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四川省巴中市2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类(含解析)
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这是一份四川省巴中市2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类(含解析)，共41页。试卷主要包含了解答题，﹣1+；，计算，交于点C、D两点，AB，，且OB＝2OC＝4OA等内容，欢迎下载使用。
四川省巴中市2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
目录
一．分式的化简求值（共3小题） 1
二．一次函数的应用（共1小题） 2
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题） 2
四．二次函数的应用（共1小题） 3
五．二次函数综合题（共3小题） 3
六．菱形的判定与性质（共1小题） 5
七．矩形的判定（共1小题） 5
八．切线的判定与性质（共1小题） 5
九．作图-旋转变换（共1小题） 6
一十．相似三角形的判定（共2小题） 6
一十一．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题） 7
一十二．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题） 7
一十三．频数（率）分布直方图（共1小题） 8
一十四．列表法与树状图法（共2小题） 9
一．分式的化简求值（共3小题） 11
二．一次函数的应用（共1小题） 14
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题） 15
四．二次函数的应用（共1小题） 18
五．二次函数综合题（共3小题） 18
六．菱形的判定与性质（共1小题） 26
七．矩形的判定（共1小题） 28
八．切线的判定与性质（共1小题） 29
九．作图-旋转变换（共1小题） 31
一十．相似三角形的判定（共2小题） 32
一十一．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题） 35
一十二．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题） 36
一十三．频数（率）分布直方图（共1小题） 37
一十四．列表法与树状图法（共2小题） 39
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•巴中）解答题
（1）计算：﹣4cos30°+（3.14﹣π）0+|1﹣|．
（2）先化简，再求值÷（x+1﹣），其中x＝﹣4．
（3）求不等式组的整数解．
2．（2021•巴中）（1）计算：2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（3）先化简，再求值：÷（1+），请从﹣4，﹣3，0，1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
3．（2020•巴中）（1）计算：．
（2）解一元二次方程：x（x﹣4）＝x﹣6．
（3）先化简：，再从不等式﹣2≤x＜3中选取一个合适的整数，代入求值．
二．一次函数的应用（共1小题）
4．（2020•巴中）某果农为响应国家“乡村振兴”战略的号召．计划种植苹果树和橘子树共100棵．若种植40棵苹果树，60棵橘子树共需投入成本9600元；若种植40棵橘子树，60棵苹果树共需投入成本10400元．
（1）求苹果树和橘子树每棵各需投入成本多少元？
（2）若苹果树的种植棵数不少于橘子树的，且总成本投入不超过9710元，问：共有几种种植方案？
（3）在（2）的条件下，已知平均每棵苹果树可产30kg苹果，售价为10元/kg；平均每棵橘子树可产25kg橘子，售价为6元/kg，问：该果农怎样选择种植方案才能使所获利润最大？最大利润为多少元？
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
5．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A（﹣4，0）、B两点，与双曲线y＝（k＞0）交于点C、D两点，AB：BC＝2：1．
（1）求b，k的值；
（2）求D点坐标并直接写出不等式x+b﹣≥0的解集；
（3）连接CO并延长交双曲线于点E，连接OD、DE，求△ODE的面积．
6．（2021•巴中）如图，双曲线y＝与直线y＝kx+b交于点A（﹣8，1）、B（2，﹣4），与两坐标轴分别交于点C、D，已知点E（1，0），连接AE、BE．
（1）求m，k，b的值；
（2）求△ABE的面积；
（3）作直线ED，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位后，与双曲线y＝有唯一交点，求n的值．
四．二次函数的应用（共1小题）
7．（2022•巴中）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
（1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
（2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
五．二次函数综合题（共3小题）
8．（2022•巴中）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，﹣1≤x≤3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；
②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
9．（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2020•巴中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，M为BC中点，点P为抛物线上一动点，已知点A坐标（﹣1，0），且OB＝2OC＝4OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCM≌△POM时，求PM的长；
（3）当4S△ABC＝5S△BCP时，求点P的坐标．
六．菱形的判定与性质（共1小题）
11．（2021•巴中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长．
七．矩形的判定（共1小题）
12．（2022•巴中）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连接DG、DE、FG．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
八．切线的判定与性质（共1小题）
13．（2021•巴中）如图、△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD与CO的延长线交于点D．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，BC＝6，求图中阴影部分面积．
九．作图-旋转变换（共1小题）
14．（2020•巴中）如图所示，△ABC在边长为1cm的小正方形组成的网格中．
（1）将△ABC沿y轴正方向向上平移5个单位长度后，得到△A1B1C1，请作出△A1B1C1，并求出A1B1的长度；
（2）再将△A1B1C1绕坐标原点O顺时针旋转180°，得到△A2B2C2，请作出△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标；
（3）在（1）（2）的条件下，求线段AB在变换过程中扫过图形的面积和．
一十．相似三角形的判定（共2小题）
15．（2022•巴中）四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．
（1）如图1，若∠PBA＝30°，且EO＝EA，求证：BA平分∠PBD；
（2）如图2，连接OB，若∠DBA＝2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．
16．（2020•巴中）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点E，AC平分∠DAB．且OA＝3，AC＝．
（1）求证：AD⊥DE；
（2）若点P为线段CE上一动点，当△PBE与△ACE相似时，求EP的长．
一十一．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
17．（2021•巴中）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．
一十二．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
18．（2020•巴中）如图，海面上产生了一股强台风．台风中心A在某沿海城市B的正西方向，小岛C位于城市B北偏东29°方向上，台风中心沿北偏东60°方向向小岛C移动，此时台风中心距离小岛200海里．
（1）过点B作BP⊥AC于点P，求∠PBC的度数；
（2）据监测，在距离台风中心50海里范围内均会受到台风影响（假设台风在移动过程中风力保持不变）．问：在台风移动过程中，沿海城市B是否会受到台风影响？请说明理由．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，≈1.73）
一十三．频数（率）分布直方图（共1小题）
19．（2020•巴中）巴中某商场在6月份举行了“年中大促，好物网罗”集赞领礼品活动．为了解参与活动顾客的集赞情况，商场从参与活动的顾客中，随机抽取28名顾客的集赞数，调查数据如下（单位：个）：
36 26 29 38 48 59 48 52 43 33 18 61 40 52
64 55 46 56 45 43 37 55 47 52 66 57 36 45
整理上面的数据得到如下频数分布表和频数分布直方图：
礼品类别
集赞数（a）
频数
一盒牙膏
18≤a＜28
2
一条毛巾
28≤a＜38
5
一提纸巾
38≤a＜48
m
一件牛奶
48≤a＜58
9
一桶食用油
58≤a＜68
n
回答下列问题：
（1）求频数分布表中m，n的值，并补全频数分布直方图；
（2）求以上28个数据的中位数和众数；
（3）已知参加此次活动的顾客有364人，领到礼品为“一件牛奶”的顾客大约有多少人？
一十四．列表法与树状图法（共2小题）
20．（2022•巴中）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30
80
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 人，其中参加围棋社的有 人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．
21．（2021•巴中）为迎接建党100周年、巴中市组织了多形式的党史学习教育活动，某校开展了以“听党话、跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将九年级学生成绩统计如图所示．
（1）该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加全市现场党史知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4．从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理．
四川省巴中市2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•巴中）解答题
（1）计算：﹣4cos30°+（3.14﹣π）0+|1﹣|．
（2）先化简，再求值÷（x+1﹣），其中x＝﹣4．
（3）求不等式组的整数解．
【答案】（1）；
（2），
（3）﹣1，0，1．
【解答】解：（1）﹣4cos30°+（3.14﹣π）0+|1﹣|
＝2﹣4×+1+﹣1
＝2﹣2+1+﹣1
＝．
（2）÷（x+1﹣）
＝÷
＝•
＝
＝，
当x＝﹣4时，原式＝＝+2．
（3），
解不等式①，得：x≤1，
解不等式②，得：x＞﹣2，
∴原不等式组的解集是﹣2＜x≤1，
∴该不等式组的整数解是﹣1，0，1．
2．（2021•巴中）（1）计算：2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（3）先化简，再求值：÷（1+），请从﹣4，﹣3，0，1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】（1）﹣1；
（2）﹣3＜x≤﹣1，解集在数轴上表示见解答；
（3），5．
【解答】解：（1）2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+
＝2×+2﹣﹣2+﹣1
＝+2﹣﹣2+﹣1
＝﹣1；
（2），
解不等式①，得
x＞﹣3，
解不等式②，得
x≤﹣1，
∴原不等式组的解集是﹣3＜x≤﹣1，
解集在数轴上表示如下：
；
（3）÷（1+）
＝
＝
＝，
∵a（a+3）≠0，a+4≠0，
∴a≠﹣4，﹣3，0，
∴a＝1，
当a＝1时，原式＝＝5．
3．（2020•巴中）（1）计算：．
（2）解一元二次方程：x（x﹣4）＝x﹣6．
（3）先化简：，再从不等式﹣2≤x＜3中选取一个合适的整数，代入求值．
【答案】（1）﹣2；
（2）x1＝2，x2＝3；
（3），﹣1．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+3﹣2×+（﹣3）﹣1
＝﹣1+3﹣﹣3﹣1
＝﹣2；
（2）方程整理得：x2﹣5x+6＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
可得x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝2，x2＝3；
（3）原式＝•
＝•
＝，
由不等式﹣2≤x＜3的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2，
其中x＝﹣2，0，1，2时，原式都没有意义，
当x＝﹣1时，原式＝＝﹣1．
二．一次函数的应用（共1小题）
4．（2020•巴中）某果农为响应国家“乡村振兴”战略的号召．计划种植苹果树和橘子树共100棵．若种植40棵苹果树，60棵橘子树共需投入成本9600元；若种植40棵橘子树，60棵苹果树共需投入成本10400元．
（1）求苹果树和橘子树每棵各需投入成本多少元？
（2）若苹果树的种植棵数不少于橘子树的，且总成本投入不超过9710元，问：共有几种种植方案？
（3）在（2）的条件下，已知平均每棵苹果树可产30kg苹果，售价为10元/kg；平均每棵橘子树可产25kg橘子，售价为6元/kg，问：该果农怎样选择种植方案才能使所获利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）苹果树每棵需投入成本120元，橘子树每棵需投入成本80元；
（2）5种；
（3）种植苹果树42棵，橘子树58棵时，获得利润最大，最大利润为11620元．
【解答】解：（1）设每棵苹果树需投入成本x元，每棵橘子树需投入成本y元，
由题意得：，解得：，
答：苹果树每棵需投入成本120元，橘子树每棵需投入成本80元；
（2）设苹果树的种植棵数为a棵，则橘子树的种植棵数为（100﹣a）棵，
由题意得：，
解得：37.5≤a≤42.75，
∵a取整数，
∴a＝38，39，40，41，42，
∴共有5种种植方案；
（3）设该果农所获利润为W元，则W＝（30×10﹣120）a+（25×6﹣80）（100﹣a），
即：W＝110a+7000，
∵k＝110＞0．W随a的增大而增大，
∴当a＝42时，W最大＝110×42+7000＝11620（元），
答：该果农种植苹果树42棵，橘子树58棵时，获得利润最大，最大利润为11620元．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
5．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A（﹣4，0）、B两点，与双曲线y＝（k＞0）交于点C、D两点，AB：BC＝2：1．
（1）求b，k的值；
（2）求D点坐标并直接写出不等式x+b﹣≥0的解集；
（3）连接CO并延长交双曲线于点E，连接OD、DE，求△ODE的面积．
【答案】（1）k＝6，b＝2；
（2）D（﹣6，﹣1），﹣6≤x＜0或x≥2，
（3）8．
【解答】解：（1）∵点A在直线上，A（﹣4，0），
∴，
解得b＝2，
过C作CF⊥x轴于点F，
∴△AOB∽△AFC，
∵AB：BC＝2：1，
∴，
∴AF＝6，
∴OF＝2，
在中，令x＝2，得y＝3，
∴C（2，3），
∴，
∴k＝6．
（2）∵D点是和交点，
∴，
解得或，
∵D点在第三象限，
∴D（﹣6，﹣1），
由图象得，当﹣6≤x＜0或x≥2时，，
∴不等式的解集为﹣6≤x＜0或x≥2．
（3）∵△ODE和△OCD同底同高，
∴S△ODE＝S△OCD，
∵S△COD＝S△COA+S△ADO，
∴．
6．（2021•巴中）如图，双曲线y＝与直线y＝kx+b交于点A（﹣8，1）、B（2，﹣4），与两坐标轴分别交于点C、D，已知点E（1，0），连接AE、BE．
（1）求m，k，b的值；
（2）求△ABE的面积；
（3）作直线ED，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位后，与双曲线y＝有唯一交点，求n的值．
【答案】（1）m＝﹣8，k＝﹣，b＝﹣3；
（2）；
（3）3+4．
【解答】解：（1）∵双曲线y＝过点A（﹣8，1），
∴m＝﹣8×1＝﹣8，
又∵直线y＝kx+b经过点A（﹣8，1）、B（2，﹣4），
∴，
解得k＝﹣，b＝﹣3，
答：m＝﹣8，k＝﹣，b＝﹣3；
（2）由（1）可得反比例函数的关系式为y＝，
直线AB的关系式为y＝﹣x﹣3，
当y＝0时，﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣6，即C（﹣6，0），
∴OC＝6，
由点E（1，0）可得OE＝1，
∴EC＝OE+OC＝1+6＝7，
∴S△ABE＝S△ACE+S△BCE
＝×7×1+×7×4
＝；
（3）设直线DE的关系式为y＝kx+b，D（0，﹣3），E（1，0）代入得，
b＝﹣3，k+b＝0，
∴k＝3，b＝﹣3，
∴直线DE的关系式为y＝3x﹣3，
设DE平移后的关系式为y＝3x﹣3+n，由于平移后与y＝有唯一公共点，
即方程3x﹣3+n＝有唯一解，
也就是关于x的方程3x2+（n﹣3）x+8＝0有两个相等的实数根，
∴（n﹣3）2﹣4×3×8＝0，
解得n＝3+4，n＝3﹣4（舍去），
∴n＝3+4，
答：n的值为3+4．
四．二次函数的应用（共1小题）
7．（2022•巴中）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
（1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
（2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
【答案】（1）每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元；
（2）该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元．
【解答】解：设每盒猪肉粽的进价为x元，每盒豆沙粽的进价为y元，
由题意得：，
解得：，
∴每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元；
（2）w＝（a﹣40）[100﹣2（a﹣50）]＝﹣2（a﹣70）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴当a＝70时，w有最大值，最大值为1800元．
∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元．
五．二次函数综合题（共3小题）
8．（2022•巴中）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，﹣1≤x≤3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；
②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）①4；②是，定值为8，理由见解析．
【解答】解：（1）∵当y≥0时，﹣1≤x≤3，
∴x1＝﹣1，x2＝3是ax2+2x+c＝0的两根，A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）①把x＝2代入y＝﹣x2+2x+3得：y＝3，
∴D（2，3）．
又当x＝0，y＝3，
∴C（0，3），
∴线段CD∥x轴．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴F（1，4），；
②设D（m，﹣m2+2m+3）（1＜m＜3），
直线AD：y＝k1x+b1，BD：y＝k2x+b2，
因此可得：或，
解得：或，
∴直线AD：y＝（3﹣m）x+（3﹣m），BD：y＝﹣（m+1）x+3（m+1）．
令x＝1得yM＝6﹣2m，yN＝2m+2，
∴ME＝6﹣2m，NE＝2m+2，
∴NE+ME＝8．
9．（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）P（3，﹣），有最大值；（3）D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣3；
（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，
∴PF∥AE，
∴＝，
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3，
设P（t，t2﹣t﹣3），则F（t，t﹣3），
∴PF＝t﹣3﹣t2+t+3＝﹣t2+t，
∵A（﹣2，0），
∴E（﹣2，﹣4），
∴AE＝4，
∴＝＝＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，
∴当t＝3时，有最大值，
∴P（3，﹣）；
（3）∵P（3，﹣），D点在l上，
如图2，当∠CBD＝90°时，
过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，
∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，
∴∠GDB＝∠CBH，
∴△DBG∽△BCH，
∴＝，即＝，
∴BG＝6，
∴D（3，6）；
如图3，当∠BCD＝90°时，
过点D作DK⊥y轴交于点K，
∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°，
∴∠CDK＝∠OCB，
∴△OBC∽△KCD，
∴＝，即＝，
∴KC＝6，
∴D（3，﹣9）；
如图4，当∠BDC＝90°时，
线段BC的中点T（3，﹣），BC＝3，
设D（3，m），
∵DT＝BC，
∴|m+|＝，
∴m＝﹣或m＝﹣﹣，
∴D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）；
综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．
10．（2020•巴中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，M为BC中点，点P为抛物线上一动点，已知点A坐标（﹣1，0），且OB＝2OC＝4OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCM≌△POM时，求PM的长；
（3）当4S△ABC＝5S△BCP时，求点P的坐标．
【答案】（1）；
（2）PM＝或；
（3）点P的坐标为：（2，3）或或．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
又∵OB＝2OC＝4OA，
∴OC＝2，OB＝4，
∴B（4，0），C（0，2），
∵点B，点C，点A在抛物线上，
∴
解得：，、
∴抛物线解析式为：；
（2）连接OM，
∵M为BC中点，
∴M（2，1），
∵△PCM≌△POM，
∴CM＝OM，PC＝PO，
∴MP是OC的垂直平分线，
∴PM∥x轴，
∴点P的纵坐标为1，
当y＝1时，代入，
解得：，
∴或，
∴PM＝或；
（3）
∵S△ABC＝×AB×OC＝5，4S△ABC＝5S△BCP，
∴S△BCP＝4，
∵B（4，0），C（0，2），
∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，
当点P在BC上方时，如图2，过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，
设点P（p，﹣p2+p+2），则点E（p，﹣p+2），
∴PE＝﹣p2+2p，
∴4＝×4×（﹣p2+2p），
∴p＝2，
∴点P（2，3）；
当点P在BC下方时，如图3，过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，
∴PE＝p2﹣2p，
∴4＝×4×（p2﹣2p），
∴p＝2±2，
∴点P或；
综上，点P的坐标为：（2，3）或或．
六．菱形的判定与性质（共1小题）
11．（2021•巴中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）5．
【解答】证明：（1）连接BD，
根据题意得出AM为BD的线段垂直平分线，
即BD⊥AE，
∵AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC，
∴∠ADB＝∠DBE，∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠DBE，
∵BD⊥AE，
∴AB＝BE，
∴AD＝AB＝BE＝DE，
∴四边形ABED为菱形；
方法二：设AE与BD的交点为O，
∴AM为BD的线段垂直平分线，
∴BO＝DO，
由平行可得∠DAO＝∠BEO，
∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD≌△EOB（AAS），
∴AO＝EO，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵AE⊥BD，
∴平行四边形ABED是菱形；
（2）∵AB＝AD＝CD＝BC，BE＝AD，
∴E是BC的中点，
∵DE＝BE＝CE＝CD＝5，
∴△BDC是直角三角形，
∵2DC＝BC，
∴△BDC是含30°的直角三角形，
∴BD＝CD＝5．
七．矩形的判定（共1小题）
12．（2022•巴中）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连接DG、DE、FG．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB＝∠CFE，
又∵E为BC的中点，
∴EC＝EB，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS）；
（2）∵△ABE≌△FCE，
∴AB＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∴DC＝CF，
又∵CE＝CG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵E为BC的中点，CE＝CG，
∴BC＝EG，
又∵AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD+CF＝2CD＝2AB，
∴DF＝EG，
∴平行四边形DEFG是矩形．
八．切线的判定与性质（共1小题）
13．（2021•巴中）如图、△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD与CO的延长线交于点D．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，BC＝6，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）详见解答；
（2）6π﹣9．
【解答】解：（1）如图，连接OA并延长交BC于E，
∵AB＝AC，△ABC内接于⊙O，
∴AE所在的直线是△ABC的对称轴，也是⊙O的对称轴，
∴∠BAE＝∠CAE，
又∵∠MAD＝∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE＝180°，
∴∠BAD+∠BAE＝×180°＝90°，
即AD⊥OA，
∴AD是⊙O的切线；
（2）连接OB，
∵∠OAD＝∠OEC＝90°，∠AOD＝∠EOC，
∴△AOD∽△EOC，
∴＝
由（1）可知AO是△ABC的对称轴，
∴OE垂直平分BC，
∴CE＝BC＝3，
设半径为r，在Rt△EOC中，由勾股定理得，
OE＝＝，
∴＝，
解得r＝6（取正值），
经检验r＝6是原方程的解，
即OB＝OC＝OA＝6，
又∵BC＝6，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，OE＝OC＝3，
∴S阴影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC
＝﹣×6×3
＝6π﹣9．
九．作图-旋转变换（共1小题）
14．（2020•巴中）如图所示，△ABC在边长为1cm的小正方形组成的网格中．
（1）将△ABC沿y轴正方向向上平移5个单位长度后，得到△A1B1C1，请作出△A1B1C1，并求出A1B1的长度；
（2）再将△A1B1C1绕坐标原点O顺时针旋转180°，得到△A2B2C2，请作出△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标；
（3）在（1）（2）的条件下，求线段AB在变换过程中扫过图形的面积和．
【答案】（1）；
（2）B2（4，﹣4）；
（3）（15+15π）cm2．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，B2（4，﹣4）；
（3）在（1）（2）的条件下，线段AB在变换过程中扫过图形的面积和为：5×3+π×（4）2﹣π×（）2＝（15+15π）cm2．
一十．相似三角形的判定（共2小题）
15．（2022•巴中）四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．
（1）如图1，若∠PBA＝30°，且EO＝EA，求证：BA平分∠PBD；
（2）如图2，连接OB，若∠DBA＝2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵直线PB与⊙O相切于点B，
∴∠PBO＝90°．
∴∠PBA+∠ABO＝90°．
∵∠PBA＝30°，
∴∠ABO＝60°．
又∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形．
又∵OE＝AE，
∴BE平分∠ABO．
∴，
∴BA平分∠PBD；
（2）证明：∵直线PB与⊙O相切于点B，
∴∠PBO＝90°．
∴∠PBA+∠ABO＝90°．
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°．
∴∠OBC+∠ABO＝90°．
∴∠OBC＝∠PBA．
∵OB＝OC，
∴∠PBA＝∠OBC＝∠OCB．
∴∠AOB＝2∠OCB＝2∠PBA．
∵∠ACD＝∠ABD＝2∠PBA，
∴∠AOB＝∠ACD，
又∵∠BAO＝∠BDC，
∴△OAB∽△CDE．
16．（2020•巴中）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点E，AC平分∠DAB．且OA＝3，AC＝．
（1）求证：AD⊥DE；
（2）若点P为线段CE上一动点，当△PBE与△ACE相似时，求EP的长．
【答案】（1）答案见证明过程；
（2）3或．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
又∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∴AD⊥DE；
（2）解：连接BC，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵AB＝2OA＝6，AC＝，
∴cos∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°，BC＝3，
∴△BCO为等边三角形，
∴∠ECB＝30°，∠BEC＝30°，
∴EC＝AC＝，BE＝BC＝BO＝AO＝3，
①当BP∥AC时，△BPE∽△ACE，
∴，
即，
∴PE＝；
②当点P与点C重合时，△PBE∽△ACE，
∴PE＝CE＝；
综上：当△PBE与△ACE相似时，EP＝或．
一十一．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
17．（2021•巴中）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．
【答案】（1）12m；
（2）24.9m．
【解答】解：（1）延长BA交CG于点E，
则BE⊥CG，
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，
∴AE＝AC＝×12＝6（m），CE＝AC•cosα＝12×＝6（m），
在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，
∴BE＝CE•tan∠BCE＝6×＝18（m），
∴AB＝BE﹣AE＝18﹣6＝12（m），
答：灯杆AB的高度为12m；
（2）在Rt△BDE中，∠BDE＝27°，
∴CD＝DE﹣CE＝﹣6≈24.9（m），
答：CD的长度约为24.9m．
一十二．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
18．（2020•巴中）如图，海面上产生了一股强台风．台风中心A在某沿海城市B的正西方向，小岛C位于城市B北偏东29°方向上，台风中心沿北偏东60°方向向小岛C移动，此时台风中心距离小岛200海里．
（1）过点B作BP⊥AC于点P，求∠PBC的度数；
（2）据监测，在距离台风中心50海里范围内均会受到台风影响（假设台风在移动过程中风力保持不变）．问：在台风移动过程中，沿海城市B是否会受到台风影响？请说明理由．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，≈1.73）
【答案】（1）∠PBC＝59°；
（2）不会受到影响．理由见解答．
【解答】解：（1）∵∠MAC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
又∵BP⊥AC，
∴∠APB＝90°，
∴∠ABP＝60°，
又∵∠CBN＝29°，∠ABN＝90°，
∴∠ABC＝119°，
∴∠PBC＝∠ABC﹣∠ABP＝59°；
（2）不会受到影响．理由如下：
由（1）可知，∠PBC＝59°，
∴∠C＝90°﹣∠PBC＝31°，
又∵tan31°≈0.60，
∴，
设BP为x海里，
则AP＝海里，CP＝海里，
∴，
解得：x≈59，
∵59＞50，
∴沿海城市B不会受到台风影响．
一十三．频数（率）分布直方图（共1小题）
19．（2020•巴中）巴中某商场在6月份举行了“年中大促，好物网罗”集赞领礼品活动．为了解参与活动顾客的集赞情况，商场从参与活动的顾客中，随机抽取28名顾客的集赞数，调查数据如下（单位：个）：
36 26 29 38 48 59 48 52 43 33 18 61 40 52
64 55 46 56 45 43 37 55 47 52 66 57 36 45
整理上面的数据得到如下频数分布表和频数分布直方图：
礼品类别
集赞数（a）
频数
一盒牙膏
18≤a＜28
2
一条毛巾
28≤a＜38
5
一提纸巾
38≤a＜48
m
一件牛奶
48≤a＜58
9
一桶食用油
58≤a＜68
n
回答下列问题：
（1）求频数分布表中m，n的值，并补全频数分布直方图；
（2）求以上28个数据的中位数和众数；
（3）已知参加此次活动的顾客有364人，领到礼品为“一件牛奶”的顾客大约有多少人？
【答案】（1）m＝8，n＝4；
（2）中位数：46.5，众数：52；
（3）117．
【解答】解：（1）根据频数分布表可知：
m＝8，n＝4；
补全的频数分布直方图．如图所示：
（2）中位数：＝46.5，众数：52；
（3）364×＝117（人）．
答：领到礼品为“一件牛奶”的顾客大约有117人．
一十四．列表法与树状图法（共2小题）
20．（2022•巴中）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30
80
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 200 人，其中参加围棋社的有 40 人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）200，40；
（2）480人；
（3）．
【解答】解：（1）抽取的学生共有：80÷40%＝200（人），
参加围棋社的有：200﹣50﹣30﹣80＝40（人）；
故答案为：200，40；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生共有：3200×＝480（人）；
（3）画树状图如下：
∵所有等可能出现的结果总数为20个，其中抽到一男一女的情况数有12个，
∴恰好抽到一男一女概率为＝．
21．（2021•巴中）为迎接建党100周年、巴中市组织了多形式的党史学习教育活动，某校开展了以“听党话、跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将九年级学生成绩统计如图所示．
（1）该校九年级共有 500 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 36° ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加全市现场党史知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4．从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理．
【答案】（1）500，36°；
（2）图形见解析；
（3）此规则不合理，理由见解析．
【解答】解：（1）该校九年级共有学生：150÷30%＝500（名），
则D等级所占圆心角的度数为：360°×＝36°，
故答案为：500，36°；
（2）B等级的人数为：500﹣150﹣100﹣50＝200（名），
将条形统计图补充完整如下：
（3）此规则不合理，理由如下：
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，选甲乙的结果有8种，选丙丁的结果有4种，
∴选甲乙的概率为＝，选丙丁的概率为＝，
∵＞，
∴此规则不合理．
四川省巴中市2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
目录
一．分式的化简求值（共3小题） 1
二．一次函数的应用（共1小题） 2
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题） 2
四．二次函数的应用（共1小题） 3
五．二次函数综合题（共3小题） 3
六．菱形的判定与性质（共1小题） 5
七．矩形的判定（共1小题） 5
八．切线的判定与性质（共1小题） 5
九．作图-旋转变换（共1小题） 6
一十．相似三角形的判定（共2小题） 6
一十一．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题） 7
一十二．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题） 7
一十三．频数（率）分布直方图（共1小题） 8
一十四．列表法与树状图法（共2小题） 9
一．分式的化简求值（共3小题） 11
二．一次函数的应用（共1小题） 14
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题） 15
四．二次函数的应用（共1小题） 18
五．二次函数综合题（共3小题） 18
六．菱形的判定与性质（共1小题） 26
七．矩形的判定（共1小题） 28
八．切线的判定与性质（共1小题） 29
九．作图-旋转变换（共1小题） 31
一十．相似三角形的判定（共2小题） 32
一十一．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题） 35
一十二．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题） 36
一十三．频数（率）分布直方图（共1小题） 37
一十四．列表法与树状图法（共2小题） 39
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•巴中）解答题
（1）计算：﹣4cos30°+（3.14﹣π）0+|1﹣|．
（2）先化简，再求值÷（x+1﹣），其中x＝﹣4．
（3）求不等式组的整数解．
2．（2021•巴中）（1）计算：2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（3）先化简，再求值：÷（1+），请从﹣4，﹣3，0，1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
3．（2020•巴中）（1）计算：．
（2）解一元二次方程：x（x﹣4）＝x﹣6．
（3）先化简：，再从不等式﹣2≤x＜3中选取一个合适的整数，代入求值．
二．一次函数的应用（共1小题）
4．（2020•巴中）某果农为响应国家“乡村振兴”战略的号召．计划种植苹果树和橘子树共100棵．若种植40棵苹果树，60棵橘子树共需投入成本9600元；若种植40棵橘子树，60棵苹果树共需投入成本10400元．
（1）求苹果树和橘子树每棵各需投入成本多少元？
（2）若苹果树的种植棵数不少于橘子树的，且总成本投入不超过9710元，问：共有几种种植方案？
（3）在（2）的条件下，已知平均每棵苹果树可产30kg苹果，售价为10元/kg；平均每棵橘子树可产25kg橘子，售价为6元/kg，问：该果农怎样选择种植方案才能使所获利润最大？最大利润为多少元？
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
5．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A（﹣4，0）、B两点，与双曲线y＝（k＞0）交于点C、D两点，AB：BC＝2：1．
（1）求b，k的值；
（2）求D点坐标并直接写出不等式x+b﹣≥0的解集；
（3）连接CO并延长交双曲线于点E，连接OD、DE，求△ODE的面积．
6．（2021•巴中）如图，双曲线y＝与直线y＝kx+b交于点A（﹣8，1）、B（2，﹣4），与两坐标轴分别交于点C、D，已知点E（1，0），连接AE、BE．
（1）求m，k，b的值；
（2）求△ABE的面积；
（3）作直线ED，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位后，与双曲线y＝有唯一交点，求n的值．
四．二次函数的应用（共1小题）
7．（2022•巴中）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
（1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
（2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
五．二次函数综合题（共3小题）
8．（2022•巴中）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，﹣1≤x≤3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；
②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
9．（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2020•巴中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，M为BC中点，点P为抛物线上一动点，已知点A坐标（﹣1，0），且OB＝2OC＝4OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCM≌△POM时，求PM的长；
（3）当4S△ABC＝5S△BCP时，求点P的坐标．
六．菱形的判定与性质（共1小题）
11．（2021•巴中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长．
七．矩形的判定（共1小题）
12．（2022•巴中）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连接DG、DE、FG．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
八．切线的判定与性质（共1小题）
13．（2021•巴中）如图、△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD与CO的延长线交于点D．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，BC＝6，求图中阴影部分面积．
九．作图-旋转变换（共1小题）
14．（2020•巴中）如图所示，△ABC在边长为1cm的小正方形组成的网格中．
（1）将△ABC沿y轴正方向向上平移5个单位长度后，得到△A1B1C1，请作出△A1B1C1，并求出A1B1的长度；
（2）再将△A1B1C1绕坐标原点O顺时针旋转180°，得到△A2B2C2，请作出△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标；
（3）在（1）（2）的条件下，求线段AB在变换过程中扫过图形的面积和．
一十．相似三角形的判定（共2小题）
15．（2022•巴中）四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．
（1）如图1，若∠PBA＝30°，且EO＝EA，求证：BA平分∠PBD；
（2）如图2，连接OB，若∠DBA＝2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．
16．（2020•巴中）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点E，AC平分∠DAB．且OA＝3，AC＝．
（1）求证：AD⊥DE；
（2）若点P为线段CE上一动点，当△PBE与△ACE相似时，求EP的长．
一十一．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
17．（2021•巴中）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．
一十二．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
18．（2020•巴中）如图，海面上产生了一股强台风．台风中心A在某沿海城市B的正西方向，小岛C位于城市B北偏东29°方向上，台风中心沿北偏东60°方向向小岛C移动，此时台风中心距离小岛200海里．
（1）过点B作BP⊥AC于点P，求∠PBC的度数；
（2）据监测，在距离台风中心50海里范围内均会受到台风影响（假设台风在移动过程中风力保持不变）．问：在台风移动过程中，沿海城市B是否会受到台风影响？请说明理由．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，≈1.73）
一十三．频数（率）分布直方图（共1小题）
19．（2020•巴中）巴中某商场在6月份举行了“年中大促，好物网罗”集赞领礼品活动．为了解参与活动顾客的集赞情况，商场从参与活动的顾客中，随机抽取28名顾客的集赞数，调查数据如下（单位：个）：
36 26 29 38 48 59 48 52 43 33 18 61 40 52
64 55 46 56 45 43 37 55 47 52 66 57 36 45
整理上面的数据得到如下频数分布表和频数分布直方图：
礼品类别
集赞数（a）
频数
一盒牙膏
18≤a＜28
2
一条毛巾
28≤a＜38
5
一提纸巾
38≤a＜48
m
一件牛奶
48≤a＜58
9
一桶食用油
58≤a＜68
n
回答下列问题：
（1）求频数分布表中m，n的值，并补全频数分布直方图；
（2）求以上28个数据的中位数和众数；
（3）已知参加此次活动的顾客有364人，领到礼品为“一件牛奶”的顾客大约有多少人？
一十四．列表法与树状图法（共2小题）
20．（2022•巴中）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30
80
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 人，其中参加围棋社的有 人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．
21．（2021•巴中）为迎接建党100周年、巴中市组织了多形式的党史学习教育活动，某校开展了以“听党话、跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将九年级学生成绩统计如图所示．
（1）该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加全市现场党史知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4．从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理．
四川省巴中市2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•巴中）解答题
（1）计算：﹣4cos30°+（3.14﹣π）0+|1﹣|．
（2）先化简，再求值÷（x+1﹣），其中x＝﹣4．
（3）求不等式组的整数解．
【答案】（1）；
（2），
（3）﹣1，0，1．
【解答】解：（1）﹣4cos30°+（3.14﹣π）0+|1﹣|
＝2﹣4×+1+﹣1
＝2﹣2+1+﹣1
＝．
（2）÷（x+1﹣）
＝÷
＝•
＝
＝，
当x＝﹣4时，原式＝＝+2．
（3），
解不等式①，得：x≤1，
解不等式②，得：x＞﹣2，
∴原不等式组的解集是﹣2＜x≤1，
∴该不等式组的整数解是﹣1，0，1．
2．（2021•巴中）（1）计算：2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（3）先化简，再求值：÷（1+），请从﹣4，﹣3，0，1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】（1）﹣1；
（2）﹣3＜x≤﹣1，解集在数轴上表示见解答；
（3），5．
【解答】解：（1）2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+
＝2×+2﹣﹣2+﹣1
＝+2﹣﹣2+﹣1
＝﹣1；
（2），
解不等式①，得
x＞﹣3，
解不等式②，得
x≤﹣1，
∴原不等式组的解集是﹣3＜x≤﹣1，
解集在数轴上表示如下：
；
（3）÷（1+）
＝
＝
＝，
∵a（a+3）≠0，a+4≠0，
∴a≠﹣4，﹣3，0，
∴a＝1，
当a＝1时，原式＝＝5．
3．（2020•巴中）（1）计算：．
（2）解一元二次方程：x（x﹣4）＝x﹣6．
（3）先化简：，再从不等式﹣2≤x＜3中选取一个合适的整数，代入求值．
【答案】（1）﹣2；
（2）x1＝2，x2＝3；
（3），﹣1．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+3﹣2×+（﹣3）﹣1
＝﹣1+3﹣﹣3﹣1
＝﹣2；
（2）方程整理得：x2﹣5x+6＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
可得x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝2，x2＝3；
（3）原式＝•
＝•
＝，
由不等式﹣2≤x＜3的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2，
其中x＝﹣2，0，1，2时，原式都没有意义，
当x＝﹣1时，原式＝＝﹣1．
二．一次函数的应用（共1小题）
4．（2020•巴中）某果农为响应国家“乡村振兴”战略的号召．计划种植苹果树和橘子树共100棵．若种植40棵苹果树，60棵橘子树共需投入成本9600元；若种植40棵橘子树，60棵苹果树共需投入成本10400元．
（1）求苹果树和橘子树每棵各需投入成本多少元？
（2）若苹果树的种植棵数不少于橘子树的，且总成本投入不超过9710元，问：共有几种种植方案？
（3）在（2）的条件下，已知平均每棵苹果树可产30kg苹果，售价为10元/kg；平均每棵橘子树可产25kg橘子，售价为6元/kg，问：该果农怎样选择种植方案才能使所获利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）苹果树每棵需投入成本120元，橘子树每棵需投入成本80元；
（2）5种；
（3）种植苹果树42棵，橘子树58棵时，获得利润最大，最大利润为11620元．
【解答】解：（1）设每棵苹果树需投入成本x元，每棵橘子树需投入成本y元，
由题意得：，解得：，
答：苹果树每棵需投入成本120元，橘子树每棵需投入成本80元；
（2）设苹果树的种植棵数为a棵，则橘子树的种植棵数为（100﹣a）棵，
由题意得：，
解得：37.5≤a≤42.75，
∵a取整数，
∴a＝38，39，40，41，42，
∴共有5种种植方案；
（3）设该果农所获利润为W元，则W＝（30×10﹣120）a+（25×6﹣80）（100﹣a），
即：W＝110a+7000，
∵k＝110＞0．W随a的增大而增大，
∴当a＝42时，W最大＝110×42+7000＝11620（元），
答：该果农种植苹果树42棵，橘子树58棵时，获得利润最大，最大利润为11620元．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
5．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A（﹣4，0）、B两点，与双曲线y＝（k＞0）交于点C、D两点，AB：BC＝2：1．
（1）求b，k的值；
（2）求D点坐标并直接写出不等式x+b﹣≥0的解集；
（3）连接CO并延长交双曲线于点E，连接OD、DE，求△ODE的面积．
【答案】（1）k＝6，b＝2；
（2）D（﹣6，﹣1），﹣6≤x＜0或x≥2，
（3）8．
【解答】解：（1）∵点A在直线上，A（﹣4，0），
∴，
解得b＝2，
过C作CF⊥x轴于点F，
∴△AOB∽△AFC，
∵AB：BC＝2：1，
∴，
∴AF＝6，
∴OF＝2，
在中，令x＝2，得y＝3，
∴C（2，3），
∴，
∴k＝6．
（2）∵D点是和交点，
∴，
解得或，
∵D点在第三象限，
∴D（﹣6，﹣1），
由图象得，当﹣6≤x＜0或x≥2时，，
∴不等式的解集为﹣6≤x＜0或x≥2．
（3）∵△ODE和△OCD同底同高，
∴S△ODE＝S△OCD，
∵S△COD＝S△COA+S△ADO，
∴．
6．（2021•巴中）如图，双曲线y＝与直线y＝kx+b交于点A（﹣8，1）、B（2，﹣4），与两坐标轴分别交于点C、D，已知点E（1，0），连接AE、BE．
（1）求m，k，b的值；
（2）求△ABE的面积；
（3）作直线ED，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位后，与双曲线y＝有唯一交点，求n的值．
【答案】（1）m＝﹣8，k＝﹣，b＝﹣3；
（2）；
（3）3+4．
【解答】解：（1）∵双曲线y＝过点A（﹣8，1），
∴m＝﹣8×1＝﹣8，
又∵直线y＝kx+b经过点A（﹣8，1）、B（2，﹣4），
∴，
解得k＝﹣，b＝﹣3，
答：m＝﹣8，k＝﹣，b＝﹣3；
（2）由（1）可得反比例函数的关系式为y＝，
直线AB的关系式为y＝﹣x﹣3，
当y＝0时，﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣6，即C（﹣6，0），
∴OC＝6，
由点E（1，0）可得OE＝1，
∴EC＝OE+OC＝1+6＝7，
∴S△ABE＝S△ACE+S△BCE
＝×7×1+×7×4
＝；
（3）设直线DE的关系式为y＝kx+b，D（0，﹣3），E（1，0）代入得，
b＝﹣3，k+b＝0，
∴k＝3，b＝﹣3，
∴直线DE的关系式为y＝3x﹣3，
设DE平移后的关系式为y＝3x﹣3+n，由于平移后与y＝有唯一公共点，
即方程3x﹣3+n＝有唯一解，
也就是关于x的方程3x2+（n﹣3）x+8＝0有两个相等的实数根，
∴（n﹣3）2﹣4×3×8＝0，
解得n＝3+4，n＝3﹣4（舍去），
∴n＝3+4，
答：n的值为3+4．
四．二次函数的应用（共1小题）
7．（2022•巴中）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
（1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
（2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
【答案】（1）每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元；
（2）该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元．
【解答】解：设每盒猪肉粽的进价为x元，每盒豆沙粽的进价为y元，
由题意得：，
解得：，
∴每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元；
（2）w＝（a﹣40）[100﹣2（a﹣50）]＝﹣2（a﹣70）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴当a＝70时，w有最大值，最大值为1800元．
∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元．
五．二次函数综合题（共3小题）
8．（2022•巴中）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，﹣1≤x≤3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；
②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）①4；②是，定值为8，理由见解析．
【解答】解：（1）∵当y≥0时，﹣1≤x≤3，
∴x1＝﹣1，x2＝3是ax2+2x+c＝0的两根，A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）①把x＝2代入y＝﹣x2+2x+3得：y＝3，
∴D（2，3）．
又当x＝0，y＝3，
∴C（0，3），
∴线段CD∥x轴．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴F（1，4），；
②设D（m，﹣m2+2m+3）（1＜m＜3），
直线AD：y＝k1x+b1，BD：y＝k2x+b2，
因此可得：或，
解得：或，
∴直线AD：y＝（3﹣m）x+（3﹣m），BD：y＝﹣（m+1）x+3（m+1）．
令x＝1得yM＝6﹣2m，yN＝2m+2，
∴ME＝6﹣2m，NE＝2m+2，
∴NE+ME＝8．
9．（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）P（3，﹣），有最大值；（3）D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣3；
（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，
∴PF∥AE，
∴＝，
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3，
设P（t，t2﹣t﹣3），则F（t，t﹣3），
∴PF＝t﹣3﹣t2+t+3＝﹣t2+t，
∵A（﹣2，0），
∴E（﹣2，﹣4），
∴AE＝4，
∴＝＝＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，
∴当t＝3时，有最大值，
∴P（3，﹣）；
（3）∵P（3，﹣），D点在l上，
如图2，当∠CBD＝90°时，
过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，
∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，
∴∠GDB＝∠CBH，
∴△DBG∽△BCH，
∴＝，即＝，
∴BG＝6，
∴D（3，6）；
如图3，当∠BCD＝90°时，
过点D作DK⊥y轴交于点K，
∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°，
∴∠CDK＝∠OCB，
∴△OBC∽△KCD，
∴＝，即＝，
∴KC＝6，
∴D（3，﹣9）；
如图4，当∠BDC＝90°时，
线段BC的中点T（3，﹣），BC＝3，
设D（3，m），
∵DT＝BC，
∴|m+|＝，
∴m＝﹣或m＝﹣﹣，
∴D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）；
综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．
10．（2020•巴中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，M为BC中点，点P为抛物线上一动点，已知点A坐标（﹣1，0），且OB＝2OC＝4OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCM≌△POM时，求PM的长；
（3）当4S△ABC＝5S△BCP时，求点P的坐标．
【答案】（1）；
（2）PM＝或；
（3）点P的坐标为：（2，3）或或．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
又∵OB＝2OC＝4OA，
∴OC＝2，OB＝4，
∴B（4，0），C（0，2），
∵点B，点C，点A在抛物线上，
∴
解得：，、
∴抛物线解析式为：；
（2）连接OM，
∵M为BC中点，
∴M（2，1），
∵△PCM≌△POM，
∴CM＝OM，PC＝PO，
∴MP是OC的垂直平分线，
∴PM∥x轴，
∴点P的纵坐标为1，
当y＝1时，代入，
解得：，
∴或，
∴PM＝或；
（3）
∵S△ABC＝×AB×OC＝5，4S△ABC＝5S△BCP，
∴S△BCP＝4，
∵B（4，0），C（0，2），
∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，
当点P在BC上方时，如图2，过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，
设点P（p，﹣p2+p+2），则点E（p，﹣p+2），
∴PE＝﹣p2+2p，
∴4＝×4×（﹣p2+2p），
∴p＝2，
∴点P（2，3）；
当点P在BC下方时，如图3，过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，
∴PE＝p2﹣2p，
∴4＝×4×（p2﹣2p），
∴p＝2±2，
∴点P或；
综上，点P的坐标为：（2，3）或或．
六．菱形的判定与性质（共1小题）
11．（2021•巴中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）5．
【解答】证明：（1）连接BD，
根据题意得出AM为BD的线段垂直平分线，
即BD⊥AE，
∵AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC，
∴∠ADB＝∠DBE，∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠DBE，
∵BD⊥AE，
∴AB＝BE，
∴AD＝AB＝BE＝DE，
∴四边形ABED为菱形；
方法二：设AE与BD的交点为O，
∴AM为BD的线段垂直平分线，
∴BO＝DO，
由平行可得∠DAO＝∠BEO，
∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD≌△EOB（AAS），
∴AO＝EO，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵AE⊥BD，
∴平行四边形ABED是菱形；
（2）∵AB＝AD＝CD＝BC，BE＝AD，
∴E是BC的中点，
∵DE＝BE＝CE＝CD＝5，
∴△BDC是直角三角形，
∵2DC＝BC，
∴△BDC是含30°的直角三角形，
∴BD＝CD＝5．
七．矩形的判定（共1小题）
12．（2022•巴中）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连接DG、DE、FG．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB＝∠CFE，
又∵E为BC的中点，
∴EC＝EB，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS）；
（2）∵△ABE≌△FCE，
∴AB＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∴DC＝CF，
又∵CE＝CG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵E为BC的中点，CE＝CG，
∴BC＝EG，
又∵AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD+CF＝2CD＝2AB，
∴DF＝EG，
∴平行四边形DEFG是矩形．
八．切线的判定与性质（共1小题）
13．（2021•巴中）如图、△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD与CO的延长线交于点D．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，BC＝6，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）详见解答；
（2）6π﹣9．
【解答】解：（1）如图，连接OA并延长交BC于E，
∵AB＝AC，△ABC内接于⊙O，
∴AE所在的直线是△ABC的对称轴，也是⊙O的对称轴，
∴∠BAE＝∠CAE，
又∵∠MAD＝∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE＝180°，
∴∠BAD+∠BAE＝×180°＝90°，
即AD⊥OA，
∴AD是⊙O的切线；
（2）连接OB，
∵∠OAD＝∠OEC＝90°，∠AOD＝∠EOC，
∴△AOD∽△EOC，
∴＝
由（1）可知AO是△ABC的对称轴，
∴OE垂直平分BC，
∴CE＝BC＝3，
设半径为r，在Rt△EOC中，由勾股定理得，
OE＝＝，
∴＝，
解得r＝6（取正值），
经检验r＝6是原方程的解，
即OB＝OC＝OA＝6，
又∵BC＝6，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，OE＝OC＝3，
∴S阴影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC
＝﹣×6×3
＝6π﹣9．
九．作图-旋转变换（共1小题）
14．（2020•巴中）如图所示，△ABC在边长为1cm的小正方形组成的网格中．
（1）将△ABC沿y轴正方向向上平移5个单位长度后，得到△A1B1C1，请作出△A1B1C1，并求出A1B1的长度；
（2）再将△A1B1C1绕坐标原点O顺时针旋转180°，得到△A2B2C2，请作出△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标；
（3）在（1）（2）的条件下，求线段AB在变换过程中扫过图形的面积和．
【答案】（1）；
（2）B2（4，﹣4）；
（3）（15+15π）cm2．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，B2（4，﹣4）；
（3）在（1）（2）的条件下，线段AB在变换过程中扫过图形的面积和为：5×3+π×（4）2﹣π×（）2＝（15+15π）cm2．
一十．相似三角形的判定（共2小题）
15．（2022•巴中）四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．
（1）如图1，若∠PBA＝30°，且EO＝EA，求证：BA平分∠PBD；
（2）如图2，连接OB，若∠DBA＝2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵直线PB与⊙O相切于点B，
∴∠PBO＝90°．
∴∠PBA+∠ABO＝90°．
∵∠PBA＝30°，
∴∠ABO＝60°．
又∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形．
又∵OE＝AE，
∴BE平分∠ABO．
∴，
∴BA平分∠PBD；
（2）证明：∵直线PB与⊙O相切于点B，
∴∠PBO＝90°．
∴∠PBA+∠ABO＝90°．
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°．
∴∠OBC+∠ABO＝90°．
∴∠OBC＝∠PBA．
∵OB＝OC，
∴∠PBA＝∠OBC＝∠OCB．
∴∠AOB＝2∠OCB＝2∠PBA．
∵∠ACD＝∠ABD＝2∠PBA，
∴∠AOB＝∠ACD，
又∵∠BAO＝∠BDC，
∴△OAB∽△CDE．
16．（2020•巴中）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点E，AC平分∠DAB．且OA＝3，AC＝．
（1）求证：AD⊥DE；
（2）若点P为线段CE上一动点，当△PBE与△ACE相似时，求EP的长．
【答案】（1）答案见证明过程；
（2）3或．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
又∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∴AD⊥DE；
（2）解：连接BC，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵AB＝2OA＝6，AC＝，
∴cos∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°，BC＝3，
∴△BCO为等边三角形，
∴∠ECB＝30°，∠BEC＝30°，
∴EC＝AC＝，BE＝BC＝BO＝AO＝3，
①当BP∥AC时，△BPE∽△ACE，
∴，
即，
∴PE＝；
②当点P与点C重合时，△PBE∽△ACE，
∴PE＝CE＝；
综上：当△PBE与△ACE相似时，EP＝或．
一十一．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
17．（2021•巴中）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m．参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，≈1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．
【答案】（1）12m；
（2）24.9m．
【解答】解：（1）延长BA交CG于点E，
则BE⊥CG，
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，
∴AE＝AC＝×12＝6（m），CE＝AC•cosα＝12×＝6（m），
在Rt△BCE中，∠BCE＝60°，
∴BE＝CE•tan∠BCE＝6×＝18（m），
∴AB＝BE﹣AE＝18﹣6＝12（m），
答：灯杆AB的高度为12m；
（2）在Rt△BDE中，∠BDE＝27°，
∴CD＝DE﹣CE＝﹣6≈24.9（m），
答：CD的长度约为24.9m．
一十二．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
18．（2020•巴中）如图，海面上产生了一股强台风．台风中心A在某沿海城市B的正西方向，小岛C位于城市B北偏东29°方向上，台风中心沿北偏东60°方向向小岛C移动，此时台风中心距离小岛200海里．
（1）过点B作BP⊥AC于点P，求∠PBC的度数；
（2）据监测，在距离台风中心50海里范围内均会受到台风影响（假设台风在移动过程中风力保持不变）．问：在台风移动过程中，沿海城市B是否会受到台风影响？请说明理由．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，≈1.73）
【答案】（1）∠PBC＝59°；
（2）不会受到影响．理由见解答．
【解答】解：（1）∵∠MAC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
又∵BP⊥AC，
∴∠APB＝90°，
∴∠ABP＝60°，
又∵∠CBN＝29°，∠ABN＝90°，
∴∠ABC＝119°，
∴∠PBC＝∠ABC﹣∠ABP＝59°；
（2）不会受到影响．理由如下：
由（1）可知，∠PBC＝59°，
∴∠C＝90°﹣∠PBC＝31°，
又∵tan31°≈0.60，
∴，
设BP为x海里，
则AP＝海里，CP＝海里，
∴，
解得：x≈59，
∵59＞50，
∴沿海城市B不会受到台风影响．
一十三．频数（率）分布直方图（共1小题）
19．（2020•巴中）巴中某商场在6月份举行了“年中大促，好物网罗”集赞领礼品活动．为了解参与活动顾客的集赞情况，商场从参与活动的顾客中，随机抽取28名顾客的集赞数，调查数据如下（单位：个）：
36 26 29 38 48 59 48 52 43 33 18 61 40 52
64 55 46 56 45 43 37 55 47 52 66 57 36 45
整理上面的数据得到如下频数分布表和频数分布直方图：
礼品类别
集赞数（a）
频数
一盒牙膏
18≤a＜28
2
一条毛巾
28≤a＜38
5
一提纸巾
38≤a＜48
m
一件牛奶
48≤a＜58
9
一桶食用油
58≤a＜68
n
回答下列问题：
（1）求频数分布表中m，n的值，并补全频数分布直方图；
（2）求以上28个数据的中位数和众数；
（3）已知参加此次活动的顾客有364人，领到礼品为“一件牛奶”的顾客大约有多少人？
【答案】（1）m＝8，n＝4；
（2）中位数：46.5，众数：52；
（3）117．
【解答】解：（1）根据频数分布表可知：
m＝8，n＝4；
补全的频数分布直方图．如图所示：
（2）中位数：＝46.5，众数：52；
（3）364×＝117（人）．
答：领到礼品为“一件牛奶”的顾客大约有117人．
一十四．列表法与树状图法（共2小题）
20．（2022•巴中）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30
80
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 200 人，其中参加围棋社的有 40 人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）200，40；
（2）480人；
（3）．
【解答】解：（1）抽取的学生共有：80÷40%＝200（人），
参加围棋社的有：200﹣50﹣30﹣80＝40（人）；
故答案为：200，40；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生共有：3200×＝480（人）；
（3）画树状图如下：
∵所有等可能出现的结果总数为20个，其中抽到一男一女的情况数有12个，
∴恰好抽到一男一女概率为＝．
21．（2021•巴中）为迎接建党100周年、巴中市组织了多形式的党史学习教育活动，某校开展了以“听党话、跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将九年级学生成绩统计如图所示．
（1）该校九年级共有 500 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 36° ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加全市现场党史知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4．从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理．
【答案】（1）500，36°；
（2）图形见解析；
（3）此规则不合理，理由见解析．
【解答】解：（1）该校九年级共有学生：150÷30%＝500（名），
则D等级所占圆心角的度数为：360°×＝36°，
故答案为：500，36°；
（2）B等级的人数为：500﹣150﹣100﹣50＝200（名），
将条形统计图补充完整如下：
（3）此规则不合理，理由如下：
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，选甲乙的结果有8种，选丙丁的结果有4种，
∴选甲乙的概率为＝，选丙丁的概率为＝，
∵＞，
∴此规则不合理．
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