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四川省阿坝州中考数学试卷2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题提升题知识点分类(含解析)
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这是一份四川省阿坝州中考数学试卷2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题提升题知识点分类(含解析)，共32页。试卷主要包含了经过点B，之间满足如图所示的函数关系，，D为抛物线的顶点等内容，欢迎下载使用。
四川省阿坝州中考数学试卷2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题提升题知识点分类
目录
一．分式方程的应用（共1小题） 1
二．反比例函数系数k的几何意义（共1小题） 1
三．二次函数的应用（共1小题） 2
四．二次函数综合题（共3小题） 2
五．三角形综合题（共1小题） 4
六．四边形综合题（共2小题） 4
七．切线的性质（共2小题） 5
八．相似三角形的判定与性质（共1小题） 6
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题） 6
一十．列表法与树状图法（共2小题） 7
一．分式方程的应用（共1小题） 9
二．反比例函数系数k的几何意义（共1小题） 9
三．二次函数的应用（共1小题） 10
四．二次函数综合题（共3小题） 11
五．三角形综合题（共1小题） 18
六．四边形综合题（共2小题） 20
七．切线的性质（共2小题） 23
八．相似三角形的判定与性质（共1小题） 26
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题） 27
一十．列表法与树状图法（共2小题） 29
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2022•阿坝州）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等．
（1）A，B两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
（2）某工厂需要每天搬运化工原料11520kg，现准备引进A，B两种机器人共20台，如果每天工作8小时，则至少需要引进A型机器人多少台？
二．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
2．（2022•阿坝州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），△AOB的面积为2，∠OAB＝90°，双曲线y＝（x＞0）经过点B．
（1）求k的值；
（2）过点A作AC∥OB交双曲线y＝（x＞0）于点C，求点C的坐标．
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2021•阿坝州）某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
四．二次函数综合题（共3小题）
4．（2022•阿坝州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）设E是第四象限抛物线上的点，若△ACE的面积与△BCD的面积相等，求直线AE的解析式；
（3）在（2）的条件下，设F是线段AE上异于A，E的一点，以CF为斜边作等腰Rt△CFG，当点G恰好在抛物线上时，求EF的长．
5．（2021•阿坝州）如图1，直线y＝﹣x+b与抛物线y＝ax2交于A，B两点，与y轴于点C，其中点A的坐标为（﹣4，8）．
（1）求a，b的值；
（2）将点A绕点C逆时针旋转90°得到点D．
①试说明点D在抛物线上；
②如图2，将直线AB向下平移，交抛物线于E，F两点（点E在点F的左侧），点G在线段OC上．若△GEF∽△DBA（点G，E，F分别与点D，B，A对应），求点G的坐标．
6．（2020•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长；
（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
五．三角形综合题（共1小题）
7．（2020•甘孜州）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上，连接BE．
（1）求证：DC平分∠ADE；
（2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由；
（3）若BE＝BD，求tan∠ABC的值．
六．四边形综合题（共2小题）
8．（2021•阿坝州）如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边BC上一点，连接DE交AC于点F，连接BF．
（1）求证：△CBF≌△CDF；
（2）如图2，过点F作DE的垂线，交BC的延长线于点G，交OB于点N．
①求证：FB＝FG；
②若tan∠BDE＝，ON＝1，求CG的长．
9．（2022•阿坝州）如图，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的点，将EA绕点E顺时针旋转90°得EF，交CD于点G，连接CF．
（1）求证：∠BAE＝∠CEF；
（2）求∠ECF的度数；
（3）当CG的长最大时，直接写出CF的长．
七．切线的性质（共2小题）
10．（2022•阿坝州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD为⊙O的切线，AC平分∠BAD．
（1）试判断△ACD是否为直角三角形，并说明理由；
（2）若AB＝10，AC＝4，求CD的长．
11．（2020•甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：∠CAD＝∠CAB；
（2）若＝，AC＝2，求CD的长．
八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
12．（2021•阿坝州）如图，AB为⊙O的直径，D为BA延长线上一点，过点D作⊙O的切线，切点为C，过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：BC平分∠DBE；
（2）当BC＝4时，求AB•BE的值；
（3）在（2）的条件下，连接EO，交BC于点F，若，求⊙O的半径．
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
13．（2022•阿坝州）如图，有两座建筑物AB，CD，建筑物AB的高为30m，从A点测得D点的俯角为30°，从C点测得A点的仰角为45°．
（1）求建筑物AB与建筑物CD间的水平距离BC；
（2）求建筑物CD的高．（结果精确到0.1，≈1.414，≈1.732）
14．（2020•甘孜州）热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30°，看大楼底部B的俯角为45°，热气球与该楼的水平距离AD为60米，求大楼BC的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.73）
一十．列表法与树状图法（共2小题）
15．（2022•阿坝州）北京时间2022年3月23日下午，某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据图中信息，回答下列问题：
（1）共调查了 名学生，图2中A所对应的圆心角度数为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
16．（2020•甘孜州）为了解同学们最喜欢一年四季中的哪个季节，数学社在全校随机抽取部分同学进行问卷调查，根据调查结果，得到如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 名同学；扇形统计图中，“春季”所对应的扇形的圆心角的度数为 ；
（2）若该学校有1500名同学，请估计该校最喜欢冬季的同学的人数；
（3）现从最喜欢夏季的3名同学A，B，C中，随机选两名同学去参加学校组织的“我爱夏天”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好选到A，B去参加比赛的概率．
四川省阿坝州中考数学试卷2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题提升题知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2022•阿坝州）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等．
（1）A，B两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
（2）某工厂需要每天搬运化工原料11520kg，现准备引进A，B两种机器人共20台，如果每天工作8小时，则至少需要引进A型机器人多少台？
【答案】（1）A型机器人每小时搬运90kg，B型机器人每小时搬运60kg；
（2）至少购进8台A型机器人．
【解答】解：（1）设B型机器人每小时搬运xkg材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）kg，
依题意得，
解得x＝60（kg），
经检验，x＝60是原方程的解，
即A型机器人每小时搬运60+30＝90（kg）．
答：A型机器人每小时搬运90kg，B型机器人每小时搬运60kg．
（2）设购进A型a台，B型（20﹣a）台，
由题意得，90a+60×（20﹣a）≥，
解得a≥8，
答：至少购进8台A型机器人．
二．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
2．（2022•阿坝州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），△AOB的面积为2，∠OAB＝90°，双曲线y＝（x＞0）经过点B．
（1）求k的值；
（2）过点A作AC∥OB交双曲线y＝（x＞0）于点C，求点C的坐标．
【答案】（1）k＝4；
（2）C（+1，﹣1）．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（2，0），△AOB的面积为2，∠OAB＝90°，双曲线y＝（x＞0）经过点B，
∴S△AOB＝＝2，
∴|k|＝4，
∵k＞0，
∴k＝4；
（2）∵点A的坐标为（2，0），△AOB的面积为2，
∴AB＝2，
∴B（2，2），
∴直线OB为y＝x，
把直线OB向右平移2个单位得到直线AC为y＝x﹣2，
由，解得或，
∴C（+1，﹣1）．
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2021•阿坝州）某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），
将（60，600），（80，400）代入，得：
解得：，
∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为y＝﹣10x+1200；
（2）由题意得：
w＝（﹣10x+1200）（x﹣50）
＝﹣10x2+1700x﹣60000
＝﹣10（x﹣85）2+12250，
∵﹣10＜0，
∴当x≤85时，w随x的增大而增大，
∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的30%，
∴x≤50×（1+30%），即x≤65，
∴当x＝65时，w取得最大值：最大值＝﹣10×（65﹣85）2+12250＝8250．
∴售价定为65元可获得最大利润，最大利润是8250元．
四．二次函数综合题（共3小题）
4．（2022•阿坝州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）设E是第四象限抛物线上的点，若△ACE的面积与△BCD的面积相等，求直线AE的解析式；
（3）在（2）的条件下，设F是线段AE上异于A，E的一点，以CF为斜边作等腰Rt△CFG，当点G恰好在抛物线上时，求EF的长．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，点D（1，﹣4）；（2）y＝﹣x﹣1；（3）EF＝2．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝﹣3，则a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4）；
（2）设点E（m，m2﹣2m﹣3），
由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为：y＝（m﹣3）（x+1），
同理可得，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，
过点D作DN∥y轴于点N，
当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，则ND＝﹣2+4＝2，
则△BCD的面积＝ND•OB＝2×3＝3，
设直线AE交y轴于点T，
由AE的表达式知，点T（0，m﹣3），则TC＝m﹣3+3＝m，
则△ACE的面积＝CT•（xE﹣xA）＝m•（m+1）＝3，
解得：m＝2，则点E的坐标为：（2，﹣3），
则直线AE的表达式为：y＝﹣x﹣1；
（3）当点G在CF下方时，
过点G作MH⊥y轴于点M，交过点F与y轴的平行线于点H，
设点F（m，﹣m﹣1），点G（x，y），
∵△FCG为等腰直角三角形，则CG＝FG，∠CGF＝90°，
∴∠CGM+∠FGH＝90°，
∵∠GFH+∠FGH＝90°，
∴∠CGM＝∠GFH，
∵∠GMC＝∠FHG＝90°，CG＝FG，
∴△GMC≌△FHG（AAS），
∴GM＝FH，CM＝GH，
即m﹣x＝﹣y﹣3且﹣m﹣1﹣y＝x，
解得：x＝1且y＝﹣m﹣2，
即点G（1，﹣m﹣2），
将点G的坐标代入抛物线表达式得：﹣m﹣2＝1﹣2﹣3，
解得：m＝2（舍去）；
当点G在CF上方时，
同理可得，点G的坐标为（m﹣1，﹣2），
将点G的坐标代入抛物线表达式得：﹣2＝（m﹣1）2﹣2（m﹣1）﹣3，
解得：m＝2+2（舍去）或2﹣2，
则点F（2﹣2，﹣3+），
而点E（2，﹣3），
则EF＝2．
5．（2021•阿坝州）如图1，直线y＝﹣x+b与抛物线y＝ax2交于A，B两点，与y轴于点C，其中点A的坐标为（﹣4，8）．
（1）求a，b的值；
（2）将点A绕点C逆时针旋转90°得到点D．
①试说明点D在抛物线上；
②如图2，将直线AB向下平移，交抛物线于E，F两点（点E在点F的左侧），点G在线段OC上．若△GEF∽△DBA（点G，E，F分别与点D，B，A对应），求点G的坐标．
【答案】（1）a＝，b＝6．
（2）①证明见解析部分．
②G（0，）．
【解答】解：（1）由题意，得，
解得．
（2）①如图1中，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．
由（1）可知，直线AB的解析式为y＝﹣x+6，
∴C（0，6），
∵∠AMC＝∠DNC＝∠ACD＝90°，
∴∠ACM+∠DCN＝90°，∠DCN+∠CDN＝90°，
∴∠ACM＝∠CDN，
∵CA＝CD，
∴△AMC≌△CND（AAS），
∴CN＝AM＝4，DN＝CM＝2，
∴D（﹣2，2），
当x＝﹣2时，y＝×22＝2，
∴点D在抛物线y＝x2上．
②由，解得或，
∴点B的坐标为（3，），
∴直线AD的解析式为y＝﹣3x﹣4，直线BD的解析式为y＝x+3，
设E（t，t2），
∴直线EF的解析式为y＝﹣x+t2+t，
由，解得或，
∴F（﹣t﹣1，（t+1）2），
∵△GEF∽△DBA，EF∥AB，
由题意可知，EG∥DB，GF∥AD，
∴直线EG的解析式为y＝x+t2﹣，直线FG的解析式为y＝﹣3x+（t+1）2﹣3（t+1），
联立，解得，
∴G（﹣t﹣，t2﹣t﹣），
令﹣t﹣＝0，
解得t＝﹣，
∴G（0，）．
6．（2020•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长；
（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+3交y轴于B，
令x＝0，得到y＝3，
∴B（0，3）
由题意抛物线经过B（0，3），C（1，0），
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，解得x＝﹣3或1，
∴A（﹣3，0），
∵B（0，3），C（1，0），
∴OA＝OB＝3，OC＝1，AB＝3，
∵∠APO＝∠ACB，∠PAO＝∠CAB，
∴△PAO∽△CAB，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝2．
（3）∵AO＝OB，
∴∠BAO＝45°，
∴AP＝2，
∴P（﹣1，2），
①当AP为平行四边形的边时，点N的横坐标为2或﹣2，
∴N（﹣2，3），N′（2，﹣5），
②当AP为平行四边形的对角线时，点N″的横坐标为﹣4，
∴N″（﹣4，﹣5），
综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，3）或（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）．
五．三角形综合题（共1小题）
7．（2020•甘孜州）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上，连接BE．
（1）求证：DC平分∠ADE；
（2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由；
（3）若BE＝BD，求tan∠ABC的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵△DCE是由△ACB旋转得到，
∴CA＝CD，∠A＝∠CDE
∴∠A＝∠CDA，
∴∠CDA＝∠CDE，
∴CD平分∠ADE．
（2）解：结论：BE⊥AB．
由旋转的性质可知，∠DBC＝∠CED，
∴D，C，E，B四点共圆，
∴∠DCE+∠DBE＝180°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
∴BE⊥AB．
（3）如图，设BC交DE于O．连接AO．
∵BD＝BE，∠DBE＝90°，
∴∠DEB＝∠BDE＝45°，
∵C，E，B，D四点共圆，
∴∠DCO＝∠DEB＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠OCD，
∵CD＝CD，∠ADC＝∠ODC，
∴△ACD≌△OCD（ASA），
∴AC＝OC，
∴∠AOC＝∠CAO＝45°，
∵∠ADO＝135°，
∴∠CAD＝∠ADC＝67.5°，
∴∠ABC＝22.5°，
∵∠AOC＝∠OAB+∠ABO，
∴∠OAB＝∠ABO＝22.5°，
∴OA＝OB，设AC＝OC＝m，则AO＝OB＝m，
∴tan∠ABC＝＝＝﹣1．
六．四边形综合题（共2小题）
8．（2021•阿坝州）如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边BC上一点，连接DE交AC于点F，连接BF．
（1）求证：△CBF≌△CDF；
（2）如图2，过点F作DE的垂线，交BC的延长线于点G，交OB于点N．
①求证：FB＝FG；
②若tan∠BDE＝，ON＝1，求CG的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②2．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠BCF＝∠DCF＝45°，
在△CBF和△CDF中，
，
∴△CBF≌△CDF（SAS）；
（2）①∵FG⊥DE，
∴∠DFG＝90°，
∴∠G+∠FEG＝90°，
∵∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠CDE＝∠G，
由（1）知△CBF≌△CDF，
∴∠CBF＝∠CDF，
∴∠CBF＝∠G，
∴FB＝FG；
②∵∠FDN+∠FND＝90°，∠OFN+∠FND＝90°，
∴∠FDN＝∠OFN，
∴tan∠OFN＝tan∠BDE＝，
∴OF＝2ON＝2，OC＝OD＝2OF＝4，
∴CF＝OC﹣OF＝2，
作FH⊥BG于H，则CH＝，
∵OC＝4，
∴BC＝OC＝4，
∴BH＝BC﹣CH＝3，
由①知BF＝FG，且FH⊥BC，
∴GH＝BH＝3，
∴CG＝GH﹣CH＝3﹣＝2．
9．（2022•阿坝州）如图，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的点，将EA绕点E顺时针旋转90°得EF，交CD于点G，连接CF．
（1）求证：∠BAE＝∠CEF；
（2）求∠ECF的度数；
（3）当CG的长最大时，直接写出CF的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）135°；
（3）当CG的长最大为1时，CF的长为2．理由见解答．
【解答】（1）证明：由题意可知：AE⊥EF，AE＝EF，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
在正方形ABCD中，∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF；
（2）如图，在AB上截取BP＝BE，连接EP，
则AP＝EC，∠BPE＝45°，
∵AP＝EC，∠PAE＝∠CEF，AE＝EF，
∴△APE≌△ECF（SAS），
∴∠ECF＝∠APE＝180°﹣∠BPE＝135°；
（3）由（1）知：∠BAE＝∠CEF，
∵∠ABE＝∠ECG＝90°，
∴△ABE∽△ECG，
∴＝，
∴＝，
∴CG＝BE（4﹣BE）＝﹣（BE2﹣4BE）＝﹣（BE﹣2）2+1，
∴当BE＝2时，CG最大为1，
由（2）知：△APE≌△ECF，
∴PE＝CF，
∵BP＝BE＝2，
∴PE＝CF＝2，
∴当CG的长最大为1时，CF的长为2．
七．切线的性质（共2小题）
10．（2022•阿坝州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD为⊙O的切线，AC平分∠BAD．
（1）试判断△ACD是否为直角三角形，并说明理由；
（2）若AB＝10，AC＝4，求CD的长．
【答案】（1）△ACD是直角三角形，理由见解析；（2）4．
【解答】解：（1）△ACD是直角三角形，理由如下：
连接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴半径OC⊥DC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∴AD⊥DC，
∴∠D＝90°，
∴△ACD是直角三角形；
（2）连接BC，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，AC＝4，
∴BC＝＝2，
∴sin∠CAB＝＝，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴sin∠DAC＝sin∠CAB＝，
∴＝，
∴CD＝4．
11．（2020•甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：∠CAD＝∠CAB；
（2）若＝，AC＝2，求CD的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
，
∵CD是切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠1＝∠4．
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠4，
∴∠1＝∠2，
即∠CAD＝∠CAB．
（2）解：如图2，
连接BC，
∵＝，
∴设AD＝2x，AB＝3x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠ACB＝90°，∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
解得，x1＝2，x2＝﹣2（舍去），
∴AD＝4，
∴CD＝＝2．
八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
12．（2021•阿坝州）如图，AB为⊙O的直径，D为BA延长线上一点，过点D作⊙O的切线，切点为C，过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：BC平分∠DBE；
（2）当BC＝4时，求AB•BE的值；
（3）在（2）的条件下，连接EO，交BC于点F，若，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解析部分．
（2）80．
（3）5．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵DE⊥BE，
∴OC∥BE，
∴∠EBC＝∠OCB，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBC＝∠EBC，
∴BC平分∠DBE．
（2）解：连接AC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°，
∴△ABC∽△CBE，
∴＝，
∴AB•BE＝BC2＝（4）2＝80．
（3）解：设⊙O的半径为r，则OC＝r，AB＝2r，
∵OC∥BE，
∴△OCF∽△EBF，
∴＝＝，
∴BE＝r，
∵AB•BE＝80，
∴2r×r＝80，
∴r＝5或﹣5（舍弃），
∴⊙O的半径为5．
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
13．（2022•阿坝州）如图，有两座建筑物AB，CD，建筑物AB的高为30m，从A点测得D点的俯角为30°，从C点测得A点的仰角为45°．
（1）求建筑物AB与建筑物CD间的水平距离BC；
（2）求建筑物CD的高．（结果精确到0.1，≈1.414，≈1.732）
【答案】（1）建筑物AB与建筑物CD间的水平距离BC为30m；
（2）建筑物CD的高约为12.7m．
【解答】解：（1）由题意得：AB⊥BC，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，AB＝30m，
∴BC＝＝30（m），
∴建筑物AB与建筑物CD间的水平距离BC为30m；
（2）过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，
由题意得：AB＝CE＝30m，AE＝BC＝30m，
在Rt△AED中，∠EAD＝30°，
∴ED＝AE•tan30°＝30×＝10（m），
∴CD＝CE﹣ED＝30﹣10≈12.7（m），
∴建筑物CD的高约为12.7m．
14．（2020•甘孜州）热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30°，看大楼底部B的俯角为45°，热气球与该楼的水平距离AD为60米，求大楼BC的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.73）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意可得，AD＝60米，∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝60米，
∴tan∠CAD＝＝＝，
∴CD＝20（米），
在Rt△ADB中，∠DAB＝45°，AD＝60米，
∴tan∠DAB＝＝1，
∴BD＝60（米），
∴BC＝BD+CD＝（60+20）≈95（米），
即这栋楼的高度BC是95米．
一十．列表法与树状图法（共2小题）
15．（2022•阿坝州）北京时间2022年3月23日下午，某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据图中信息，回答下列问题：
（1）共调查了 50 名学生，图2中A所对应的圆心角度数为 144° ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）50，144°；
（2）图形见解析；
（3）．
【解答】解：（1）共调查的学生人数为：10÷20%＝50（名），
∴图2中A所对应的圆心角度数为：360°×＝144°，
故答案为：50，144°；
（2）D的人数为：50×10%＝5（人），
∴C的人数为：50﹣20﹣10﹣5＝15（人），
补全条形统计图如下：
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，
∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为＝．
16．（2020•甘孜州）为了解同学们最喜欢一年四季中的哪个季节，数学社在全校随机抽取部分同学进行问卷调查，根据调查结果，得到如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 120 名同学；扇形统计图中，“春季”所对应的扇形的圆心角的度数为 108° ；
（2）若该学校有1500名同学，请估计该校最喜欢冬季的同学的人数；
（3）现从最喜欢夏季的3名同学A，B，C中，随机选两名同学去参加学校组织的“我爱夏天”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好选到A，B去参加比赛的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）此次调查一共随机抽取了18÷15%＝120（名）同学；扇形统计图中，“春季”所对应的扇形的圆心角的度数为360°×＝108°，
故答案为：120，108°；
（2）1500×＝150（人），
答：估计该校最喜欢冬季的同学的人数为150人；
（3）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中恰好选到A，B去参加比赛的结果数为2，
所以恰好选到A，B去参加比赛的概率＝＝．
四川省阿坝州中考数学试卷2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题提升题知识点分类
目录
一．分式方程的应用（共1小题） 1
二．反比例函数系数k的几何意义（共1小题） 1
三．二次函数的应用（共1小题） 2
四．二次函数综合题（共3小题） 2
五．三角形综合题（共1小题） 4
六．四边形综合题（共2小题） 4
七．切线的性质（共2小题） 5
八．相似三角形的判定与性质（共1小题） 6
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题） 6
一十．列表法与树状图法（共2小题） 7
一．分式方程的应用（共1小题） 9
二．反比例函数系数k的几何意义（共1小题） 9
三．二次函数的应用（共1小题） 10
四．二次函数综合题（共3小题） 11
五．三角形综合题（共1小题） 18
六．四边形综合题（共2小题） 20
七．切线的性质（共2小题） 23
八．相似三角形的判定与性质（共1小题） 26
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题） 27
一十．列表法与树状图法（共2小题） 29
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2022•阿坝州）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等．
（1）A，B两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
（2）某工厂需要每天搬运化工原料11520kg，现准备引进A，B两种机器人共20台，如果每天工作8小时，则至少需要引进A型机器人多少台？
二．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
2．（2022•阿坝州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），△AOB的面积为2，∠OAB＝90°，双曲线y＝（x＞0）经过点B．
（1）求k的值；
（2）过点A作AC∥OB交双曲线y＝（x＞0）于点C，求点C的坐标．
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2021•阿坝州）某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
四．二次函数综合题（共3小题）
4．（2022•阿坝州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）设E是第四象限抛物线上的点，若△ACE的面积与△BCD的面积相等，求直线AE的解析式；
（3）在（2）的条件下，设F是线段AE上异于A，E的一点，以CF为斜边作等腰Rt△CFG，当点G恰好在抛物线上时，求EF的长．
5．（2021•阿坝州）如图1，直线y＝﹣x+b与抛物线y＝ax2交于A，B两点，与y轴于点C，其中点A的坐标为（﹣4，8）．
（1）求a，b的值；
（2）将点A绕点C逆时针旋转90°得到点D．
①试说明点D在抛物线上；
②如图2，将直线AB向下平移，交抛物线于E，F两点（点E在点F的左侧），点G在线段OC上．若△GEF∽△DBA（点G，E，F分别与点D，B，A对应），求点G的坐标．
6．（2020•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长；
（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
五．三角形综合题（共1小题）
7．（2020•甘孜州）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上，连接BE．
（1）求证：DC平分∠ADE；
（2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由；
（3）若BE＝BD，求tan∠ABC的值．
六．四边形综合题（共2小题）
8．（2021•阿坝州）如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边BC上一点，连接DE交AC于点F，连接BF．
（1）求证：△CBF≌△CDF；
（2）如图2，过点F作DE的垂线，交BC的延长线于点G，交OB于点N．
①求证：FB＝FG；
②若tan∠BDE＝，ON＝1，求CG的长．
9．（2022•阿坝州）如图，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的点，将EA绕点E顺时针旋转90°得EF，交CD于点G，连接CF．
（1）求证：∠BAE＝∠CEF；
（2）求∠ECF的度数；
（3）当CG的长最大时，直接写出CF的长．
七．切线的性质（共2小题）
10．（2022•阿坝州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD为⊙O的切线，AC平分∠BAD．
（1）试判断△ACD是否为直角三角形，并说明理由；
（2）若AB＝10，AC＝4，求CD的长．
11．（2020•甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：∠CAD＝∠CAB；
（2）若＝，AC＝2，求CD的长．
八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
12．（2021•阿坝州）如图，AB为⊙O的直径，D为BA延长线上一点，过点D作⊙O的切线，切点为C，过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：BC平分∠DBE；
（2）当BC＝4时，求AB•BE的值；
（3）在（2）的条件下，连接EO，交BC于点F，若，求⊙O的半径．
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
13．（2022•阿坝州）如图，有两座建筑物AB，CD，建筑物AB的高为30m，从A点测得D点的俯角为30°，从C点测得A点的仰角为45°．
（1）求建筑物AB与建筑物CD间的水平距离BC；
（2）求建筑物CD的高．（结果精确到0.1，≈1.414，≈1.732）
14．（2020•甘孜州）热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30°，看大楼底部B的俯角为45°，热气球与该楼的水平距离AD为60米，求大楼BC的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.73）
一十．列表法与树状图法（共2小题）
15．（2022•阿坝州）北京时间2022年3月23日下午，某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据图中信息，回答下列问题：
（1）共调查了 名学生，图2中A所对应的圆心角度数为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
16．（2020•甘孜州）为了解同学们最喜欢一年四季中的哪个季节，数学社在全校随机抽取部分同学进行问卷调查，根据调查结果，得到如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 名同学；扇形统计图中，“春季”所对应的扇形的圆心角的度数为 ；
（2）若该学校有1500名同学，请估计该校最喜欢冬季的同学的人数；
（3）现从最喜欢夏季的3名同学A，B，C中，随机选两名同学去参加学校组织的“我爱夏天”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好选到A，B去参加比赛的概率．
四川省阿坝州中考数学试卷2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题提升题知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2022•阿坝州）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等．
（1）A，B两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
（2）某工厂需要每天搬运化工原料11520kg，现准备引进A，B两种机器人共20台，如果每天工作8小时，则至少需要引进A型机器人多少台？
【答案】（1）A型机器人每小时搬运90kg，B型机器人每小时搬运60kg；
（2）至少购进8台A型机器人．
【解答】解：（1）设B型机器人每小时搬运xkg材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）kg，
依题意得，
解得x＝60（kg），
经检验，x＝60是原方程的解，
即A型机器人每小时搬运60+30＝90（kg）．
答：A型机器人每小时搬运90kg，B型机器人每小时搬运60kg．
（2）设购进A型a台，B型（20﹣a）台，
由题意得，90a+60×（20﹣a）≥，
解得a≥8，
答：至少购进8台A型机器人．
二．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
2．（2022•阿坝州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），△AOB的面积为2，∠OAB＝90°，双曲线y＝（x＞0）经过点B．
（1）求k的值；
（2）过点A作AC∥OB交双曲线y＝（x＞0）于点C，求点C的坐标．
【答案】（1）k＝4；
（2）C（+1，﹣1）．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（2，0），△AOB的面积为2，∠OAB＝90°，双曲线y＝（x＞0）经过点B，
∴S△AOB＝＝2，
∴|k|＝4，
∵k＞0，
∴k＝4；
（2）∵点A的坐标为（2，0），△AOB的面积为2，
∴AB＝2，
∴B（2，2），
∴直线OB为y＝x，
把直线OB向右平移2个单位得到直线AC为y＝x﹣2，
由，解得或，
∴C（+1，﹣1）．
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2021•阿坝州）某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），
将（60，600），（80，400）代入，得：
解得：，
∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为y＝﹣10x+1200；
（2）由题意得：
w＝（﹣10x+1200）（x﹣50）
＝﹣10x2+1700x﹣60000
＝﹣10（x﹣85）2+12250，
∵﹣10＜0，
∴当x≤85时，w随x的增大而增大，
∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的30%，
∴x≤50×（1+30%），即x≤65，
∴当x＝65时，w取得最大值：最大值＝﹣10×（65﹣85）2+12250＝8250．
∴售价定为65元可获得最大利润，最大利润是8250元．
四．二次函数综合题（共3小题）
4．（2022•阿坝州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）设E是第四象限抛物线上的点，若△ACE的面积与△BCD的面积相等，求直线AE的解析式；
（3）在（2）的条件下，设F是线段AE上异于A，E的一点，以CF为斜边作等腰Rt△CFG，当点G恰好在抛物线上时，求EF的长．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，点D（1，﹣4）；（2）y＝﹣x﹣1；（3）EF＝2．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝﹣3，则a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4）；
（2）设点E（m，m2﹣2m﹣3），
由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为：y＝（m﹣3）（x+1），
同理可得，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，
过点D作DN∥y轴于点N，
当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，则ND＝﹣2+4＝2，
则△BCD的面积＝ND•OB＝2×3＝3，
设直线AE交y轴于点T，
由AE的表达式知，点T（0，m﹣3），则TC＝m﹣3+3＝m，
则△ACE的面积＝CT•（xE﹣xA）＝m•（m+1）＝3，
解得：m＝2，则点E的坐标为：（2，﹣3），
则直线AE的表达式为：y＝﹣x﹣1；
（3）当点G在CF下方时，
过点G作MH⊥y轴于点M，交过点F与y轴的平行线于点H，
设点F（m，﹣m﹣1），点G（x，y），
∵△FCG为等腰直角三角形，则CG＝FG，∠CGF＝90°，
∴∠CGM+∠FGH＝90°，
∵∠GFH+∠FGH＝90°，
∴∠CGM＝∠GFH，
∵∠GMC＝∠FHG＝90°，CG＝FG，
∴△GMC≌△FHG（AAS），
∴GM＝FH，CM＝GH，
即m﹣x＝﹣y﹣3且﹣m﹣1﹣y＝x，
解得：x＝1且y＝﹣m﹣2，
即点G（1，﹣m﹣2），
将点G的坐标代入抛物线表达式得：﹣m﹣2＝1﹣2﹣3，
解得：m＝2（舍去）；
当点G在CF上方时，
同理可得，点G的坐标为（m﹣1，﹣2），
将点G的坐标代入抛物线表达式得：﹣2＝（m﹣1）2﹣2（m﹣1）﹣3，
解得：m＝2+2（舍去）或2﹣2，
则点F（2﹣2，﹣3+），
而点E（2，﹣3），
则EF＝2．
5．（2021•阿坝州）如图1，直线y＝﹣x+b与抛物线y＝ax2交于A，B两点，与y轴于点C，其中点A的坐标为（﹣4，8）．
（1）求a，b的值；
（2）将点A绕点C逆时针旋转90°得到点D．
①试说明点D在抛物线上；
②如图2，将直线AB向下平移，交抛物线于E，F两点（点E在点F的左侧），点G在线段OC上．若△GEF∽△DBA（点G，E，F分别与点D，B，A对应），求点G的坐标．
【答案】（1）a＝，b＝6．
（2）①证明见解析部分．
②G（0，）．
【解答】解：（1）由题意，得，
解得．
（2）①如图1中，分别过点A，D作AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N．
由（1）可知，直线AB的解析式为y＝﹣x+6，
∴C（0，6），
∵∠AMC＝∠DNC＝∠ACD＝90°，
∴∠ACM+∠DCN＝90°，∠DCN+∠CDN＝90°，
∴∠ACM＝∠CDN，
∵CA＝CD，
∴△AMC≌△CND（AAS），
∴CN＝AM＝4，DN＝CM＝2，
∴D（﹣2，2），
当x＝﹣2时，y＝×22＝2，
∴点D在抛物线y＝x2上．
②由，解得或，
∴点B的坐标为（3，），
∴直线AD的解析式为y＝﹣3x﹣4，直线BD的解析式为y＝x+3，
设E（t，t2），
∴直线EF的解析式为y＝﹣x+t2+t，
由，解得或，
∴F（﹣t﹣1，（t+1）2），
∵△GEF∽△DBA，EF∥AB，
由题意可知，EG∥DB，GF∥AD，
∴直线EG的解析式为y＝x+t2﹣，直线FG的解析式为y＝﹣3x+（t+1）2﹣3（t+1），
联立，解得，
∴G（﹣t﹣，t2﹣t﹣），
令﹣t﹣＝0，
解得t＝﹣，
∴G（0，）．
6．（2020•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长；
（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+3交y轴于B，
令x＝0，得到y＝3，
∴B（0，3）
由题意抛物线经过B（0，3），C（1，0），
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，解得x＝﹣3或1，
∴A（﹣3，0），
∵B（0，3），C（1，0），
∴OA＝OB＝3，OC＝1，AB＝3，
∵∠APO＝∠ACB，∠PAO＝∠CAB，
∴△PAO∽△CAB，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝2．
（3）∵AO＝OB，
∴∠BAO＝45°，
∴AP＝2，
∴P（﹣1，2），
①当AP为平行四边形的边时，点N的横坐标为2或﹣2，
∴N（﹣2，3），N′（2，﹣5），
②当AP为平行四边形的对角线时，点N″的横坐标为﹣4，
∴N″（﹣4，﹣5），
综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，3）或（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）．
五．三角形综合题（共1小题）
7．（2020•甘孜州）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上，连接BE．
（1）求证：DC平分∠ADE；
（2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由；
（3）若BE＝BD，求tan∠ABC的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵△DCE是由△ACB旋转得到，
∴CA＝CD，∠A＝∠CDE
∴∠A＝∠CDA，
∴∠CDA＝∠CDE，
∴CD平分∠ADE．
（2）解：结论：BE⊥AB．
由旋转的性质可知，∠DBC＝∠CED，
∴D，C，E，B四点共圆，
∴∠DCE+∠DBE＝180°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
∴BE⊥AB．
（3）如图，设BC交DE于O．连接AO．
∵BD＝BE，∠DBE＝90°，
∴∠DEB＝∠BDE＝45°，
∵C，E，B，D四点共圆，
∴∠DCO＝∠DEB＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠OCD，
∵CD＝CD，∠ADC＝∠ODC，
∴△ACD≌△OCD（ASA），
∴AC＝OC，
∴∠AOC＝∠CAO＝45°，
∵∠ADO＝135°，
∴∠CAD＝∠ADC＝67.5°，
∴∠ABC＝22.5°，
∵∠AOC＝∠OAB+∠ABO，
∴∠OAB＝∠ABO＝22.5°，
∴OA＝OB，设AC＝OC＝m，则AO＝OB＝m，
∴tan∠ABC＝＝＝﹣1．
六．四边形综合题（共2小题）
8．（2021•阿坝州）如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边BC上一点，连接DE交AC于点F，连接BF．
（1）求证：△CBF≌△CDF；
（2）如图2，过点F作DE的垂线，交BC的延长线于点G，交OB于点N．
①求证：FB＝FG；
②若tan∠BDE＝，ON＝1，求CG的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②2．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠BCF＝∠DCF＝45°，
在△CBF和△CDF中，
，
∴△CBF≌△CDF（SAS）；
（2）①∵FG⊥DE，
∴∠DFG＝90°，
∴∠G+∠FEG＝90°，
∵∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠CDE＝∠G，
由（1）知△CBF≌△CDF，
∴∠CBF＝∠CDF，
∴∠CBF＝∠G，
∴FB＝FG；
②∵∠FDN+∠FND＝90°，∠OFN+∠FND＝90°，
∴∠FDN＝∠OFN，
∴tan∠OFN＝tan∠BDE＝，
∴OF＝2ON＝2，OC＝OD＝2OF＝4，
∴CF＝OC﹣OF＝2，
作FH⊥BG于H，则CH＝，
∵OC＝4，
∴BC＝OC＝4，
∴BH＝BC﹣CH＝3，
由①知BF＝FG，且FH⊥BC，
∴GH＝BH＝3，
∴CG＝GH﹣CH＝3﹣＝2．
9．（2022•阿坝州）如图，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的点，将EA绕点E顺时针旋转90°得EF，交CD于点G，连接CF．
（1）求证：∠BAE＝∠CEF；
（2）求∠ECF的度数；
（3）当CG的长最大时，直接写出CF的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）135°；
（3）当CG的长最大为1时，CF的长为2．理由见解答．
【解答】（1）证明：由题意可知：AE⊥EF，AE＝EF，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
在正方形ABCD中，∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF；
（2）如图，在AB上截取BP＝BE，连接EP，
则AP＝EC，∠BPE＝45°，
∵AP＝EC，∠PAE＝∠CEF，AE＝EF，
∴△APE≌△ECF（SAS），
∴∠ECF＝∠APE＝180°﹣∠BPE＝135°；
（3）由（1）知：∠BAE＝∠CEF，
∵∠ABE＝∠ECG＝90°，
∴△ABE∽△ECG，
∴＝，
∴＝，
∴CG＝BE（4﹣BE）＝﹣（BE2﹣4BE）＝﹣（BE﹣2）2+1，
∴当BE＝2时，CG最大为1，
由（2）知：△APE≌△ECF，
∴PE＝CF，
∵BP＝BE＝2，
∴PE＝CF＝2，
∴当CG的长最大为1时，CF的长为2．
七．切线的性质（共2小题）
10．（2022•阿坝州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD为⊙O的切线，AC平分∠BAD．
（1）试判断△ACD是否为直角三角形，并说明理由；
（2）若AB＝10，AC＝4，求CD的长．
【答案】（1）△ACD是直角三角形，理由见解析；（2）4．
【解答】解：（1）△ACD是直角三角形，理由如下：
连接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴半径OC⊥DC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∴AD⊥DC，
∴∠D＝90°，
∴△ACD是直角三角形；
（2）连接BC，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，AC＝4，
∴BC＝＝2，
∴sin∠CAB＝＝，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴sin∠DAC＝sin∠CAB＝，
∴＝，
∴CD＝4．
11．（2020•甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：∠CAD＝∠CAB；
（2）若＝，AC＝2，求CD的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
，
∵CD是切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠1＝∠4．
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠4，
∴∠1＝∠2，
即∠CAD＝∠CAB．
（2）解：如图2，
连接BC，
∵＝，
∴设AD＝2x，AB＝3x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠ACB＝90°，∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
解得，x1＝2，x2＝﹣2（舍去），
∴AD＝4，
∴CD＝＝2．
八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
12．（2021•阿坝州）如图，AB为⊙O的直径，D为BA延长线上一点，过点D作⊙O的切线，切点为C，过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：BC平分∠DBE；
（2）当BC＝4时，求AB•BE的值；
（3）在（2）的条件下，连接EO，交BC于点F，若，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解析部分．
（2）80．
（3）5．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵DE⊥BE，
∴OC∥BE，
∴∠EBC＝∠OCB，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBC＝∠EBC，
∴BC平分∠DBE．
（2）解：连接AC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°，
∴△ABC∽△CBE，
∴＝，
∴AB•BE＝BC2＝（4）2＝80．
（3）解：设⊙O的半径为r，则OC＝r，AB＝2r，
∵OC∥BE，
∴△OCF∽△EBF，
∴＝＝，
∴BE＝r，
∵AB•BE＝80，
∴2r×r＝80，
∴r＝5或﹣5（舍弃），
∴⊙O的半径为5．
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
13．（2022•阿坝州）如图，有两座建筑物AB，CD，建筑物AB的高为30m，从A点测得D点的俯角为30°，从C点测得A点的仰角为45°．
（1）求建筑物AB与建筑物CD间的水平距离BC；
（2）求建筑物CD的高．（结果精确到0.1，≈1.414，≈1.732）
【答案】（1）建筑物AB与建筑物CD间的水平距离BC为30m；
（2）建筑物CD的高约为12.7m．
【解答】解：（1）由题意得：AB⊥BC，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，AB＝30m，
∴BC＝＝30（m），
∴建筑物AB与建筑物CD间的水平距离BC为30m；
（2）过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，
由题意得：AB＝CE＝30m，AE＝BC＝30m，
在Rt△AED中，∠EAD＝30°，
∴ED＝AE•tan30°＝30×＝10（m），
∴CD＝CE﹣ED＝30﹣10≈12.7（m），
∴建筑物CD的高约为12.7m．
14．（2020•甘孜州）热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30°，看大楼底部B的俯角为45°，热气球与该楼的水平距离AD为60米，求大楼BC的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.73）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意可得，AD＝60米，∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝60米，
∴tan∠CAD＝＝＝，
∴CD＝20（米），
在Rt△ADB中，∠DAB＝45°，AD＝60米，
∴tan∠DAB＝＝1，
∴BD＝60（米），
∴BC＝BD+CD＝（60+20）≈95（米），
即这栋楼的高度BC是95米．
一十．列表法与树状图法（共2小题）
15．（2022•阿坝州）北京时间2022年3月23日下午，某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据图中信息，回答下列问题：
（1）共调查了 50 名学生，图2中A所对应的圆心角度数为 144° ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）50，144°；
（2）图形见解析；
（3）．
【解答】解：（1）共调查的学生人数为：10÷20%＝50（名），
∴图2中A所对应的圆心角度数为：360°×＝144°，
故答案为：50，144°；
（2）D的人数为：50×10%＝5（人），
∴C的人数为：50﹣20﹣10﹣5＝15（人），
补全条形统计图如下：
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，
∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为＝．
16．（2020•甘孜州）为了解同学们最喜欢一年四季中的哪个季节，数学社在全校随机抽取部分同学进行问卷调查，根据调查结果，得到如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 120 名同学；扇形统计图中，“春季”所对应的扇形的圆心角的度数为 108° ；
（2）若该学校有1500名同学，请估计该校最喜欢冬季的同学的人数；
（3）现从最喜欢夏季的3名同学A，B，C中，随机选两名同学去参加学校组织的“我爱夏天”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好选到A，B去参加比赛的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）此次调查一共随机抽取了18÷15%＝120（名）同学；扇形统计图中，“春季”所对应的扇形的圆心角的度数为360°×＝108°，
故答案为：120，108°；
（2）1500×＝150（人），
答：估计该校最喜欢冬季的同学的人数为150人；
（3）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中恰好选到A，B去参加比赛的结果数为2，
所以恰好选到A，B去参加比赛的概率＝＝．
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