辽宁省阜新市2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类(含解析)

这是一份辽宁省阜新市2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类(含解析)，共41页。试卷主要包含了，其中a＝4，÷，其中x＝+1，÷，其中x＝﹣1，，交y轴于点C等内容，欢迎下载使用。

辽宁省阜新市2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•阜新）先化简，再求值：÷（1﹣），其中a＝4．
2．（2021•阜新）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝+1．
3．（2020•阜新）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
二．二元一次方程组的应用（共1小题）
4．（2020•阜新）在抗击新冠肺炎疫情期间，玉龙社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了260元．
（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？
（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？
三．分式方程的应用（共1小题）
5．（2021•阜新）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．
（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
（2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？
四．一元一次不等式的应用（共1小题）
6．（2022•阜新）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．
（1）第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？
（2）下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少件？
五．一次函数图象与几何变换（共1小题）
7．（2022•阜新）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整．
（1）如图1，将一次函数y＝x+2的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了 　 　个单位长度；
（2）将一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向 　 　（填“左”或“右”）平移了 　 　个单位长度；
（3）综上，对于一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，相当于将它向 　 　（填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向 　 　（填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n＞0）个单位长度，且m，n，k满足等式　 　．


六．二次函数综合题（共3小题）
8．（2022•阜新）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣1，0），B（5，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒（0＜t＜5）．当t为何值时，△BMN的面积最大？最大面积是多少？
（3）已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．


9．（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点 C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（2021•阜新）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝x﹣2交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；
（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

七．四边形综合题（共3小题）
11．（2022•阜新）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF．
（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；
（2）直线AE与CF相交于点G．
①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图3，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．


12．（2020•阜新）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．
（1）如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；
（2）将正方形CEFG绕点C旋转一周．
①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH＝CH；
②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．

13．（2021•阜新）在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是直线AB，BC上的点（E，F在直线AC的两侧），且AE＝CF．
（1）如图2，求证：DE＝DF；
（2）若直线AC与EF相交于点G，
①如图3，求证：DG⊥EF；
②设正方形ABCD的中心为O，∠CFE＝α，用含α的式子表示∠DGO的度数（不必证明）．

八．切线的判定与性质（共1小题）
14．（2022•阜新）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长．

九．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
15．（2021•阜新）下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．
（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G，G关于y轴的对称图形为G1，关于x轴的对称图形为G2．则将图形G1绕 　 　点顺时针旋转 　 　度，可以得到图形G2．
（2）在图2中分别画出G关于y轴和直线y＝x+1的对称图形G1，G2．将图形G1绕 　 　点（用坐标表示）顺时针旋转 　 　度，可以得到图形G2．
（3）综上，如图3，直线l1：y＝﹣2x+2和l2：y＝x所夹锐角为α，如果图形G关于直线l1的对称图形为G1，关于直线l2的对称图形为G2，那么将图形G1绕 　 　点（用坐标表示）顺时针旋转 　 　度（用α表示），可以得到图形G2．

一十．作图-旋转变换（共1小题）
16．（2020•阜新）如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A（4，4），B（1，1），C（4，1）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O1顺时针旋转90°得到△A2B2C2，弧AA2是点A所经过的路径，则旋转中心O1的坐标为　 　；
（3）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
17．（2022•阜新）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，cosα＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）求C，D两点的高度差；
（2）求居民楼的高度AB．
（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）

一十二．扇形统计图（共1小题）
18．（2020•阜新）在“尚科学，爱运动”主题活动中，某校在七年级学生中随机抽取部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并将测试成绩x（单位：次）进行整理后分成六个等级，分别用A，B，C，D，E，F表示，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图表．请根据图表中所给出的信息解答下列问题：
组别
成绩x（单位：次）
人数
A
70≤x＜90
4
B
90≤x＜110
15
C
110≤x＜130
18
D
130≤x＜150
12
E
150≤x＜170
m
F
170≤x＜190
5
（1）本次测试随机抽取的人数是　 　人，m＝　 　；
（2）求C等级所在扇形的圆心角的度数；
（3）若该校七年级学生共有300人，且规定不低于130次的成绩为优秀，请你估计该校七年级学生中有多少人能够达到优秀．

一十三．条形统计图（共2小题）
19．（2022•阜新）某校为提高学生的综合素质，准备开设“泥塑”“绘画”“书法”“街舞”四门校本课程，为了解学生对这四门课程的选择情况（要求每名学生只能选择其中一门课程），学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题：
（1）参加此次问卷调查的学生人数是 　 　人，在扇形统计图中，选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数是 　 　；
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若该校七年级共有600名学生，请估计七年级学生中选择“书法”课程的约有多少人？


20．（2021•阜新）育红学校为了了解学生家长对教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》（以下简称《通知》）的了解程度，随机抽取了该校部分学生家长进行问卷调查，问卷分为A（十分了解），B（了解较多），C（了解较少），D（不了解）四个选项，要求每位被调查家长必选且只能选择其中的一项．在对调查数据进行统计分析时，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题：

（1）参与这次学校调查的学生家长共 　 　人；
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有2000名学生家长，请估计该校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的一共有多少人？

辽宁省阜新市2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•阜新）先化简，再求值：÷（1﹣），其中a＝4．
【答案】，．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
当a＝4时，原式＝＝．
2．（2021•阜新）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝+1．
【答案】，．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
当时，
原式＝＝＝．
3．（2020•阜新）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
【答案】，1﹣．
【解答】解：原式＝•
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝＝1﹣．
二．二元一次方程组的应用（共1小题）
4．（2020•阜新）在抗击新冠肺炎疫情期间，玉龙社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了260元．
（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？
（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：设购买酒精x瓶，消毒液y瓶，
根据题意列方程组，得
．
解得，．
答：每次购买的酒精和消毒液分别是20瓶，30瓶；

（2）解：设能购买消毒液m瓶，则能购买酒精2m瓶，
根据题意，得 10×（1﹣30%）•2m+5（1﹣20%）•m≤200，
解得：m≤＝11．
∵m为正整数，
∴m＝11．
所以，最多能购买消毒液11瓶．
三．分式方程的应用（共1小题）
5．（2021•阜新）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．
（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
（2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？
【答案】（1）甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；
（2）最多安排甲公司工作12天．
【解答】解：（1）设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室，
根据题意得：＝3，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是所列方程的解，
则1.5x＝1.5×4＝6，
答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；
（2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作 天，
根据题意得：1000y+×500≤18000，
解这个不等式，得：y≤12，
答：最多安排甲公司工作12天．
四．一元一次不等式的应用（共1小题）
6．（2022•阜新）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．
（1）第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？
（2）下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少件？
【答案】（1）生产A产品30件，B产品70件．
（2）140件．
【解答】解：（1）设生产A产品x件，B产品y件，
根据题意，得
解这个方程组，得，
所以，生产A产品30件，B产品70件．
（2）设B产品生产m件，则A产品生产（180﹣m）件，
根据题意，得（100﹣75）m+（120﹣100）（180﹣m）≥4300，
解这个不等式，得m≥140．
所以，B产品至少生产140件．
五．一次函数图象与几何变换（共1小题）
7．（2022•阜新）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整．
（1）如图1，将一次函数y＝x+2的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了 　1　个单位长度；
（2）将一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向 　左　（填“左”或“右”）平移了 　　个单位长度；
（3）综上，对于一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，相当于将它向 　右　（填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向 　左　（填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n＞0）个单位长度，且m，n，k满足等式　m＝n|k|（或：当k＞0时，m＝nk，当k＜0时，m＝﹣nk）　．


【答案】（1）1；
（2）左；；
（3）右；左；m＝n|k|（或：当k＞0时，m＝nk，当k＜0时，m＝﹣nk）．
【解答】解：（1）∵将一次函数y＝x+2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x+2﹣1＝（x﹣1）+2，
∴相当于将它向右平移了1个单位长度，
故答案为：1；
（2）将一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移1个单位长度得到y＝﹣2x+4﹣1＝﹣2（x+）+4，
∴相当于将它向左平移了个单位长度；
故答案为：左；；
（3）综上，对于一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，相当于将它向右（填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向左（填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n＞0）个单位长度，且m，n，k满足等式m＝n|k|．
故答案为：右；左；m＝n|k|（或：当k＞0时，m＝nk，当k＜0时，m＝﹣nk）．
六．二次函数综合题（共3小题）
8．（2022•阜新）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣1，0），B（5，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒（0＜t＜5）．当t为何值时，△BMN的面积最大？最大面积是多少？
（3）已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．


【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；
（2）当时，△BMN的面积最大，最大面积是；
（3）存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，Q的坐标为（﹣7，12）或（7，﹣2）或（1，4）或（2，3）．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得，
解这个方程组得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）过点M作ME⊥x轴于点E，如图：

设△BMN面积为S，
根据题意得：ON＝t，BM＝．
∵B（5，0），
∴BN＝5﹣t，
在y＝﹣x2+4x+5中，令x＝0得y＝5，
∴C（0，5），
∴OC＝OB＝5，
∴∠OBC＝45°．
∴ME＝BMsin45°＝，
∴S＝BN•ME＝（5﹣t）•t＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，
∵0＜t＜5，
∴当时，△BMN的面积最大，最大面积是；
（3）存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由B（5，0），C（0，5）得直线BC解析式为y＝﹣x+5，
设Q（m，﹣m+5），P（n，﹣n2+4n+5），又A（﹣1，0），C（0，5），
①当PQ，AC是对角线，则PQ，AC的中点重合，
∴，
解得m＝0（与C重合，舍去）或m＝﹣7，
∴Q（﹣7，12）；
②当QA，PC为对角线，则QA，PC的中点重合，
∴，
解得m＝0（舍去）或m＝7，
∴Q（7，﹣2）；
③当QC，PA为对角线，则QC，PA的中点重合，
∴，
解得m＝1或m＝2，
∴Q（1，4）或（2，3），
综上所述，Q的坐标为（﹣7，12）或（7，﹣2）或（1，4）或（2，3）．
9．（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点 C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3．
（2）①．
②点Q的坐标为（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3．

（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′．得，
解得，
∴y＝﹣x﹣3，
∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．
∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），
∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴此函数有最大值．
又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜﹣＜0，
∴当m＝﹣时，MN有最大值．

②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．

∵MN＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，
∴﹣m2﹣3m＝﹣m，
解得m＝﹣3+或0（舍弃）
∴MN＝3﹣2，
∴CQ＝MN＝3﹣2，
∴OQ＝3+1，
∴Q（0，﹣3﹣1）．

如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．

如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，

则有，m2+3m＝﹣m，
解得m＝﹣3﹣或0（舍弃），
∴MN＝CQ＝3+2，
∴OQ＝CQ﹣OC＝3﹣1，
∴Q（0，3﹣1）．
当点P在y轴的右侧时，显然MN＞CM，此时满足条件的菱形不存在．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）．
10．（2021•阜新）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝x﹣2交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；
（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3．
（2）当m＝时，S△PBC的最大值为．
（3）点M的坐标为M1（0，﹣3），M2 ，M3，M4（，）．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3 中，得：
，
解得：，
∴该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，
设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点E （m，），
∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m+1，
联立方程组：，
解得：，，
∵点B坐标为（3，0），
∴点C的坐标为（，﹣），
∴BD+CF＝3+，
∴S△PBC＝S△PEB+S△PEC
＝PE•BD+PE•CF
＝PE（BD+CF）
＝（﹣m2+m+1）•
＝（）2+，（其中＜m＜3），
∵，
∴这个二次函数有最大值．
当m＝时，S△PBC的最大值为．
（3）如图2，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），
作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∵∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，
解得：，，
M1（0，﹣3），M2 ，
如图3，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），
作MG⊥x轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∵∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，
解得：t1＝，t2＝，
∴M3，M4（，）；
综上所述，点M的坐标为M1（0，﹣3），M2 ，M3，M4（，）．



七．四边形综合题（共3小题）
11．（2022•阜新）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF．
（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；
（2）直线AE与CF相交于点G．
①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图3，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．


【答案】（1）证明见解析部分；
（2）①证明见解析部分；
②2．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°．
∵DE＝DF，∠EDF＝90°．
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，

∴△ADE≌△CDF（SAS）；

（2）①证明：如图2中，设AG与CD相交于点P．

∵∠ADP＝90°，
∴∠DAP+∠DPA＝90°．
∵△ADE≌△CDF，
∴∠DAE＝∠DCF．
∵∠DPA＝∠GPC，
∴∠DAE+∠DPA＝∠GPC+∠GCP＝90°．
∴∠PGN＝90°，
∵BM⊥AG，BN⊥GN，
∴四边形BMGN是矩形，
∴∠MBN＝90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠MBN＝90°．
∴∠ABM＝∠CBN．
又∵∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴△AMB≌△CNB．
∴MB＝NB．
∴矩形BMGN是正方形；

②解：作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，

此时△AMB≌△AHD．
∴BM＝AH．
∵AH2＝AD2﹣DH2，AD＝4，
∴DH最大时，AH最小，DH最大值＝DE＝2．
∴BM最小值＝AH最小值＝．
由（2）①可知，△BGM是等腰直角三角形，
∴BG最小值＝．
12．（2020•阜新）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．
（1）如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；
（2）将正方形CEFG绕点C旋转一周．
①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH＝CH；
②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．

【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图1中，

证明：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE＝90°，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE，
∵∠CDE+∠DEC＝90°，
∴∠HBE+∠BEH＝90°，
∴∠BHE＝90°，
∴BG⊥DE．

（2）①如图2中，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．

由（1）可知，∠CBK＝∠CDH，
∵BK＝DH，BC＝DC，
∴△BCK≌△DCH（SAS），
∴CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，
∴∠KCH＝∠BCD＝90°，
∴△KCH是等腰直角三角形，
∴HK＝CH，
∴BH﹣DH＝BH﹣BK＝KH＝CH．

②如图3﹣1中，当D，G，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．

由（1）可知，BH＝DE，且CE＝CH＝1，EH＝CH，
∵BC＝3，
∴BD＝BC＝3，
设DH＝x，则BH＝DE＝x+，
在Rt△BDH中，∵BH2+DH2＝BD2，
∴（x+）2+x2＝（3）2，
解得x＝或（舍弃）．

如图3﹣2中，当H，E重合时，∠DEC＝45°，连接BD．

设DH＝x，
∵BG＝DH，
∴BH＝DH﹣HG＝x﹣，
在Rt△BDH中，∵BH2+DH2＝BD2，
∴（x﹣）2+x2＝（3）2，
解得x＝或（舍弃），
综上所述，满足条件的DH的值为或．
13．（2021•阜新）在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是直线AB，BC上的点（E，F在直线AC的两侧），且AE＝CF．
（1）如图2，求证：DE＝DF；
（2）若直线AC与EF相交于点G，
①如图3，求证：DG⊥EF；
②设正方形ABCD的中心为O，∠CFE＝α，用含α的式子表示∠DGO的度数（不必证明）．

【答案】（1）证明见解答过程；（2）①证明见解答过程；②∠DGO＝α+45°或∠DGO＝α﹣45°或∠DGO＝45°﹣α．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠C＝∠DAB＝90°．
∴∠DAE＝∠C＝90°，
又∵AE＝CF，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴DE＝DF；
（2）①证明：作EH∥BC交AC于点H，如图3．

∴∠EHG＝∠FCG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°．
∴∠BAC＝∠BCA＝45°
∵EH∥BC，
∴∠AHE＝∠ACB＝45°．
∴∠BAH＝∠AHE．
∴AE＝EH，
∵AE＝CF，
∴EH＝CF．
又∵∠EGH＝∠FGC，
∴△EHG≌△FCG（AAS），
∴EG＝GF．
由（1）同理可得 DE＝DF，
∴DG⊥EF；
②解：Ⅰ当点E在线段AB上时，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ACD＝45°，
∵DE＝DF，DG⊥EF，
∴∠GDF＝∠2＝45°，
∴∠1＝45°﹣∠3，
∵∠BCD＝90°，
∴∠3+∠2+∠CFE＝90°，
∴∠3＝90°﹣45°﹣α＝45°﹣α，
∴∠1＝45°﹣∠3＝α，
∵∠DGO＝∠ACD+∠1，
∴∠DGO＝α+45°；
Ⅱ当点E在线段BA的延长线上时，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BDC＝45°，
∵DE＝DF，DG⊥EF，
∴∠GDF＝∠GFD＝∠BDC＝45°，
∴∠1＝∠2，
∵∠BCD＝90°，
∴∠3+∠2＝90°，
∵∠3＝∠CFE﹣∠GFD＝α﹣45°，
∴∠2＝90°﹣α+45°＝135°﹣α，
∴∠1＝∠2＝135°﹣α，
∴∠DGO＝90°﹣∠1＝α﹣45°；
Ⅲ当点E在线段AB的延长线上时，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠ACD＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠2＝∠3，
∵DE＝DF，DG⊥EF，
∴∠GDE＝∠DEG＝45°，
∴∠1+∠3＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CFE+∠2+∠DEG＝90°，
∴∠CFE+∠2＝45°，
∴∠CFE＝∠1＝α，
∴∠DGO+∠1＝∠ACD＝45°，
∴∠DGO＝45°﹣α．
综上：∠DGO＝α+45°或∠DGO＝α﹣45°或∠DGO＝45°﹣α．
八．切线的判定与性质（共1小题）
14．（2022•阜新）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）π．
【解答】（1）证明：连接OD．

∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC．
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ADC+∠BDO＝90°．
∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AC＝CD＝，∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD＝60°．
∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．
在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCO＝tan30°＝2．
∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝30°．
∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．
∴的长＝．
九．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
15．（2021•阜新）下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．
（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G，G关于y轴的对称图形为G1，关于x轴的对称图形为G2．则将图形G1绕 　O　点顺时针旋转 　180　度，可以得到图形G2．
（2）在图2中分别画出G关于y轴和直线y＝x+1的对称图形G1，G2．将图形G1绕 　（0，1）　点（用坐标表示）顺时针旋转 　90　度，可以得到图形G2．
（3）综上，如图3，直线l1：y＝﹣2x+2和l2：y＝x所夹锐角为α，如果图形G关于直线l1的对称图形为G1，关于直线l2的对称图形为G2，那么将图形G1绕 　（，）　点（用坐标表示）顺时针旋转 　2α　度（用α表示），可以得到图形G2．

【答案】（1）O，180；
（2）图见解答过程；（0，1），90；
（3）（，），2α．
【解答】解：（1）由图象即可知，将图形G1绕O点顺时针旋转180度，可以得到图形G2，
故答案为：O，180；
（2）G关于y轴和直线y＝x+1的对称图形G1，G2，如图2所示，
∵图形G1，G2对应点连线的垂直平分线交于点（0，1），
∴图形G1绕（0，1）点顺时针旋转90度，可以得到图形G2，
即答案为：G1，G2如图2；（0，1），90；
（3）图形G关于直线l1的对称图形为G1，关于直线l2的对称图形为G2，
则直线l1与直线l2的交点即为图形G1，G2对应点连线的垂直平分线交点，
即旋转中心，
∴，
解得，
∴图形G1绕点（，）旋转可以得到图形G2，
如图3，设A点，点A'，点A''分别是在图形G，G1，G2上的对应点，
设旋转中心为P，则∠A'PA''即为旋转角，
连接AP，A'P，A''P，
∵两直线所夹的锐角为α，
由图象的对称性可知，∠APA'+∠APA''＝180°﹣α，
∴∠A'PA''＝360°﹣2（∠APA'+∠APA''）＝360°﹣（360°﹣2α）＝2α，
故答案为：（，），2α．


一十．作图-旋转变换（共1小题）
16．（2020•阜新）如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A（4，4），B（1，1），C（4，1）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O1顺时针旋转90°得到△A2B2C2，弧AA2是点A所经过的路径，则旋转中心O1的坐标为　（2，0）　；
（3）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

【答案】（1）见解答；
（2）（2，0）；
（3）5π﹣．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）旋转中心O1的坐标为 （2，0），
故答案为（2，0）；
（3）设旋转半径为r，则r2＝22+42＝20，
∴阴影部分的图形面积为：＝5π﹣．

一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
17．（2022•阜新）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，cosα＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）求C，D两点的高度差；
（2）求居民楼的高度AB．
（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）

【答案】（1）9m．
（2）24m．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，

∵在Rt△DCE中，cosα＝，CD＝15m，
∴（m）．
∴（m）．
答：C，D两点的高度差为9m．
（2）过点D作DF⊥AB于F，
由题意可得BF＝DE，DF＝BE，
设AF＝xm，
在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°＝，
解得DF＝x，
在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，
tan60°＝＝，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴AB＝++9≈24（m）．
答：居民楼的高度AB约为24m．
一十二．扇形统计图（共1小题）
18．（2020•阜新）在“尚科学，爱运动”主题活动中，某校在七年级学生中随机抽取部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并将测试成绩x（单位：次）进行整理后分成六个等级，分别用A，B，C，D，E，F表示，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图表．请根据图表中所给出的信息解答下列问题：
组别
成绩x（单位：次）
人数
A
70≤x＜90
4
B
90≤x＜110
15
C
110≤x＜130
18
D
130≤x＜150
12
E
150≤x＜170
m
F
170≤x＜190
5
（1）本次测试随机抽取的人数是　60　人，m＝　6　；
（2）求C等级所在扇形的圆心角的度数；
（3）若该校七年级学生共有300人，且规定不低于130次的成绩为优秀，请你估计该校七年级学生中有多少人能够达到优秀．

【答案】（1）60，6；
（2）108°；
（3）115人．
【解答】解：（1）15÷25%＝60（人），
m＝60﹣4﹣15﹣18﹣12﹣5＝6；
答：本次测试随机抽取的人数是60人，
故答案为60，6；

（2）C等级所在扇形的圆心角的度数＝360°×＝108°，

（3）估计该校七年级学生能够达到优秀的人数为
300×＝115（人）．
故答案为：60，6．
一十三．条形统计图（共2小题）
19．（2022•阜新）某校为提高学生的综合素质，准备开设“泥塑”“绘画”“书法”“街舞”四门校本课程，为了解学生对这四门课程的选择情况（要求每名学生只能选择其中一门课程），学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题：
（1）参加此次问卷调查的学生人数是 　50　人，在扇形统计图中，选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数是 　64.8°　；
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若该校七年级共有600名学生，请估计七年级学生中选择“书法”课程的约有多少人？


【答案】（1）50，64.8°；
（2）见解答；
（3）216人．
【解答】解：（1）参加此次问卷调查的学生人数是：7÷14%＝50；
选择“泥塑”的学生所对应的扇形圆心角的度数是：360°×＝64.8°．
故答案为：50，64.8°；
（2）“绘画”的人数为：50﹣9﹣18﹣7＝16（人），
补全条形统计图如图所示．

（3）（名）．
答：七年级学生中选择“书法”课程的约有216人．
20．（2021•阜新）育红学校为了了解学生家长对教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》（以下简称《通知》）的了解程度，随机抽取了该校部分学生家长进行问卷调查，问卷分为A（十分了解），B（了解较多），C（了解较少），D（不了解）四个选项，要求每位被调查家长必选且只能选择其中的一项．在对调查数据进行统计分析时，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题：

（1）参与这次学校调查的学生家长共 　150　人；
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有2000名学生家长，请估计该校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的一共有多少人？
【答案】（1）150；（2）见解答；（3）1120人．
【解答】解：（1）参与这次学校调查的学生家长共30÷20%＝150（人），
故答案为：150；
（2）C选项人数为：150﹣30﹣54﹣24＝42（人），
补全图形如下：


（3）×2000＝1120（人），
答：估计该校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的一共有1120人．