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2022-2023学年安徽省淮北市五校联考七年级（下）月考数学试卷（三）（含解析）
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这是一份2022-2023学年安徽省淮北市五校联考七年级（下）月考数学试卷（三）（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省淮北市五校联考七年级（下）月考数学试卷（三）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. − 3的相反数是( )
A. 3 B. − 3 C. 1 3 D. 3
2. 已知a>b，则下列各式中一定成立的是( )
A. a−b<0 B. a3>b3 C. ac2>bc2 D. 2a−1<2b−1
3. 分式3x−1有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠1 B. x≠3 C. x≠1且x≠0 D. x≠1且x≠3
4. 下列计算的结果是a5的是( )
A. a2⋅a3 B. (a2)3 C. a10÷a2 D. a6−a
5. 不等式x−1≥2x的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 若a< 8
7. 下列整式乘法能够运用完全平方公式计算的是( )
A. (a−b)(a+b) B. −(a+b)(b−a) C. (a+b)(b−a) D. (a−b)(b−a)
8. “某学校改造过程中整修门口1500m的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路xm，可得方程1500x−5−1500x=10，则题目中用“……”表示的条件应是( )
A. 每天比原计划多修5m，结果延期10天完成
B. 每天比原计划多修5m，结果提前10天完成
C. 每天比原计划少修5m，结果延期10天完成
D. 每天比原计划少修5m，结果提前10天完成
9. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是( )
A. 285 B. 330 C. 512 D. 582
10. 若关于x的不等式组3x−a>2(1−x)x−12≥x+23−1的解集为x≥1，关于y的分式方程yy+1+ay−1=1有整数解，则满足条件的整数a的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 实数−64的立方根是______ ．
12. 已知关于x、y的二元一次方程组x+2y=2m+12x+y=m+2的解满足x−y>2，则m的最大整数值为m= ．
13. 若关于x的分式方程x+5x−3=2−m3−x有增根，则常数m的值是______ ．
14. 若一个整数能表示成a2+b2(a、b是正整数)的形式，则称这个数为“丰利数”.例如，2是“丰利数”，因为2=12+12，再如，M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x+y,y是正整数)，所以M也是“丰利数”．
(1)11 ______ “丰利数”(“是”或“不是”)；
(2)若p=4x2+mxy+2y2−10y+25(其中x>y>0)是“丰利数”，则m= ______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
15. 学校准备为“中国古诗词”朗诵比赛购买奖品．已知在中央商场购买3个甲种奖品和2个乙种奖品共需120元；购买5个甲种奖品和4个乙种奖品共需210元．
(1)求甲、乙两种奖品的单价；
(2)学校计划购买甲、乙两种奖品共80个，且此次购买奖品的费用不超过1500元．正逢中央商场促销，所有商品一律八折销售，求学校在中央商场最多能购买多少个甲种奖品？
四、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式：2−x3+2>x−x−22．
17. (本小题8.0分)
计算：(−1)2023+(12)−1−(2023−π)0−( 5+ 3)( 5− 3)．
18. (本小题8.0分)
先化简，再求值，m2+6m+9m−2÷(m+2+3m+4m−2)，其中m满足：m2−4=0．
19. (本小题8.0分)
观察下列等式：
第1个等式：2×(12−1+1)−1=13；
第2个等式：3×(22−2+1)−1=23；
第3个等式：4×(32−3+1)−1=33；
第4个等式：5×(42−4+1)−1=43；
第5个等式：6×(52−5+1)−1=53；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：______ ；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明．
20. (本小题10.0分)
已知(x−15)2=169，(y−1)3=−0.125，求 x− 2xy−32y−x的值．
21. (本小题12.0分)
规定两数a，b之间的一种运算，记作(a,b)，如果ac=b，那么(a,b)=c.我们叫(a,b)为“雅对”．
例如：∵23=8，∴(2,8)=3.我们还可以利用“雅对”定义证明等式(3,3)+(3,5)=(3,15)成立.证明如下：
设(3,3)=m，(3,5)=n，则3m=3，3n=5．
∴3m⋅3n=3m+n=3×5=15．
∴(3,15)=m+n，即(3,3)+(3,5)=(3,15)．
(1)根据上述规定，填空：(2,4)= ______ ；(5,25)= ______ ；(3,27)= ______ ．
(2)计算：(5,2)+(5,7)= ______ ，并说明理由．
(3)记(3,5)=a，(3,6)=b，(3,30)=c.求证：a+b=c．
22. (本小题12.0分)
阅读下列解题过程：
例：若代数式 (2−a)2+ (a−4)2=2，求a的取值．
解：原式=|a−2|+|a−4|，
当a<2时，原式=(2−a)+(4−a)=6−2a=2，解得a=2(舍去)；
当2≤a<4时，原式=(a−2)+(4−a)=2，等式恒成立；
当a≥4时，原式=(a−2)+(a−4)=2a−6=2，解得a=4；
所以，a的取值范围是2≤a≤4．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当3≤a≤7时，化简： (3−a)2+ (a−7)2= ______ ；
(2)请直接写出满足 (a−1)2+ (a−6)2=5的a的取值范围______ ；
(3)若 (a+1)2+ (a−3)2=6，求a的取值．
23. (本小题14.0分)
先阅读，后解题．
已知m2+2m+n2−6n+10=0，求m和n的值．
解：等式可变形为(m2+2m+1)+(n2−6n+9)=0．
即(m+1)2+(n−3)2=0．
∵(m+1)2≥0，(n−3)2≥0，
∴m+1=0，n−3=0，
∴m=−1，n=3．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫作“配方法”．
请你利用配方法，解决下列问题：
(1)已知a，b是长方形ABCD的长与宽，满足a2+b2−8a−6b+25=0，则长方形ABCD的面积是______ ；
(2)求代数式a2+4b2+4ab−4a−8b+7的最小值，并求出此时a，b满足的数量关系；
(3)请比较多项式x2+3x−4与2x2+2x−3的大小，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：− 3的相反数是 3．
故选：A．
根据相反数的定义进行解答即可．
本题主要考查相反数，解题的关键是熟知相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数．
2.【答案】B
【解析】解：∵a>b，
∴a−b>0，
故A不符合题意；
∵a>b，
∴a3>b3，
故B符合题意；
当c=0时，ac2=bc2，
故C不符合题意；
∵a>b，
∴2a>2b，
∴2a−1>2b−1，
故D不符合题意，
故选：B．
根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，分别判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵分式3x−1有意义，
∴x−1≠0，
∴x≠1．
故选：A．
根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故本选项符合题意；
B、(a2)3=a6，故本选项不合题意；
C、a10÷a2=a8，故本选项不合题意；
D、a6和a不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
故选：A．
结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘除法运算，然后选择正确选项．
本题考查了幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法和除法，掌握幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法和除法的运算法则是关键．
5.【答案】B
【解析】解：x−1≥2x，
移项得：x−2x≥1，
合并同类项得：−x≥1，
解得：x≤−1，
把不等式的解集在数轴上表示为：
故选：B．
先移项，再合并同类项，求出不等式的解集，即可求解．
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，解题关键是抓住不等式的解集在数轴上表示出来大于或大于等于向右画；小于或小于等于向左画；注意在表示解集时大于等于，小于等于要用实心圆点表示；大于、小于要用空心圆点表示．
6.【答案】C
【解析】解：∵4<8<9，
∴2< 8<3，
又∵a< 8
∴ba=32=9．
故选：C．
由被开方数8的范围确定出 8的范围，进而求出a与b的值，再把a与b的值代入ba，根据有理数的乘方法则，计算即可得到结果．
本题考查了估算无理数的大小、有理数的乘方，解本题的关键在正确得出a与b的值．
7.【答案】D
【解析】解：A、(a−b)(a+b)=a2−b2，能用平方差公式，故此选项不符合题意；
B、−(a+b)(b−a)=(a+b)(a−b)=a2−b2，能用平方差公式，故此选项不符合题意；
C、(a+b)(b−a)=b2−a2，能用平方差公式，故此选项不符合题意；
D、(a−b)(b−a)=−(a−b)(a−b)=−(a2−2ab+b2)=−a2+2ab−b2，能用完全平方公式，故此选项符合题意；
故选：D．
利用完全平方公式判断即可．
本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解本题的关键．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
由x代表的含义找出(x−5)代表的含义，再分析所列方程选用的等量关系，即可找出结论．
本题考查了分式方程的应用，根据所列分式方程，找出选用的等量关系是解题的关键．
【解答】
解：设实际每天整修道路xm，则(x−5)m表示：实际施工时，每天比原计划多修5m，
∵方程1500x−5−1500x=10，其中1500x−5表示原计划施工所需时间，1500x表示实际施工所需时间，
∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前10天完成．
故选：B．
9.【答案】C
【解析】解：∵一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”，
∴设“幸福数”为(2n+1)2−(2n−1)2(n为整数)，
∵(2n+1)2−(2n−1)2=8n，
∴“幸福数”是8的倍数，
观察各选项，是8的倍数的只有512，
故选：C．
根据一个数等于两个连续奇数的平方差，用字母表示“幸福数”，可知“幸福数”是8的倍数，即可得到答案．
本题考查因式分解的应用，涉及新定义，解题的关键掌握平方差公式分解因式．
10.【答案】B
【解析】解：解不等式：3x−a>2(1−x)，得：x>2+a5，
解不等式：x−12≥x+23−1，得：x≥1，
∵不等式组的解集为x≥1，
∴2+a5<1，即：a<3，
解关于y的分式方程yy+1+ay−1=1，
得y=−a+1a−1=−a−1+2a−1=−(1+2a−1)=−1−2a−1，
∵分式方程的解为整数解，
∴2a−1为整数，且−a+1a−1≠±1，a−1≠0，即a≠0，a≠1，
∴所有满足条件的整数a的值有：2，−1，共2个．
故选：B．
先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集求出a的取值范围，再由分式方程的解求出a的范围，得到两个a的范围必须同时满足，即求得可得到的整数a的值．
本题考查了解一元一次不等式组及应用，解分式方程，掌握分式方程的解法是关键．
11.【答案】−4
【解析】解：∵(−4)3=−64，
∴3−64=−4，
故答案为：−4．
根据立方根的意义求解．
本题考查了立方根，理解立方根的意义是解题的关键．
12.【答案】−2
【解析】解：x+2y=2m+1①2x+y=m+2②，
由②−①得：x−y=1−m，
∵x−y>2，
∴1−m>2，
∴m<−1，
m的最大整数值为−2．
故答案为：−2．
②−①，得x−y=1−m，根据x−y>2得出关于m的不等式，求得最大整数解即可求解．
本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
13.【答案】8
【解析】解：去分母，得：x+5=2(x−3)+m，
由分式方程有增根，得到x−3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程，可得：m=8．
故答案为：8．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x−3=0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
本题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：(1)化分式方程为整式方程；(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14.【答案】不是 ±4
【解析】解：(1)11无法表示为a2+b2或(x+y)2+y2的形式，故11不是“丰利数”，
故答案为：不是；
(2)p=4x2+mxy+2y2−10y+25
=(4x2+mxy+y2)+(y2−10y+25)
=(4x2+mxy+y2)+(y−5)2．
∵p=4x2+mxy+2y2−10y+25(其中x>y>0)是“丰利数”，
∴m=±2×2×1=±4．
故答案为：±4．
(1)根据定义判断即可；
(2)将p分解因式即可求解．
此题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念“丰利数”是解题的关键．
15.【答案】解：(1)设甲的单价为种奖品x元，乙种奖品的单价为y元．
根据题意，得3x+2y=1205x+4y=210，
解得x=30y=15，
答：甲种奖品的单价为30元，乙种奖品的单价15元；
(2)设学校购买a个甲种奖品，则购买(80−a)个乙种奖品，
根据题意，得0.8×[30a+15(80−a)]≤1500，
解得a≤45，
∴学校最多能购买45个甲种奖品．
答：学校在中央商场最多能购买45个甲种奖品．
【解析】(1)设甲的单价为种奖品x元，乙种奖品的单价为y元，由题意列出二元一次方程组，可得出答案；
(2)设学校购买a个甲种奖品，则购买(80−a)个乙种奖品，根据题意列出不等式，解不等式即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
16.【答案】解：2−x3+2>x−x−22，
2(2−x)+12>6x−3(x−2)，
4−2x+12>6x−3x+6，
−2x−6x+3x>6−4−12，
−5x>−10，
x<2．
【解析】按照解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
17.【答案】解：(−1)2023+(12)−1−(2023−π)0−( 5+ 3)( 5− 3)
=−1+2−1−(5−3)
=−2．
【解析】先分别计算乘方，负指数幂、零次幂及平方差公式计算，再计算加减法．
此题考查了实数的混合运算，正确掌握乘方的计算法则，负整数指数幂，零次幂法则，平方差公式是解题的关键．
18.【答案】解：原式=(m+3)2m−2÷m2+3mm−2
=(m+3)2m−2⋅m−2m(m+3)
=m+3m，
∵m2−4=0且m≠2，
∴m=−2，
则原式=−2+3−2=−12．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再求出符合条件的m的值，从而代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19.【答案】7×(62−6+1)−1=63
【解析】(1)解：因为第1个等式：2×(12−1+1)−1=13；
第2个等式：3×(22−2+1)−1=23；
第3个等式：4×(32−3+1)−1=33；
第4个等式：5×(42−4+1)−1=43；
第5个等式：6×(52−5+1)−1=53；
…
第n个等式：就是n的平方与n的差再加上1的和乘以(n+1)，再减去1等于n的立方，
第6个等式为7×(62−6+1)−1=63，
故答案为：7×(62−6+1)−1=63；
(2)解：由(1)可知，第n个等式为(n+1)×(n2−n+1)−1=n3；
证明：(n+1)×(n2−n+1)−1，
=n3−n2+n+n2−n+1−1
=n3+(−n2+n2)+(n−n)+(1−1)
=n3．
(1)根据等式的计算规律填空即可；
(2)利用等式的计算规律写出猜想，再运用整式的计算证明即可．
本题考查了多项式乘多项式，解题关键是能够根据给出的等式发现规律，能够熟练运用多项式的乘法法则进行准确计算．
20.【答案】解：∵(x−15)2=169，(y−1)3=−0.125，
∴x−15=±13，y−1=−0.5，
∴x=28或x=2，y=0.5，
当x=28，y=0.5时，原式= 28− 2×28×0.5−32×0.5−28=2 7−2 7+3=3；
当x=2，y=0.5时，原式= 2− 2×2×0.5−32×0.5−2= 2− 2+1=1．
【解析】先根据平方根及立方根的定义求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
21.【答案】2 2 3 (5,14)
【解析】解：(1)∵22=4，
∴(2,4)=2；
∵52=25，
∴(5,25)=2；
∵33=27，
∴(3,27)=3；
故答案为：2，2，3．
(2)设(5,2)=x，(5,7)=y，
则5x=2，5y=7，
∴5x+y=5x⋅5y=14，
∴(5,14)=x+y，
∴(5,2)+(5,7)=(5,14)．
故答案为：(5,14)；
(3)∵(3,5)=a，(3,6)=b，(3,30)=c，
∴3a=5，3b=6，3c=30，
∴3a×3b=30，
∴3a×3b=3c，
∴a+b=c．
(1)根据上述规定即可得到结论；
(2)设(5,2)=x，(5,7)=y，根据同底数幂的乘法法则即可求解；
(3)根据新定义可得3a×3b=3c，由此可得答案．
本题考查了幂的乘方和积的乘方法则、有理数的混合运算，熟练掌握这些法则是解决此题的关键．
22.【答案】4 1≤a≤6
【解析】解：(1)原式=|a−3|+|a−7|，
∵3≤a≤7，
∴原式=(a−3)+(7−a)=4；
(2)当1≤a≤6时， (a−1)2+ (a−6)2=5；
故答案为4；1≤a≤6；
(3)原式=|a+1|+|a−3|，
当a<−1时，原式=−(a+1)+(3−a)=2−2a=6，解得a=−2；
当−1≤a<3时，原式=(a+1)+(3−a)=4，等式不成立；
当a≥3时，原式=(a+1)+(a−3)=2a−2=6，解得a=4；
所以，a的值为−2或4．
(1)利用二次函数的性质得到原式=|a−3|+|a−7|，然后根据a的范围去绝对值后合并即可；
(2)利用题中的分类讨论的方法求解；
(3)先根据二次根式的性质得到原式=|a+1|+|a−3|，再分a<−1或当−1≤a<3或a≥3时进行讨论，去绝对值后分别解方程确定满足条件的a的值．
本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的基本性质： a≥0，a≥0；( a)2=a(a≥0)； a2=|a|．
23.【答案】12
【解析】解：(1)a2+b2−8a−6b+25=0
等式可变形为(a2−8a+16)+(b2−6b+9)=0，
即(a−4)2+(b−3)2=0，
∵(a−4)2≥0，(b−3)2≥0，
∴a−4=0，b−3=0，
∴a=4，b=3，
长方形ABCD的面积为3×4=12；
故答案为：12．
(2)a2+4b2+4ab−4a−8b+7，
原式可变形为(a2+4ab+4b2)−(4a+8b)+7，
(a+2b)2−4(a+2b)+4+3，
即(a+2b−2)2+3，
∵(a+2b−2)2≥0，
∴当a+2b−2=0时，代数式a2+4b2+4ab−4a−8b+7有最小值，最小值为3．
(3)2x2+2x−3−(x2+3x−4)，
=2x2+2x−3−x2−3x+4，
=x2−x+1，
=(x−12)2+34>0，
所以，2x2+2x−3大于x2+3x−4．
(1)利用“配方法”求出a，b的值即可；
(2)把代数式利用“配方法”变形，再根据非负数的性质求解即可；
(3)先求两个多项式的差，再用“配方法”比较大小即可．
本题考查了整式的运算和配方法，解题关键是熟练运用配方法对整式进行变形，利用非负数的性质求解．
2022-2023学年安徽省淮北市五校联考七年级（下）月考数学试卷（三）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. − 3的相反数是( )
A. 3 B. − 3 C. 1 3 D. 3
2. 已知a>b，则下列各式中一定成立的是( )
A. a−b<0 B. a3>b3 C. ac2>bc2 D. 2a−1<2b−1
3. 分式3x−1有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠1 B. x≠3 C. x≠1且x≠0 D. x≠1且x≠3
4. 下列计算的结果是a5的是( )
A. a2⋅a3 B. (a2)3 C. a10÷a2 D. a6−a
5. 不等式x−1≥2x的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 若a< 8
7. 下列整式乘法能够运用完全平方公式计算的是( )
A. (a−b)(a+b) B. −(a+b)(b−a) C. (a+b)(b−a) D. (a−b)(b−a)
8. “某学校改造过程中整修门口1500m的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路xm，可得方程1500x−5−1500x=10，则题目中用“……”表示的条件应是( )
A. 每天比原计划多修5m，结果延期10天完成
B. 每天比原计划多修5m，结果提前10天完成
C. 每天比原计划少修5m，结果延期10天完成
D. 每天比原计划少修5m，结果提前10天完成
9. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是( )
A. 285 B. 330 C. 512 D. 582
10. 若关于x的不等式组3x−a>2(1−x)x−12≥x+23−1的解集为x≥1，关于y的分式方程yy+1+ay−1=1有整数解，则满足条件的整数a的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 实数−64的立方根是______ ．
12. 已知关于x、y的二元一次方程组x+2y=2m+12x+y=m+2的解满足x−y>2，则m的最大整数值为m= ．
13. 若关于x的分式方程x+5x−3=2−m3−x有增根，则常数m的值是______ ．
14. 若一个整数能表示成a2+b2(a、b是正整数)的形式，则称这个数为“丰利数”.例如，2是“丰利数”，因为2=12+12，再如，M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x+y,y是正整数)，所以M也是“丰利数”．
(1)11 ______ “丰利数”(“是”或“不是”)；
(2)若p=4x2+mxy+2y2−10y+25(其中x>y>0)是“丰利数”，则m= ______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
15. 学校准备为“中国古诗词”朗诵比赛购买奖品．已知在中央商场购买3个甲种奖品和2个乙种奖品共需120元；购买5个甲种奖品和4个乙种奖品共需210元．
(1)求甲、乙两种奖品的单价；
(2)学校计划购买甲、乙两种奖品共80个，且此次购买奖品的费用不超过1500元．正逢中央商场促销，所有商品一律八折销售，求学校在中央商场最多能购买多少个甲种奖品？
四、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式：2−x3+2>x−x−22．
17. (本小题8.0分)
计算：(−1)2023+(12)−1−(2023−π)0−( 5+ 3)( 5− 3)．
18. (本小题8.0分)
先化简，再求值，m2+6m+9m−2÷(m+2+3m+4m−2)，其中m满足：m2−4=0．
19. (本小题8.0分)
观察下列等式：
第1个等式：2×(12−1+1)−1=13；
第2个等式：3×(22−2+1)−1=23；
第3个等式：4×(32−3+1)−1=33；
第4个等式：5×(42−4+1)−1=43；
第5个等式：6×(52−5+1)−1=53；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：______ ；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明．
20. (本小题10.0分)
已知(x−15)2=169，(y−1)3=−0.125，求 x− 2xy−32y−x的值．
21. (本小题12.0分)
规定两数a，b之间的一种运算，记作(a,b)，如果ac=b，那么(a,b)=c.我们叫(a,b)为“雅对”．
例如：∵23=8，∴(2,8)=3.我们还可以利用“雅对”定义证明等式(3,3)+(3,5)=(3,15)成立.证明如下：
设(3,3)=m，(3,5)=n，则3m=3，3n=5．
∴3m⋅3n=3m+n=3×5=15．
∴(3,15)=m+n，即(3,3)+(3,5)=(3,15)．
(1)根据上述规定，填空：(2,4)= ______ ；(5,25)= ______ ；(3,27)= ______ ．
(2)计算：(5,2)+(5,7)= ______ ，并说明理由．
(3)记(3,5)=a，(3,6)=b，(3,30)=c.求证：a+b=c．
22. (本小题12.0分)
阅读下列解题过程：
例：若代数式 (2−a)2+ (a−4)2=2，求a的取值．
解：原式=|a−2|+|a−4|，
当a<2时，原式=(2−a)+(4−a)=6−2a=2，解得a=2(舍去)；
当2≤a<4时，原式=(a−2)+(4−a)=2，等式恒成立；
当a≥4时，原式=(a−2)+(a−4)=2a−6=2，解得a=4；
所以，a的取值范围是2≤a≤4．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当3≤a≤7时，化简： (3−a)2+ (a−7)2= ______ ；
(2)请直接写出满足 (a−1)2+ (a−6)2=5的a的取值范围______ ；
(3)若 (a+1)2+ (a−3)2=6，求a的取值．
23. (本小题14.0分)
先阅读，后解题．
已知m2+2m+n2−6n+10=0，求m和n的值．
解：等式可变形为(m2+2m+1)+(n2−6n+9)=0．
即(m+1)2+(n−3)2=0．
∵(m+1)2≥0，(n−3)2≥0，
∴m+1=0，n−3=0，
∴m=−1，n=3．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫作“配方法”．
请你利用配方法，解决下列问题：
(1)已知a，b是长方形ABCD的长与宽，满足a2+b2−8a−6b+25=0，则长方形ABCD的面积是______ ；
(2)求代数式a2+4b2+4ab−4a−8b+7的最小值，并求出此时a，b满足的数量关系；
(3)请比较多项式x2+3x−4与2x2+2x−3的大小，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：− 3的相反数是 3．
故选：A．
根据相反数的定义进行解答即可．
本题主要考查相反数，解题的关键是熟知相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数．
2.【答案】B
【解析】解：∵a>b，
∴a−b>0，
故A不符合题意；
∵a>b，
∴a3>b3，
故B符合题意；
当c=0时，ac2=bc2，
故C不符合题意；
∵a>b，
∴2a>2b，
∴2a−1>2b−1，
故D不符合题意，
故选：B．
根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，分别判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵分式3x−1有意义，
∴x−1≠0，
∴x≠1．
故选：A．
根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故本选项符合题意；
B、(a2)3=a6，故本选项不合题意；
C、a10÷a2=a8，故本选项不合题意；
D、a6和a不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
故选：A．
结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘除法运算，然后选择正确选项．
本题考查了幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法和除法，掌握幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法和除法的运算法则是关键．
5.【答案】B
【解析】解：x−1≥2x，
移项得：x−2x≥1，
合并同类项得：−x≥1，
解得：x≤−1，
把不等式的解集在数轴上表示为：
故选：B．
先移项，再合并同类项，求出不等式的解集，即可求解．
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，解题关键是抓住不等式的解集在数轴上表示出来大于或大于等于向右画；小于或小于等于向左画；注意在表示解集时大于等于，小于等于要用实心圆点表示；大于、小于要用空心圆点表示．
6.【答案】C
【解析】解：∵4<8<9，
∴2< 8<3，
又∵a< 8
∴ba=32=9．
故选：C．
由被开方数8的范围确定出 8的范围，进而求出a与b的值，再把a与b的值代入ba，根据有理数的乘方法则，计算即可得到结果．
本题考查了估算无理数的大小、有理数的乘方，解本题的关键在正确得出a与b的值．
7.【答案】D
【解析】解：A、(a−b)(a+b)=a2−b2，能用平方差公式，故此选项不符合题意；
B、−(a+b)(b−a)=(a+b)(a−b)=a2−b2，能用平方差公式，故此选项不符合题意；
C、(a+b)(b−a)=b2−a2，能用平方差公式，故此选项不符合题意；
D、(a−b)(b−a)=−(a−b)(a−b)=−(a2−2ab+b2)=−a2+2ab−b2，能用完全平方公式，故此选项符合题意；
故选：D．
利用完全平方公式判断即可．
本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解本题的关键．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
由x代表的含义找出(x−5)代表的含义，再分析所列方程选用的等量关系，即可找出结论．
本题考查了分式方程的应用，根据所列分式方程，找出选用的等量关系是解题的关键．
【解答】
解：设实际每天整修道路xm，则(x−5)m表示：实际施工时，每天比原计划多修5m，
∵方程1500x−5−1500x=10，其中1500x−5表示原计划施工所需时间，1500x表示实际施工所需时间，
∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前10天完成．
故选：B．
9.【答案】C
【解析】解：∵一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”，
∴设“幸福数”为(2n+1)2−(2n−1)2(n为整数)，
∵(2n+1)2−(2n−1)2=8n，
∴“幸福数”是8的倍数，
观察各选项，是8的倍数的只有512，
故选：C．
根据一个数等于两个连续奇数的平方差，用字母表示“幸福数”，可知“幸福数”是8的倍数，即可得到答案．
本题考查因式分解的应用，涉及新定义，解题的关键掌握平方差公式分解因式．
10.【答案】B
【解析】解：解不等式：3x−a>2(1−x)，得：x>2+a5，
解不等式：x−12≥x+23−1，得：x≥1，
∵不等式组的解集为x≥1，
∴2+a5<1，即：a<3，
解关于y的分式方程yy+1+ay−1=1，
得y=−a+1a−1=−a−1+2a−1=−(1+2a−1)=−1−2a−1，
∵分式方程的解为整数解，
∴2a−1为整数，且−a+1a−1≠±1，a−1≠0，即a≠0，a≠1，
∴所有满足条件的整数a的值有：2，−1，共2个．
故选：B．
先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集求出a的取值范围，再由分式方程的解求出a的范围，得到两个a的范围必须同时满足，即求得可得到的整数a的值．
本题考查了解一元一次不等式组及应用，解分式方程，掌握分式方程的解法是关键．
11.【答案】−4
【解析】解：∵(−4)3=−64，
∴3−64=−4，
故答案为：−4．
根据立方根的意义求解．
本题考查了立方根，理解立方根的意义是解题的关键．
12.【答案】−2
【解析】解：x+2y=2m+1①2x+y=m+2②，
由②−①得：x−y=1−m，
∵x−y>2，
∴1−m>2，
∴m<−1，
m的最大整数值为−2．
故答案为：−2．
②−①，得x−y=1−m，根据x−y>2得出关于m的不等式，求得最大整数解即可求解．
本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
13.【答案】8
【解析】解：去分母，得：x+5=2(x−3)+m，
由分式方程有增根，得到x−3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程，可得：m=8．
故答案为：8．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x−3=0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
本题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：(1)化分式方程为整式方程；(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14.【答案】不是 ±4
【解析】解：(1)11无法表示为a2+b2或(x+y)2+y2的形式，故11不是“丰利数”，
故答案为：不是；
(2)p=4x2+mxy+2y2−10y+25
=(4x2+mxy+y2)+(y2−10y+25)
=(4x2+mxy+y2)+(y−5)2．
∵p=4x2+mxy+2y2−10y+25(其中x>y>0)是“丰利数”，
∴m=±2×2×1=±4．
故答案为：±4．
(1)根据定义判断即可；
(2)将p分解因式即可求解．
此题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念“丰利数”是解题的关键．
15.【答案】解：(1)设甲的单价为种奖品x元，乙种奖品的单价为y元．
根据题意，得3x+2y=1205x+4y=210，
解得x=30y=15，
答：甲种奖品的单价为30元，乙种奖品的单价15元；
(2)设学校购买a个甲种奖品，则购买(80−a)个乙种奖品，
根据题意，得0.8×[30a+15(80−a)]≤1500，
解得a≤45，
∴学校最多能购买45个甲种奖品．
答：学校在中央商场最多能购买45个甲种奖品．
【解析】(1)设甲的单价为种奖品x元，乙种奖品的单价为y元，由题意列出二元一次方程组，可得出答案；
(2)设学校购买a个甲种奖品，则购买(80−a)个乙种奖品，根据题意列出不等式，解不等式即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
16.【答案】解：2−x3+2>x−x−22，
2(2−x)+12>6x−3(x−2)，
4−2x+12>6x−3x+6，
−2x−6x+3x>6−4−12，
−5x>−10，
x<2．
【解析】按照解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
17.【答案】解：(−1)2023+(12)−1−(2023−π)0−( 5+ 3)( 5− 3)
=−1+2−1−(5−3)
=−2．
【解析】先分别计算乘方，负指数幂、零次幂及平方差公式计算，再计算加减法．
此题考查了实数的混合运算，正确掌握乘方的计算法则，负整数指数幂，零次幂法则，平方差公式是解题的关键．
18.【答案】解：原式=(m+3)2m−2÷m2+3mm−2
=(m+3)2m−2⋅m−2m(m+3)
=m+3m，
∵m2−4=0且m≠2，
∴m=−2，
则原式=−2+3−2=−12．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再求出符合条件的m的值，从而代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19.【答案】7×(62−6+1)−1=63
【解析】(1)解：因为第1个等式：2×(12−1+1)−1=13；
第2个等式：3×(22−2+1)−1=23；
第3个等式：4×(32−3+1)−1=33；
第4个等式：5×(42−4+1)−1=43；
第5个等式：6×(52−5+1)−1=53；
…
第n个等式：就是n的平方与n的差再加上1的和乘以(n+1)，再减去1等于n的立方，
第6个等式为7×(62−6+1)−1=63，
故答案为：7×(62−6+1)−1=63；
(2)解：由(1)可知，第n个等式为(n+1)×(n2−n+1)−1=n3；
证明：(n+1)×(n2−n+1)−1，
=n3−n2+n+n2−n+1−1
=n3+(−n2+n2)+(n−n)+(1−1)
=n3．
(1)根据等式的计算规律填空即可；
(2)利用等式的计算规律写出猜想，再运用整式的计算证明即可．
本题考查了多项式乘多项式，解题关键是能够根据给出的等式发现规律，能够熟练运用多项式的乘法法则进行准确计算．
20.【答案】解：∵(x−15)2=169，(y−1)3=−0.125，
∴x−15=±13，y−1=−0.5，
∴x=28或x=2，y=0.5，
当x=28，y=0.5时，原式= 28− 2×28×0.5−32×0.5−28=2 7−2 7+3=3；
当x=2，y=0.5时，原式= 2− 2×2×0.5−32×0.5−2= 2− 2+1=1．
【解析】先根据平方根及立方根的定义求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
21.【答案】2 2 3 (5,14)
【解析】解：(1)∵22=4，
∴(2,4)=2；
∵52=25，
∴(5,25)=2；
∵33=27，
∴(3,27)=3；
故答案为：2，2，3．
(2)设(5,2)=x，(5,7)=y，
则5x=2，5y=7，
∴5x+y=5x⋅5y=14，
∴(5,14)=x+y，
∴(5,2)+(5,7)=(5,14)．
故答案为：(5,14)；
(3)∵(3,5)=a，(3,6)=b，(3,30)=c，
∴3a=5，3b=6，3c=30，
∴3a×3b=30，
∴3a×3b=3c，
∴a+b=c．
(1)根据上述规定即可得到结论；
(2)设(5,2)=x，(5,7)=y，根据同底数幂的乘法法则即可求解；
(3)根据新定义可得3a×3b=3c，由此可得答案．
本题考查了幂的乘方和积的乘方法则、有理数的混合运算，熟练掌握这些法则是解决此题的关键．
22.【答案】4 1≤a≤6
【解析】解：(1)原式=|a−3|+|a−7|，
∵3≤a≤7，
∴原式=(a−3)+(7−a)=4；
(2)当1≤a≤6时， (a−1)2+ (a−6)2=5；
故答案为4；1≤a≤6；
(3)原式=|a+1|+|a−3|，
当a<−1时，原式=−(a+1)+(3−a)=2−2a=6，解得a=−2；
当−1≤a<3时，原式=(a+1)+(3−a)=4，等式不成立；
当a≥3时，原式=(a+1)+(a−3)=2a−2=6，解得a=4；
所以，a的值为−2或4．
(1)利用二次函数的性质得到原式=|a−3|+|a−7|，然后根据a的范围去绝对值后合并即可；
(2)利用题中的分类讨论的方法求解；
(3)先根据二次根式的性质得到原式=|a+1|+|a−3|，再分a<−1或当−1≤a<3或a≥3时进行讨论，去绝对值后分别解方程确定满足条件的a的值．
本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的基本性质： a≥0，a≥0；( a)2=a(a≥0)； a2=|a|．
23.【答案】12
【解析】解：(1)a2+b2−8a−6b+25=0
等式可变形为(a2−8a+16)+(b2−6b+9)=0，
即(a−4)2+(b−3)2=0，
∵(a−4)2≥0，(b−3)2≥0，
∴a−4=0，b−3=0，
∴a=4，b=3，
长方形ABCD的面积为3×4=12；
故答案为：12．
(2)a2+4b2+4ab−4a−8b+7，
原式可变形为(a2+4ab+4b2)−(4a+8b)+7，
(a+2b)2−4(a+2b)+4+3，
即(a+2b−2)2+3，
∵(a+2b−2)2≥0，
∴当a+2b−2=0时，代数式a2+4b2+4ab−4a−8b+7有最小值，最小值为3．
(3)2x2+2x−3−(x2+3x−4)，
=2x2+2x−3−x2−3x+4，
=x2−x+1，
=(x−12)2+34>0，
所以，2x2+2x−3大于x2+3x−4．
(1)利用“配方法”求出a，b的值即可；
(2)把代数式利用“配方法”变形，再根据非负数的性质求解即可；
(3)先求两个多项式的差，再用“配方法”比较大小即可．
本题考查了整式的运算和配方法，解题关键是熟练运用配方法对整式进行变形，利用非负数的性质求解．
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