河北省秦皇岛市青龙县2023届九年级下学期中考三模数学试卷(含解析)

这是一份河北省秦皇岛市青龙县2023届九年级下学期中考三模数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了定理，甲、乙两名队员参加射击训练等内容，欢迎下载使用。

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2023年河北省初中模拟考试
数学试卷（预测一）
注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置．
3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．
4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题．
5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共16个小题，1~10小题每题3分，11~16小题每题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最小的是（　　）

A．a B．b C．c D．d
2．下列各式的值最小的是（       ）
A． B． C． D．
3．已知，则a和b的关系是（       ）
A． B． C． D．不能确定
4．如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图案，将剪纸展开后得到的图案是（       ）

A． B． C． D．
5．互联网已经进入时代，应用网络下载一个的文件只需要秒，将数据用科学记数法表示应为（       ）
A． B． C． D．
6．如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西方向的点A处，一艘渔船在观测站P的南偏东方向的点B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（       ）

A．小时 B．2小时 C．小时 D．4小时
7．数学课上进行小组合作式学习，老师让小组成员的2号同学写出5个常错的式子，4号同学进行判断，则判断正确的个数是（       ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．如图，将一个无盖正方体盒子展开成平面图形的过程中，需要剪开的棱的条数是（       ）

A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
9．定理：三角形的内角和是180°．
已知：、、是的三个内角．
求证：．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（       ）
   
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
10．甲、乙两名队员参加射击训练（各射击10次），将训练成绩分别制成下列两个统计图（如图1、图2），下列说法正确的是（       ）
   
A．甲、乙的平均数相同 B．乙的成绩更稳定
C．甲、乙的中位数相同 D．甲和乙的众数相同
11．以下是代数式排乱的化简步骤：
①；
②；
③；
④．
则正确化简步骤的顺序是（       ）
A．①→③→④→② B．③→①→④→②
C．③→④→①→② D．①→④→③→②
12．要得知某一池塘两端A，B的距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案．
方案Ⅰ：如图1，先过点B作，再在上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测量的长即可；
方案Ⅱ：如图2，过点B作，再由点D观测，用测角仪在的延长线上取一点C，使，则测量的长即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（       ）
   
A．只有方案Ⅰ可行 B．只有方案Ⅱ可行
C．方案Ⅰ和Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ和Ⅱ都不可行
13．我国古代数学著作《九章算术》记载：“今有甲乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”意思是：今有甲、乙二人，不知道其钱包里有多少钱，若把乙钱数的一半给甲，则甲的钱数为50，若把甲的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱x，则下列说法错误的是（       ）
A．设乙持钱为，依题意 B．依题意
C．乙的钱数为25 D．甲、乙钱数的和为62.5
14．如图，将直尺、含的直角三角尺和量角器按如图摆放，角的顶点A在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为点C，则该量角器的直径是（       ）．

A．3 B． C．6 D．
15．如图，点M，N，P，Q，T均为坐标系中2×2的正方形网格的顶点（网格的横线都与x轴平行，纵线都与y轴平行，每个小正方形的边长为1），点N的坐标为，在曲线l：中的常数k的值从1逐渐增大到9的过程中，关于曲线l依次经过的格点的顺序，下列说法正确的是（       ）
   
A．点M→点P→同时经过点N，Q→点T B．点M→点N→同时经过点P，Q→点T
C．点M→同时经过点P，Q→点N→点T D．点P→点M→同时经过点N，Q→点T
16．题目：“如图，用10个全等的正五边形依次排列可以围成环状．若改为正n边形也能围成环状，除了外，请求出其他所有n的可能的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（       ）

A．只有甲答的对 B．只有乙答的对
C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分，其中18小题第一空2分，第二空1分；19小题每空1分）
17．计算：______．
18．如图，已知在中，，，点P是的中点，过点P的直线与交于点Q，依据尺规作图痕迹解决下列问题．
   
（1）与是否平行？_________（填“是”或“否”）；
（2）的周长为______．
19．把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排列放在表格1中，任意选定如图所示方框中的4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即．例如：．

（1）______；
（2）______；
（3）如表2，把1，3，5，7，9…这一组数重新排放在有n列的表格中，则______．（用含n的式子表示）
三、解答题（本大题共7个小题，共69分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．如图，将数轴上与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应的数依次为，，，，．

(1)______；
(2)计算：．
21．如图，公园里有两块边长分别为a，b的正方形区域A、B，其中阴影部分M为雕塑区，面积为m，其他部分种植花草．
   
(1)用含a，b，m的代数式表示种植花草的面积______；
(2)若正方形A的一个顶点恰为正方形B的中心，a比b大20，M的面积是A的，求a的值．
22．概念理解
嘉嘉和淇淇学习了随机事件的概率，老师留的作业中有一道判断题：①自然现象中，“太阳从东方升起”是必然事件；②成语“水中捞月”所描述的事件是随机事件；③若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次．
真命题的序号是______；
知识应用
嘉嘉和淇淇做化学实验，紫色石蕊试剂是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体．
（1）嘉嘉将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是______；
（2）淇淇随机取了两个烧杯，滴入石蕊试剂，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率．
23．网上购物快捷、简便，受到人们的广泛喜爱．小明家装修要用某种环保装饰材料，两个商家的原价相同．购物节优惠促销，甲店打9折，乙店不超过3件不打折，实际付费金额（元），（元）和x（件）（x为非负整数）的关系如图所示，小明家需要这种装饰材料6件，发现两家的付费金额恰好相同．

(1)写出（元）与x（件）的函数关系式，并求出a的值；
(2)写出（元）和x（件）的函数关系式，并写出乙店实际的优惠方案；
(3)小宇家也需要这种装饰材料，按照上述的优惠方案，已知甲店比乙店付费金额高60元，求小宇家购买的件数．
24．图1是一个虎口式夹子的俯视示意图，点O是夹子转轴，点O左边是两段相等的夹弧与（点A与点B重合），右边是长度相等的两部分夹柄，于点E，于点F，，．其中，．

(1)求的长及图1中的大小；
(2)按图2方式用手指按夹柄，夹子两边绕点O转动．当点C，D重合时，两段弧与恰好在同一圆上，求此时优弧的长．（结果保留π）
25．如图，抛物线：与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点且，点为抛物线的对称轴右侧图象上的一点（不含顶点）．

(1)的值为______，抛物线的顶点坐标为____________；
(2)设抛物线在点和点之间的部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标之差为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(3)若点的坐标满足时，连接，将直线与抛物线围成的封闭图形记为．
①求点的坐标；
②直接写出封闭图形的边界上的整点（横、纵坐标都是整数）的个数．
26．如图1，等边三角形纸片中，，点D在边上（不与点B、C重合），，点E在边上，将沿折叠得到（其中点是点C的对应点）．
   
(1)当点落在上时，依题意补全图2，并指出与的位置关系；
(2)如图3，当点落到的平分线上时，判断四边形的形状并说明理由；
(3)当点到的距离最小时，求的长；
(4)当A，，D三点共线时，直接写出的余弦值．



















1．B
解析：
解：根据图形可知，的长度大于正方形的边长，的长度等于正方形的边长，的长度小于正方形的边长，
所以长度最小的是．
故选B
2．A
解析：
解：，，，，
且，
，
故选：A．
3．B
解析：
解：∵，
∴，
故选：B．
4．A
解析：
解：如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图案，将剪纸展开后得到的图案是选项．
故选：A．
5．C
解析：
解：从左往右数第一个非“”数字前面有个，
，
．
故选：C．
6．C
解析：
，
连接，

中，
巡航船前去救助，沿直线方向用时最少，

故选C．
7．B
解析：
解：（1），故（1）不正确，同学判断正确；
（2），不是同类项，不能相加减，故（2）不正确，同学判断正确；
（3），故（3）不正确，同学判断正确；
（4），故（4）不正确，同学判断错误；
（5），故（5）不正确，同学判断正确；
综上：同学判断正确的有（1）（2）（3）（5），共4个；
故选：B．
8．C
解析：
解：由题意可得，
无盖正方体连接相邻面的棱：8条，
展开图连接相邻面的棱：4条，
，
∴要剪开4条棱，
故选B．
9．C
解析：
解：证明：如图，作点E作直线，使得，
∴（两直线平行，内错角相等），
∴，
∴．
①*表示两直线平行，内错角相等；故①不正确，不符合题意；
②@表示，故②正确，符合题意；
③④上述证明得到的结论，在任何三角形均适用；故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意；
综上：正确的有②④，
故选：C．
10．A
解析：
A．甲的平均数=
乙的平均成绩=，所以甲、乙平均数相同，故甲符合题意；
B．甲的方差=
乙的方差=，
∴甲的稳定性好于乙，故B不符合题意；
C．甲的中位数是7，乙的中位数是，故C不符合题意；
D．甲的众数是7，乙的众数是8，故D不符合题意；
故选A．
11．C
解析：
解：原式


．
由上化简过程可得顺序为：③→④→①→②．
故选：C．
12．C
解析：
解：如图1所示，∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴测量的长即可，故方案Ⅰ可行；
如图2所示，∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴测量的长即可，故方案Ⅱ可行；
故选C．
13．B
解析：
解：设乙持钱为，由题意得
，
解得：，
由此可判断选项A、C、D正确，
，
选项B错误．
故选：B．
14．D
解析：
连接，，，如图，

根据题意有：，，
∵、是圆O的切线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴量角器的直径是，
故选：D．
15．C
解析：
解：根据题意，得点的坐标为，，，，，
，，，，，
，
常数的值从1逐渐增大到9的过程中，双曲线依次经过的格点的顺序是：点同时经过点，点点，
故选：C．
16．D
解析：
如图所示，

∵正n边形也能围成环状，
∴，
∴，
∴由题意可得，圆环里面是以为边的正多边形，
∴这个正多边形的外角为，
∴这个正多边形的边数为，
∴是正整数，
∴当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意．
综上所述，其他所有n的可能的值为6，8，12．
故选：D．
17．
解析：
解：



故答案为．

18．     是     8
解析：
解：（1）与是平行，
证明：由尺规作图痕迹可知，，
；
（2），点是的中点，
，，
是的中位线，
，
的周长．
故答案为：是，8．
   
19．     20     20    
解析：
解：，
故答案为：20．
（2）根据表格可得：，
∴，


，
故答案为：20．
（3）根据表格可得，第一行的最后一个数为，
∴第二行的第一个数为：，
∵，
∴，
∴，


，
故答案为：．
20．(1)2
(2)
解析：
（1）解：∵数轴上与6的距离为，且轴上与6两点间的线段六等分，
∴每段长度为，
∴，，，，；
故答案为：2；
（2）由（1）代入得：


．
21．(1)
(2)60
解析：
（1）解：种植花草的面积；
（2）依题意得，，，．
列方程得，，
解得，
∵，
∴．
22．概念理解①；知识应用（1）；（2）
解析：
解：概念理解：真命题的序号是①，
故答案为：①；
知识应用：（1）嘉嘉将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是；
（2）将蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液分别记作、、、，列表如下：


























由表知，共有12种等可能结果，其中一杯变红、一杯变蓝的有4种结果，
所以一杯变红、一杯变蓝的概率为．
故答案为：．
23．(1)（，x为整数），1620
(2)，乙店的优惠方案为不超过3件不优惠，按每件300元销售；超过3件后，超过900元的部分打8折
(3)8件
解析：
（1）解：设原价为m元/件，由图象得：，解得，
∵甲店打九折，
∴（，x为整数），
当时，
（2）解：设（，x为整数），图象经过点，，
，解得，
∴（，x为整数）
由（1）得（，x为整数）
∴
∵，
∴乙店的优惠方案为不超过3件不优惠，按每件300元销售；超过3件后，超过900元的部分打8折；
（3）解：设小宇家买了n件，甲店付费金额高于乙店，由图象可得，
∴（，x为整数）．
∵，
∴，
∴，
答：小宇家的件数为8件．
24．(1)；
(2)
解析：
（1）解：∵，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
同理，，
又∵，
∴为等边三角形，
∴；
（2）解：如图，设点A、O、B所在圆的圆心为G，连接，

∵，
由旋转的性质得：，
∴为等边三角形，
∴，，
∴优弧所对的圆心角为，
过点G作于点H，则，，
在中，
所以优弧的弧长为．
25．(1)1，
(2)
(3)①点P的坐标为；②10个
解析：
（1）解：抛物线：
令，得或，
∴，，
令，解得：，
∴，
∵
∴
∴
∴抛物线解析式为，
∴顶点坐标为：，
故答案为：1，．
（2）由题可知，，点关于抛物线对称轴的对称点为，
情况①：当点在点上方时，即时，点和点之间的部分最高点为点，最低点为抛物线顶点，
∴；
情况②：当点在点下方（含两点重合）时，
即时，点和点之间的部分最高点为点，
最低点为抛物线顶点，
∴；
综上，
（3）①由（2）可知，
又，可得，
解得或，
又因为，所以，，
点P的坐标为；   
②设直线的解析式为，
将，代入得：

∴
∴直线的解析式为
∴线段上的整点有：，，，，，
∵抛物线为
∴封闭图形上除的整点有，，，，

∴封闭图形的边界上的整点（横、纵坐标都是整数）的个数为10个．
26．(1)图见解析，平行
(2)菱形，理由见解析
(3)
(4)
解析：
（1）补全图形如图所示，与的位置关系：．
理由：∵是等边三角形，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
∴；
   
（2）四边形为菱形；
理由：如图，由折叠的性质可知，，且垂直平分，设交于点G，
∴，，
又平分，
即，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
   
（3）如图，过点D作，垂足为点F，
∵，
∴点在以点D为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点为圆D与的交点时，点到的距离最小，
   
∵，
∴，
则由折叠的性质可知，
在中，，
∴，
过点D作于点H，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（4）当A，，D三点共线时，如图，作于M，交的延长线于点N，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将沿折叠得到，
∴，
∴，
   
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
在直角三角形中，有，
则，
整理，得，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．