
整理得：x2−105x+2600=0，
解得：x1=40，x2=65．
当x=40时，210−2x=210−2×40=130>120，符合题意；
当x=65时，210−2x=210−2×65=80<120，不符合题意，舍去．
答：该旅行社购买了40张票．
【解析】设该旅行社购买了x张票，则每张票的票价为160−2(x−25)=(210−2x)元，根据该旅行社共支付团体票价5200元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26.【答案】1142
【解析】解：(1)∵ 1+112+122=1+11−12=112，
1+122+132=1+12−13=116，
1+132+142=1+13−14=1112，
……
∴ 1+162+172=1+16−17=1142，
故答案为：1142；
(2))∵ 1+112+122=1+11−12=112，
1+122+132=1+12−13=116，
1+132+142=1+13−14=1112，
……
1+1n2+1(n+1)2=1+1n−1n+1=1+1n(n+1)，
即 1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)；
(3)由(2)题结论可得，
181+101100
= 1+181+1100
= 1+192+1102
=1+19×10
=1190；
(4)由(2)题结论可得，
1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+…+ 1+120192+120202
=(1+11×2)+(1+12×3)+(1+13×4)+……+(1+12019×2020)
=1×2019+(11×2+12×3+13×4+……+12019×2020)
=2019+(1−12+12−13+13−14)
=2019+34
=201934．
(1)根据题目中式子的特点进行求解；
(2)根据题意进行猜想、归纳出这种式子的规律；
(3)将式子算： 181+101100改写为 1+192+1102，运用规律进行求解；
(4)运用规律对算式进行改写、计算．
此题考查了二次根式运算规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意，并进行规律的归纳、应用．
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