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2023年浙江省杭州市滨江区中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年浙江省杭州市滨江区中考数学二模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省杭州市滨江区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算下列各式，值最大的是( )
A. 1−(−2) B. 1+(−2) C. 1×(−2) D. 1÷(−2)
2. 如图，直线a//b，∠1=60°，∠2=100°，则∠3=( )
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 80°
3. 下列计算结果正确的是( )
A. (−x)2=−x2y2 B. (2x2)3=2x6 C. x2⋅x3=x5 D. 2x2+3x3=5x5
4. 已知⊙O的直径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
5. 设a，b，m均为实数，则下列说法正确的是( )
A. 若a>b，则a+m>b−m B. 若a=b，则ma=mb
C. 若a+m>b−m，则a>b D. 若ma=mb，则a=b
6. 一次生活常识竞赛共有20题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分.小滨有1题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则( )
A. 95−7x>80 B. 5(19−x)−2x≥80
C. 100−7x>80 D. 5(20−x)−2x≥80
7. 在平面直角坐标系中，已知函数y=ax+a−1(a≠0)的图象经过点P(1,2)，则该函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
8. 某校组织450名学生参加测试，随机抽取30人的成绩，得到如下频数分布表，下列说法正确的是( )
分组
频数
20
40
60
80
100
①该组数据的中位数为90分．
②该组数据的众数在100
9. 如图，点E，F、G分别是正方形ABCD边AB，CD，DA上的点，且EG=GF，∠EGF=90°.连结EF并延长，交AD的延长线于点M，设∠M=a，则DGDF=( )
A. 1−sinα1+sinα B. 1+sinα1−sinα C. 1−tanα1−tanα D. 1+tanα1−tanα
10. 已知点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设AB=a2+a+4，AC=na，BC=2na+1，其中n，a是常数，( )
A. 若0
11. 4=______．
12. 因式分解：xy2−4x=______．
13. 一个仅装有球的不透明布袋里共有5个球(只有颜色不同)，其中3个球红色，2个球白色.从中任意摸出一个球，摸到球的颜色是红色的概率为______ ．
14. 已知a为实数，且满足 a⋅(a−1)≤0.若b=a+2，则b的最大值是______ ．
15. 一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，截面如图.若矩形的高为2m，宽为23 3m.则在截面上应处理的墙体的面积为______ m.(结果保留根号)
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为BC上一点，且BD=1.将△ABD沿直线AD折叠，使点B落在△ACD所在平面内的点E处，连结CE，则sin∠BAD= ______ ；CE= ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
小滨给出了猜想和证明，请判断是否正确，若有错误请给出正确解答．
猜想：(10a+5)2=100a(a+1)+25．
证明：(10a+5)2=100a(a+1)+25，
所以10a2+100a+5=100a2+100a+25．
所以10a2=100a2
因为a≠0，
所以10a2≠100a2
所以等式不成立，结论错误．
18. (本小题8.0分)
某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，最终得分高者录用，测试成绩如下表．
学历
经验
能力
态度
甲
8
6
8
7
乙
7
9
9
5
(1)若将四项得分的平均数作为最终得分，谁将被录用？
(2)该公司的管理层经过讨论，有以下两种赋分方式：
A：“态度”重要，四项得分的比例为1：1：1：2．
B：“能力”重要，四项得分的比例为1：1：2：1．
你会选择A还是B？根据你选择的这种赋分方式，通过计算确定录用者．
19. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．
(1)若∠C=32°，求∠A的度数．
(2)画∠ABC的平分线BD交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E.若AB=3，BC=4，求DE的长.(画图工具不限)
20. (本小题10.0分)
设函数，函数y1=k1x，y2=k2x+b(k1,k2,b是常数，k1≠0，k2≠0)．
(1)若函数y1和函数y2的图象交于点A(2,6)，点B(4,n−2)，
①求b，n的值．
②当y1>y2时，直接写出x的取值范围．
(2)若点C(8,m)在函数y1的图象上，点C先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求m的值．
21. (本小题10.0分)
如图，小滨试用尺规作图的方法在给定的平行四边形ABCD中作菱形.以点AC为圆心，以适当长为半径画弧，交于两点，连结两点的直线交BC，AC，AD于点E，O，F．
(1)根据作图痕迹，判断四边形AECF是否是菱形，并说明理由．
(2)若∠B=60°，BA=2，BC=4，求四边形AECF的面积．
22. (本小题12.0分)
二次函数y=ax2+bx−1(a,b为常数，a≠0)的图象经过点A(1,2)，
(1)求该二次函数图象的对称轴(结果用含a的代数式表示)．
(2)若该函数图象经过点B(3,2)，
①求函数的表达式，并求该函数的最值．
②设M(x1,y1)，N(x2,y2)是该二次函数图象上两点，其中x1，x2是实数.若x1−x2=1，求证：y1+y2≤112．
23. (本小题12.0分)
如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连结BG．
(1)求：△ABG∽△AFC．
(2)已AB=a，AC=AF=b，设∠C=α．
①若BG=AF，a=2，求b的值．
②求证：ba=1−4cos2α，
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：1−(−2)=1+2=3，
1+(−2)=−1，
1×(−2)=−2，
1÷(−2)=−12，
由上可得，1−(−2)的值最大，
故选：A．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵a//b，
∴∠1=∠4，
∵∠2是三角形的外角，∠1=60°，∠2=100°，
∴∠3=∠2−∠1=100°−60=40°，
故选：B．
根据平行线的性质可得∠1=∠4=60°，再根据∠2是三角形的外角，求得∠3．
本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、(−x)2=x2，故A不符合题意；
B、(2x2)3=8x6，故B不符合题意；
C、x2⋅x3=x5，故C符合题意；
D、2x2与3x3不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：C．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】B
【解析】解：∵⊙O的直径为4，
∴⊙O的半径为2，
∵点O到直线l的距离为2，
∴d=r
∴l与⊙O的位置关系相切．
故选：B．
根据直线与圆的位置关系判定方法，假设圆心到直线的距离为d，当d>r，直线与圆相离，当d=r，直线与圆相切，当d
5.【答案】B
【解析】解：A、若a>b，则其两边同时加上或减去m，不等式仍成立，所以a+m>b−m不一定成立，不符合题意；
B、若a=b，则其两边同时乘以m，该等式仍成立，即ma=mb，符合题意；
C、若a+m>b−m，则其两边同时加上或减去m，不等式仍成立，所以a>b不一定成立，不符合题意；
D、当m=0时，不等式a=b不一定成立，不符合题意．
故选：B．
根据不等式的性质和等式的性质进行分析判断．
本题主要考查了不等式的性质和等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以(或除以)含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
6.【答案】B
【解析】解：设小聪答错了x道题，则答对了20−1−x=(19−x)道题，
依题意得：5(19−x)−2x≥80．
故选：B．
设小聪答错了x道题，则答对了20−1−x=(19−x)道题，根据总分=5×答对题目数−2×答错题目数，结合小聪竞赛成绩不低于80分，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵函数y=ax+a−1(a≠0)的图象过点P(1,2)，
∴2=a+a−1，解得a=32，
∴y=32x+12，
∴直线交y轴的正半轴于点(0,12)，且过点(1,2)，
故选：A．
利用待定系数法求解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可知，
①该组数据的中位数在100
故选：B．
分别根据中位数、众数、加权平均数的定义逐一判定即可．
本题主要考查频数分布表、中位数、众数以及加权平均数，解题的关键是根据表格得出解题所需数据．
9.【答案】D
【解析】解：∵EG=GF，∠EGF=90°，
∴∠GFE=∠GEF=45°，
∴∠M+∠DGF=45°，
即α+∠DGF=45°，
∴∠DGF=45°−α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDG=90°，
∴tan∠DGF=DFDG=tan(45°−α)=tan45°−tanα1+tan45∘⋅tanα=1−tanα1+tanα，
∴DGDF=1DFDG=1+tanα1−tanα，
故选：D．
根据直角三角形的三角函数得出tan∠DGF，进而利用正方形的性质解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和解直角三角形解答．
10.【答案】D
【解析】解：当点A在点B，C之间时，BC=BA+AC恒成立，即方程至少有一解，
(2na+1)=(a2+a+4)+(na)，
化简得a2+(1−n)a+3=0，
Δ=(1−n)2−12．
若0≤n≤1，则Δ(1−n)2−12<0，不符合条件，故A选项错误；
若2
(a2+a+4)=(2na+1)+(na)，
化简得a2+(1−3n)a+3=0，
Δ=(1−3n)2−12．
若00，符合条件，故D选项正确；
故选：D．
根据点A，B，C是直线上互不重合的三个点，设当点A在点B，C之间时，BC=BA+AC恒成立；设点C在点A，B之间时，AB=AC+CB恒成立；分别代入求解即可．
本题考查了线段的和与差，一元二次方程根的判定，依据题意，列方程，结合选项进行验证是解题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2，即 4=2．
故答案为：2．
利用算术平方根定义计算即可求出值．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
12.【答案】x(y+2)(y−2)
【解析】解：xy2−4x，
=x(y2−4)，
=x(y+2)(y−2)．
先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．
13.【答案】35
【解析】解：∵3个球红色，2个球白色，共5个球，
∴从中任意摸出一个球，摸到球的颜色是红色的概率为35．
故答案为：35．
让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】3
【解析】解：∵ a⋅(a−1)≤0，
又∵ a≥0，
∴a−1≤0，
∴a≤1，
∵b=a+2，
∵1>0，
∴b随a的增大而增大，
即a=1时，b最大，
此时b的最大值是3，
故答案为：3．
先确定 a为非负数，继而得出a−1≤0，求出a的取值范围，然后根据一次函数的增减性确定b的最大值即可．
本题考查最值的求法，运用一次函数的增减性求最值，属于基础题．
15.【答案】(109π− 3)
【解析】解：如图，连接AD、BC交于O，
∵∠BDC=90°，
∴BC是直径，∴BC= BD2+CD2= 22+(2 33)2=4 33，
∴OA=OB=AB=2 33，∴△AOB是正三角形，
∴∠AOB=60°，∠AOC=120°，
∴S△AOB= 33，S△AOC= 33，
∴S=2(S扇形OAC−S△AOC)+S扇形OAB−S△AOB
=2[120⋅π×(2 33)2360− 33]+[60⋅π×(2 33)2360− 33]
=109π− 3，
∴打掉墙体面积为(109π− 3)平方米，
故答案为：(109π− 3).
先证得BC是直径，在直角三角形BCD中，由BD与CD的长，利用勾股定理求出BC的长，即可求得半径；打掉墙体的面积=2(S扇形OAC−S△AOC)+S扇形OAB−S△AOB，根据扇形的面积和三角形的面积求出即可．
本题考查了圆周角定理和垂径定理，扇形和三角形的面积，矩形的性质，关键是理解阴影部分的面积是由哪几部分图形组成的，然后利用公式求值．
16.【答案】2 525 655
【解析】解：如图：
，
过点D作DF⊥AB，垂足为F，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= 32+42=5，
∵BD=1，
∴CD=BC−BD=2，
∵∠ACB=90°，
∴AC2+CD2=AD2，
∴AD= 42+22=2 5，
∵sinB=ACAB=45，
∴sinB=DFBD=45
∵BD=1，
∴DF=45，
∴sin∠1=DFAD=452 5=2 525，
∴sin∠BAD=2 525．
过点D作DG//AE，交AB于点G，AE与CD交于点M，过点E作EN⊥AC于点N．
由折叠可得∠2=∠1，AE=AB=5．
∵DG//AE，
∴∠2=∠3，∠BGD=∠BAM，
∴∠3=∠1，
∴AG=GD，
∵DG//AE，
∴BDDM=BGAG，
∴BDDM=BGGD，
∵∠BGD=∠BAM，∠B=∠B，
∴△BGD∽△BAM，
∴BGBA=GDAM，
∴BGGD=ABAM，
∴BDDM=ABAM．
设CM=x，则DM=CD−CM=2−x，AM= AC2+CM2= 16+x2
∴12−x=5 16+x2，
∴x1=76，x2=3，
经检验x2=3不是方程12−x=5 16+x2的解，所以舍去．
∴x=76，
∴CM=76，AM=256，
∴sin∠4=CMAM=725，cos∠4=ACAM=2425，
∴sin∠4=ENAE=725，cos∠4=ANAE=2425，
∴EN=75，AN=245，
∴CN=AN−AC=45，
∴CE= EN2+CN2= 655．
故答案为：sin∠BAD=2 525，CE= 655．
先由勾股定理求出AB=5，构造Rt△BFD，由sinB作为中间量，可求DF的值，进而求出sin∠BAD；
由翻折和由平行证AG=DG，再证△BGD∽△BAM，从而得出方程，求出CM的值，再结合锐角三角函数求出CE的值．
本题主要考查了学生三角函数的相关知识、勾股定理的知识、相似三角形的知识、翻折的知识，难度较大．
17.【答案】解：证明错误，
(10a+5)2
=100a2+100a+25
=100a(a+1)+25
=右边，
故猜想成立．
【解析】利用完全平方公式对等式左边式子进行整理，再与等式右边式子对比即可．
本题主要考查完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18.【答案】解：(1)甲：(8+6+8+7)÷4=7.25，
乙：(7+9+9+5)÷4=7.5，
∵7.25<7.5，
∴乙将被录用；
(2)选择A：(答案不唯一)
甲：(8+6+8+7×2)÷5=7.2，
乙：(7+9+9+5×2)÷5=7，
∵7.2>7，
∴甲将被录用．
【解析】(1)根据算术平均数的公式列出算式计算即可求解；
(2)先选择相应的赋分方式，通过加权平均数的公式计算确定录用者．
本题考查了算术平均数和加权平均数的计算与运用，熟练掌握平均数的计算是解题的关键．
19.【答案】解：(1)由题意得，∠A=90°−∠C．
∵∠C=32°，
∴∠A=90°−32°=58°．
即∠A=58°．
(2)如图，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°．
又∠ABC=90°，
∴∠AED=∠ABC．
∴ED//BC．
∴△AED∽△ABC．
∴AEAB=EDBC．
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=12∠ABC=45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠EBD=∠EDB=45°．
∴EB=ED．
设ED=x，
∴EB=ED=x．
∴AE=AB−ED=3−x．
∴3−x3=x4．
∴x=127．
∴DE=127．
【解析】(1)依据题意，根据直角三角形的两个锐角互余，可求∠A的度数．
(2)依据题意，利用△AED∽△ABC得AEAB=EDBC，由BD平分∠ABC，DE⊥AB可得ED=EB，设ED=x，由比例式可得方程，进而得解．
本题考查了角平分线的定义与性质、相似三角形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用．
20.【答案】解：(1)①∵函数y1和函数y2的图象交于点A(2,6)，点B(4,n−2)，
∴k1=2×6=4(n−2)，
∴k1=12，n=5，
∴B(4,3)，
把A、B的坐标代入y2=k2x+b得2k2+b=64k2+b=3，
解得k2=−32b=9，
故n的值为5，b的值为9；
②当y1>y2时，x的取值范围是04；
(2)点C(8,m)先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D(5,m−1)，
∵点C(8,m)在函数y1的图象上，点D恰好落在函数y1的图象上，
∴8m=5(m−1)，
∴m=−53．
【解析】(1)①利用反比例函数图象上点的坐标特征得到n=5，然后利用待定系数法即可求得b；
②根据函数的性质即可得到结论；
(2)求得D点的坐标为(5,m−1)，由点C(8,m)在函数y1的图象上，点D恰好落在函数y1的图象上，得到8m=5(m−1)，解方程即可．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，熟练掌握待定系数法以及正确表示D的坐标是解题的关键．
21.【答案】解：(1)四边形AECF是菱形．理由如下：
由作法得EF垂直平分AC，
∴OA=OC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中，
∠FAO=∠ECOOA=OC∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴OF=OE，
∴AC和EF互相垂直平分，
∴四边形AECF为菱形；
(2)过A点作AH⊥BC于H点，如图，
在Rt△ABH中，
∵∠B=60°，
∴BH=12AB=1，
∴AH= 3BH= 3，CH=BC−BH=3，
∵四边形AECF为菱形，
∴AE=CE，
设菱形AECF的边长为x，则AE=CE=x，HE=3−x，
在Rt△AHE中，( 3)2+(3−x)2=x2，
解得x=2，
∴四边形AECF的面积=2× 3=2 3．
【解析】(1)利用基本作图可判断EF垂直平分AC，则OA=OC，再利用平行四边形的性质和平行线的性质得到∠FAO=∠ECO，接着证明△AOF≌△COE得到OF=OE，所以AC和EF互相垂直平分，于是可判断四边形AECF为菱形；
(2)过A点作AH⊥BC于H点，如图，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到BH=1，AH= 3，再根据菱形的性质得到AE=CE，设菱形AECF的边长为x，则AE=CE=x，HE=3−x，然后在Rt△AHE中利用勾股定理得到( 3)2+(3−x)2=x2，解得x=2，最后根据菱形的面积公式求解．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和菱形的判定与性质．
22.【答案】(1)解：把A(1,2)代入y=ax2+bx−1得：
a+b−1=2，
∴b=3−a，
∴x=−b2a=−3−a2a，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=−3−a2a；
(2)解：①把B(3,2)代入y=ax2+bx−1得：
9a+3b−1=2，
由(1)知b=3−a，
∴9a+3(3−a)−1=2，
解得a=−1，
∴b=3−a=3−(−1)=4，
∴函数的表达式为y=−x2+4x−1；
∵y=−x2+4x−1=−(x−2)2+3，
∴当x=2时，函数有最大值为3；
②证明：∵x1−x2=1，
∴x2=x1−1，
∵M(x1,y1)，N(x1−1,y2)是二次函数y=−x2+4x−1图象上两点，
∴y1+y2=−x12+4x1−1−(x1−1)2+4(x1−1)−1
=−2x12+10x1−7
=−2(x1−52)2+112，
∵−2(x1−52)2≤0，
∴y1+y2≤112．
【解析】(1)把A(1,2)代入y=ax2+bx−1可得b=3−a，即得二次函数图象的对称轴为直线x=−3−a2a；
(2)①把B(3,2)代入y=ax2+bx−1得：9a+3b−1=2，结合b=3−a，可得函数的表达式为y=−x2+4x−1；配成顶点式y=−x2+4x−1=−(x−2)2+3，知函数有最大值为3；
②由x1−x2=1，得x2=x1−1，故y1+y2=−x12+4x1−1−(x1−1)2+4(x1−1)−1=−2(x1−52)2+112，即可证明结论．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出二次函数解析式．
23.【答案】(1)证明：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG=∠FAC，
又∵∠G=∠C，
∴△ABG∽△AFC；
(2)①解：由(1)知，△ABG∽△AFC，
∴ABAF=AGAC，
∵AC=AF=b，
∴AB=AG=2，
∴FG=AG−AF=2−b；
∵∠BAG=∠CAG=∠CBG，∠G=∠G，
∴△BAG∽△GBF，
∴BGAB=FGBG，即b2=2−bb，
解得b= 5−1或b=− 5−1(舍去)，
∴b的值为 5−1；
②证明：过B作BH⊥AG于H，如图：
由(1)知，△ABG∽△AFC，
∴ABAF=AGAC，
∵AC=AF=b，
∴AB=AG=a，∠AFC=∠C=α，
∴FG=AG−AF=a−b；
∵∠AFC=∠BFG，∠C=∠G，
∴∠BFG=∠G=α，
∴BF=BG，
∵BH⊥AG，
∴GH=FH=12FG=a−b2，cosα=GHBG，
∴cos2α=(a−b2)2BG2=(a−b)24BG2，
∵∠BAG=∠CAG=∠CBG，∠G=∠G，
∴△BAG∽△GBF，
∴BGAB=FGBG，即BG2=AB⋅FG，
∴BG2=a⋅(a−b)，
∴cos2α=(a−b)24BG2=(a−b)24a(a−b)=a−b4a=14−b4a，
∴ba=1−4cos2α.
【解析】(1)由AG平分∠BAC，得∠BAG=∠FAC，又∠G=∠C，即得△ABG∽△AFC；
(2)①由△ABG∽△AFC，得ABAF=AGAC，而AC=AF=b，即知AB=AG=2，FG=AG−AF=2−b；证明△BAG∽△GBF，可得b2=2−bb，解得b的值为 5−1；
②过B作BH⊥AG于H，同①可得FG=AG−AF=a−b；证明BF=BG，有GH=FH=12FG=a−b2，cosα=GHBG，cos2α=(a−b2)2BG2=(a−b)24BG2，而△BAG∽△GBF，得BG2=AB⋅FG，即BG2=a⋅(a−b)，即可证得结论．
本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理．
2023年浙江省杭州市滨江区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算下列各式，值最大的是( )
A. 1−(−2) B. 1+(−2) C. 1×(−2) D. 1÷(−2)
2. 如图，直线a//b，∠1=60°，∠2=100°，则∠3=( )
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 80°
3. 下列计算结果正确的是( )
A. (−x)2=−x2y2 B. (2x2)3=2x6 C. x2⋅x3=x5 D. 2x2+3x3=5x5
4. 已知⊙O的直径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
5. 设a，b，m均为实数，则下列说法正确的是( )
A. 若a>b，则a+m>b−m B. 若a=b，则ma=mb
C. 若a+m>b−m，则a>b D. 若ma=mb，则a=b
6. 一次生活常识竞赛共有20题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分.小滨有1题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则( )
A. 95−7x>80 B. 5(19−x)−2x≥80
C. 100−7x>80 D. 5(20−x)−2x≥80
7. 在平面直角坐标系中，已知函数y=ax+a−1(a≠0)的图象经过点P(1,2)，则该函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
8. 某校组织450名学生参加测试，随机抽取30人的成绩，得到如下频数分布表，下列说法正确的是( )
分组
频数
20
40
60
80
100
①该组数据的中位数为90分．
②该组数据的众数在100
9. 如图，点E，F、G分别是正方形ABCD边AB，CD，DA上的点，且EG=GF，∠EGF=90°.连结EF并延长，交AD的延长线于点M，设∠M=a，则DGDF=( )
A. 1−sinα1+sinα B. 1+sinα1−sinα C. 1−tanα1−tanα D. 1+tanα1−tanα
10. 已知点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设AB=a2+a+4，AC=na，BC=2na+1，其中n，a是常数，( )
A. 若0
11. 4=______．
12. 因式分解：xy2−4x=______．
13. 一个仅装有球的不透明布袋里共有5个球(只有颜色不同)，其中3个球红色，2个球白色.从中任意摸出一个球，摸到球的颜色是红色的概率为______ ．
14. 已知a为实数，且满足 a⋅(a−1)≤0.若b=a+2，则b的最大值是______ ．
15. 一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，截面如图.若矩形的高为2m，宽为23 3m.则在截面上应处理的墙体的面积为______ m.(结果保留根号)
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为BC上一点，且BD=1.将△ABD沿直线AD折叠，使点B落在△ACD所在平面内的点E处，连结CE，则sin∠BAD= ______ ；CE= ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
小滨给出了猜想和证明，请判断是否正确，若有错误请给出正确解答．
猜想：(10a+5)2=100a(a+1)+25．
证明：(10a+5)2=100a(a+1)+25，
所以10a2+100a+5=100a2+100a+25．
所以10a2=100a2
因为a≠0，
所以10a2≠100a2
所以等式不成立，结论错误．
18. (本小题8.0分)
某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，最终得分高者录用，测试成绩如下表．
学历
经验
能力
态度
甲
8
6
8
7
乙
7
9
9
5
(1)若将四项得分的平均数作为最终得分，谁将被录用？
(2)该公司的管理层经过讨论，有以下两种赋分方式：
A：“态度”重要，四项得分的比例为1：1：1：2．
B：“能力”重要，四项得分的比例为1：1：2：1．
你会选择A还是B？根据你选择的这种赋分方式，通过计算确定录用者．
19. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．
(1)若∠C=32°，求∠A的度数．
(2)画∠ABC的平分线BD交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E.若AB=3，BC=4，求DE的长.(画图工具不限)
20. (本小题10.0分)
设函数，函数y1=k1x，y2=k2x+b(k1,k2,b是常数，k1≠0，k2≠0)．
(1)若函数y1和函数y2的图象交于点A(2,6)，点B(4,n−2)，
①求b，n的值．
②当y1>y2时，直接写出x的取值范围．
(2)若点C(8,m)在函数y1的图象上，点C先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求m的值．
21. (本小题10.0分)
如图，小滨试用尺规作图的方法在给定的平行四边形ABCD中作菱形.以点AC为圆心，以适当长为半径画弧，交于两点，连结两点的直线交BC，AC，AD于点E，O，F．
(1)根据作图痕迹，判断四边形AECF是否是菱形，并说明理由．
(2)若∠B=60°，BA=2，BC=4，求四边形AECF的面积．
22. (本小题12.0分)
二次函数y=ax2+bx−1(a,b为常数，a≠0)的图象经过点A(1,2)，
(1)求该二次函数图象的对称轴(结果用含a的代数式表示)．
(2)若该函数图象经过点B(3,2)，
①求函数的表达式，并求该函数的最值．
②设M(x1,y1)，N(x2,y2)是该二次函数图象上两点，其中x1，x2是实数.若x1−x2=1，求证：y1+y2≤112．
23. (本小题12.0分)
如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连结BG．
(1)求：△ABG∽△AFC．
(2)已AB=a，AC=AF=b，设∠C=α．
①若BG=AF，a=2，求b的值．
②求证：ba=1−4cos2α，
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：1−(−2)=1+2=3，
1+(−2)=−1，
1×(−2)=−2，
1÷(−2)=−12，
由上可得，1−(−2)的值最大，
故选：A．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵a//b，
∴∠1=∠4，
∵∠2是三角形的外角，∠1=60°，∠2=100°，
∴∠3=∠2−∠1=100°−60=40°，
故选：B．
根据平行线的性质可得∠1=∠4=60°，再根据∠2是三角形的外角，求得∠3．
本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、(−x)2=x2，故A不符合题意；
B、(2x2)3=8x6，故B不符合题意；
C、x2⋅x3=x5，故C符合题意；
D、2x2与3x3不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：C．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】B
【解析】解：∵⊙O的直径为4，
∴⊙O的半径为2，
∵点O到直线l的距离为2，
∴d=r
∴l与⊙O的位置关系相切．
故选：B．
根据直线与圆的位置关系判定方法，假设圆心到直线的距离为d，当d>r，直线与圆相离，当d=r，直线与圆相切，当d
5.【答案】B
【解析】解：A、若a>b，则其两边同时加上或减去m，不等式仍成立，所以a+m>b−m不一定成立，不符合题意；
B、若a=b，则其两边同时乘以m，该等式仍成立，即ma=mb，符合题意；
C、若a+m>b−m，则其两边同时加上或减去m，不等式仍成立，所以a>b不一定成立，不符合题意；
D、当m=0时，不等式a=b不一定成立，不符合题意．
故选：B．
根据不等式的性质和等式的性质进行分析判断．
本题主要考查了不等式的性质和等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以(或除以)含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
6.【答案】B
【解析】解：设小聪答错了x道题，则答对了20−1−x=(19−x)道题，
依题意得：5(19−x)−2x≥80．
故选：B．
设小聪答错了x道题，则答对了20−1−x=(19−x)道题，根据总分=5×答对题目数−2×答错题目数，结合小聪竞赛成绩不低于80分，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵函数y=ax+a−1(a≠0)的图象过点P(1,2)，
∴2=a+a−1，解得a=32，
∴y=32x+12，
∴直线交y轴的正半轴于点(0,12)，且过点(1,2)，
故选：A．
利用待定系数法求解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可知，
①该组数据的中位数在100
故选：B．
分别根据中位数、众数、加权平均数的定义逐一判定即可．
本题主要考查频数分布表、中位数、众数以及加权平均数，解题的关键是根据表格得出解题所需数据．
9.【答案】D
【解析】解：∵EG=GF，∠EGF=90°，
∴∠GFE=∠GEF=45°，
∴∠M+∠DGF=45°，
即α+∠DGF=45°，
∴∠DGF=45°−α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDG=90°，
∴tan∠DGF=DFDG=tan(45°−α)=tan45°−tanα1+tan45∘⋅tanα=1−tanα1+tanα，
∴DGDF=1DFDG=1+tanα1−tanα，
故选：D．
根据直角三角形的三角函数得出tan∠DGF，进而利用正方形的性质解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和解直角三角形解答．
10.【答案】D
【解析】解：当点A在点B，C之间时，BC=BA+AC恒成立，即方程至少有一解，
(2na+1)=(a2+a+4)+(na)，
化简得a2+(1−n)a+3=0，
Δ=(1−n)2−12．
若0≤n≤1，则Δ(1−n)2−12<0，不符合条件，故A选项错误；
若2
(a2+a+4)=(2na+1)+(na)，
化简得a2+(1−3n)a+3=0，
Δ=(1−3n)2−12．
若0
故选：D．
根据点A，B，C是直线上互不重合的三个点，设当点A在点B，C之间时，BC=BA+AC恒成立；设点C在点A，B之间时，AB=AC+CB恒成立；分别代入求解即可．
本题考查了线段的和与差，一元二次方程根的判定，依据题意，列方程，结合选项进行验证是解题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2，即 4=2．
故答案为：2．
利用算术平方根定义计算即可求出值．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
12.【答案】x(y+2)(y−2)
【解析】解：xy2−4x，
=x(y2−4)，
=x(y+2)(y−2)．
先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．
13.【答案】35
【解析】解：∵3个球红色，2个球白色，共5个球，
∴从中任意摸出一个球，摸到球的颜色是红色的概率为35．
故答案为：35．
让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】3
【解析】解：∵ a⋅(a−1)≤0，
又∵ a≥0，
∴a−1≤0，
∴a≤1，
∵b=a+2，
∵1>0，
∴b随a的增大而增大，
即a=1时，b最大，
此时b的最大值是3，
故答案为：3．
先确定 a为非负数，继而得出a−1≤0，求出a的取值范围，然后根据一次函数的增减性确定b的最大值即可．
本题考查最值的求法，运用一次函数的增减性求最值，属于基础题．
15.【答案】(109π− 3)
【解析】解：如图，连接AD、BC交于O，
∵∠BDC=90°，
∴BC是直径，∴BC= BD2+CD2= 22+(2 33)2=4 33，
∴OA=OB=AB=2 33，∴△AOB是正三角形，
∴∠AOB=60°，∠AOC=120°，
∴S△AOB= 33，S△AOC= 33，
∴S=2(S扇形OAC−S△AOC)+S扇形OAB−S△AOB
=2[120⋅π×(2 33)2360− 33]+[60⋅π×(2 33)2360− 33]
=109π− 3，
∴打掉墙体面积为(109π− 3)平方米，
故答案为：(109π− 3).
先证得BC是直径，在直角三角形BCD中，由BD与CD的长，利用勾股定理求出BC的长，即可求得半径；打掉墙体的面积=2(S扇形OAC−S△AOC)+S扇形OAB−S△AOB，根据扇形的面积和三角形的面积求出即可．
本题考查了圆周角定理和垂径定理，扇形和三角形的面积，矩形的性质，关键是理解阴影部分的面积是由哪几部分图形组成的，然后利用公式求值．
16.【答案】2 525 655
【解析】解：如图：
，
过点D作DF⊥AB，垂足为F，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= 32+42=5，
∵BD=1，
∴CD=BC−BD=2，
∵∠ACB=90°，
∴AC2+CD2=AD2，
∴AD= 42+22=2 5，
∵sinB=ACAB=45，
∴sinB=DFBD=45
∵BD=1，
∴DF=45，
∴sin∠1=DFAD=452 5=2 525，
∴sin∠BAD=2 525．
过点D作DG//AE，交AB于点G，AE与CD交于点M，过点E作EN⊥AC于点N．
由折叠可得∠2=∠1，AE=AB=5．
∵DG//AE，
∴∠2=∠3，∠BGD=∠BAM，
∴∠3=∠1，
∴AG=GD，
∵DG//AE，
∴BDDM=BGAG，
∴BDDM=BGGD，
∵∠BGD=∠BAM，∠B=∠B，
∴△BGD∽△BAM，
∴BGBA=GDAM，
∴BGGD=ABAM，
∴BDDM=ABAM．
设CM=x，则DM=CD−CM=2−x，AM= AC2+CM2= 16+x2
∴12−x=5 16+x2，
∴x1=76，x2=3，
经检验x2=3不是方程12−x=5 16+x2的解，所以舍去．
∴x=76，
∴CM=76，AM=256，
∴sin∠4=CMAM=725，cos∠4=ACAM=2425，
∴sin∠4=ENAE=725，cos∠4=ANAE=2425，
∴EN=75，AN=245，
∴CN=AN−AC=45，
∴CE= EN2+CN2= 655．
故答案为：sin∠BAD=2 525，CE= 655．
先由勾股定理求出AB=5，构造Rt△BFD，由sinB作为中间量，可求DF的值，进而求出sin∠BAD；
由翻折和由平行证AG=DG，再证△BGD∽△BAM，从而得出方程，求出CM的值，再结合锐角三角函数求出CE的值．
本题主要考查了学生三角函数的相关知识、勾股定理的知识、相似三角形的知识、翻折的知识，难度较大．
17.【答案】解：证明错误，
(10a+5)2
=100a2+100a+25
=100a(a+1)+25
=右边，
故猜想成立．
【解析】利用完全平方公式对等式左边式子进行整理，再与等式右边式子对比即可．
本题主要考查完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18.【答案】解：(1)甲：(8+6+8+7)÷4=7.25，
乙：(7+9+9+5)÷4=7.5，
∵7.25<7.5，
∴乙将被录用；
(2)选择A：(答案不唯一)
甲：(8+6+8+7×2)÷5=7.2，
乙：(7+9+9+5×2)÷5=7，
∵7.2>7，
∴甲将被录用．
【解析】(1)根据算术平均数的公式列出算式计算即可求解；
(2)先选择相应的赋分方式，通过加权平均数的公式计算确定录用者．
本题考查了算术平均数和加权平均数的计算与运用，熟练掌握平均数的计算是解题的关键．
19.【答案】解：(1)由题意得，∠A=90°−∠C．
∵∠C=32°，
∴∠A=90°−32°=58°．
即∠A=58°．
(2)如图，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°．
又∠ABC=90°，
∴∠AED=∠ABC．
∴ED//BC．
∴△AED∽△ABC．
∴AEAB=EDBC．
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=12∠ABC=45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠EBD=∠EDB=45°．
∴EB=ED．
设ED=x，
∴EB=ED=x．
∴AE=AB−ED=3−x．
∴3−x3=x4．
∴x=127．
∴DE=127．
【解析】(1)依据题意，根据直角三角形的两个锐角互余，可求∠A的度数．
(2)依据题意，利用△AED∽△ABC得AEAB=EDBC，由BD平分∠ABC，DE⊥AB可得ED=EB，设ED=x，由比例式可得方程，进而得解．
本题考查了角平分线的定义与性质、相似三角形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用．
20.【答案】解：(1)①∵函数y1和函数y2的图象交于点A(2,6)，点B(4,n−2)，
∴k1=2×6=4(n−2)，
∴k1=12，n=5，
∴B(4,3)，
把A、B的坐标代入y2=k2x+b得2k2+b=64k2+b=3，
解得k2=−32b=9，
故n的值为5，b的值为9；
②当y1>y2时，x的取值范围是0
(2)点C(8,m)先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D(5,m−1)，
∵点C(8,m)在函数y1的图象上，点D恰好落在函数y1的图象上，
∴8m=5(m−1)，
∴m=−53．
【解析】(1)①利用反比例函数图象上点的坐标特征得到n=5，然后利用待定系数法即可求得b；
②根据函数的性质即可得到结论；
(2)求得D点的坐标为(5,m−1)，由点C(8,m)在函数y1的图象上，点D恰好落在函数y1的图象上，得到8m=5(m−1)，解方程即可．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，熟练掌握待定系数法以及正确表示D的坐标是解题的关键．
21.【答案】解：(1)四边形AECF是菱形．理由如下：
由作法得EF垂直平分AC，
∴OA=OC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中，
∠FAO=∠ECOOA=OC∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴OF=OE，
∴AC和EF互相垂直平分，
∴四边形AECF为菱形；
(2)过A点作AH⊥BC于H点，如图，
在Rt△ABH中，
∵∠B=60°，
∴BH=12AB=1，
∴AH= 3BH= 3，CH=BC−BH=3，
∵四边形AECF为菱形，
∴AE=CE，
设菱形AECF的边长为x，则AE=CE=x，HE=3−x，
在Rt△AHE中，( 3)2+(3−x)2=x2，
解得x=2，
∴四边形AECF的面积=2× 3=2 3．
【解析】(1)利用基本作图可判断EF垂直平分AC，则OA=OC，再利用平行四边形的性质和平行线的性质得到∠FAO=∠ECO，接着证明△AOF≌△COE得到OF=OE，所以AC和EF互相垂直平分，于是可判断四边形AECF为菱形；
(2)过A点作AH⊥BC于H点，如图，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到BH=1，AH= 3，再根据菱形的性质得到AE=CE，设菱形AECF的边长为x，则AE=CE=x，HE=3−x，然后在Rt△AHE中利用勾股定理得到( 3)2+(3−x)2=x2，解得x=2，最后根据菱形的面积公式求解．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和菱形的判定与性质．
22.【答案】(1)解：把A(1,2)代入y=ax2+bx−1得：
a+b−1=2，
∴b=3−a，
∴x=−b2a=−3−a2a，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=−3−a2a；
(2)解：①把B(3,2)代入y=ax2+bx−1得：
9a+3b−1=2，
由(1)知b=3−a，
∴9a+3(3−a)−1=2，
解得a=−1，
∴b=3−a=3−(−1)=4，
∴函数的表达式为y=−x2+4x−1；
∵y=−x2+4x−1=−(x−2)2+3，
∴当x=2时，函数有最大值为3；
②证明：∵x1−x2=1，
∴x2=x1−1，
∵M(x1,y1)，N(x1−1,y2)是二次函数y=−x2+4x−1图象上两点，
∴y1+y2=−x12+4x1−1−(x1−1)2+4(x1−1)−1
=−2x12+10x1−7
=−2(x1−52)2+112，
∵−2(x1−52)2≤0，
∴y1+y2≤112．
【解析】(1)把A(1,2)代入y=ax2+bx−1可得b=3−a，即得二次函数图象的对称轴为直线x=−3−a2a；
(2)①把B(3,2)代入y=ax2+bx−1得：9a+3b−1=2，结合b=3−a，可得函数的表达式为y=−x2+4x−1；配成顶点式y=−x2+4x−1=−(x−2)2+3，知函数有最大值为3；
②由x1−x2=1，得x2=x1−1，故y1+y2=−x12+4x1−1−(x1−1)2+4(x1−1)−1=−2(x1−52)2+112，即可证明结论．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出二次函数解析式．
23.【答案】(1)证明：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG=∠FAC，
又∵∠G=∠C，
∴△ABG∽△AFC；
(2)①解：由(1)知，△ABG∽△AFC，
∴ABAF=AGAC，
∵AC=AF=b，
∴AB=AG=2，
∴FG=AG−AF=2−b；
∵∠BAG=∠CAG=∠CBG，∠G=∠G，
∴△BAG∽△GBF，
∴BGAB=FGBG，即b2=2−bb，
解得b= 5−1或b=− 5−1(舍去)，
∴b的值为 5−1；
②证明：过B作BH⊥AG于H，如图：
由(1)知，△ABG∽△AFC，
∴ABAF=AGAC，
∵AC=AF=b，
∴AB=AG=a，∠AFC=∠C=α，
∴FG=AG−AF=a−b；
∵∠AFC=∠BFG，∠C=∠G，
∴∠BFG=∠G=α，
∴BF=BG，
∵BH⊥AG，
∴GH=FH=12FG=a−b2，cosα=GHBG，
∴cos2α=(a−b2)2BG2=(a−b)24BG2，
∵∠BAG=∠CAG=∠CBG，∠G=∠G，
∴△BAG∽△GBF，
∴BGAB=FGBG，即BG2=AB⋅FG，
∴BG2=a⋅(a−b)，
∴cos2α=(a−b)24BG2=(a−b)24a(a−b)=a−b4a=14−b4a，
∴ba=1−4cos2α.
【解析】(1)由AG平分∠BAC，得∠BAG=∠FAC，又∠G=∠C，即得△ABG∽△AFC；
(2)①由△ABG∽△AFC，得ABAF=AGAC，而AC=AF=b，即知AB=AG=2，FG=AG−AF=2−b；证明△BAG∽△GBF，可得b2=2−bb，解得b的值为 5−1；
②过B作BH⊥AG于H，同①可得FG=AG−AF=a−b；证明BF=BG，有GH=FH=12FG=a−b2，cosα=GHBG，cos2α=(a−b2)2BG2=(a−b)24BG2，而△BAG∽△GBF，得BG2=AB⋅FG，即BG2=a⋅(a−b)，即可证得结论．
本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理．
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