2023年甘肃省兰州市中考数学试卷【含答案】

这是一份2023年甘肃省兰州市中考数学试卷【含答案】，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年甘肃省兰州市中考数学试卷
一、选择题
1．（3分）﹣5的相反数是（　　）
A． B．﹣5 C． D．5
2．（3分）如图，直线AB与CD相交于点O，则∠BOD＝（　　）

A．40° B．50° C．55° D．60°
3．（3分）计算：＝（　　）
A．a﹣5 B．a+5 C．5 D．a
4．（3分）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝（　　）

A．45° B．60° C．110° D．135°
5．（3分）方程的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝5 D．x＝﹣5
6．（3分）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径OA＝20cm，圆心角∠AOB＝90°，则＝（　　）

A．20πcm B．10πcm C．5πcm D．2πcm
7．（3分）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴为x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3）
C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3
8．（3分）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
9．（3分）2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一，如图反映了2021年，2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况，（2022年同比增长速度＝×100%），根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（　　）

A．2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆
B．2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个
C．相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%
D．相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低
10．（3分）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方：操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康，则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在MO的延长线及ON上取点A，B，使OA＝OB；（3）连接AB，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线a∥b．按以上作图顺序，若∠MNO＝35°，则∠AOC＝（　　）

A．35° B．30° C．25° D．20°
11．（3分）一次函数y＝kx﹣1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，y的值可以是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
12．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB＝4，CE＝10，则AG＝（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
二、填空题
13．（3分）因式分解：x2﹣25y2＝　 　．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝　 　°．

15．（3分）如图，将面积为7的正方形OABC和面积为9的正方形ODEF分别绕原点O顺时针旋转，使OA，OD落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a、b，则b﹣a＝　 　．

16．（3分）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
累计抛掷次数
50
100
200
300
500
1000
2000
3000
5000
盖面朝上次数
28
54
106
158
264
527
1056
1587
2650
盖面朝上频率
0.5600
0.5400
0.5300
0.5267
0.5280
0.5270
0.5280
0.5290
0.5300
①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．
其中正确的是 　 　．（填序号）
三、解答题
17．（4分）计算：．
18．（4分）计算：（x+2y）（x﹣2y）﹣y（3﹣4y）．
19．（4分）解不等式组：．
20．（6分）如图，反比例函数与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
（1）求反比例函数与一次函数y＝﹣2x+m的表达式；（2）当OD＝1时，求线段BC的长．

21．（6分）综合与实践：
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC＝OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．请写出OE平分∠AOB的依据：　 　；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE＝DE即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等，试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

22．（6分）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”、“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸、某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动，具体过程如下，如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18m．求“龙”字雕塑CD的高度，（B，C，D三点共线，BD⊥AB，结果精确到0.1m）（参考数据：sin38°＝0.62，cos38°＝0.79，tan38°＝0.78，sin53°＝080，cos53°＝0.60，tan53°＝1.33）

23．（6分）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．

24．（6分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE．
（1）判断四边形OCDE的形状，并说明理由；
（2）当CD＝4时，求EG的长．

25．（6分）某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．
信息一：排球垫球成绩如图所示（成绩用x表示，分成六组：A、x＜10；B、10≤x＜15；C、15≤x＜20；D、20≤x＜25；E、25≤x＜30；F、30≤x）．

信息二：排球垫球成绩在D、20≤x＜25这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24；
信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如表：
分组
y＜6.0
6.0≤y＜6.8
6.8≤y＜7.6
7.6≤y＜8.4
8.4≤y＜9.2
9.2≤y
人数
2
m
10
9
6
2
信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如表：
学生
学生1
学生2
学生3
学生4
学生5
学生6
排球垫球
26
25
23
22
22
15
掷实心球
▲
7.8
7.8
▲
8.8
9.2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝　 　；
（2）下列结论正确的是 　 　；（填序号）
①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；
②掷实心球成绩的中位数记为n，则6.8≤n＜7.6；
③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀；
（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．
26．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，，DE⊥AC于点E，DE交BF于点F，交AB于点G，∠BOD＝2∠F，连接BD．
（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）判断△DGB的形状，并说明理由；（3）当BD＝2时，求FG的长．

27．（8分）在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线EF的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点”．例如：如图1，已知点A（1，2），B（3，2），P（2，2）在线段AB上，则点P是直线EF：x轴的“伴随点”．

（1）如图2，已知点A（1，0），B（3，0），P是线段AB上一点，直线EF过G（﹣1，0），T（0，）两点，当点P是直线EF的“伴随点”时，求点P的坐标；
（2）如图3，x轴上方有一等边三角形ABC，BC⊥y轴，顶点A在y轴上且在BC上方，，点P是△ABC 上一点，且点P是直线EF：x轴的“伴随点”，当点P到x轴的距离最小时，求等边三角形ABC的边长；
（3）如图4，以A（1，0），B（2，0），C（2，1）为顶点的正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：y＝﹣x+b的“伴随点”，请直接写出b的取值范围．
28．（9分）综合与实践：
【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG＝CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；
【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH＝HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．


1．D
2．B
3．D
4．A
5．B
6．B
7．C
8．A
9．D
10．A
11．D
12．C
13．（x﹣5y）（x+5y）．
14．50．
15．3﹣．
16．①③．
17．原式＝3﹣2
＝．
18．原式＝x2﹣4y2﹣（3y﹣4y2）
＝x2﹣4y2﹣3y+4y2
＝x2﹣3y．
19．，由①得：x＞3，由②得：x＜4，
则不等式组的解集为3＜x＜4．
20．（1）∵反比例函数与一次函数y＝﹣2x+m的图象交于点A（﹣1，4），
∴4＝，4＝﹣2×（﹣1）+m，∴k＝﹣4，m＝2，
∴反比例函数为y＝﹣，一次函数为y＝﹣2x+2；
（2）∵BC⊥y轴于点D，∴BC∥x轴，
∵OD＝1，∴B、C的纵坐标为1，∴B（﹣4，1），C（，1），∴BC＝＝4．
21．（1）∵△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，
又∵OC＝OD，OE＝OE，∴△OCE≌△ODE（SSS），
∴∠COE＝∠DOE，∴OE是∠AOB的平分线，故答案为：SSS；
（2）∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，∴△OCM≌△OCN（SSS），∴∠AOC＝∠BOC，
∴射线OC是∠AOB的平分线；
（3）如图，
点E即为所求的点．
22．在Rt△ABC中，AB＝18m，∠BAC＝38°，
∵，
∴BC＝AB•tan∠BAC＝18tan38°＝18×0.78＝14.04（m），
在Rt△ABD中，AB＝18m，∠BAD＝53°，
∵，
∴BD＝AB•tan∠BAD＝18tan53°＝18×1.33＝23.94（m），
∴CD＝BD﹣BC＝13.94﹣14.04＝9.9（m）．
答：“龙”字雕塑CD的高度约为9.9m．
23．（1）根据题意可得，抛物线过（0，10）和（3，7），对称轴为直线x＝1，
设y关于x的函数表达式为y＝ax2+bx+c，∴，解得：，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+2x+10；
（2）在y＝﹣x2+2x+10中，令y＝0得0＝﹣x2+2x+10，
解得x＝+1或x＝﹣+1（舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为（+1）米．
24．（1）四边形OCDE是菱形，理由如下：
∵CD∥OE，∴∠FDC＝∠FOE，
∵CE是线段OD的垂直平分线，∴FD＝FO，ED＝OE，CD＝CO，
在△FDC和△FOE中，，∴△FDC≌△FOE（ASA），∴CD＝OE，
又ED＝OE，CD＝CO，
∴ED＝OE＝CD＝CO，
∴四边形OCDE是菱形．
（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝∠CDA＝90°，DO＝CO，
∵CE是线段OD的垂直平分线，∴CD＝CO，∴CD＝CO＝DO，∴△ODC为等边三角形，
∴DO＝CD＝4，∠ODC＝60°，∴，
在Rt△CDF中，CD＝4，DF＝2，由勾股定理得：，
由（1）可知：四边形OCDE是菱形，∴，
∵∠GDF＝∠CDA﹣∠ODC＝30°，∴，
∴，∴．
25．（1）m＝40﹣2﹣10﹣9﹣6﹣2＝11，故答案为：11；
（2）②③；
（2）∵排球垫球成绩达到22个及以上的人数：10人，
∴全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数是：300×＝75
26．（1）证明：连接OC，

∵，∴∠BOD＝∠BOC，
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠BOC＝2∠A，
又∵∠BOD＝2∠F，∴∠A＝∠F，
又∵∠AGE＝∠BGF，∴∠AEG＝∠GBF，
∵DE⊥AC，∴∠AEG＝90°，∴∠GBF＝90°，∴OB⊥BF，
∵OB为半径，∴BF是⊙O的切线；
（2）解：△DGB为等腰三角形，
理由：∵，∴DB＝BC，DC⊥AB，∴∠DCB＝∠CDB，
∵OB⊥BF，∴DC∥BF，∴∠BDC＝∠DBF，
又∵∠BDC＝∠A，∴∠DBF＝∠A，
又∵∠A＝∠F，∴∠DBF＝∠F，
∵∠GBF＝90°，∴∠F+∠DGB＝90°，∠DBG+∠DBF＝90°，∴∠DGB＝∠DBG，
∴DB＝DG，即△DBG为等腰三角形；
（3）解：由（2）可知，DB＝DG，∠F＝∠DBF，∴DF＝DB，∴DF＝DG＝DB＝2，∴FG＝4．
27．（1）AB线段上任意两点距离的最大值为3﹣1＝2，即P到EF的距离为2，
过P作PC⊥EF于点C，由题意知，GO＝1，TO＝，则tan∠TGO＝＝，
∴∠TGO＝30°，∴GP＝＝＝4，
∴P（3，0）．

（2）设等边三角形△ABC的边长为2a（0＜a＜），则C（a，），
△ABC上任意两点距离的最大值即为2a，
当P在线段BC上时，P到x轴的距离最小，距离为，由题意知，＝2a，
解得，a＝1或﹣1（舍去），所以此时等边三角形ABC的边长为2．
（3）由题意知，正方形ABCD的边长为1，
所以正方形ABCD上任意两点距离的最大值为＝，
即正方形ABCD上始终存在点P，P到EF的距离为．
则EF向上或者向下平移2个单位长度得到直线l1，l1与EF平行，且两直线间的距离为，
所以P既在l1上，又在正方形ABCD的边上，即l1与正方形ABCD有交点．
当b≤1时，l1为y＝﹣x+b+2，当l1过A时，b＝﹣1，
当l1过C时，b＝1，即﹣1≤b≤1；当b＞1时，l1为y＝﹣x+b﹣2，
当l1过A时，b＝3，当l1过C时，b＝5，即3≤b≤5；

综上所述，当﹣1≤b≤1或3≤b≤5时，正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：y＝﹣x+b的“伴随点”．
28．（1）四边形ABCD是正方形，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，
∵GD⊥DF，∴∠FDG＝90°，∴∠ADG＝∠CDF，
又∵AG＝CF，∠G＝∠DFC＝90°，∴△ADG≌△CDF（AAS），∴AD＝CD，∴四边形ABCD是正方形；
（2）HF＝AH+CF，
理由：∵DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，∴四边形HFDG是矩形，
∴∠G＝∠DFC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDF，
∴△ADG≌△CDF（AAS），
∴AG＝CF，DG＝DF，
∴矩形HFDG是正方形，
∴HG＝HF＝AH+AG＝AH+CF；
（3）连接AC，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，
∵AH⊥CE，AH＝HM，
∴△AHM是等腰直角三角形，
∴∠HAM＝45°，
∴∠HAB＝∠MAC，
∵，
∴△AHB∽△AMC，
∴，
即BH＝CM．