2022-2023学年黑龙江省哈尔滨三十二中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年黑龙江省哈尔滨三十二中高一（下）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨三十二中高一（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共12小题，共60分）
1. 已知a，b是单位向量，以下式子中正确的是(    )
A. a⋅b=1 B. a⋅b=|a||b
C. a⋅b=b⋅a D. 若a/​/b，则a=b或a=-b
2. 已知b=(3,1)，a=(x,3)，且a/​/b，则x=(    )
A. 9 B. -9 C. 1 D. -1
3. 已知复数z满足(1+2i)z=5，则z=(    )
A. 1-2i B. 1+2i C. 2-i D. 2+i
4. 在△ABC中，已知a=2，b=3，C=60°，则c等于(    )
A. 7 B. 7 C. 19 D. 19
5. 已知平面α，β交于直线l，直线m，n满足m/​/α，n⊥β且m⊥n，则(    )
A. α⊥β B. n⊥α C. m/​/l D. m//β
6. 某县为了传承中华优秀传统文化，组织了一次全县600名学生参加的“中华经典诵读”大赛．为了解本次大赛的选手成绩，随机抽取了其中50名选手的成绩进行统计分析．在这个问题中，数字50是(    )
A. 样本 B. 总体 C. 样本容量 D. 个体
7. 如图饼图，某学校共有教师120人，从中选出一个30人的样本，其中被选出的青年女教师的人数为(    )


A. 12 B. 6 C. 4 D. 3
8. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取7位小区居民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，4，则这组数据的第60百分位数是(    )
A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9
9. 分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是(    )
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上皆不可能
10. 在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中是随机事件的是(    )
A. 3件都是正品 B. 至少有1件次品 C. 3件都是次品 D. 至少有1件正品
11. 在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论不正确的是(    )
A. AB=DC，BC=AD
B. AD+OD=AO
C. AO+OD=AC+CD
D. AB+BC+CD=DA
12. 已知事件A、B发生的概率分别为P(A)=13，P(B)=16，则(    )
A. 若P(A-B)=19，则事件A-与B相互独立
B. 若A与B相互独立，则P(A∪B)=49
C. 若A与B互斥，则P(A∪B)=49
D. 若B发生时A一定发生，则P(AB)=13
二、填空题（本题共4小题，共16分）
13. 若菱形ABCD的边长为2，则|AB+BC+CD|等于______ ．
14. 若实数b满足(2+bi)i=2+2i，则b= ______ ．
15. 一个容量为n的样本，已知某组的频率为0.25，频数为10，则n= ______ ．
16. 如图在直角梯形中，∠DAB=π2，AB//DC，AD=DC=1，AB=2，点E，F为线段BC上两点，满足CF=BE，则AE⋅AF的取值范围为______．


三、解答题（本题共5小题，共36分）
17. 计算下列各题．
(1)(1-i)(1+i)+(2+i)2；
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i．
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是菱形.求证：PB⊥AC．

19. 为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
分组
频数
频率
50.5～60.5
4
0.08
60.5～70.5

0.16
70.5～80.5
10

80.5～90.5
16
0.32
90.5～100.5


合计
50

(1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；
(2)补全频数分布直方图；

20. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2acosA= 3(ccosB+bcosC)，b= 3c，a=1，求△ABC的面积．
21. 从某校高一年级新生中随机抽取一个容量为20的身高样本，数据如下(单位：cm，数据间无大小顺序要求)：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171.x，174，175．
(1)若x为这组数据的一个众数，求x的取值集合；
(2)若样本数据按顺序排列，第90百分位数是173，求x的值；
(3)若x=174，试估计该校高一年级新生的平均身高．
答案和解析

1.【答案】CD 
【解析】解：∵a，b是单位向量，但a，b的夹角不确定，
∴a⋅b不确定，则AB错误；a⋅b=b⋅a=cos，故C正确；
若a/​/b，则a=b或a=-b，故D正确．
故选：CD．
由单位向量及共线向量的概念逐一分析四个选项得答案．
本题考查数量积的性质及运算，考查单位向量即共线向量的概念，是基础题．

2.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标表示，属于基础题．
根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得关于x的方程，解可得答案．
【解答】
解：根据题意，b=(3,1)，a=(x,3)，
若a/​/b，则x=3×3=9，
故选：A．
  
3.【答案】A 
【解析】解：∵(1+2i)z=5，
∴z=51+2i=5(1-2i)5=1-2i，
故选：A．
由(1+2i)z=5得z=51+2i=5(1-2i)5=1-2i．
本题考查了复数的四则运算，是基础题．

4.【答案】A 
【解析】解：∵在△ABC中，a=2，b=3，C=60°，
∴由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=4+9-6=7，
则c= 7．
故选：A．
利用余弦定理列出关系式，将a，b及cosC的值代入即可求出c的值．
此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：α，β相交，α，β的二面角不仅仅是直角，故A错误；
因为平面α，β交于直线l，n⊥β，显然n不垂直与α，故B错误；
因为n⊥β且m⊥n，则m//β或m⊂β，故D选项错误；
又因为m/​/α，平面α，β交于直线l，则m/​/l，故C选项正确．
故选：C．
利用空间中线面位置关系判断即可．
本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，属于基础题．

6.【答案】C 
【解析】解：某县为了传承中华优秀传统文化，组织了一次全县600名学生参加的“中华经典诵读”大赛．
为了解本次大赛的选手成绩，随机抽取了其中50名选手的成绩进行统计分析．
在这个问题中，数字50是样本容量，
故选：C．
根据样本、总体、样本容量、个体的概念，得出结论．
本题主要考查样本、总体、样本容量、个体，属于基础题．

7.【答案】D 
【解析】解：青年教师占的比例为1-30%-40%=30%，
则青年教师的人数为120×30%=36人，
因为青年男教师24人，
所以青年女教师为12人，
故青年女教师被选出的人数为12×30120=3人，
故选：D．
根据条件计算青年教师的比例，求出青年女教师的人数即可．
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．

8.【答案】A 
【解析】解：依题意可得这组数据从小到大排列为4、5、5、6、7、8、9，
7×60%=4.2，
所以这组数据的第60百分位数为7．
故选：A．
把该组数据从小到大排列，计算7×75%，从而找出对应的第75百分位数．
本题主要考查百分位数的求解，属于基础题．

9.【答案】ABC 
【解析】解：当两直线分别平行于交线时，这两条直线平行，A正确；
两条直线可以交于交线上一点，故可以相交，B正确；
一条直线和交线平行，另一条直线在另一个平面内过交线上一点和交线外一点时，两直线异面，C正确；
故选：ABC．
利用空间中两直线的位置关系求解．
本题主要考查空间直线的位置关系，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．

10.【答案】AB 
【解析】解：在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，“3件都是正品”是随机事件；
“至少有1件次品”是随机事件；
“3件都是次品”是不可能事件；
“至少有1件正品”是必然事件．
故选：AB．
根据“在一次实验中可能发生，也可能不发生的事件是随机事件”，由此判断即可．
本题考查了随机事件与不可能事件、必然事件的概念与应用问题，是基础题．

11.【答案】BD 
【解析】解：由平行四边形的性质及向量相等的条件可知，AB=DC，AD=BC，A正确；
AO-AD=DO，则AO+OD=AD，B错误；
AO+OD=AD，AC+CD=AD，C正确；
AB+BC+CD=AC+CD=AD，D错误．
故选：BD．
结合平行四边形性质及向量的线性表示分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了平行四边形性质及向量的线性表示，属于基础题．

12.【答案】AB 
【解析】解：对于A，因为P(A)=13，P(B)=16，则P(A-)=1-P(A)=1-13=23，
因为P(A-)P(B)=23×16=19=P(A-B)，所以，事件A-与B相互独立，A对；
对于B，若A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=13×16=118，
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=13+16-118=49，B对；
对于C，若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=13+16=12，C错；
对于D，若B发生时A一定发生，则B⊆A，则P(AB)=P(B)=16，D错．
故选：AB．
利用独立事件的定义可判断A选项；利用并事件的概率公式可判断B选项；利用互斥事件的概率公式可判断C选项；分析可知AB=B，可判断出D选项．
本题主要考查独立事件的定义，并事件的概率公式，以及互斥事件的概率公式，属于基础题．

13.【答案】2 
【解析】解：|AB+BC+CD|=|AD|=2．
故答案为：2．
根据向量的加法和模长的定义即可．
本题主要考查向量的概念与向量的模，属于基础题．

14.【答案】-2 
【解析】解：(2+bi)i=2+2i，
则-b+2i=2+2i，即-b=2，解得b=-2．
故答案为：-2．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

15.【答案】40 
【解析】解：由题得0.25=10n，∴n=40．
故答案为：40．
解方程0.25=10n即得解．
本题主要考查频率与频数的关系，属于基础题．

16.【答案】[2,52] 
【解析】
解：建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可得A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，
设BE=λBC，(0≤λ≤1)，
则AE=AB+BE=(2-λ,λ)，
AF=AB+BF=AB+BC-FC=AB+BC-BE=(1+λ,1-λ)，
则AE⋅AF=(1+λ)(2-λ)+λ(1-λ)=-2λ2+2λ+2=-2(λ-12)2+52，(0≤λ≤1)，
则AE⋅AF的取值范围为[2,52]，
故答案为：[2,52].
先建系，然后标出各点的坐标，再结合平面向量的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了平面向量的坐标运算，属基础题．

17.【答案】解：(1)(1-i)(1+i)+(2+i)2=2+4-1+4i=5+4i；
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(3+11i)(3-4i)+2i=53+21i+2i=53+23i． 
【解析】(1)根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解，
(2)根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．

18.【答案】证明：连结BD，交于点O，

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，
∵PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PBD，
∴AC⊥平面PBD，
∵PB⊂平面PBD，
∴AC⊥PB． 
【解析】根据线面垂直的性质定理证明即可．
本题考查线面垂直的性质定理，是基础题．

19.【答案】解：(1)根据题意可知，样本容量为50，
对应第二组的频数为0.16×50=8，第四组的频数为：50-(4+8+10+16)=12，故第四组的频率为：1250=0.24，第三组的频率为1050=0.20，
故频率分布表为：
分组
频数
频率
50.5～60.5
4
0.08
60.5～70.5
8
0.16
70.5～80.5
10
0.20
80.5～90.5
16
0.32
90.5～100.5
12
0.24
合计
50
1.00
(2)频数分布直方图为：
 
【解析】(1)根据题意已知样本容量为50，可得第二组的频数为0.16×50=8，第三组的频率为1050=0.20，第四组的频数为50-(4+8+10+16)=12，求得频率为0.24，填表即可；(2)由(1)求得的数据补全频数分布直方图即可．
本题考查频率分布表和频率分布直方图的应用，属于基础题．

20.【答案】解：因为2acosA= 3(ccosB+bcosC)，由正弦定理得：2sinAcosA= 3(sinCcosB+sinBcosC)，
即2sinAcosA= 3sin(B+C)，即2sinAcosA= 3sinA，
又因为A为内角，sinA>0，所以cosA= 32，
因为A∈(0,π)，所以A=π6．
根据余弦定理a2=b2+c2-2bccosA及b= 3c，a=1，A=π6，
得1=3c2+c2-2 3c2⋅ 32，即c2=1，即c=1，b= 3，
所以△ABC的面积S△ABC=12bcsinA=12× 3×1×12= 34． 
【解析】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinAcosA= 3sinA.结合sinA≠0，可求cosA的值，求得A角，利用余弦定理求得c边，结合面积公式即可求得答案．

21.【答案】解：(1)若x为这组数据的一个众数，则x的可能取值为164，168，165，170，
即x的取值集合为{164,168,165,170}．
(2)因为样本数据的第90百分位数是173，即比173小的数据占90%，又20×90%=18，
所以x的值为172．
(3)若x=174，则该校高一年级新生的平均身高为152+155+158+164+164+165+165+165+166+167+168+168+169+170+170+170+171+174+174+17520=166.5． 
【解析】(1)根据众数的定义求解．
(2)根据第90百分位数的定义求解．
(3)根据平均数的定义求解．
本题主要考查了数据的数字特征，属于基础题．